NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 03 Matrices (आव्यूह) Exercise 3.2 in Hindi

Question 1: मान लीजिए कि \( A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \), \( c = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \), तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) \( A + B \)     (ii) \( A - B \)     (iii) \( 3A - C \)     (iv) \( AB \)     (v) \( BA \)

Answer:

(i) \( A + B \)
\( = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2+1 & 4+3 \\ 3+(-2) & 2+5 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} \)

(ii) \( A - B \)
\( = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2-1 & 4-3 \\ 3-(-2) & 2-5 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \)

(iii) \( 3A - C \)
\( = 3\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ 9 & 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 6-(-2) & 12-5 \\ 9-3 & 6-4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} \)

(iv) \( AB \)
\( = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 4 \times (-2)) & (2 \times 3 + 4 \times 5) \\ (3 \times 1 + 2 \times (-2)) & (3 \times 3 + 2 \times 5) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2-8 & 6+20 \\ 3-4 & 9+10 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix} \)

(v) \( BA \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (1 \times 2 + 3 \times 3) & (1 \times 4 + 3 \times 2) \\ (-2 \times 2 + 5 \times 3) & (-2 \times 4 + 5 \times 2) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2+9 & 4+6 \\ -4+15 & -8+10 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 11 & 2 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• दो आव्यूह का योग या अंतर उनके संगत अवयवों को जोड़ने या घटाने से प्राप्त होता है।
• आव्यूह गुणन (Multiplication) पंक्ति-स्तंभ (Row-Column) नियम के अनुसार किया जाता है।
• आव्यूह गुणन में सामान्यतः \( AB \neq BA \) होता है।

आम गलतियाँ:

• ऋनात्मक चिनों (- चिन्ह) का गुणा करते समय सावधानी न रखना।
• पंक्ति और स्तंभ का गुणा करते समय अवयवों का सही मिलान न करना।
• समान कोटि न होने पर भी जोड़ या घटाव कर देना।

Exam Tips:

a) गुणन करते समय प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ को अलग-अलग ब्रैकेट में लिखकर हल करें ताकि गलती न हो।
b) योग और अंतर करते समय कोटि (Order) की जाँच अवश्य कर लें।
c) अंतिम परिणाम में आव्यूह के कोष्ठक सही प्रकार से लगाएं।

Question 2: निम्नलिखित को परिकलित कीजिए:
(i) \( \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} \)
(ii) \( \begin{bmatrix} a^2+b^2 & b^2+c^2 \\ a^2+c^2 & a^2+b^2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2ab & 2bc \\ -2ac & -2ab \end{bmatrix} \)
(iii) \( \begin{bmatrix} -1 & 4 & -6 \\ 8 & 5 & 16 \\ 2 & 8 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 & 7 & 6 \\ 8 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \)
(iv) \( \begin{bmatrix} \cos^2 x & \sin^2 x \\ \sin^2 x & \cos^2 x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin^2 x & \cos^2 x \\ \cos^2 x & \sin^2 x \end{bmatrix} \)

Answer:

(i) \( \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} a+a & b+b \\ -b+b & a+a \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2a & 2b \\ 0 & 2a \end{bmatrix} \)

(ii) \( \begin{bmatrix} a^2+b^2 & b^2+c^2 \\ a^2+c^2 & a^2+b^2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2ab & 2bc \\ -2ac & -2ab \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} a^2+b^2+2ab & b^2+c^2+2bc \\ a^2+c^2-2ac & a^2+b^2-2ab \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (a+b)^2 & (b+c)^2 \\ (a-c)^2 & (a-b)^2 \end{bmatrix} \)

(iii) \( \begin{bmatrix} -1 & 4 & -6 \\ 8 & 5 & 16 \\ 2 & 8 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 & 7 & 6 \\ 8 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -1+12 & 4+7 & -6+6 \\ 8+8 & 5+0 & 16+5 \\ 2+3 & 8+2 & 5+4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 11 & 11 & 0 \\ 16 & 5 & 21 \\ 5 & 10 & 9 \end{bmatrix} \)

(iv) \( \begin{bmatrix} \cos^2 x & \sin^2 x \\ \sin^2 x & \cos^2 x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin^2 x & \cos^2 x \\ \cos^2 x & \sin^2 x \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} \cos^2 x + \sin^2 x & \sin^2 x + \cos^2 x \\ \sin^2 x + \cos^2 x & \cos^2 x + \sin^2 x \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) (चूँकि \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \))

मुख्य बिंदु:

• समान कोटि के आव्यूहों को ही आपस में जोड़ा जा सकता है।
• बीजगणितीय सर्वसमिकाओं जैसे \( (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \) का प्रयोग आव्यूह के अवयवों को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का उपयोग करके मान को संक्षिप्त किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• संगत अवयवों को जोड़ने में गलती करना।
• सर्वसमिका का विस्तार गलत लिखना या चिन्ह की गलती करना।
• त्रिकोणमितीय पदों को जोड़ते समय पहचान न पाना।

Exam Tips:

a) जोड़ते समय प्रत्येक अवयव को उसके संगत अवयव के साथ स्पष्ट रूप से लिखें।
b) बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय सूत्रों को कोष्ठक के अंदर ही सही रूप में बदलें।
c) चरण-दर-चरण हल करने से परीक्षा में अंक नहीं कटते हैं।

Question 3: निर्देशित गुणनफल परिकलित कीजिए:
(i) \( \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \)     (ii) \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \)     (iii) \( \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \)
(iv) \( \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \end{bmatrix} \)     (v) \( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)     (vi) \( \begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \)

Answer:

(i) \( \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (a \times a + b \times b) & (a \times (-b) + b \times a) \\ (-b \times a + a \times b) & (-b \times (-b) + a \times a) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} a^2+b^2 & 0 \\ 0 & b^2+a^2 \end{bmatrix} \)

(ii) \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (1 \times 2) & (1 \times 3) & (1 \times 4) \\ (2 \times 2) & (2 \times 3) & (2 \times 4) \\ (3 \times 2) & (3 \times 3) & (3 \times 4) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{bmatrix} \)

(iii) \( \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (1 \times 1 + (-2) \times 2) & (1 \times 2 + (-2) \times 3) & (1 \times 3 + (-2) \times 1) \\ (2 \times 1 + 3 \times 2) & (2 \times 2 + 3 \times 3) & (2 \times 3 + 3 \times 1) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1-4 & 2-6 & 3-2 \\ 2+6 & 4+9 & 6+3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -3 & -4 & 1 \\ 8 & 13 & 9 \end{bmatrix} \)

(iv) \( \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 3 \times 0 + 4 \times 3) & (2 \times (-3) + 3 \times 2 + 4 \times 0) & (2 \times 5 + 3 \times 4 + 4 \times 5) \\ (3 \times 1 + 4 \times 0 + 5 \times 3) & (3 \times (-3) + 4 \times 2 + 5 \times 0) & (3 \times 5 + 4 \times 4 + 5 \times 5) \\ (4 \times 1 + 5 \times 0 + 6 \times 3) & (4 \times (-3) + 5 \times 2 + 6 \times 0) & (4 \times 5 + 5 \times 4 + 6 \times 5) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2+0+12 & -6+6+0 & 10+12+20 \\ 3+0+15 & -9+8+0 & 15+16+25 \\ 4+0+18 & -12+10+0 & 20+20+30 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 14 & 0 & 42 \\ 18 & -1 & 56 \\ 22 & -2 & 70 \end{bmatrix} \)

(v) \( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 1 \times (-1)) & (2 \times 0 + 1 \times 2) & (2 \times 1 + 1 \times 1) \\ (3 \times 1 + 2 \times (-1)) & (3 \times 0 + 2 \times 2) & (3 \times 1 + 2 \times 1) \\ (-1 \times 1 + 1 \times (-1)) & (-1 \times 0 + 1 \times 2) & (-1 \times 1 + 1 \times 1) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2-1 & 0+2 & 2+1 \\ 3-2 & 0+4 & 3+2 \\ -1-1 & 0+2 & -1+1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ -2 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)

(vi) \( \begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (3 \times 2 + (-1) \times 1 + 3 \times 3) & (3 \times (-3) + (-1) \times 0 + 3 \times 1) \\ (-1 \times 2 + 0 \times 1 + 2 \times 3) & (-1 \times (-3) + 0 \times 0 + 2 \times 1) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 6-1+9 & -9+0+3 \\ -2+0+6 & 3+0+2 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 14 & -6 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• दो आव्यूहों का गुणन तभी संभव है जब पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के समान हो।
• गुणनफल की कोटि \( (m \times n) \) और \( (n \times p) \) होने पर परिणामी आव्यूह की कोटि \( (m \times p) \) होती है।
• पंक्ति के अवयवों को स्तंभ के संगत अवयवों से गुणा करके जोड़ा जाता है।

आम गलतियाँ:

• गुणा करने से पहले कोटि की संगति की जाँच न करना।
• गुणन प्रक्रिया में चिन्हों की भूल करना।
• सही पंक्ति या स्तंभ का मिलान न करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक गुणन पद को ब्रैकेट में लिखकर हल करें ताकि त्रुटि की संभावना न्यूनतम हो।
b) बड़े आव्यूहों के गुणन में रफ कार्य का उपयोग करें।
c) परिणामी आव्यूह के आकार की पहले ही गणना कर लें।

Question 4: यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \) तथा \( C = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \), तो \( (A + B) \) तथा \( (B - C) \) परिकलित कीजिए। साथ ही यह सत्यापित कीजिए कि \( A + (B - C) = (A + B) - C \) ।

Answer:

पहले \( A + B \) ज्ञात करते हैं:
\( A + B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1+3 & 2+(-1) & -3+2 \\ 5+4 & 0+2 & 2+5 \\ 1+2 & -1+0 & 1+3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 9 & 2 & 7 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix} \)

अब \( B - C \) ज्ञात करते हैं:
\( B - C = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 3-4 & -1-1 & 2-2 \\ 4-0 & 2-3 & 5-2 \\ 2-1 & 0-(-2) & 3-3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)

अब बायाँ पक्ष \( LHS = A + (B - C) \) ज्ञात करते हैं:
\( LHS = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1+(-1) & 2+(-2) & -3+0 \\ 5+4 & 0+(-1) & 2+3 \\ 1+1 & -1+2 & 1+0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)

अब दायाँ पक्ष \( RHS = (A + B) - C \) ज्ञात करते हैं:
\( RHS = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 9 & 2 & 7 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 4-4 & 1-1 & -1-2 \\ 9-0 & 2-3 & 7-2 \\ 3-1 & -1-(-2) & 4-3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)

चूँकि \( LHS = RHS \), अतः \( A + (B - C) = (A + B) - C \) सत्यापित हुआ।

मुख्य बिंदु:

• आव्यूह योग साहचर्य नियम (Associative Law) का पालन करता है।
• पहले कोष्ठक के अंदर के पदों को हल करना आवश्यक है।
• घटाव करते समय संगत अवयवों के चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• \( B - C \) निकालते समय C के अवयवों के चिन्ह बदलना भूल जाना।
• जोड़ या घटाव के दौरान संगत अवयवों का मिलान गलत करना।

Exam Tips:

a) LHS और RHS को अलग-अलग स्पष्ट रूप से हल करें।
b) अंतिम उत्तर की तुलना करते समय प्रत्येक अवयव की जाँच करें।
c) सत्यापन वाले प्रश्नों में अंत में "सत्यापित" लिखना न भूलें।

Question 5: यदि \( A = \begin{bmatrix} 2/3 & 1 & 5/3 \\ 1/3 & 2/3 & 4/3 \\ 7/3 & 2 & 2/3 \end{bmatrix} \) तथा \( B = \begin{bmatrix} 2/5 & 3/5 & 1/5 \\ 1/5 & 2/5 & 4/5 \\ 7/5 & 6/5 & 2/5 \end{bmatrix} \), तो \( 3A - 5B \) परिकलित कीजिए।

Answer:

\( 3A - 5B = 3\begin{bmatrix} 2/3 & 1 & 5/3 \\ 1/3 & 2/3 & 4/3 \\ 7/3 & 2 & 2/3 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 2/5 & 3/5 & 1/5 \\ 1/5 & 2/5 & 4/5 \\ 7/5 & 6/5 & 2/5 \end{bmatrix} \)
अदिश गुणा करने पर:
\( = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix} \)
संगत अवयवों को घटाने पर:
\( = \begin{bmatrix} 2-2 & 3-3 & 5-1 \\ 1-1 & 2-2 & 4-4 \\ 7-7 & 6-6 & 2-2 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \) (यह त्रुटि सुधार के बाद भिन्न है, प्रश्न के अनुसार सही मान: \( \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \))

मुख्य बिंदु:

• किसी आव्यूह को एक अदिश संख्या से गुणा करने का अर्थ उसके प्रत्येक अवयव को उस संख्या से गुणा करना है।
• भिन्न वाले पदों में हर (Denominator) आसानी से कट जाते हैं।
• शून्य आव्यूह (Zero Matrix) प्राप्त हो सकता है।

आम गलतियाँ:

• अदिश गुणा करते समय सभी अवयवों से गुणा न करना।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने में गलती करना।

Exam Tips:

a) अदिश राशि (3 और 5) को आव्यूह के अंदर ले जाते समय हर संख्या से गुणा करें।
b) भिन्नों को सरल करते समय सावधानी बरतें।
c) अंत में परिणामी आव्यूह को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 6: सरल कीजिए: \( \cos \theta \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{bmatrix} \)

Answer:

बाहਰ दी गई त्रिकोणमितीय राशियों का आव्यूह के प्रत्येक अवयव से गुणा करने पर:
\( = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ -\sin \theta \cos \theta & \cos^2 \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin^2 \theta & -\sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix} \)
अब संगत अवयवों को जोड़ने पर:
\( = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \sin \theta \cos \theta - \sin \theta \cos \theta \\ -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta & \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \end{bmatrix} \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \) का प्रयोग करने पर:
\( = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• अदिश गुणन का नियम आव्यूह के बाहर की त्रिकोणमितीय राशि पर भी लागू होता है।
• विपरीत चिन्ह वाले पद आपस में कटकर शून्य हो जाते हैं।
• परिणाम एक तत्समक आव्यूह (Identity Matrix) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणा करते समय कोण \( \theta \) को भूल जाना।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का सही उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) पहले अदिश गुणा को पूर्ण करें, फिर आव्यूह का योग करें।
b) सर्वसमिकाओं कोष्ठक में स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंतिम उत्तर को इकाई आव्यूह के रूप में पहचानें।

Question 7: \( x \) तथा \( y \) ज्ञात कीजिए यदि:
(i) \( X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \) तथा \( X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)
(ii) \( 2X + 3Y = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \) तथा \( 3X + 2Y = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} \)

Answer:

(i) दिया गया है:
\( X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \)     ...(1)
\( X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)     ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( (X + Y) + (X - Y) = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow 2X = \begin{bmatrix} 7+3 & 0+0 \\ 2+0 & 5+3 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow 2X = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow X = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \)
अब समीकरण (1) में \( X \) का मान रखने पर:
\( \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow Y = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)

(ii) दिया गया है:
\( 2X + 3Y = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \)     ...(1)
\( 3X + 2Y = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} \)     ...(2)
समीकरण (1) को 3 से तथा समीकरण (2) को 2 से गुणा करके घटाने पर:
\( 3(2X + 3Y) - 2(3X + 2Y) = 3\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow 6X + 9Y - 6X - 4Y = \begin{bmatrix} 6 & 9 \\ 12 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & -4 \\ -2 & 10 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow 5Y = \begin{bmatrix} 6-4 & 9-(-4) \\ 12-(-2) & 0-10 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow 5Y = \begin{bmatrix} 2 & 13 \\ 14 & -10 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow Y = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & 13 \\ 14 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/5 & 13/5 \\ 14/5 & -2 \end{bmatrix} \)
इसी प्रकार समीकरण (1) से \( X \) का मान ज्ञात करने पर:
\( 2X = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - 3Y \)
\( 2X = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} 2/5 & 13/5 \\ 14/5 & -2 \end{bmatrix} \)
\( 2X = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6/5 & 39/5 \\ 42/5 & -6 \end{bmatrix} \)
\( 2X = \begin{bmatrix} 2 - 6/5 & 3 - 39/5 \\ 4 - 42/5 & 0 - (-6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/5 & -24/5 \\ -22/5 & 6 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow X = \begin{bmatrix} 2/5 & -12/5 \\ -11/5 & 3 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• यह रैखिक समीकरण युग्म (Linear Equations) को आव्यूह विधि से हल करने जैसा है।
• विलोपन विधि (Elimination Method) का प्रयोग करके एक चर को विलुप्त किया जाता है।
• अंत में अदिश भाग से भाग देकर चर आव्यूह प्राप्त किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• समीकरणों को गुणा करते समय सभी पदों का ध्यान न रखना।
• घटाव के दौरान चिन्हों की गलती करना।

Exam Tips:

a) समीकरणों को स्पष्ट रूप से (1) और (2) नाम दें।
b) गुणा करते समय गुणांकों को बाहर स्पष्ट लिखें।
c) भिन्न के रूप में उत्तर आने पर गणना की पुनः जाँच करें।

Question 8: \( x \) तथा \( y \) ज्ञात कीजिए यदि \( Y = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \) तथा \( 2X + Y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( 2X + Y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \)
\( Y \) का मान रखने पर:
\( 2X + \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow 2X = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow 2X = \begin{bmatrix} 1-3 & 0-2 \\ -3-1 & 2-4 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow 2X = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -4 & -2 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow X = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -4 & -2 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow X = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• पक्षांतर (Transposition) नियम आव्यूह समीकरणों पर भी लागू होता है।
• एक ज्ञात आव्यूह को दूसरी तरफ ले जाकर घटाया जाता है।

आम गलतियाँ:

• आव्यूह को पक्षांतर करते समय चिन्ह बदलना भूल जाना।
• अंत में 2 से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) समीकरण को व्यवस्थित करके पहले \( 2X \) का मान निकालें।
b) अंत में अदिश भाग से प्रत्येक अवयव को विभाजित करें।

Question 9: \( x \) तथा \( y \) ज्ञात कीजिए यदि \( 2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix} \)

Answer:

बाएँ पक्ष में अदिश गुणा और आव्यूह योग करने पर:
\( \begin{bmatrix} 2 \times 1 & 2 \times 3 \\ 2 \times 0 & 2 \times x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \begin{bmatrix} 2+y & 6+0 \\ 0+1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \begin{bmatrix} 2+y & 6 \\ 1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix} \)
समान आव्यूहों की परिभाषा से संगत अवयवों की तुलना करने पर:
\( 2 + y = 5 \implies y = 5 - 2 = 3 \)
\( 2x + 2 = 8 \implies 2x = 8 - 2 = 6 \implies x = 3 \)
अतः \( x = 3 \) तथा \( y = 3 \) ।

मुख्य बिंदु:

• दो आव्यूह समान होते हैं यदि उनकी कोटि समान हो और उनके संगत अवयव बराबर हों।
• समीकरणों की तुलना करके अज्ञात चरों के मान निकाले जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• बाहर दी गई संख्या 2 का गुणा केवल पहले पद में करना, दूसरे में भूल जाना।
• संगत अवयवों की तुलना गलत पद से करना।

Exam Tips:

a) पहले आव्यूह समीकरण को सरल करके एकल आव्यूह में बदलें।
b) तुलना करते समय समीकरण स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएं।

Question 10: प्रदत्त समीकरण को \( x, y, z \) तथा \( t \) के लिए हल कीजिए यदि \( 2\begin{bmatrix} x & z \\ y & t \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \)

Answer:

अदिश गुणा करने पर:
\( \begin{bmatrix} 2x & 2z \\ 2y & 2t \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 15 \\ 12 & 18 \end{bmatrix} \)
बाएँ पक्ष के आव्यूहों को जोड़ने पर:
\( \begin{bmatrix} 2x+3 & 2z-3 \\ 2y+0 & 2t+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 15 \\ 12 & 18 \end{bmatrix} \)
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
\( 2x + 3 = 9 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \)
\( 2z - 3 = 15 \implies 2z = 18 \implies z = 9 \)
\( 2y = 12 \implies y = 6 \)
\( 2t + 6 = 18 \implies 2t = 12 \implies t = 6 \)
अतः \( x = 3, y = 6, z = 9 \) तथा \( t = 6 \) ।

मुख्य बिंदु:

• अदिश संख्या से आव्यूह के प्रत्येक अवयव का गुणा होता है।
• समानता के नियम से सभी चरों के लिए अलग-अलग रैखिक समीकरण बनते हैं।

आम गलतियाँ:

• माइनस चिन्ह (-3) को जोड़ते समय गलती करना।
• किसी एक चर को हल करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सभी चरणों को क्रमानुसार हल करें।
b) अंत में सभी चरों के मानों को एक साथ स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 11: यदि \( x\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix} \) है, तो \( x \) तथा \( y \) के मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

बाएँ पक्ष के आव्यूहों में अदिश गुणा और योग करने पर:
\( \begin{bmatrix} 2x \\ 3x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -y \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \begin{bmatrix} 2x - y \\ 3x + y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix} \)
संगत अवयवों की तुलना करने पर रैखिक समीकरण युग्म प्राप्त होता है:
\( 2x - y = 10 \)     ...(1)
\( 3x + y = 5 \)     ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( (2x - y) + (3x + y) = 10 + 5 \)
\( \Rightarrow 5x = 15 \implies x = 3 \)
अब समीकरण (2) में \( x = 3 \) रखने पर:
\( 3(3) + y = 5 \)
\( \Rightarrow 9 + y = 5 \implies y = 5 - 9 = -4 \)
अतः \( x = 3 \) तथा \( y = -4 \) ।

मुख्य बिंदु:

• स्तंभ आव्यूह (Column Matrix) के समीकरणों को साधारण बीजगणितीय समीकरणों में बदला जा सकता है।
• विलोपन विधि से मान सरलता से ज्ञात किए जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( -y \) और \( y \) को जोड़ते समय चिन्ह की गलती करना।
• समीकरण हल करने के बाद दूसरे चर का मान न निकालना।

Exam Tips:

a) समीकरणों को नंबर देकर हल करें।
b) उत्तर की जाँच समीकरण में मान रखकर अवश्य करें।

Question 12: यदि \( 3\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2w \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+w & 3 \end{bmatrix} \) है, तो \( x, y, z \) तथा \( w \) के मानों को ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिए गए समीकरण को हल करने पर:
\( \begin{bmatrix} 3x & 3y \\ 3z & 3w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+4 & 6+x+y \\ -1+z+w & 2w+3 \end{bmatrix} \)
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
\( 3x = x + 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \)
\( 3y = 6 + x + y \)
\( x \) का मान रखने पर:
\( 3y - y = 6 + 2 \implies 2y = 8 \implies y = 4 \)
\( 3w = 2w + 3 \implies w = 3 \)
\( 3z = -1 + z + w \)
\( w \) का मान रखने पर:
\( 3z - z = -1 + 3 \implies 2z = 2 \implies z = 1 \)
अतः \( x = 2, y = 4, z = 1 \) तथा \( w = 3 \) ।

मुख्य बिंदु:

• ऐसे समीकरणों को हल करते समय पहले उस चर को हल करें जो केवल एक पद में हो।
• प्राप्त मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करें।

आम गलतियाँ:

• एक साथ दो अज्ञात चरों वाले समीकरण में गलत मान रखना।
• तुलना करते समय पदों को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) सबसे सरल समीकरण से शुरुआत करें (जैसे \( 3x = x+4 \))।
b) एक चर का मान मिलने पर उसे तुरंत अगले समीकरण में प्रयोग करें।

Question 13: यदि \( F(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \), तो सिद्ध कीजिए कि \( F(x)F(y) = F(x+y) \)

Answer:

बायाँ पक्ष \( LHS = F(x)F(y) \)
\( F(x)F(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
पंक्ति-स्तंभ गुणन करने पर:
\( = \begin{bmatrix} (\cos x \cos y - \sin x \sin y + 0) & (-\cos x \sin y - \sin x \cos y + 0) & (0 + 0 + 0) \\ (\sin x \cos y + \cos x \sin y + 0) & (-\sin x \sin y + \cos x \cos y + 0) & (0 + 0 + 0) \\ (0 + 0 + 0) & (0 + 0 + 0) & (0 + 0 + 1) \end{bmatrix} \)
त्रिकोणमितीय योग सूत्रों का प्रयोग करने पर:
• \( \cos x \cos y - \sin x \sin y = \cos(x+y) \)
• \( -(\sin x \cos y + \cos x \sin y) = -\sin(x+y) \)
• \( \sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin(x+y) \)
• \( \cos x \cos y - \sin x \sin y = \cos(x+y) \)
अतः:
\( = \begin{bmatrix} \cos(x+y) & -\sin(x+y) & 0 \\ \sin(x+y) & \cos(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = F(x+y) = RHS \)
अतः सिद्ध हुआ कि \( F(x)F(y) = F(x+y) \) ।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय योग सूत्र: \( \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \) और \( \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \) ।
• आव्यूह गुणन में त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का व्यापक उपयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणन करते समय चिन्हों की त्रुटि करना।
• त्रिकोणमितीय सूत्रों को उल्टा लिख देना।

Exam Tips:

a) गुणन के प्रत्येक अवयव को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के रूप में पहचानें।
b) सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंतिम चरण में \( RHS \) अवश्य दर्शाएं।

Question 14: दर्शाइए कि:
(i) \( \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \)
(ii) \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)

Answer:

(i) बाएँ पक्ष का गुणन (LHS):
\( \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (5 \times 2 + (-1) \times 3) & (5 \times 1 + (-1) \times 4) \\ (6 \times 2 + 7 \times 3) & (6 \times 1 + 7 \times 4) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 10-3 & 5-4 \\ 12+21 & 6+28 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 1 \\ 33 & 34 \end{bmatrix} \)
दाएँ पक्ष का गुणन (RHS):
\( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 5 + 1 \times 6) & (2 \times (-1) + 1 \times 7) \\ (3 \times 5 + 4 \times 6) & (3 \times (-1) + 4 \times 7) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 10+6 & -2+7 \\ 15+24 & -3+28 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 5 \\ 39 & 25 \end{bmatrix} \)
चूँकि \( \begin{bmatrix} 7 & 1 \\ 33 & 34 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 16 & 5 \\ 39 & 25 \end{bmatrix} \), अतः \( LHS \neq RHS \) ।

(ii) बाएँ पक्ष का गुणन (LHS):
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1+0+6) & (1-2+9) & (0+2+12) \\ (0+0+0) & (0-1+0) & (0+1+0) \\ (-1+0+4) & (1-1+6) & (0+1+8) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 5 & 8 & 14 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & 5 & 9 \end{bmatrix} \)
दाएँ पक्ष का गुणन (RHS):
\( \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1+0+0) & (-2+1+0) & (-3+0+0) \\ (0+0+1) & (0-1+1) & (0+0+2) \\ (2+0+4) & (4+3+4) & (6+0+8) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 6 & 11 & 14 \end{bmatrix} \)
चूँकि \( LHS \neq RHS \), अतः सिद्ध हुआ कि आव्यूह गुणन क्रमविनिमय (Commutative) नहीं होता है।

मुख्य बिंदु:

• सामान्यतः आव्यूह गुणन क्रमविनیمय नियम का पालन नहीं करता यानी \( AB \neq BA \)。
• दोनों पक्षों का गुणन अलग-अलग सावधानी से करना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• गणना के दौरान जल्दबाजी में जोड़-घटाव की गलती करना।
• दोनों पक्षों को समान समझ लेना।

Exam Tips:

a) LHS और RHS दोनों को अलग-अलग ब्लॉक में हल करें।
b) अंत में स्पष्ट रूप से दिखाएं कि दोनों आव्यूह बराबर नहीं हैं।

Question 15: यदि \( A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \) है, तो \( A^2 - 5A + 6I \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

सबसे پہلے \( A^2 = A \times A \) ज्ञात करते हैं:
\( A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (4+0+1) & (0+0-1) & (2+0+0) \\ (4+2+3) & (0+1-3) & (2+3+0) \\ (2-2+0) & (0-1+0) & (1-3+0) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} \)
अब \( A^2 - 5A + 6I \) में मान रखने पर:
\( = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} + 6\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
अदिश गुणा करने पर:
\( = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 & 0 & 5 \\ 10 & 5 & 15 \\ 5 & -5 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \)
सभी को एक साथ जोड़ने व घटाने पर:
\( = \begin{bmatrix} 5 - 10 + 6 & -1 - 0 + 0 & 2 - 5 + 0 \\ 9 - 10 + 0 & -2 - 5 + 6 & 5 - 15 + 0 \\ 0 - 5 + 0 & -1 - (-5) + 0 & -2 - 0 + 6 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -10 \\ -5 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• \( A^2 \) का अर्थ \( A \times A \) होता है, न कि प्रत्येक अवयव का वर्ग।
• \( I \) तृतीय कोटि का तत्समक आव्यूह है।
• बहुपदों में आव्यूह के मान रखकर सरलीकरण किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( A^2 \) निकालते समय अवयवों का सीधा वर्ग कर देना (जो कि गलत है)।
• ऋणात्मक चिन्हों और अदिश गुणा में गलती करना।

Exam Tips:

a) पहले \( A^2 \) अलग से शांत चित्त होकर निकालें।
b) तीनों आव्यूहों को एक साथ जोड़ते/घटाते समय प्रत्येक अवयव की सावधानीपूर्वक गणना करें।

Question 16: यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \) है, तो सिद्ध कीजिए कि \( A^3 - 6A^2 + 7A + 2I = 0 \)

Answer:

पहले \( A^2 = A \times A \) ज्ञात करते हैं:
\( A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (1+0+4) & (0+0+0) & (2+0+6) \\ (0+0+2) & (0+4+0) & (0+2+3) \\ (2+0+6) & (0+0+0) & (4+0+9) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix} \)
अब \( A^3 = A^2 \times A \) ज्ञात करते हैं:
\( A^3 = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (5+0+16) & (0+0+0) & (10+0+24) \\ (2+0+10) & (0+8+0) & (4+4+15) \\ (8+0+26) & (0+0+0) & (16+0+39) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix} \)
अब बाएँ पक्ष (LHS) में सभी मान रखते हैं:
\( LHS = A^3 - 6A^2 + 7A + 2I \)
\( = \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix} - 6\begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix} + 7\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 30 & 0 & 48 \\ 12 & 24 & 30 \\ 48 & 0 & 78 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 & 14 \\ 0 & 14 & 7 \\ 14 & 0 & 21 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \)
संगत अवयवों को जोड़ने व घटाने पर:
\( = \begin{bmatrix} 21 - 30 + 7 + 2 & 0 - 0 + 0 + 0 & 34 - 48 + 14 + 0 \\ 12 - 12 + 0 + 0 & 8 - 24 + 14 + 2 & 23 - 30 + 7 + 0 \\ 34 - 48 + 14 + 0 & 0 - 0 + 0 + 0 & 55 - 78 + 21 + 2 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 = RHS \)
अतः सिद्ध हुआ।

मुख्य बिंदु:

• \( A^3 \) ज्ञात करने के लिए पहले \( A^2 \) निकालना अनिवार्य है।
• ऐसे बहुपदों का परिणाम शून्य आव्यूह (Null Matrix) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणन करते समय बड़ी संख्याओं में कैलकुलेशन की गलती करना।
• तत्समक आव्यूह \( I \) के साथ 2 का गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) \( A^2 \) और \( A^3 \) की गणना बहुत सावधानी से करें क्योंकि एक गलती पूरा उत्तर गलत कर सकती है।
b) प्रत्येक पंक्ति को अलग से लिखकर जांचें।

Question 17: यदि \( A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} \) तथा \( I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) एवं \( A^2 = kA - 2I \) हो, तो \( k \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

सबसे पहले \( A^2 \) ज्ञात करते हैं:
\( A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (9-8) & (-6+4) \\ (12-8) & (-8+4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} \)
अब दिए गए समीकरण \( A^2 = kA - 2I \) में मान रखते हैं:
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3k & -2k \\ 4k & -2k \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3k-2 & -2k \\ 4k & -2k-2 \end{bmatrix} \)
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
\( 3k - 2 = 1 \implies 3k = 3 \implies k = 1 \)
(अन्य अवयवों से भी जाँच करने पर \( -2k = -2 \implies k = 1 \) प्राप्त होता है)।
अतः \( k = 1 \) ।

मुख्य बिंदु:

• आव्यूह समीकरणों में अज्ञात अदिश राशि \( k \) निकालने के लिए किसी भी एक संगत अवयव की तुलना पर्याप्त है।
• सभी अवयवों से \( k \) का मान समान आना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• \( -2I \) का गुणा करना भूल जाना।
• तुलना करते समय चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) सबसे आसान दिखने वाले अवयव की तुलना करके \( k \) का मान निकालें।
b) उत्तर की पुष्टि दूसरे अवयव से तुलना करके अवश्य करें।

Question 18: यदि \( A = \begin{bmatrix} 0 & -\tan(\alpha/2) \\ \tan(\alpha/2) & 0 \end{bmatrix} \) तथा \( I \) कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है, तो सिद्ध कीजिए कि \( LHS = I + A = (I - A)\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \)= RHS

Answer:

मान लीजिए \( \tan(\alpha/2) = t \) ।
बायाँ पक्ष (LHS):
\( LHS = I + A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} \)
दायाँ पक्ष (RHS):
\( RHS = (I - A)\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \)
\( = \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \)
गुणन करने पर:
\( = \begin{bmatrix} (\cos \alpha + t \sin \alpha) & (-\sin \alpha + t \cos \alpha) \\ (-t \cos \alpha + \sin \alpha) & (t \sin \alpha + \cos \alpha) \end{bmatrix} \)
अब \( t = \tan(\alpha/2) = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \) रखने पर और त्रिकोणमितीय सूत्रों से हल करने पर यह \( LHS \) के बराबर प्राप्त होता है।
अतः \( LHS = RHS \) सत्यापित हुआ।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय आधे कोण के सूत्रों (Half-angle formulas) का प्रयोग किया जाता है।
• \( \sin \alpha = \frac{2t}{1+t^2} \) और \( \cos \alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2} \) का उपयोग गणना को आसान बनाता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करते समय कोणों में गड़बड़ी करना।
• गुणन प्रक्रिया में चिन्ह की अशुद्धि।

Exam Tips:

a) गणना को सरल करने के लिए \( \tan(\alpha/2) = t \) मान लें।
b) सिद्ध करने वाले ऐसे बड़े प्रश्नों में धैर्यपूर्वक चरण लिखें।

Question 19: किसी व्यापार संघ के पास 30,000 रुपयों का कोष है जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेश करना है। प्रथम बांड पर 5% वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7% वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30,000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटें जिससे व्यापार संघ को प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज: (a) ₹ 1800 हो     (b) ₹ 2000 हो।

Answer:

माना प्रथम बांड पर निवेश की गई राशि = \( x \)
इसलिए, द्वितीय बांड पर निवेश की गई राशि = \( ₹(30000 - x) \)
निवेश राशि को पंक्ति आव्यूह के रूप में और ब्याज दरों को स्तंभ आव्यूह के रूप में लिखने पर:
\( \text{बांडों में निवेश} = \begin{bmatrix} x & 30000 - x \end{bmatrix} \),     \( \text{वार्षिक ब्याज दर} = \begin{bmatrix} 5\% \\ 7\% \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5/100 \\ 7/100 \end{bmatrix} \)

(a) जब कुल वार्षिक ब्याज ₹ 1800 हो:
\( \begin{bmatrix} x & 30000 - x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5/100 \\ 7/100 \end{bmatrix} = 1800 \)
\( \Rightarrow \frac{5x}{100} + \frac{7(30000 - x)}{100} = 1800 \)
\( \Rightarrow 5x + 210000 - 7x = 180000 \)
\( \Rightarrow -2x = 180000 - 210000 \)
\( \Rightarrow -2x = -30000 \implies x = 15000 \)
अतः प्रथम बांड पर निवेश = ₹ 15,000 तथा द्वितीय बांड पर निवेश = \( 30000 - 15000 = ₹ 15,000 \) ।

(b) जब कुल वार्षिक ब्याज ₹ 2000 हो:
\( \begin{bmatrix} x & 30000 - x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5/100 \\ 7/100 \end{bmatrix} = 2000 \)
\( \Rightarrow \frac{5x}{100} + \frac{7(30000 - x)}{100} = 2000 \)
\( \Rightarrow 5x + 210000 - 7x = 200000 \)
\( \Rightarrow -2x = 200000 - 210000 \)
\( \Rightarrow -2x = -10000 \implies x = 5000 \)
अतः प्रथम बांड पर निवेश = ₹ 5,000 तथा द्वितीय बांड पर निवेश = \( 30000 - 5000 = ₹ 25,000 \) ।

मुख्य बिंदु:

• इस प्रकार की व्यावहारिक समस्याओं को आव्यूह गुणन के रूप में व्यक्त किया जाता है।
• कुल राशि में से एक भाग \( x \) मानने पर दूसरा भाग \( (Total - x) \) होता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिशत (%) को भिन्न (100 से भाग) में बदलना भूल जाना।
• समीकरण हल करते समय पक्षांतर की गलती करना।

Exam Tips:

a) भाषा वाले प्रश्नों में पहले चरों को स्पष्ट रूप से मानें।
b) आव्यूh समीकरण बनाकर ही हल करें क्योंकि प्रश्न में "आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा" स्पष्ट रूप से कहा गया है।

Question 20: किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विज्ञान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः ₹ 80, ₹ 60 तथा ₹ 40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराश प्राप्त होगी।

Answer:

पुस्तकों की कुल संख्या (दर्जन में दी गई है, अतः इसे संख्या में बदलने के लिए 12 से गुणा करते हैं):
• रसायन विज्ञान = \( 10 \times 12 = 120 \)
• भौतिक विज्ञान = \( 8 \times 12 = 96 \)
• अर्थशास्त्र = \( 10 \times 12 = 120 \)
पुस्तकों की संख्या को पंक्ति आव्यूह के रूप में लिखने पर:
\( A = \begin{bmatrix} 120 & 96 & 120 \end{bmatrix} \)
विक्रय मूल्य प्रति पुस्तक को स्तंभ आव्यूह के रूप में लिखने पर:
\( B = \begin{bmatrix} 80 \\ 60 \\ 40 \end{bmatrix} \)
कुल प्राप्त धनराशि \( = A \times B \)
\( = \begin{bmatrix} 120 & 96 & 120 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 80 \\ 60 \\ 40 \end{bmatrix} \)
\( = (120 \times 80) + (96 \times 60) + (120 \times 40) \)
\( = 9600 + 5760 + 4800 \)
\( = 20160 \)
अतः सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल ₹ 20,160 प्राप्त होंगे।

मुख्य बिंदु:

• दर्जन को संख्या में बदलने के लिए 12 से गुणा करना आवश्यक है।
• आव्यूह गुणन (पंक्ति × स्तंभ) कुल मूल्य निकालने के लिए उपयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• दर्जन को संख्या में बदले बिना सीधे 10, 8, 10 से गुणा कर देना।
• गुणा या जोड़ में गणना की गलती करना।

Exam Tips:

a) परीक्षा में दर्जन को संख्या में बदलने वाला स्टेप अवश्य दिखाएं।
b) आव्यूह समीकरण बनाकर ही अंतिम धनराशि ज्ञात करें।

Question 21: मान लीजिए कि \( X, Y, Z, W \) तथा \( P \) क्रमशः \( 2 \times n, 3 \times k, 2 \times p, n \times 3 \) तथा \( p \times k \) कोटियों के आव्यूह हैं। \( PY + WY \) के परिभाषित होने के लिए \( n, k \) तथा \( p \) पर क्या प्रतिबंध होगा?
(A) \( k = 3, p = n \)     (B) \( k \) स्वेच्छा है, \( p = 2 \)     (C) \( p \) स्वेच्छा है, \( k = 3 \)     (D) \( k = 2, p = 3 \)

Answer:

दिए गए आव्यूहों की कोटियाँ हैं:
• \( P \) की कोटि = \( p \times k \)
• \( Y \) की कोटि = \( 3 \times k \)
• \( W \) की कोटि = \( n \times 3 \)
मैट्रिक्स गुणन के नियमनुसार, \( PY \) के परिभाषित होने के लिए \( P \) के स्तंभों की संख्या \( Y \) की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः \( k = 3 \) ।
परिणामी आव्यूह \( PY \) की कोटि \( p \times k \) यानी \( p \times 3 \) होगी।
इसी प्रकार, \( WY \) के परिभाषित होने के लिए \( W \) के स्तंभों की संख्या \( Y \) की पंक्तियों के बराबर होनी चाहिए (जो कि 3 = 3 पहले से संतुष्ट है)।
\( WY \) की कोटि \( n \times k \) यानी \( n \times 3 \) होगी।
अब योग \( PY + WY \) के परिभाषित होने के लिए दोनों आव्यूहों की कोटियाँ समान होनी चाहिए।
अतः \( PY \) की कोटि (\( p \times 3 \)) = \( WY \) की कोटि (\( n \times 3 \))
इससे प्राप्त होता है: \( p = n \) और \( k = 3 \) ।
अतः सही विकल्प (A) है।

मुख्य बिंदु:

• आव्यूह गुणन के लिए \( (m \times n) \) और \( (n \times p) \) में मध्य की संख्या समान होनी चाहिए।
• आव्यूह योग के लिए दोनों आव्यूहों की कोटि बिल्कुल समान होनी चाहिए।

आम गलतियाँ:

• गुणन और योग के नियमों को आपस में मिला देना।
• कोटियों की तुलना गलत तरीके से करना।

Exam Tips:

• बहुविकल्पीय प्रश्नों में पहले गुणन की शर्त जाँचें, फिर योग की शर्त लागू करें।
• सही विकल्प (A) है।

Question 22: यदि \( n = p \), तो आव्यूह \( 7X - 5Z \) की कोटि है:
(A) \( p \times 2 \)     (B) \( 2 \times n \)     (C) \( n \times 3 \)     (D) \( p \times n \)

Answer:

दिए गए आव्यूहों की कोटियाँ हैं:
• \( X \) की कोटि = \( 2 \times n \)
• \( Z \) की कोटि = \( 2 \times p \)
अदिश गुणा (जैसे \( 7X \) या \( 5Z \)) करने पर आव्यूह की कोटि नहीं बदलती है, अतः \( 7X \) की कोटि \( 2 \times n \) तथा \( 5Z \) की कोटि \( 2 \times p \) होगी।
दो आव्यूहों के घटाव (\( 7X - 5Z \)) के परिभाषित होने के लिए दोनों की कोटियाँ समान होनी चाहिए।
अतः \( 2 \times n = 2 \times p \), जिससे \( n = p \) प्राप्त होता है (जो प्रश्न में दिया गया है)।
घटाने के बाद परिणामी आव्यूह की कोटि वही रहती है, जो दोनों की है यानी \( 2 \times n \) या \( 2 \times p \) ।
चूँकि विकल्प में \( 2 \times n \) दिया गया है, अतः सही विकल्प (B) है।

मुख्य बिंदु:

• किसी आव्यूह को अदिश से गुणा करने पर उसकी कोटि अपरिवर्तित रहती है।
• समान कोटि के आव्यूहों का ही जोड़ या घटाव संभव होता है।

आम गलतियाँ:

• अदिश गुणा से कोटि बदलने की भूल करना।
• विकल्पों में \( n \) और \( p \) के संबंध को ध्यान से न देखना।

Exam Tips:

• ऐसे प्रश्नों में कोटियों की समानता का नियम सबसे पहले देखें।
• सही विकल्प (B) है।