NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 02 Inverse Trigonometric Functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन) Exercise 2.2 in Hindi

Question 1: सिद्ध कीजिए: \( 3\sin^{-1}x = \sin^{-1}(3x - 4x^3), x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \)

Answer:

माना \( \sin^{-1}x = \theta \), तब \( x = \sin\theta \) है।
दायाँ पक्ष (RHS) लेने पर:
\( = \sin^{-1}(3x - 4x^3) \)
\( x = \sin\theta \) रखने पर:
\( = \sin^{-1}(3\sin\theta - 4\sin^3\theta) \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \) का प्रयोग करने पर:
\( = \sin^{-1}(\sin 3\theta) \)
\( = 3\theta \)
\( \theta \) का मान रखने पर:
\( = 3\sin^{-1}x = \text{LHS} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करना।
• फलन के प्रांत (domain) और परिसर का ध्यान रखना।
• उचित प्रतिस्थापन विधि का चयन करना।

आम गलतियाँ:

• सर्वसमिका का गलत सूत्र प्रयोग करना।
• प्रांत की शर्त की उपेक्षा करना।
• प्रतिस्थापन वापस न रखना।

Exam Tips:

a) हमेशा दायाँ या बायाँ पक्ष चुनकर उसे दूसरे पक्ष के बराबर सिद्ध करें।
b) प्रतिस्थापन करते समय चरों की सीमा अवश्य लिखें।
c) अंतिम चरण में मूल चर के रूप में उत्तर दें।

Question 2: सिद्ध कीजिए: \( 3\cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x), x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] \)

Answer:

माना \( \cos^{-1}x = \theta \), तब \( x = \cos\theta \) है।
दायाँ पक्ष (RHS) लेने पर:
\( = \cos^{-1}(4x^3 - 3x) \)
\( x = \cos\theta \) रखने पर:
\( = \cos^{-1}(4\cos^3\theta - 3\cos\theta) \)
सर्वसमिका \( \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \) का प्रयोग करने पर:
\( = \cos^{-1}(\cos 3\theta) \)
\( = 3\theta \)
\( \theta \) का मान रखने पर:
\( = 3\cos^{-1}x = \text{LHS} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय ट्रिपल एंगल फॉर्मूला याद रखना।
• सही फलन का प्रतिस्थापन करना।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय गुणों का उपयोग करना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos 3\theta \) और \( \sin 3\theta \) के सूत्रों में भ्रमित होना।
• प्रतिस्थापन के बाद सीमा की जाँच न करना।

Exam Tips:

a) सभी महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखें।
b) चरण-दर-चरण हल लिखें ताकि स्टेप मार्किंग का पूरा लाभ मिले।
c) अंत में स्पष्ट रूप से 'LHS = RHS' लिखें।

Question 3: सरल कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right), x \neq 0 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right) \)
माना \( x = \tan\theta \), तब \( \theta = \tan^{-1}x \) है।
व्यंजक में मान रखने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan^2\theta}-1}{\tan\theta}\right) \)
क्योंकि \( 1+\tan^2\theta = \sec^2\theta \):
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\sec\theta-1}{\tan\theta}\right) \)
फलन को साइन और कोसाइन में बदलने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\cos\theta}-1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\right) \)
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\tan\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} \)
\( \theta \) का मान रखने पर:
\( = \frac{1}{2}\tan^{-1}x \)

मुख्य बिंदु:

• बीजगणितीय व्यंजकों के लिए उचित प्रतिस्थापन चुनना।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं द्वारा फलन को सरलतम रूप में बदलना।
• \( \tan^{-1}(\tan x) = x \) गुण का सही अंतराल में प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( \sec\theta - 1 \) को सीधे सरल न कर पाना।
• अर्ध-कोण सूत्र लगाते समय कोण का आधा न करना।

Exam Tips:

a) \( 1+x^2 \) दिखने पर हमेशा \( \tan\theta \) या \( \cot\theta \) प्रतिस्थापित करें।
b) हर चरण को साफ-सुथरा और अलग लाइन में लिखें।
c) अंतिम उत्तर में मूल चर \( x \) लाना न भूलें।

Question 4: सरल कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right), 0 < x < \pi \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right) \)
अर्ध-कोण सूत्रों \( 1-\cos x = 2\sin^2(x/2) \) और \( 1+\cos x = 2\cos^2(x/2) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\sqrt{\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}\right) \)
चूँकि \( 0 < x < \pi \), इसलिए \( 0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} \):
\( = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right) \)
\( = \frac{x}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• अर्ध-कोण सूत्रों का सही उपयोग।
• वर्गमूल लेते समय दी गई सीमा का ध्यान रखना।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• सीमा \( 0 < x < \pi \) की उपेक्षा करना।
• वर्गमूल से बाहर निकालते समय धनात्मक/ऋणात्मक चिन्ह की अनदेखी करना।

Exam Tips:

a) \( 1-\cos x \) और \( 1+\cos x \) के सूत्र परीक्षा में बहुत उपयोगी हैं, इन्हें याद रखें।
b) सीमा के अनुसार ही फलन का मान धनात्मक लिखा जाता है।
c) अंतिम उत्तर संक्षिप्त रूप में लिखें।

Question 5: सरल कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}\right), 0 < x < \pi \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan^{-1}\left(\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}\right) \)
अंश और हर दोनों को \( \cos x \) से भाग देने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{\cos x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}\right) \)
हम जानते हैं कि \( 1 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right \), अतः:
\( = \tan^{-1}\left(\frac{\tan(\pi/4) - \tan x}{1 + \tan(\pi/4)\tan x}\right) \)
सूत्र \( \tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A\tan B \) का प्रयोग करने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right) \)
\( = \frac{\pi}{4} - x \)

मुख्य बिंदु:

• अंश और हर को \( \cos x \) से भाग देना।
• \( \tan(A-B) \) के सूत्र का उपयोग करना।
• कोण की दी गई सीमा के अनुसार मान निकालना।

आम गलतियाँ:

• \( 1 \) को \( \tan(\pi/4) \) में बदलने में गलती करना।
• \( \tan(A-B) \) के स्थान पर \( \tan(A+B) \) का प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में \( \cos x \) से भाग देना मानक तरीका है।
b) सूत्र पहचानना सीखें ताकि सीधे रूप में बदला जा सके।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 6: सरल कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right), |x| < a \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right) \)
माना \( x = a\sin\theta \), तब \( \frac{x}{a} = \sin\theta \) अर्थात् \( \theta = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \)
व्यंजक में मान रखने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\frac{a\sin\theta}{\sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta}}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{a\sin\theta}{\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}}\right) \)
चूँकि \( 1-\sin^2\theta = \cos^2\theta \):
\( = \tan^{-1}\left(\frac{a\sin\theta}{a\cos\theta}\right) \)
\( = \tan^{-1}(\tan\theta) \)
\( = \theta \)
\( \theta \) का मान रखने पर:
\( = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sqrt{a^2-x^2} \) दिखने पर \( x = a\sin\theta \) प्रतिस्थापित करना।
• अचर \( a \) को बाहर निकालकर सरल करना।
• प्रतिलोम फलन के रूप में उत्तर देना।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल से बाहर निकालते समय \( a \) को छोड़ देना।
• प्रतिस्थापन वापस रखते समय कोण का अनुपात भूल जाना।

Exam Tips:

a) \( \sqrt{a^2-x^2} \) के लिए \( x = a\sin\theta \) या \( x = a\cos\theta \) का प्रयोग करें।
b) प्रतिस्थापन के बाद सभी पदों को ध्यान से काटें।
c) अंतिम उत्तर में चर और अचर का अनुपात सही लिखें।

Question 7: सरल कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\frac{3a^2x - x^3}{a^3 - 3ax^2}\right), a > 0; -\frac{a}{\sqrt{3}} \le x \le \frac{a}{\sqrt{3}} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan^{-1}\left(\frac{3a^2x - x^3}{a^3 - 3ax^2}\right) \)
माना \( x = a\tan\theta \), तब \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \)
व्यंजक में मान रखने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\frac{3a^2(a\tan\theta) - (a\tan\theta)^3}{a^3 - 3a(a\tan\theta)^2}\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(\frac{3a^3\tan\theta - a^3\tan^3\theta}{a^3 - 3a^3\tan^2\theta}\right) \)
अंश और हर से \( a^3 \) कॉमन लेकर काटने पर:
\( = \tan^{-1}\left(\frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}\right) \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta \) का प्रयोग करने पर:
\( = \tan^{-1}(\tan 3\theta) \)
\( = 3\theta \)
\( \theta \) का मान रखने पर:
\( = 3\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan 3\theta \) के सूत्र की पहचान करना।
• \( x = a\tan\theta \) का प्रतिस्थापन करना।
• उभयनिष्ठ पद \( a^3 \) को निरस्त करना।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में अचर \( a \) के घातों की गलती करना।
• प्रतिस्थापन के दौरान गुणांक छोड़ देना।

Exam Tips:

a) \( 3 \) घात वाले व्यंजकों में \( \tan\theta \) का प्रतिस्थापन सबसे प्रभावी होता है।
b) प्रत्येक चरण में कोष्ठकों का सही प्रयोग करें।
c) अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में छोड़ें।

Question 8: मान ज्ञात कीजिए: \( \tan^{-1}\left(2\cos\left(2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan^{-1}\left(2\cos\left(2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \)
सबसे पहले अंदर वाले पद का मान ज्ञात करते हैं:
\( \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \)
अब व्यंजक में यह मान रखने पर:
\( = \tan^{-1}\left(2\cos\left(2 \times \frac{\pi}{6}\right)\right) \)
\( = \tan^{-1}\left(2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \)
चूँकि \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \):
\( = \tan^{-1}\left(2 \times \frac{1}{2}\right) \)
\( = \tan^{-1}(1) \)
\( = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• अंदर से बाहर (inside out) की ओर हल करना।
• मानक कोणों के त्रिकोणमितीय मान याद रखना।
• प्रतिलोम फलनों के मुख्य मानों का उपयोग करना।

आम गलतियाँ:

• बाहर से हल करना शुरू करना।
• \( \cos(\pi/3) \) का मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) ऐसे बहुपरत (nested) प्रश्नों को हमेशा अंदर वाले ब्रैकेट से हल करें।
b) सभी मानक त्रिकोणमितीय मान जुबानी याद होने चाहिए।
c) गणना को साफ-सुथरा रखें ताकि गलती न हो।

Question 9: मान ज्ञात कीजिए: \( \tan\left(\frac{1}{2}\left[\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1-y^2}{1+y^2}\right)\right]\right), |x| < 1, y > 0 \) तथा \( xy < 1 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan\left(\frac{1}{2}\left[\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1-y^2}{1+y^2}\right)\right]\right) \)
हम जानते हैं कि मानक सूत्र से:
\( 2\tan^{-1}x = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) \) और \( 2\tan^{-1}y = \cos^{-1}\left(\frac{1-y^2}{1+y^2}\right) \)
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \tan\left(\frac{1}{2}\left[2\tan^{-1}x + 2\tan^{-1}y\right]\right) \)
\( = \tan\left(\frac{1}{2} \times 2[\tan^{-1}x + \tan^{-1}y]\right) \)
\( = \tan(\tan^{-1}x + \tan^{-1}y) \)
अब \( \tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\right) \)
\( = \frac{x+y}{1-xy} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग।
• 2 को कॉमन लेकर बाहर करना।
• \( \tan(\tan^{-1}\theta) = \theta \) गुण का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• सूत्रों के गुणांक (जैसे 2) छोड़ देना।
• योग के सूत्र में चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) सीधे मानक सूत्रों का उपयोग करने से प्रश्न बहुत छोटा हो जाता है।
b) सूत्र लागू करने की शर्तें जैसे \( xy < 1 \) को ध्यान में रखें।
c) अंतिम चरण में त्रिकोणमितीय फलन और प्रतिलोम फलन एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

Question 10: मान ज्ञात कीजिए: \( \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) \)
हम जानते हैं कि \( \sin^{-1}(\sin x) = x \) केवल तभी होता है जब \( x \) sin के मुख्य मान शाखा \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) में हो।
चूँकि \( \frac{2\pi}{3} \notin \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \), इसलिए हम कोण को समायोजित करते हैं:
\( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \)
अतः:
\( \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \)
चूँकि \( \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \):
\( = \frac{\pi}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• sin के मुख्य मान परिसर \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) को याद रखना।
• दी गई संख्या मुख्य परिसर में न होने पर चतुर्थांश नियम का उपयोग करना।
• \( \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \) सर्वसमिका का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• सीधे \( \sin^{-1}(\sin x) = x \) लिखकर उत्तर \( \frac{2\pi}{3} \) लिख देना, जो गलत है।
• मुख्य मान शाखा का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में हमेशा जाँच करें कि कोण मुख्य परिसर में है या नहीं।
b) कोण बदलने के लिए \( \pi - \theta \) या \( \pi + \theta \) का प्रयोग करें।
c) बोर्ड परीक्षा में मुख्य शाखा का उल्लेख अवश्य करें।

Question 11: मान ज्ञात कीजिए: \( \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \)
हम जानते हैं कि \( \tan^{-1} \) की मुख्य मान शाखा \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) होती है।
चूँकि \( \frac{3\pi}{4} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), हम इसे बदलेंगे:
\( \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) \)
अतः:
\( \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) = \tan^{-1}\left(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)
चूँकि \( -\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \):
\( = -\frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan^{-1} \) का मुख्य मान परिसर \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) होता है।
• \( \tan(\pi - \theta) = -\tan\theta \) और \( -\tan\theta = \tan(-\theta) \) का प्रयोग।
• कोण को मुख्य परिसर के अंदर लाना।

आम गलतियाँ:

• सीधे \( \frac{3\pi}{4} \) उत्तर लिख देना।
• ऋणात्मक चिन्ह को कोण के अंदर ले जाते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा tan और sin के लिए खुले अंतराल \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) का ध्यान रखें।
b) चरणों को विस्तार से लिखें ताकि परीक्षक को आपकी समझ स्पष्ट हो।
c) ऋणात्मक कोण के गुणों का सही अभ्यास करें।

Question 12: मान ज्ञात कीजिए: \( \tan\left(\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)\right) \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan\left(\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)\right) \)
माना \( \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = x \), तब \( \sin x = \frac{3}{5} \), जिससे \( \tan x = \frac{3}{4} \) (समकोण त्रिभुज से)
अतः \( x = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \)
तथा \( \cot^{-1}\left(\frac{3}{2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \) (चूँकि \( \cot^{-1}a = \tan^{-1}\frac{1}{a} \))
अब व्यंजक बनता है:
\( = \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) \)
सूत्र \( \tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right)\right) \)
\( = \frac{\frac{9+8}{12}}{\frac{12-6}{12}} = \frac{17}{6} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को \( \tan^{-1} \) में बदलना।
• \( \cot^{-1}x = \tan^{-1}(1/x) \) संबंध का उपयोग।
• \( \tan(A+B) \) के सूत्र का अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• sin को सीधे tan में बदलने में पाइथागोरस प्रमेय का गलत प्रयोग।
• भिन्न (fraction) को हल करते समय गणना की त्रुटि।

Exam Tips:

a) अलग-अलग प्रतिलोम फलनों को एक ही फलन (जैसे \( \tan^{-1} \)) में बदलना सबसे आसान तरीका है।
b) लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालते समय सावधानी बरतें।
c) अंतिम भिन्न को सरलतम रूप में लिखें।

Question 13: \( \cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) \) का मान बराबर है:
(A) \( \frac{7\pi}{6} \)
(B) \( \frac{5\pi}{6} \)
(C) \( \frac{\pi}{3} \)
(D) \( \frac{\pi}{6} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) \)
हम जानते हैं कि \( \cos^{-1} \) की मुख्य मान शाखा \( [0, \pi] \) होती है।
चूँकि \( \frac{7\pi}{6} \notin [0, \pi] \), हम इसे बदलेंगे:
\( \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \)
अतः:
\( \cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) = \cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right) \)
चूँकि \( \frac{5\pi}{6} \in [0, \pi] \):
\( = \frac{5\pi}{6} \)
अतः, विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• \( \cos^{-1} \) का मुख्य मान अंतराल \( [0, \pi] \) होता है।
• \( \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \) सर्वसमिका का उपयोग।
• बहुविकल्पीय प्रश्न में सही विकल्प चुनना।

आम गलतियाँ:

• सीधा उत्तर \( \frac{7\pi}{6} \) चुन लेना (जो विकल्प A है और गलत है)।
• cos के लिए गलत चतुर्थांश का प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी रफ कार्य करके सही उत्तर की पुष्टि अवश्य करें।
b) \( [0, \pi] \) अंतराल को हमेशा याद रखें।
c) सही विकल्प (B) को उत्तर के रूप में चिह्नित करें।

Question 14: \( \sin\left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right) \) का मान है:
(A) \( \frac{1}{2} \)
(B) \( \frac{1}{3} \)
(C) \( \frac{1}{4} \)
(D) \( 1 \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \sin\left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right) \)
हम जानते हैं कि \( \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x \), अतः:
\( \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} \)
अब व्यंजक में यह मान रखने पर:
\( = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \)
\( = \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) \)
लघुत्तम लेकर जोड़ने पर:
\( = \sin\left(\frac{2\pi + \pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) \)
\( = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \)
\( = 1 \)
अतः, विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• \( \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x \) गुण का प्रयोग।
• ऋणात्मक चिन्हों का सही गुणा करना (- × - = +)।
• त्रिकोणमितीय मान \( \sin(\pi/2) = 1 \) का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• चिन्हों की गलती करना (माइनस को प्लस न करना)।
• कोण जोड़ते समय हर (denominator) समान न करना।

Exam Tips:

a) ब्रैकेट के बाहर माइनस होने पर अंदर के चिन्ह का विशेष ध्यान रखें।
b) कोण को सरल करके मानक मान प्राप्त करें।
c) सही विकल्प (D) को चुनें।

Question 15: \( \tan^{-1}\sqrt{3} - \cot^{-1}(-\sqrt{3}) \) का मान है:
(A) \( \pi \)
(B) \( -\frac{\pi}{2} \)
(C) \( 0 \)
(D) \( 2\sqrt{3} \)

Answer:

दिया गया व्यंजक है: \( \tan^{-1}\sqrt{3} - \cot^{-1}(-\sqrt{3}) \)
हम अलग-अलग मान ज्ञात करते हैं:
\( \tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \)
हम जानते हैं कि \( \cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}x \), अतः:
\( \cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot^{-1}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \)
अब दोनों मानों को व्यंजक में रखने पर:
\( = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} \)
हर समान करने के लिए \( \frac{\pi}{3} \) को \( \frac{2\pi}{6} \) लिखने पर:
\( = \frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} \)
\( = \frac{2\pi - 5\pi}{6} = \frac{-3\pi}{6} \)
\( = -\frac{\pi}{2} \)
अतः, विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• \( \cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}x \) सर्वसमिका का प्रयोग।
• \( \tan^{-1} \) और \( \cot^{-1} \) के मानक मान निकालना।
• भिन्नों को घटाने के लिए हर समान करना।

आम गलतियाँ:

• \( \cot^{-1}(-\sqrt{3}) \) को सीधे \( -\frac{\pi}{6} \) लिख देना, जो गलत है।
• घटाव में चिन्ह की भूल करना।

Exam Tips:

a) \( \cot^{-1}, \sec^{-1}, \cos^{-1} \) में ऋणात्मक मान आने पर \( \pi \) में से घटाना न भूलें।
b) गणना के चरणों को स्पष्ट रखें।
c) सही विकल्प (B) पर निशान लगाएं।