NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 03 Matrices (आव्यूह) Exercise 3.1 in Hindi

Question 1: आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17 \end{bmatrix} \) के लिए ज्ञात कीजिए:
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव \( a_{13}, a_{21}, a_{33}, a_{24}, a_{23} \)

Answer:

(i) आव्यूह की कोटि = पंक्तियों की संख्या \(\times\) स्तंभों की संख्या
\( = 3 \times 4 \)
(ii) अवयवों की संख्या = \( 3 \times 4 = 12 \)
(iii) दिए गए आव्यूह के अनुसार अवयव निम्नलिखित हैं:
\( a_{13} = 19 \)
\( a_{21} = 35 \)
\( a_{33} = -5 \)
\( a_{24} = 12 \)
\( a_{23} = \frac{5}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• आव्यूह की कोटि को हमेशा \( m \times n \) के रूप में लिखा जाता है जहाँ \( m \) पंक्तियाँ और \( n \) स्तंभ हैं。
• अवयवों की कुल संख्या कोटि के दोनों गुणांकों के गुणनफल के बराबर होती है。
• \( a_{ij} \) का अर्थ है \( i \) वीं पंक्ति और \( j \) वें स्तंभ का अवयव।

आम गलतियाँ:

• कोटि लिखते समय पहले स्तंभ और बाद में पंक्ति लिखना।
• अवयव के सूचकांक (indices) को गलत पढ़ना।
• भिन्नात्मक अवयव को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) पंक्ति और स्तंभ की गिनती हमेशा ध्यानपूर्वक करें।
b) अवयव पहचानते समय पंक्ति को पहले और स्तंभ को बाद में देखें।
c) सभी उप-प्रश्नों के उत्तर अलग-अलग स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 2: यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?

Answer:

आव्यूह में कुल अवयव = \( 24 \)
संभव कोटियाँ वे युग्म (pairs) होंगी जिनका गुणनफल 24 हो:
\( 1 \times 24, 2 \times 12, 3 \times 8, 4 \times 6, 6 \times 4, 8 \times 3, 12 \times 2 \) और \( 24 \times 1 \)
यदि इसमें 13 अवयव हों, तो चूँकि 13 एक अभाज्य संख्या है, संभव कोटियाँ होंगी:
\( 1 \times 13 \) और \( 13 \times 1 \)

मुख्य बिंदु:

• किसी आव्यूह की संभव कोटियाँ ज्ञात करने के लिए कुल अवयवों के सभी संभव गुणन खंड युग्म (factors pairs) निकाले जाते हैं。
• अभाज्य संख्या (prime number) के अवयवों वाले आव्यूह की केवल दो ही संभव कोटियाँ होती हैं।

आम गलतियाँ:

• उल्टे क्रम के युग्मों (जैसे \( 4 \times 6 \) और \( 6 \times 4 \)) को एक ही मान लेना, जबकि आव्यूह में वे भिन्न कोटियाँ दर्शाते हैं।
• गुणनखंड बनाते समय कुछ संभव युग्म छोड़ देना।

Exam Tips:

a) गुणनखंडों को क्रमित युग्मों के रूप में व्यवस्थित करें ताकि कोई छूटे नहीं।
b) अभाज्य संख्या के लिए नियम को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) दोनों स्थितियों के उत्तर अलग-अलग पैराग्राफ में लिखें।

Question 3: यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?

Answer:

आव्यूह में कुल अवयव = \( 18 \)
संभव कोटियाँ वे युग्म हैं जिनका गुणनफल 18 हो:
\( 1 \times 18, 2 \times 9, 3 \times 6, 6 \times 3, 9 \times 2 \) और \( 18 \times 1 \)
यदि इसमें 5 अवयव हों (चूँकि 5 एक अभाज्य संख्या है), तो संभव कोटियाँ होंगी:
\( 1 \times 5 \) और \( 5 \times 1 \)

मुख्य बिंदु:

• 18 के गुणनखंड \( 1, 2, 3, 6, 9, 18 \) हैं जिनसे सभी संभव कोटियाँ बनती हैं।
• 5 एक अभाज्य संख्या है जिसके केवल दो गुणनखंड 1 और 5 हैं।

आम गलतियाँ:

• गुणन खंडों के जोड़े बनाते समय गलती करना।
• भाषा को ठीक से न लिखना।

Exam Tips:

a) सभी संभव जोड़ों को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) प्रश्न के दोनों भागों का उत्तर दें।
c) अंतिम उत्तर को स्पष्ट रूप से हाईलाइट करें।

Question 4: एक \( 2 \times 2 \) आव्यूह \( A = [a_{ij}] \) की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं:
(i) \( a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2} \)
(ii) \( a_{ij} = \frac{i}{j} \)
(iii) \( a_{ij} = \frac{(i+2j)^2}{2} \):

Answer:

(i) यहाँ \( a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2} \)
एक \( 2 \times 2 \) आव्यूह के अवयव \( a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \) हैं।
\( a_{11} = \frac{(1+1)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( a_{12} = \frac{(1+2)^2}{2} = \frac{9}{2} \)
\( a_{21} = \frac{(2+1)^2}{2} = \frac{9}{2} \)
\( a_{22} = \frac{(2+2)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
अतः आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2} & 8 \end{bmatrix} \)

(ii) यहाँ \( a_{ij} = \frac{i}{j} \)
\( a_{11} = \frac{1}{1} = 1 \)
\( a_{12} = \frac{1}{2} \)
\( a_{21} = \frac{2}{1} = 2 \)
\( a_{22} = \frac{2}{2} = 1 \)
अतः आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \)

(iii) यहाँ \( a_{ij} = \frac{(i+2j)^2}{2} \)
\( a_{11} = \frac{(1+2(1))^2}{2} = \frac{9}{2} \)
\( a_{12} = \frac{(1+2(2))^2}{2} = \frac{25}{2} \)
\( a_{21} = \frac{(2+2(1))^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
\( a_{22} = \frac{(2+2(2))^2}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)
अतः आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} & \frac{25}{2} \\ 8 & 18 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• \( 2 \times 2 \) आव्यूह में 4 अवयव होते हैं: \( a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \)。
• दिए गए सूत्र में \( i \) और \( j \) के मान रखकर प्रत्येक अवयव की गणना की जाती है。
• अंत में सभी अवयवों को मानक आव्यूह रूप में व्यवस्थित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• वर्ग निकालते समय या जोड़ते समय गणना की त्रुटि करना।
• \( i \) और \( j \) के मानों को आपस में बदल देना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक अवयव का मान अलग-अलग चरणबद्ध तरीके से निकालें।
b) भिन्नों को सरल करने में सावधानी बरतें।
c) अंत में आव्यूह के कोष्ठक ठीक से बनाएँ।

Question 5: एक \( 3 \times 4 \) आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं:
(i) \( a_{ij} = \frac{1}{2}|-3i + j| \)
(ii) \( a_{ij} = 2i - j \):

Answer:

(i) यहाँ \( a_{ij} = \frac{1}{2}|-3i + j| \)
\( 3 \times 4 \) आव्यूह में 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ होते हैं।
\( a_{11} = \frac{1}{2}|-3(1) + 1| = \frac{1}{2}|-2| = 1 \)
\( a_{12} = \frac{1}{2}|-3(1) + 2| = \frac{1}{2}|-1| = \frac{1}{2} \)
\( a_{13} = \frac{1}{2}|-3(1) + 3| = 0 \)
\( a_{14} = \frac{1}{2}|-3(1) + 4| = \frac{1}{2} \)
\( a_{21} = \frac{1}{2}|-3(2) + 1| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{5}{2} \)
\( a_{22} = \frac{1}{2}|-3(2) + 2| = \frac{1}{2}|-4| = 2 \)
\( a_{23} = \frac{1}{2}|-3(2) + 3| = \frac{1}{2}|-3| = \frac{3}{2} \)
\( a_{24} = \frac{1}{2}|-3(2) + 4| = \frac{1}{2}|-2| = 1 \)
\( a_{31} = \frac{1}{2}|-3(3) + 1| = \frac{1}{2}|-8| = 4 \)
\( a_{32} = \frac{1}{2}|-3(3) + 2| = \frac{1}{2}|-7| = \frac{7}{2} \)
\( a_{33} = \frac{1}{2}|-3(3) + 3| = \frac{1}{2}|-6| = 3 \)
\( a_{34} = \frac{1}{2}|-3(3) + 4| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{5}{2} \)
अतः आव्यूह \( = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \\ 4 & \frac{7}{2} & 3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix} \)

(ii) यहाँ \( a_{ij} = 2i - j \)
\( a_{11} = 2(1) - 1 = 1, \quad a_{12} = 2(1) - 2 = 0, \quad a_{13} = 2(1) - 3 = -1, \quad a_{14} = 2(1) - 4 = -2 \)
\( a_{21} = 2(2) - 1 = 3, \quad a_{22} = 2(2) - 2 = 2, \quad a_{23} = 2(2) - 3 = 1, \quad a_{24} = 2(2) - 4 = 0 \)
\( a_{31} = 2(3) - 1 = 5, \quad a_{32} = 2(3) - 2 = 4, \quad a_{33} = 2(3) - 3 = 3, \quad a_{34} = 2(3) - 4 = 2 \)
अतः आव्यूह \( = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• \( 3 \times 4 \) आव्यूह में कुल 12 अवयव होते हैं।
• मापांक (modulus) फलन \( |-x| \) हमेशा धनात्मक मान देता है।
• पंक्ति और स्तंभ की स्थिति के अनुसार मानों की गणना सावधानी से करें।

आम गलतियाँ:

• मापांक चिह्न को भूल जाना या ऋनात्मक मान ही छोड़ देना।
• 12 अवयवों की गणना में कोई पद छोड़ देना।

Exam Tips:

a) अवयवों को पंक्तिवार (row-wise) निकालना आसान रहता है।
b) मापांक के भीतर की गणना को पहले कोष्ठक में हल करें।
c) अंतिम आव्यूह में सभी 12 अवयवों का सही स्थान सुनिश्चित करें।

Question 6: निम्नलिखित समीकरणों से \( x, y \) तथा \( z \) के मान ज्ञात कीजिए:
(i) \( \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ x & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y & z \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \)
(ii) \( \begin{bmatrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} \)
(iii) \( \begin{bmatrix} x+y+z \\ x+z \\ y+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} \):

Answer:

(i) समान आव्यूहों की परिभाषा से संगत अवयव समान होते हैं:
\( y = 4 \)
\( z = 3 \)
\( x = 1 \)

(ii) संगत अवयवों की तुलना करने पर:
\( x + y = 6 \dots (1) \)
\( 5 + z = 5 \implies z = 0 \)
\( xy = 8 \dots (2) \)
समीकरण (1) से \( y = 6 - x \), इसे (2) में रखने पर:
\( x(6 - x) = 8 \implies 6x - x^2 = 8 \implies x^2 - 6x + 8 = 0 \)
\( (x - 4)(x - 2) = 0 \implies x = 4 \) या \( x = 2 \)
यदि \( x = 4 \) तो \( y = 2 \), और यदि \( x = 2 \) तो \( y = 4 \).
अतः \( x = 4, y = 2, z = 0 \) या \( x = 2, y = 4, z = 0 \).

(iii) संगत अवयवों की तुलना करने पर:
\( x + y + z = 9 \dots (1) \)
\( x + z = 5 \dots (2) \)
\( y + z = 7 \dots (3) \)
समीकरण (2) का मान (1) में रखने पर:
\( 5 + y = 9 \implies y = 4 \)
\( y \) का मान (3) में रखने पर:
\( 4 + z = 7 \implies z = 3 \)
अब \( y \) और \( z \) के मान (1) में रखने पर या \( z \) का मान (2) में रखने पर:
\( x + 3 = 5 \implies x = 2 \)
अतः \( x = 2, y = 4, z = 3 \).

मुख्य बिंदु:

• दो आव्यूह समान होते हैं यदि उनकी कोटि समान हो और उनके संगत अवयव बराबर हों।
• युगपत् समीकरणों (simultaneous equations) को प्रतिस्थापन या विलोपन विधि से हल किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• संगत अवयवों की तुलना में गलती करना।
• द्विघात समीकरण के दो संभव मानों में से एक को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) तुलना करते समय पंक्ति और स्तंभ का मिलान सावधानी से करें।
b) समीकरणों को नाम देकर क्रमानुसार हल करें।
c) सभी संभव मानों को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 7: समीकरण \( \begin{bmatrix} a-b & 2a+c \\ 2a-b & 3c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} \) से \( a, b, c \) तथा \( d \) के मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

समान आव्यूहों की परिभाषा से संगत अवयव समान होते हैं:
\( a - b = -1 \dots (1) \)
\( 2a - b = 0 \dots (2) \)
\( 2a + c = 5 \dots (3) \)
\( 3c + d = 13 \dots (4) \)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर:
समीकरण (2) से \( b = 2a \), इसे (1) में रखने पर:
\( a - 2a = -1 \implies -a = -1 \implies a = 1 \)
अतः \( b = 2(1) = 2 \)
अब \( a \) का मान समीकरण (3) में रखने पर:
\( 2(1) + c = 5 \implies 2 + c = 5 \implies c = 3 \)
अब \( c \) का मान समीकरण (4) में रखने पर:
\( 3(3) + d = 13 \implies 9 + d = 13 \implies d = 4 \)
अतः \( a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 \)

मुख्य बिंदु:

• संगत अवयवों की तुलना करके चार समीकरण प्राप्त होते हैं।
• एक चर का मान मिलने पर उसे अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करके बाकी चर ज्ञात किए जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• समीकरणों को हल करते समय चिह्नों की गलती करना।
• गलत समीकरण में मान प्रतिस्थापित करना।

Exam Tips:

a) समीकरणों को क्रम से \( (1), (2), (3), (4) \) अंकित करें।
b) आसान समीकरण से शुरुआत करें।
c) उत्तर की जाँच अंत में किसी समीकरण में मान रखकर कर सकते हैं।

Question 8: \( A = [a_{ij}]_{m \times n} \) एक वर्ग आव्यूह है यदि
(A) \( m < n \)
(B) \( m > n \)
(C) \( m = n \)
(D) इनमें से कोई नहीं

Answer:

वर्ग आव्यूह की परिभाषा के अनुसार, जिस आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है, उसे वर्ग आव्यूह कहते हैं।
यहाँ पंक्तियों की संख्या = \( m \) और स्तंभों की संख्या = \( n \) है।
अतः \( m = n \) ।
इसलिए विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• वर्ग आव्यूह के लिए \( m = n \) होना आवश्यक है।
• यदि \( m \neq n \) हो, तो वह आयताकार आव्यूह कहलाता है।

आम गलतियाँ:

• \( m < n \) या \( m > n \) को वर्ग आव्यूह समझ लेना।

Exam Tips:

a) परिभाषाओं को अच्छे से याद रखें।
b) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सही विकल्प को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 9: \( x \) तथा \( y \) के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूह के निम्नलिखित युग्म समान हैं?
\( \begin{bmatrix} 3x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3x \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{bmatrix} \)
(A) \( x = -\frac{1}{3}, y = 7 \)
(B) ज्ञात करना संभव नहीं है
(C) \( x = 7, y = -\frac{2}{3} \)
(D) \( x = -\frac{1}{3}, y = -\frac{2}{3} \)

Answer:

यदि दोनों आव्यूह समान हैं तो उनके संगत अवयव भी समान होंगे:
\( 3x + 7 = 0 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3} \)
\( 5 = y - 2 \implies y = 5 + 2 = 7 \)
\( y + 1 = 8 \implies y = 8 - 1 = 7 \)
\( 2 - 3x = 4 \implies -3x = 4 - 2 = 2 \implies x = -\frac{2}{3} \)
चूँकि \( x \) के दो अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं: \( x = -\frac{7}{3} \) और \( x = -\frac{2}{3} \), जो कि संभव नहीं है (एक ही आव्यूह में एक चर के दो भिन्न मान नहीं हो सकते)।
अतः \( x \) का कोई अद्वितीय मान नहीं है।
इसलिए विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• आव्यूह की समानता के लिए सभी संगत अवयव संतुष्ट होने चाहिए।
• यदि एक ही चर के अलग-अलग समीकरणों से भिन्न मान आएं, तो आव्यूह समान नहीं हो सकते।

आम गलतियाँ:

• केवल एक समीकरण से \( x \) का मान निकालकर उत्तर चुन लेना और दूसरे समीकरण की जाँच न करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में सभी संगत अवयवों की तुलना करके चर के मानों की जाँच अवश्य करें।
b) यदि मान विरोधाभासी (contradictory) हों, तो "ज्ञात करना संभव नहीं है" विकल्प चुनें।

Question 10: \( 3 \times 3 \) कोटि के ऐसे आव्यूह की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512

Answer:

\( 3 \times 3 \) कोटि के आव्यूह में अवयवों की कुल संख्या = \( 3 \times 3 = 9 \)
प्रत्येक प्रविष्टि (entry) के लिए 2 विकल्प हैं (या तो 0 या 1)।
चूँकि आव्यूह में 9 स्वतंत्र अवयव होते हैं और प्रत्येक के लिए 2 विकल्प हैं, इसलिए कुल संभव आव्यूह होंगे:
\( 2^9 = 512 \)
अतः विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• \( 3 \times 3 \) आव्यूह में कुल 9 प्रविष्टियाँ (entries) होती हैं।
• क्रमचय और संचय (Permutations) के सिद्धांत के अनुसार, यदि हर स्थान पर भरने के \( k \) तरीके हों और कुल \( n \) स्थान हों, तो कुल तरीके \( k^n \) होते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( 3 \times 2 = 6 \) या \( 3^2 = 9 \) जैसी गलत गणना करना।
• घात में कुल अवयवों की संख्या के बजाय कोटि लिख देना।

Exam Tips:

a) आव्यूह के कुल अवयव निकालें (\( m \times n \))।
b) प्रविष्टियों की संख्या को आधार (base) तथा कुल अवयवों को घात (exponent) के रूप में रखें।
c) \( 2^9 \) का मान ठीक से गणना करके 512 निकालें।