NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 02 Inverse Trigonometric Functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए: \( \cos^{-1}\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \cos^{-1}\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \cos^{-1} \) की मुख्य शाखा का परिसर \( [0, \pi] \) होता है।
\( \cos^{-1}\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right) = \cos^{-1}\left[\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right)\right] \)
\( = \cos^{-1}\left(\cos\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} \in [0, \pi] \)
इसलिए, \( \cos^{-1}\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के मुख्य मान शाखाओं की जानकारी होना आवश्यक है।
• \( \cos(2\pi + \theta) = \cos\theta \) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग किया गया है।
• परिणाम दी गई मुख्य शाखा के अंतराल में होना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• सीधे \( \cos^{-1}(\cos x) = x \) लिखकर उत्तर \( \frac{13\pi}{6} \) लिख देना जो कि गलत है।
• मुख्य शाखा के परिसर को ध्यान में न रखना।
• चतुर्थांश नियमों में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) कोण को मुख्य मान शाखा के अंतर्गत लाने के लिए \( 2\pi, \pi \) आदि का उचित संयोजन बनाएं।
b) अंतिम उत्तर लिखने से पहले जाँच लें कि वह फलन के परिसर में है या नहीं।
c) प्रत्येक चरण में प्रयुक्त सूत्र को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 2: निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\tan \frac{7\pi}{6}\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan^{-1}\left(\tan \frac{7\pi}{6}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \tan^{-1} \) की मुख्य शाखा का परिसर \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) होता है।
\( \tan^{-1}\left(\tan \frac{7\pi}{6}\right) = \tan^{-1}\left[\tan\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right)\right] \)
\( = \tan^{-1}\left(\tan\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan(\pi + \theta) = \tan\theta \) का प्रयोग किया गया है।
• \( \tan^{-1} \) का परिसर खुला अंतराल \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) है।
• कोण को इस प्रकार तोड़ा जाता है कि वह मुख्य परिसर में आ जाए।

आम गलतियाँ:

• सीधे \( \frac{7\pi}{6} \) उत्तर लिख देना।
• परिसर के खुले और बंद अंतराल में अंतर न समझना।

Exam Tips:

a) \( \tan(\pi + \theta) \) और \( \tan(2\pi - \theta) \) के नियमों को अच्छी तरह याद रखें।
b) चरण दर चरण हल करके ही अंतिम उत्तर तक पहुँचें।
c) परीक्षा में सूत्र को साइड में अवश्य लिखें।

Question 3: सिद्ध कीजिए: \( 2\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) \)

Answer:

LHS = \( 2\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \)
चूंकि \( \sin^{-1}x = \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) \)
\( = 2\tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}}\right) \)
\( = 2\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \)
चूंकि \( 2\tan^{-1}x = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{2 \times \frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{3}{2} \times \frac{16}{7}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) = \) RHS

मुख्य बिंदु:

• \( \sin^{-1} \) को \( \tan^{-1} \) में बदलने के सूत्र का प्रयोग।
• \( 2\tan^{-1}x \) को \( \tan^{-1} \) में बदलने की सर्वसमिका।
• भिन्नों का सरलतीकरण और हर का परिमेयकरण।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल निकालते समय चिह्न या गणना की गलती करना।
• \( 2\tan^{-1}x \) के सूत्र में मान रखते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय अनुपातों के परिवर्तन वाले सूत्रों को याद रखें।
b) हर चरण में कोष्ठकों का सही उपयोग करें ताकि गणना स्पष्ट रहे।
c) अंत में RHS लिखकर सिद्ध होना अवश्य दर्शाएँ।

Question 4: सिद्ध कीजिए: \( \sin^{-1}\left(\frac{8}{17}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{77}{36}\right) \)

Answer:

LHS = \( \sin^{-1}\left(\frac{8}{17}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \)
चूंकि \( \sin^{-1}x = \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{17}}{\sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2}}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{8}{15}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \)
चूंकि \( \tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{15} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{8}{15} \times \frac{3}{4}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{32 + 45}{60}}{\frac{60 - 24}{60}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{77}{36}\right) = \) RHS

मुख्य बिंदु:

• दोनों \( \sin^{-1} \) पदों को पहले \( \tan^{-1} \) में बदला गया।
• \( \tan^{-1}x + \tan^{-1}y \) के योग सूत्र का प्रयोग किया गया।
• भिन्नों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की सही गणना।

आम गलतियाँ:

• \( \sin^{-1} \) से \( \tan^{-1} \) में बदलते समय आधार और लंब की अदला-बदली करना।
• हर के गुणा में गलती करना।

Exam Tips:

a) यदि प्रश्न में \( \sin^{-1} \) का योग दिया हो और सिद्ध \( \tan^{-1} \) में करना हो, तो शुरुआत में ही सबको \( \tan^{-1} \) में बदल लेना आसान होता है।
b) गणनाओं को साफ-सुथरा लिखें।
c) अंत में 'LHS = RHS' लिखना न भूलें।

Question 5: सिद्ध कीजिए: \( \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{33}{65}\right) \)

Answer:

LHS = \( \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) \)
चूंकि \( \cos^{-1}x + \cos^{-1}y = \cos^{-1}\left(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) \)
\( = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5} \times \frac{12}{13} - \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2}\right) \)
\( = \cos^{-1}\left(\frac{48}{65} - \left(\frac{3}{5}\right) \times \left(\frac{5}{13}\right)\right) \)
\( = \cos^{-1}\left(\frac{48}{65} - \frac{15}{65}\right) \)
\( = \cos^{-1}\left(\frac{48 - 15}{65}\right) \)
\( = \cos^{-1}\left(\frac{33}{65}\right) = \) RHS

मुख्य बिंदु:

• \( \cos^{-1}x + \cos^{-1}y \) के मानक सूत्र का प्रयोग।
• वर्गमूल पदों का सटीक मान निकालना।
• समान हर वाले भिन्नों को आसानी से घटाना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos^{-1} \) के योग सूत्र में बीच के चिह्न (ऋण) को भूलकर धन लिख देना।
• वर्गमूल के अंदर के मानों की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) \( \cos^{-1} \) के योग और अंतर के सूत्रों को सावधानी से याद रखें।
b) कटने वाली संख्याओं को तुरंत न काटकर हर समान रखने का प्रयास करें।
c) परीक्षा में सूत्र को कोष्ठक में लिखकर दर्शाएँ।

Question 6: सिद्ध कीजिए: \( \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{56}{65}\right) \)

Answer:

LHS = \( \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \)
चूंकि \( \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) \) और \( \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \)
चूंकि \( \tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{5}{12} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{5}{12} \times \frac{3}{4}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{20+36}{48}}{\frac{48-15}{48}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{56}{33}\right) \)
अब, \( \tan^{-1}\left(\frac{56}{33}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{56}{\sqrt{56^2 + 33^2}}\right) \)
\( = \sin^{-1}\left(\frac{56}{\sqrt{3136 + 1089}}\right) \)
\( = \sin^{-1}\left(\frac{56}{\sqrt{4225}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{56}{65}\right) = \) RHS

मुख्य बिंदु:

• विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुപാतों को एक सर्वसमान अनुपात (\( \tan^{-1} \)) में बदलना।
• \( \tan^{-1} \) के योग सूत्र का प्रयोग।
• अंत में आवश्यकतानुसार \( \tan^{-1} \) को \( \sin^{-1} \) में बदलना।

आम गलतियाँ:

• अंत में RHS के अनुसार त्रिकोणमितीय अनुपात न बदलना।
• बड़ी संख्याओं के वर्गमूल निकालते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में सभी पदों को \( \tan^{-1} \) में बदलना सबसे सरल विधि है।
b) अंतिम चरण में RHS को देखकर ही \( \tan^{-1} \) को \( \sin^{-1} \) या \( \cos^{-1} \) में बदलें।
c) गणना के हर चरण को स्पष्ट रूप से दिखाएँ।

Question 7: सिद्ध कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\frac{63}{16}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \)

Answer:

RHS = \( \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \)
इनको \( \tan^{-1} \) में बदलने पर:
\( \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) \)
\( \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \)
अतः RHS = \( \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \)
चूंकि \( \tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{5}{12} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{15 + 48}{36}}{1 - \frac{20}{36}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{63}{36}}{\frac{16}{36}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{63}{16}\right) = \) LHS

मुख्य बिंदु:

• RHS से शुरुआत करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है।
• \( \sin^{-1} \) और \( \cos^{-1} \) दोनों को \( \tan^{-1} \) में बदलना।
• \( \tan^{-1} \) के योग सूत्र का सही अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \) को \( \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \) लिख देना (सही मान \( \frac{4}{3} \) है)।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने में गलती करना।

Exam Tips:

a) जिस पक्ष को हल करना आसान लगे (जैसे RHS), उधर से ही हल शुरू करें।
b) समकोण त्रिभुज बनाकर अनुपातों की जाँच कर लें।
c) अंत में 'LHS = RHS' अवश्य लिखें।

Question 8: सिद्ध कीजिए: \( \tan^{-1}\sqrt{x} = \frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right), x \in [0, 1] \)

Answer:

RHS = \( \frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \)
माना \( \sqrt{x} = \theta \), तब \( x = \theta^2 \)
या RHS = \( \frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{1-(\sqrt{x})^2}{1+(\sqrt{x})^2}\right) \)
चूंकि \( 2\tan^{-1}t = \cos^{-1}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \)
अतः \( \cos^{-1}\left(\frac{1-(\sqrt{x})^2}{1+(\sqrt{x})^2}\right) = 2\tan^{-1}(\sqrt{x}) \)
इसलिए, RHS = \( \frac{1}{2} \times 2\tan^{-1}(\sqrt{x}) \)
\( = \tan^{-1}\sqrt{x} = \) LHS

मुख्य बिंदु:

• \( 2\tan^{-1}t \) का \( \cos^{-1} \) के पदों में सूत्र: \( \cos^{-1}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \)
• \( x \) को \( (\sqrt{x})^2 \) के रूप में देखना।
• दिए गए अंतराल \( [0, 1] \) की शर्त का ध्यान रखना।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{2} \) गुणांक को छोड़ देना।
• सूत्र का उल्टा प्रयोग करने में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन (substitution) विधि का प्रयोग करें।
b) सूत्र को साइड में अवश्य दर्शाएँ।
c) परीक्षा में RHS से शुरुआत करना यहाँ अधिक सरल रहेगा।

Question 9: सिद्ध कीजिए: \( \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos^{-1}x, x \in \left[-\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right] \)

Answer:

LHS = \( \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}\right) \)
माना \( x = \cos 2y \), तब \( 2y = \cos^{-1}x \implies y = \frac{1}{2}\cos^{-1}x \)
LHS = \( \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2y} + \sqrt{1-\cos 2y}}{\sqrt{1+\cos 2y} - \sqrt{1-\cos 2y}}\right) \)
चूंकि \( 1+\cos 2y = 2\cos^2 y \) तथा \( 1-\cos 2y = 2\sin^2 y \)
\( = \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\cos^2 y} + \sqrt{2\sin^2 y}}{\sqrt{2\cos^2 y} - \sqrt{2\sin^2 y}}\right) \)
अंश और हर को \( \sqrt{2}\cos y \) से भाग देने पर:
\( = \cot^{-1}\left(\frac{1 + \tan y}{1 - \tan y}\right) \)
चूंकि \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + y\right) = \frac{1+\tan y}{1-\tan y} \)
\( = \cot^{-1}\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + y\right)\right] \)
\( = \cot^{-1}\left[\cot\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} + y\right)\right)\right] \)
\( = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - y = \frac{\pi}{4} - y \)
\( = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos^{-1}x = \) RHS

मुख्य बिंदु:

• उचित प्रतिस्थापन \( x = \cos 2y \) का चयन।
• त्रिकोणमितीय अर्ध-कोण और योग सूत्रों का प्रयोग।
• \( \tan \) को \( \cot \) में बदलने के लिए \( \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \) का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल से बाहर निकालते समय त्रिकोणमितीय अनुपातों के चिह्नों की उपेक्षा करना।
• प्रतिस्थापन के बाद अंतिम चरण में वापस \( x \) के पदों में मान न रखना।

Exam Tips:

a) ऐसे बड़े व्यंजकों वाले प्रश्नों में \( x = \cos 2\theta \) रखना सबसे मानक तरीका है।
b) प्रत्येक त्रिकोणमितीय रूपांतरण के बाद कारण अवश्य लिखें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से नीचे की ओर हल करें ताकि गलती न हो।

Question 10: सिद्ध कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos^{-1}x, -\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le 1 \)

Answer:

LHS = \( \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}\right) \)
माना \( x = \cos 2y \), तब \( y = \frac{1}{2}\cos^{-1}x \)
LHS = \( \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2y} - \sqrt{1-\cos 2y}}{\sqrt{1+\cos 2y} + \sqrt{1-\cos 2y}}\right) \)
चूंकि \( 1+\cos 2y = 2\cos^2 y \) तथा \( 1-\cos 2y = 2\sin^2 y \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos y - \sqrt{2}\sin y}{\sqrt{2}\cos y + \sqrt{2}\sin y}\right) \)
अंश और हर को \( \sqrt{2}\cos y \) से भाग देने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \tan y}{1 + \tan y}\right) \)
चूंकि \( \tan\left(\frac{\pi}{4} - y\right) = \frac{1 - \tan y}{1 + \tan y} \)
\( = \tan^{-1}\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} - y\right)\right] \)
\( = \frac{\pi}{4} - y \)
\( = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos^{-1}x = \) RHS

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन \( x = \cos 2y \) का उपयोग।
• \( \tan\left(\frac{\pi}{4} - y\right) \) के सूत्र की पहचान।
• \( \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta \) गुणधर्म का अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( \tan\left(\frac{\pi}{4} - y\right) \) और \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + y\right) \) के सूत्रों में भ्रमित होना।
• हर को भाग देते समय चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल हटाने के लिए हमेशा \( \cos 2\theta \) या \( \cos \theta \) का प्रतिस्थापन चुनें।
b) प्रत्येक चरण में सर्वसमिका का हवाला दें।
c) अंत में \( y \) का मान प्रतिस्थापित करना न भूलें।

Question 11: निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए: \( 2\tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2\csc x) \)

Answer:

दिया गया समीकरण है: \( 2\tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2\csc x) \)
बाएँ पक्ष में \( 2\tan^{-1}t = \tan^{-1}\left(\frac{2t}{1-t^2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( \tan^{-1}\left(\frac{2\cos x}{1-\cos^2 x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sin x}\right) \)
चूंकि \( 1-\cos^2 x = \sin^2 x \), अतः:
\( \tan^{-1}\left(\frac{2\cos x}{\sin^2 x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sin x}\right) \)
दोनों पक्षों से प्रतिलोम हटाने पर:
\( \frac{2\cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x} \)
वज्र गुणन करने पर:
\( 2\cos x \sin x = 2\sin^2 x \)
\( 2\sin x (\cos x - \sin x) = 0 \)
अतः \( 2\sin x = 0 \) या \( \cos x - \sin x = 0 \)
यदि \( \sin x = 0 \), तो \( x = 0, \pi \) आदि (परंतु \( \csc x \) परिभाषित होने के लिए \( \sin x \neq 0 \) होना चाहिए, अतः यह हल मान्य नहीं है।)
यदि \( \cos x - \sin x = 0 \)
\( \cos x = \sin x \implies \tan x = 1 \)
चूंकि \( x \) मुख्य मान में है, इसलिए \( x = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• \( 2\tan^{-1}x \) की सर्वसमिका का अनुप्रयोग।
• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय उभयनिष्ठ लेना।
• असत्य या अपरिभाषित हलों (Extraneous solutions) को हटाना।

आम गलतियाँ:

• \( \sin x = 0 \) को भी वैध हल मान लेना, जबकि \( \csc x \) अपरिभाषित हो जाता है।
• समीकरण से दोनों पक्षों को सीधे भाग देकर मूल छोड़ देना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय समीकरणों में हर के शून्य होने की स्थिति (domain check) अवश्य जाँचें।
b) गुणनखंड विधि का सावधानी से प्रयोग करें।
c) अंतिम मान को मूल समीकरण में रखकर संतुष्ट अवश्य करें।

Question 12: हल कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1}{2}\tan^{-1}x, (x > 0) \)

Answer:

दिया गया समीकरण है: \( \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1}{2}\tan^{-1}x \)
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:
\( 2\tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan^{-1}x \)
बाएँ पक्ष में \( 2\tan^{-1}t \) का सूत्र लगाने पर:
\( \tan^{-1}\left(\frac{2\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}{1 - \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2}\right) = \tan^{-1}x \)
\( \tan^{-1}\left(\frac{\frac{2(1-x)}{1+x}}{\frac{(1+x)^2 - (1-x)^2}{(1+x)^2}}\right) = \tan^{-1}x \)
\( \tan^{-1}\left(\frac{2(1-x)(1+x)}{1 + 2x + x^2 - (1 - 2x + x^2)}\right) = \tan^{-1}x \)
\( \tan^{-1}\left(\frac{2(1-x^2)}{4x}\right) = \tan^{-1}x \)
\( \tan^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2x}\right) = \tan^{-1}x \)
दोनों पक्षों से प्रतिलोम हटाने पर:
\( \frac{1-x^2}{2x} = x \)
\( 1 - x^2 = 2x^2 \)
\( 3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3} \)
\( x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)
चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि \( x > 0 \), अतः ऋणात्मक मान अमान्य है।
अतः \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

मुख्य बिंदु:

• \( 2\tan^{-1}x \) के सूत्र का उपयोग करना।
• बीजगणितीय व्यंजकों का सरलतीकरण।
• दी गई शर्त (\( x > 0 \)) के आधार पर मान का चयन करना।

आम गलतियाँ:

• \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) को भी उत्तर में शामिल कर लेना।
• वर्ग करते समय हर के पदों को भूल जाना।

Exam Tips:

a) समीकरण हल करते समय डोमेन (Domain) और दी गई शर्तों की जाँच अंत में अवश्य करें।
b) चरणों को संक्षिप्त करने के बजाय विस्तार से हल करें ताकि गणना की भूल न हो।
c) अंतिम उत्तर को स्पष्ट रूप से हाइलाइट करें।

Question 13: \( \sin\left(\tan^{-1}x\right), |x| < 1 \) बराबर होता है:
(A) \( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \)
(B) \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
(C) \( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)
(D) \( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

Answer:

माना \( \tan^{-1}x = \theta \), तब \( \tan \theta = x \)
समकोण त्रिभुज के अनुसार, यदि लंब = \( x \) और आधार = \( 1 \), तो कर्ण = \( \sqrt{1 + x^2} \)
हमें मान ज्ञात करना है: \( \sin(\theta) \)
चूंकि \( \sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)
अतः सही विकल्प (D) है।

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन को सामान्य त्रिकोणमितीय अनुपात में बदलना।
• समकोण त्रिभुज के पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग।
• \( \sin(\tan^{-1}x) \) को \( \sin(\sin^{-1}(\dots)) \) रूप में सोचना।

आम गलतियाँ:

• \( \tan^{-1}x \) को सीधे \( \cos^{-1} \) समझ लेना।
• वर्गमूल के अंदर चिह्न की गलती करना (जैसे \( 1-x^2 \) लिखना)।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में शॉर्टकट विधि के लिए त्रिभुज नियम का प्रयोग करें।
b) सभी विकल्पों को ध्यान से देखें ताकि भ्रम न हो।
c) सही विकल्प का क्रम स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 14: यदि \( \sin^{-1}(1-x) - 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} \), तो \( x \) का मान बराबर है:
(A) \( 0, \frac{1}{2} \)
(B) \( 1, \frac{1}{2} \)
(C) \( 0 \)
(D) \( \frac{1}{2} \)

Answer:

दिया गया समीकरण है: \( \sin^{-1}(1-x) - 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} \)
माना \( \sin^{-1}x = y \), तब \( x = \sin y \)
समीकरण बनता है: \( \sin^{-1}(1 - \sin y) - 2y = \frac{\pi}{2} \)
\( \sin^{-1}(1 - \sin y) = \frac{\pi}{2} + 2y \)
\( 1 - \sin y = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2y\right) \)
चूंकि \( \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2y\right) = \cos 2y \), अतः:
\( 1 - \sin y = \cos 2y \)
चूंकि \( \cos 2y = 1 - 2\sin^2 y \), अतः:
\( 1 - \sin y = 1 - 2\sin^2 y \)
\( 2\sin^2 y - \sin y = 0 \)
\( \sin y(2\sin y - 1) = 0 \)
अतः \( \sin y = 0 \) या \( \sin y = \frac{1}{2} \)
चूंकि \( x = \sin y \), इसलिए \( x = 0 \) या \( x = \frac{1}{2} \)
अब इन मानों की समीकरण में जाँच करते हैं:
यदि \( x = \frac{1}{2} \):
LHS = \( \sin^{-1}\left(1 - \frac{1}{2}\right) - 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)
\( = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - 2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} \) (संतुष्ट नहीं करता)
यदि \( x = 0 \):
LHS = \( \sin^{-1}(1 - 0) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \) (संतुष्ट करता है)
अतः \( x = 0 \) ही समीकरण का हल है।
अतः सही विकल्प (C) है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को संतुष्ट करने वाले मानों की जाँच अनिवार्य है।
• \( \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta \) सर्वसमिका का प्रयोग।
• द्विघात समीकरण के मूल निकालना।

आम गलतियाँ:

• दोनों मानों \( 0 \) और \( \frac{1}{2} \) को सही मान लेना बिना जाँच किए।
• त्रिकोणमितीय रूपांतरण में चिह्न की भूल करना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय समीकरणों में प्राप्त हलों को मूल समीकरण में रखकर जरूर सत्यापित करें।
b) बहुविकल्पीय प्रश्नों में विकल्पों को समीकरण में रखकर भी जाँच सकते हैं।
c) सही विकल्प (C) को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें।