Solutions for Class 12 Mathematics: Chapter 04 सारणिक
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Practice Class 12 Mathematics Solutions: Chapter 04 सारणिक
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Question 1: निम्नलिखित प्रत्येक में दिए गए शीर्ष बिंदुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i) \( (1, 0), (6, 0), (4, 3) \)
(ii) \( (2, 7), (1, 1), (10, 8) \)
(iii) \( (-2, -3), (3, 2), (-1, -8) \)
Answer:
(i) दिए गए शीर्ष बिंदु \( A(1, 0), B(6, 0) \) और \( C(4, 3) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \)
मान रखने पर:
\( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \frac{1}{2} [1(0 - 3) - 0(6 - 4) + 1(18 - 0)] \)
\( = \frac{1}{2} (-3 + 18) \)
\( = \frac{1}{2} (15) = 7.5 \) वर्ग इकाई
(ii) दिए गए शीर्ष बिंदु \( A(2, 7), B(1, 1) \) और \( C(10, 8) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 2 & 7 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 10 & 8 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \frac{1}{2} [2(1 - 8) - 7(1 - 10) + 1(8 - 10)] \)
\( = \frac{1}{2} [2(-7) - 7(-9) + 1(-2)] \)
\( = \frac{1}{2} [-14 + 63 - 2] \)
\( = \frac{1}{2} (47) = 25.5 \) वर्ग इकाई
(iii) दिए गए शीर्ष बिंदु \( A(-2, -3), B(3, 2) \) और \( C(-1, -8) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & -8 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \frac{1}{2} [-2(2 + 8) + 3(3 + 1) + 1(-24 + 2)] \)
\( = \frac{1}{2} [-2(10) + 3(4) + 1(-22)] \)
\( = \frac{1}{2} [-20 + 12 - 22] \)
\( = \frac{1}{2} (-30) = -15 \)
चूँकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = 15 \) वर्ग इकाई
मुख्य बिंदु:
• त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र सारणिक विधि से ज्ञात किया जाता है।
• क्षेत्रफल का मान हमेशा धनात्मक लिया जाता है।
• प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक क्षेत्रफल को वैसे ही उत्तर में छोड़ देना।
• सारणिक के विस्तार में चिह्न (+, -, +) की गलती करना।
• मान रखते समय निर्देशांकों को गलत पंक्ति या स्तंभ में लिखना।
Exam Tips:
a) गणना करते समय कोष्ठकों के अंदर के चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
b) अंतिम उत्तर के साथ 'वर्ग इकाई' लिखना न भूलें।
c) यदि क्षेत्रफल ऋणात्मक आए, तो उसका निरपेक्ष (absolute) मान लें।
Question 2: दर्शाइए कि बिंदु \( A(a, b+c), B(b, c+a) \) और \( C(c, a+b) \) संरेख हैं।
Answer:
यदि बिंदु \( A, B \) और \( C \) संरेख हैं, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} a & b+c & 1 \\ b & c+a & 1 \\ c & a+b & 1 \end{vmatrix} \)
संक्रिया \( C_2 \to C_1 + C_2 \) का प्रयोग करने पर:
\( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} a & a+b+c & 1 \\ b & a+b+c & 1 \\ c & a+b+c & 1 \end{vmatrix} \)
स्तंभ \( C_2 \) से \( (a+b+c) \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = \frac{1}{2} (a+b+c) \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ b & 1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{vmatrix} \)
चूँकि स्तंभ \( C_1 \) और \( C_3 \) समान नहीं हैं, लेकिन यहाँ \( C_2 \) और \( C_3 \) के सभी अवوي समान हैं। चूँकि \( C_2 \) के सभी अवयव 1 हैं और \( C_3 \) के सभी अवयव भी 1 हैं (या सारणिक के दो स्तंभ सर्वसम हैं, चूँकि \( C_2 = C_3 \text{ नहीं} \) बल्कि स्तंभ \( C_2 \) और \( C_3 \) के अवयव 1, 1, 1 हैं, अतः सारणिक का मान शून्य है):
\( = 0 \)
अतः दिए गए बिंदु संरेख हैं।
मुख्य बिंदु:
• संरेख बिंदुओं के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
• सारणिक के गुणधर्मों का प्रयोग करके गणना को सरल बनाया जाता है।
• यदि किसी सारणिक के दो स्तंभ या पंक्तियाँ सर्वसम (identically equal) हों, तो उसका मान शून्य होता है।
आम गलतियाँ:
• क्षेत्रफल का मान बिना शून्य सिद्ध किए सीधे संरेख लिख देना।
• सारणिक के गुणधर्म लगाते समय चिह्न की भूल करना।
• उभयनिष्ठ (common) लेते समय पदों को छोड़ देना।
Exam Tips:
a) संरेख सिद्ध करने के लिए हमेशा क्षेत्रफल को 0 के बराबर दिखाएं।
b) सारणिक के गुणधर्मों (Properties of Determinants) का स्पष्ट उल्लेख करें।
c) चरण-दर-चरण हल लिखें ताकि स्टेप मार्किंग का पूरा लाभ मिले।
Question 3: प्रत्येक में \( k \) का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है जहाँ शीर्षबिंदु निम्नलिखित हैं:
(i) \( (k, 0), (4, 0), (0, 2) \)
(ii) \( (-2, 0), (0, 4), (0, k) \)
Answer:
(i) दिए गए शीर्ष बिंदु \( A(k, 0), B(4, 0) \) और \( C(0, 2) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} k & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \frac{1}{2} [k(0 - 2) - 0(4 - 0) + 1(8 - 0)] \)
\( = \frac{1}{2} (-2k + 8) = -k + 4 \)
प्रश्नुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \pm 4 \) (क्योंकि क्षेत्रफल का मान परिमाण के रूप में दिया है)
इसलिए, \( -k + 4 = \pm 4 \)
धनात्मक चिह्न लेने पर:
\( -k + 4 = 4 \implies k = 0 \)
ऋणात्मक चिह्न लेने पर:
\( -k + 4 = -4 \implies k = 8 \)
अतः \( k \) का मान 0 या 8 है।
(ii) दिए गए शीर्ष बिंदु \( A(-2, 0), B(0, 4) \) और \( C(0, k) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \frac{1}{2} [-2(4 - k) - 0(0 - 0) + 1(0 - 0)] \)
\( = \frac{1}{2} (-8 + 2k) = -4 + k \)
प्रश्नुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \pm 4 \)
इसलिए, \( -4 + k = \pm 4 \)
धनात्मक चिह्न लेने पर:
\( -4 + k = 4 \implies k = 8 \)
ऋणात्मक चिह्न लेने पर:
\( -4 + k = -4 \implies k = 0 \)
अतः \( k \) का मान 0 या 8 है।
मुख्य बिंदु:
• क्षेत्रफल दिया होने पर समीकरण बनाते समय \( \pm \) दोनों चिह्नों का प्रयोग करना अनिवार्य है।
• सारणिक का मान निकालने के बाद उसे क्षेत्रफल के बराबर रखा जाता है।
• \( k \) के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं।
आम गलतियाँ:
• केवल धनात्मक \( (+4) \) मान लेकर हल करना और ऋणात्मक \( (-4) \) मान को छोड़ देना।
• सारणिक के विस्तार में गलती करना।
• \( \pm \) चिह्न का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) याद रखें कि क्षेत्रफल का मान दिए होने पर समीकरण के दो केस बनते हैं (+ और -)।
b) दोनों मामलों को अलग-अलग हल करके \( k \) के दोनों मान निकालें।
c) परीक्षा में दोनों उत्तर लिखना आवश्यक है।
Question 4: (i) सारणिकों का प्रयोग करके \( (1, 2) \) और \( (3, 6) \) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(ii) सारणिकों का प्रयोग करके \( (3, 1) \) और \( (9, 3) \) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) माना रेखा पर कोई बिंदु \( P(x, y) \) है। दिए गए बिंदु \( A(1, 2) \) और \( B(3, 6) \) हैं।
चूँकि बिंदु \( A, B \) और \( P \) संरेख हैं, इनसे बनने वाले त्रिभुज ABP का क्षेत्रफल शून्य होगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
\( 1(6 - y) - 2(3 - x) + 1(3y - 6x) = 0 \)
\( 6 - y - 6 + 2x + 3y - 6x = 0 \)
\( -4x + 2y = 0 \)
\( 2x = y \) या \( y = 2x \)
(ii) माना रेखा पर कोई बिंदु \( P(x, y) \) है। दिए गए बिंदु \( A(3, 1) \) और \( B(9, 3) \) हैं।
चूँकि बिंदु \( A, B \) और \( P \) संरेख हैं, इनसे बनने वाले त्रिभुज ABP का क्षेत्रफल शून्य होगा।
\( \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
\( 3(3 - y) - 1(9 - x) + 1(9y - 3x) = 0 \)
\( 9 - 3y - 9 + x + 9y - 3x = 0 \)
\( -2x + 6y = 0 \)
\( x = 3y \) या \( 3y = x \)
मुख्य बिंदु:
• दो बिंदुओं से जाने वाली रेखा का समीकरण निकालने के लिए रेखा पर एक तीसरा चर बिंदु \( (x, y) \) मानते हैं।
• तीनों बिंदुओं के संरेख होने के कारण त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
• सारणिक को शून्य के बराबर रखकर समीकरण हल किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• क्षेत्रफल के सूत्र से \( \frac{1}{2} \) को समीकरण के दूसरी तरफ शून्य के साथ गुणा करके छोड़ने में गलती करना।
• गुणा करते समय चिह्न की असावधानी रखना।
• अंतिम समीकरण को सरलतम रूप में न लिखना।
Exam Tips:
a) हमेशा रेखा पर एक सामान्य बिंदु \( P(x, y) \) मानकर शुरुआत करें।
b) सारणिक विस्तार को सावधानीपूर्वक हल करें ताकि बीजगणितीय त्रुटि न हो।
c) समीकरण को \( y = mx + c \) या सरल अनुपात के रूप में दें।
Question 5: यदि शीर्ष \( (2, -6), (5, 4) \) और \( (k, 4) \) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो तो \( k \) का मान है:
(A) 12
(B) -2
(C) -12, -2
(D) 12, -2
Answer:
दिए गए शीर्ष बिंदु \( A(2, -6), B(5, 4) \) और \( C(k, 4) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1 \\ k & 4 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \frac{1}{2} [2(4 - 4) - (-6)(5 - k) + 1(20 - 4k)] \)
\( = \frac{1}{2} [0 + 6(5 - k) + (20 - 4k)] \)
\( = \frac{1}{2} [30 - 6k + 20 - 4k] \)
\( = \frac{1}{2} [50 - 10k] = 25 - 5k \)
प्रश्नुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( 35 \) वर्ग इकाई है।
इसलिए, \( |25 - 5k| = 35 \)
\( 25 - 5k = \pm 35 \)
स्थिति 1: धनात्मक चिह्न लेने पर:
\( 25 - 5k = 35 \)
\( -5k = 35 - 25 = 10 \)
\( k = \frac{10}{-5} = -2 \)
स्थिति 2: ऋणात्मक चिह्न लेने पर:
\( 25 - 5k = -35 \)
\( -5k = -35 - 25 = -60 \)
\( k = \frac{-60}{-5} = 12 \)
अतः \( k \) का मान 12 या -2 है। सही विकल्प (D) है।
मुख्य बिंदु:
• बहुविकल्पीय प्रश्न में भी पूर्ण विधि से हल करना आवश्यक है।
• क्षेत्रफल 35 होने का अर्थ है कि समीकरण का मापांक \( \pm 35 \) होगा।
• दोनों मानों को निकालकर सही विकल्प का चयन किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• केवल एक मान \( (-2) \) निकालकर विकल्प (B) पर टिक कर देना और दूसरे मान को भूल जाना।
• मापांक हटाते समय \( \pm \) चिह्न का प्रयोग न करना।
Exam Tips:
a) वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में भी रफ कार्य में पूरी गणना अवश्य करें।
b) \( \pm \) चिह्नों वाले प्रश्नों में विशेष सतर्कता बरतें।
c) सही विकल्प (D) को स्पष्ट रूप से चिन्हित करें।
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