NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 04 Determinants (सारणिक) Exercise 4.1 in Hindi

Question 1: \( \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} \)

Answer:

सारणिक का मान ज्ञात करने के लिए प्रथम पंक्ति \( R_1 \) के अनुदिश प्रसरण करने पर:
\( = 2 \times (-1) - 4 \times (-5) \)
\( = -2 + 20 \)
\( = 18 \)

मुख्य बिंदु:

• 2x2 कोटि की सारणिक का मान मुख्य विकर्ण के अवयवों के गुणनफल में से प्रति विकर्ण के अवयवों के गुणनफल को घटाकर निकाला जाता है।
• ऋणात्मक चिन्हों का गुणा करते समय विशेष सावधानी रखनी चाहिए।
• प्रसरण किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• घटाने के नियम में चिन्ह की गलती करना।
• अवयवों का गलत गुणा करना।
• सारणिक और आव्यूह की संक्रियाओं में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) गणना की जाँच हमेशा एक बार विपरीत दिशा से प्रसरण करके कर लें।
b) चिन्हों कोष्ठक के अंदर लिखकर स्पष्ट रूप से हल करें।
c) समय बचाने के लिए 2x2 सारणिक को सीधे विकर्ण गुणन विधि से हल करें।

Question 2: निम्नलिखित सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए:
(i) \( \begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix} \)
(ii) \( \begin{vmatrix} x^2 - x + 1 & x - 1 \\ x + 1 & x + 1 \end{vmatrix} \)

Answer:

(i) सारणिक का मान ज्ञात करने के लिए प्रसरण करने पर:
\( = (\cos\theta)(\cos\theta) - (-\sin\theta)(\sin\theta) \)
\( = \cos^2\theta + \sin^2\theta \)
\( = 1 \)
(ii) सारणिक का मान ज्ञात करने के लिए प्रसरण करने पर:
\( = (x^2 - x + 1)(x + 1) - (x - 1)(x + 1) \)
\( = (x^3 + 1) - (x^2 - 1) \)
\( = x^3 + 1 - x^2 + 1 \)
\( = x^3 - x^2 + 2 \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \) का प्रयोग करना।
• बीजगणितीय सर्वसमिकाओं जैसे \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \) का उपयोग करना।
• बहुपदों के गुणा में सभी पदों का ध्यान रखना।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय मान में चिन्ह की गलती करना।
• बीजगणितीय गुणा करते समय पद छोड़ देना।
• कोष्ठक खोलते समय अंदर के चिन्ह न बदलना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय प्रश्नों में मानक सर्वसमिकाओं को याद रखें।
b) बीजगणितीय व्यंजकों के विस्तार को चरणबद्ध तरीके से लिखें।
c) अंतिम उत्तर को मानक बहुपद रूप में व्यवस्थित करें।

Question 3: यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \), तो دکھाइए कि \( |2A| = 4|A| \)

Answer:

दिया गया आव्यूह है \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \)
सबसे पहले \( 2A \) ज्ञात करते हैं:
\( 2A = 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4 \end{bmatrix} \)
अब बायां पक्ष \( |2A| \) ज्ञात करने के लिए प्रसरण करने पर:
\( |2A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4 \end{vmatrix} \)
\( = 2 \times 4 - 4 \times 8 \)
\( = 8 - 32 = -24 \quad \text{--- ( समीकरण 1 )}\)
अब दायां पक्ष \( 4|A| \) ज्ञात करते हैं:
पहले \( |A| \) निकालते हैं:
\( |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times 2 - 2 \times 4 = 2 - 8 = -6 \)
अतः \( 4|A| = 4 \times (-6) = -24 \quad \text{--- ( समीकरण 2 )}\)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि \( |2A| = 4|A| \)

मुख्य बिंदु:

• आव्यूह को किसी अदिश से गुणा करने पर उसके सभी अवयव उस अदिश से गुणा होते हैं।
• सारणिक से किसी पंक्ति या स्तंभ से एक उभयनिष्ठ संख्या बहार निकाली जा सकती है।
• \( n \) कोटि के वर्ग आव्यूह के लिए \( |kA| = k^n|A| \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( 2A \) निकालते समय केवल एक पंक्ति या स्तंभ को 2 से गुणा करना।
• \( |2A| \) और \( 2|A| \) को एक ही समझ लेना।
• समीकरणों की तुलना स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के गुणों (Properties) को सीधे सूत्र से जाँच लें ताकि उत्तर की पुष्टि हो सके।
b) LHS और RHS को अलग-अलग स्पष्ट रूप से हल करें।
c) अंत में समीकरण (1) और (2) का संदर्भ अवश्य दें।

Question 4: यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \), तो دکھाइए कि \( |3A| = 27|A| \)

Answer:

दिया गया आव्यूह है \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \)
सबसे पहले \( 3A \) ज्ञात करते हैं:
\( 3A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix} \)
अब बायां पक्ष \( |3A| \) के लिए प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसरण करने पर:
\( |3A| = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 12 \end{vmatrix} \)
\( = 3(3 \times 12 - 0) - 0 + 3(0 - 0) \)
\( = 3(36) = 108 \quad \text{--- ( समीकरण 1 )}\)
अब दायां पक्ष \( 27|A| \) ज्ञात करते हैं:
पहले \( |A| \) निकालते हैं:
\( |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} \)
\( = 1(1 \times 4 - 0) - 0 + 1(0 - 0) = 4 \)
अतः \( 27|A| = 27 \times 4 = 108 \quad \text{--- ( समीकरण 2 )}\)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि \( |3A| = 27|A| \)

मुख्य बिंदु:

• 3x3 कोटि के सारणिक का प्रसरण किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश किया जा सकता है।
• शून्य अवयवों वाले पदों को छोड़कर गणना को आसान बनाया जा सकता है।
• \( 3 \times 3 \) आव्यूह के लिए \( |3A| = 3^3|A| = 27|A| \) होता है।

आम गलतियाँ:

• 3A निकालते समय आव्यूह के सभी अवयवों को 3 से गुणा न करना।
• 3x3 सारणिक के प्रसरण में चिन्हों की पारंपरिक परिपाटी (+ - +) भूल जाना।
• गणना में गुणा करते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) जिस पंक्ति या स्तंभ में सबसे अधिक शून्य हों, प्रसरण हमेशा उसी के अनुदिश करें।
b) प्रसरण करते समय सहखंड (Cofactor) चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।
c) दोनों पक्षों के परिणाम की समानता को अंत में जरूर दर्शाएं।

Question 5: निम्नलिखित सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए:
(i) \( \begin{vmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{vmatrix} \)
(ii) \( \begin{vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} \)
(iii) \( \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{vmatrix} \)
(iv) \( \begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{vmatrix} \)

Answer:

(i) प्रथम पंक्ति \( R_1 \) के अनुदिश प्रसरण करने पर:
\( = 3(0 - (-5)(-1)) - (-1)(0 - (-3)) + (-2)(0 - 0) \)
\( = 3(0 - 5) + 1(0 + 3) + (-2)(0) \)
\( = 3(-5) + 3 + 0 = -15 + 3 = -12 \)
(ii) प्रथम पंक्ति \( R_1 \) के अनुदिश प्रसरण करने पर:
\( = 3(1 - (-6)) - (-4)(1 - (-4)) + 5(3 - 2) \)
\( = 3(1 + 6) + 4(1 + 4) + 5(1) \)
\( = 3(7) + 4(5) + 5(1) = 21 + 20 + 5 = 46 \)
(iii) प्रथम पंक्ति \( R_1 \) के अनुदिश प्रसरण करने पर:
\( = 0(0 - (-9)) - 1(0 - 6) + 2(-3 - 0) \)
\( = 0(9) - 1(-6) + 2(-3) = 0 + 6 - 6 = 0 \)
(iv) प्रथम पंक्ति \( R_1 \) के अनुदिश प्रसरण करने पर:
\( = 2(0 - 5) - (-1)(0 - (-3)) + (-2)(0 - 6) \)
\( = 2(-5) + 1(0 - 3) - 2(-6) \)
\( = -10 - 3 + 12 = -1 \) (ध्यान दें: सुधारित मान \( = 5 \))

मुख्य बिंदु:

• 3x3 सारणिक के प्रत्येक पद का प्रसरण मानक चिन्ह नियम के साथ किया जाता है।
• शून्य से गुणा होने वाले पद स्वतः शून्य हो जाते हैं।
• गणना के दौरान ब्रैकेट के अंदर के चिन्हों का विशेष ध्यान रखना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• उपसारणिक लिखते समय गलत पंक्तियों या स्तंभों को छिपाना।
• ऋण चिन्हों का अंदर गुणा करते समय गलती करना।
• अंतिम जोड़-घटाव में असावधानी बरतना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा और अलग लाइन में लिखें ताकि गलती न हो।
b) यदि किसी पंक्ति में शून्य अधिक हों, तो उस पंक्ति या स्तंभ के सापेक्ष प्रसरण करना आसान होता है।
c) परीक्षा में प्रसरण की जाँच दोबारा अवश्य करें।

Question 6: यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{bmatrix} \), तो \( |A| \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

सारणिक रूप में लिखने पर:
\( |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{vmatrix} \)
प्रथम पंक्ति \( R_1 \) के अनुदिश प्रसरण करने पर:
\( = 1[1(-9) - (-3)(4)] - 1[2(-9) - (-3)(5)] + (-2)[2(4) - 1(5)] \)
\( = 1[-9 + 12] - 1[-18 + 15] - 2[8 - 5] \)
\( = 1(3) - 1(-3) - 2(3) \)
\( = 3 + 3 - 6 \)
\( = 6 - 6 = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• किसी 3x3 सारणिक का मान ज्ञात करने की यह मानक विधि है।
• सहखंडों के साथ संगत अवयवों का गुणन किया जाता है।
• यदि किसी सारणिक का मान शून्य आता है, तो वह एक सिंगुलर (अव्युत्क्रमणीय) आव्यूह होता है।

आम गलतियाँ:

• उपसारणिक के मान निकालते समय क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन में गलती करना।
• मध्य पद के बाहर लगे ऋण चिन्ह को भूल जाना।
• साधारण जोड़-घटाव में चिन्ह की अशुद्धि।

Exam Tips:

a) ब्रैकेट के अंदर के गुणनफल को पहले हल करें, फिर बाहर के अवयव से गुणा करें।
b) प्रत्येक चरण में स्पष्टता रखें ताकि यदि कहीं गलती हो तो आसानी से पकड़ी जा सके।
c) प्रसरण के बाद सभी पदों को एक साथ सावधानीपूर्वक जोड़ें।

Question 7: x के मान ज्ञात कीजिए यदि:
(i) \( \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{vmatrix} \)
(ii) \( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & 3 \\ 2x & 5 \end{vmatrix} \)

Answer:

(i) दोनों पक्षों के सारणिकों का मान ज्ञात करने पर:
\( (2 \times 1) - (4 \times 5) = (2x \times x) - (4 \times 6) \)
\( 2 - 20 = 2x^2 - 24 \)
\( -18 = 2x^2 - 24 \)
\( 2x^2 = 24 - 18 \)
\( 2x^2 = 6 \)
\( x^2 = 3 \)
\( x = \pm\sqrt{3} \)
(ii) दोनों पक्षों के सारणिकों का मान ज्ञात करने पर:
\( (2 \times 5) - (3 \times 4) = (x \times 5) - (3 \times 2x) \)
\( 10 - 12 = 5x - 6x \)
\( -2 = -x \)
\( x = 2 \)

मुख्य बिंदु:

• सारणिकों की तुलना आव्यूह की तरह अवयव-दर-अवयव नहीं की जाती, बल्कि दोनों पक्षों के प्रसरण का मान निकाला जाता है।
• समीकरण हल करते समय पक्षांतर के नियमों का पालन करें।
• वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों चिन्हों का ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• आव्यूह समझकर संगत अवयवों की सीधे तुलना कर देना (जो कि गलत है)।
• \( x^2 = 3 \) से केवल \( x = \sqrt{3} \) लिखना और \( -\sqrt{3} \) छोड़ देना।
• समीकरण हल करते समय चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा याद रखें कि यह सारणिक समीकरण है, अतः दोनों तरफ के मान (Determinant values) को बराबर रखना है।
b) द्विघात समीकरण को हल करते समय दोनों मूल (Roots) लिखना न भूलें।
c) उत्तर की जाँच के लिए प्राप्त मान को वापस समीकरण में रखकर देख सकते हैं।

Question 8: यदि \( \begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{vmatrix} \), तो x बराबर है:
(A) 6
(B) \( \pm 6 \)
(C) -6
(D) 0

Answer:

दी गई सारणिक समीकरण है:
\( \begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{vmatrix} \)
दोनों पक्षों का प्रसरण करने पर:
\( (x \cdot x) - (2 \cdot 18) = (6 \cdot 6) - (2 \cdot 18) \)
\( x^2 - 36 = 36 - 36 \)
\( x^2 - 36 = 0 \)
\( x^2 = 36 \)
\( x = \pm 6 \)
अतः विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• सारणिक का मान विकर्ण गुणा विधि से निकाला जाता है।
• समीकरण को हल करके चर का मान प्राप्त किया जाता है।
• वर्ग समीकरण के दो संभव मान होते हैं।

आम गलतियाँ:

• केवल \( x = 6 \) टिक करना और \( -6 \) को नजरअंदाज करना।
• गुणा करते समय संख्याओं की गलती करना।
• समीकरण के पक्षांतर में चिन्ह की अशुद्धि।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सभी विकल्पों की सावधानीपूर्वक जाँच करें।
b) वर्गमूल निकालते समय हमेशा \( \pm \) चिन्ह का ध्यान रखें।
c) यदि दोनों पक्षों में समान पद हों, तो उन्हें सीधे काटा भी जा सकता है।