Official NCERT Solutions for Class 12 Mathematics: Chapter 02 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 02 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
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Question 1: \( \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \)
तब, \( \sin y = -\frac{1}{2} \)
हम जानते हैं कि \( \sin^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) होता है।
इसलिए, \( \sin y = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \)
अतः, \( \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \) का मुख्य मान \( -\frac{\pi}{6} \) है।
मुख्य बिंदु:
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान उनके निर्धारित परिसरों में ही होने चाहिए।
• \( \sin(-x) = -\sin(x) \) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग किया गया है।
• \( \sin^{-1} \) फलन का परिसर \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) होता है।
आम गलतियाँ:
• परिसर से बाहर का कोण मुख्य मान के रूप में लिख देना।
• ऋणात्मक चिह्न को ठीक से न संभालना।
• फलन की मुख्य शाखा को याद न रखना।
Exam Tips:
a) हमेशा मान को मुख्य शाखा के अंतर्गत ही ज्ञात करें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएं।
c) उत्तर के अंत में परिसर का संदर्भ अवश्य दें।
Question 2: \( \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
तब, \( \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
हम जानते हैं कि \( \cos^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( [0, \pi] \) होता है।
इसलिए, \( \cos y = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \)
अतः, \( \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) का मुख्य मान \( \frac{\pi}{6} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \cos^{-1} \) का मुख्य मान परिसर \( [0, \pi] \) है।
• धनात्मक मान प्रथम चतुर्थांश में आता है।
• \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) होता है।
आम गलतियाँ:
• \( \cos^{-1} \) के परिसर को \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) समझ लेना।
• कोण का मान गलत चतुर्थांश में ज्ञात करना।
• त्रिकोणमितीय सारणी के मानों में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) कोसाइन फलन के लिए परिसर \( [0, \pi] \) को हमेशा ध्यान रखें।
b) मान निकालते समय डिग्री और रेडियन का सही उपयोग करें।
c) अंतिम उत्तर को रेडियन में व्यक्त करें।
Question 3: \( \csc^{-1}(2) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \csc^{-1}(2) \)
तब, \( \csc y = 2 \)
अर्थात \( \sin y = \frac{1}{2} \)
हम जानते हैं कि \( \csc^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\} \) होता है।
इसलिए, \( \sin y = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow y = \frac{\pi}{6} \)
अतः, \( \csc^{-1}(2) \) का मुख्य मान \( \frac{\pi}{6} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \csc^{-1}(x) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \) संबंध का उपयोग किया जा सकता है।
• इसका परिसर \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) में से 0 को छोड़कर होता है।
• \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) होता है।
आम गलतियाँ:
• परिसर से 0 को हटाना भूल जाना।
• cosec को सीधे sin में न बदलना।
• गलत कोण चुनना।
Exam Tips:
a) cosec को sin में बदलकर हल करना आसान होता है।
b) वर्जित मानों (excluded values) का ध्यान रखें।
c) मुख्य शाखा का उल्लेख अनिवार्य रूप से करें।
Question 4: \( \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \)
तब, \( \tan y = -\sqrt{3} \)
हम जानते हैं कि \( \tan^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) होता है।
इसलिए, \( \tan y = -\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) \)
अतः, \( \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \) का मुख्य मान \( -\frac{\pi}{3} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \tan^{-1} \) का परिसर खुला अंतराल \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) होता है।
• \( \tan(-x) = -\tan(x) \) होता है।
• \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \) होता है।
आम गलतियाँ:
• खुले अंतराल के स्थान पर बंद अंतराल का प्रयोग करना।
• ऋणात्मक चिह्न को गलत तरीके से हल करना।
• कोण का गलत मान लिखना।
Exam Tips:
a) टैनेंट फलन के परिसर में अंतःबिंदु (endpoints) शामिल नहीं होते हैं।
b) चरणों को संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।
c) उत्तर को मानक रूप में दें।
Question 5: \( \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \)
तब, \( \cos y = -\frac{1}{2} = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \cos^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( [0, \pi] \) होता है।
अतः, \( \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \) का मुख्य मान \( \frac{2\pi}{3} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \cos(\pi - x) = -\cos(x) \) सर्वसमिका का उपयोग किया जाता है।
• \( \cos^{-1} \) का मान द्वितीय चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।
• परिसर \( [0, \pi] \) के अंतर्गत \( \frac{2\pi}{3} \) आता है।
आम गलतियाँ:
• सीधे \( -\frac{\pi}{3} \) लिख देना जो कि गलत है क्योंकि यह परिसर में नहीं है।
• द्वितीय चतुर्थांश के कोण को न पहचान पाना।
• ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा करना।
Exam Tips:
a) cos के ऋणात्मक मान के लिए हमेशा \( \pi - x \) सूत्र का प्रयोग करें।
b) सुनिश्चित करें कि उत्तर \( [0, \pi] \) के बीच हो।
c) प्रत्येक चरण में कारण स्पष्ट लिखें।
Question 6: \( \tan^{-1}(-1) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \tan^{-1}(-1) \)
तब, \( \tan y = -1 \)
हम जानते हैं कि \( \tan^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) होता है।
इसलिए, \( \tan y = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) \)
अतः, \( \tan^{-1}(-1) \) का मुख्य मान \( -\frac{\pi}{4} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}(x) \) होता है।
• परिसर \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) का उपयोग होता है।
• \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \) होता है।
आम गलतियाँ:
• \( \frac{3\pi}{4} \) लिख देना, जो कि गलत परिसर में है।
• ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• अंतराल के प्रकार को नजरअंदाज करना।
Exam Tips:
a) tan और sin के ऋणात्मक मानों के लिए कोण ऋणात्मक होता है।
b) परिसर की जाँच अवश्य करें।
c) सरल गणनाओं में सावधानी बरतें।
Question 7: \( \sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \)
तब, \( \sec y = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
अर्थात \( \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
हम जानते हैं कि \( \sec^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( [0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \) होता है।
इसलिए, \( \cos y = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow y = \frac{\pi}{6} \)
अतः, \( \sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \) का मुख्य मान \( \frac{\pi}{6} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \sec^{-1}(x) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \) संबंध का प्रयोग करें।
• इसका परिसर \( [0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \) होता है।
• \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) होता है।
आम गलतियाँ:
• sec को बिना cos में बदले हल करना।
• परिसर लिखना भूल जाना।
• मान ज्ञात करने में गलती करना।
Exam Tips:
a) sec, cosec और cot प्रश्नों को cos, sin और tan में बदलकर हल करना सुरक्षित रहता है।
b) वर्जित मानों का ध्यान रखें।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 8: \( \cot^{-1}(\sqrt{3}) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \cot^{-1}(\sqrt{3}) \)
तब, \( \cot y = \sqrt{3} \)
अर्थात \( \tan y = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
हम जानते हैं कि \( \cot^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( (0, \pi) \) होता है।
इसलिए, \( \tan y = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow y = \frac{\pi}{6} \)
अतः, \( \cot^{-1}(\sqrt{3}) \) का मुख्य मान \( \frac{\pi}{6} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \cot^{-1} \) का परिसर \( (0, \pi) \) होता है।
• \( \cot y = \frac{1}{\tan y} \) संबंध का उपयोग किया जाता है।
• \( \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) होता है।
आम गलतियाँ:
• \( \cot^{-1} \) का परिसर \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) मान लेना।
• tan और cot के संबंधों में उलझना।
• कोण का गलत मान लिखना।
Exam Tips:
a) cot को tan में बदलकर मान आसानी से निकाला जा सकता है।
b) cot का परिसर खुला अंतराल \( (0, \pi) \) होता है, इसे याद रखें।
c) अंतिम उत्तर मानक रूप में दें।
Question 9: \( \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
तब, \( \cos y = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \cos^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( [0, \pi] \) होता है।
अतः, \( \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) का मुख्य मान \( \frac{3\pi}{4} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \cos(\pi - x) = -\cos(x) \) सर्वसमिका का प्रयोग।
• \( \cos^{-1} \) का मान द्वितीय चतुर्थांश में होता है जब संख्या ऋणात्मक हो।
• परिसर \( [0, \pi] \) के अंतर्गत \( \frac{3\pi}{4} \) स्थित है।
आम गलतियाँ:
• \( -\frac{\pi}{4} \) लिखना जो कि गलत है।
• \( \pi - \frac{\pi}{4} \) को हल करने में गलती करना।
• परिसर की अनदेखी करना।
Exam Tips:
a) ऋणात्मक cos मान के लिए \( \pi - \theta \) सूत्र का ही प्रयोग करें।
b) लघुतम समापवर्त्य (LCM) सावधानी से लें।
c) उत्तर की सत्यता की जाँच परिसर से करें।
Question 10: \( \csc^{-1}(-\sqrt{2}) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( y = \csc^{-1}(-\sqrt{2}) \)
तब, \( \csc y = -\sqrt{2} \)
अर्थात \( \sin y = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \csc^{-1} \) की मुख्य मान शाखा का परिसर \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\} \) होता है।
अतः, \( \csc^{-1}(-\sqrt{2}) \) का मुख्य मान \( -\frac{\pi}{4} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \csc^{-1}(x) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \) का प्रयोग।
• \( \sin(-x) = -\sin(x) \) सर्वसमिका।
• परिसर \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\} \) का उपयोग।
आम गलतियाँ:
• cosec को गलत चतुर्थांश में हल करना।
• ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• परिसर का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) पहले cosec को sin में बदलें।
b) sin के नियमों का पालन करते हुए कोण निकालें।
c) उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करें।
Question 11: \( \tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( \tan^{-1}(1) = x \), इसलिए \( \tan x = 1 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \tan^{-1} \) का परिसर \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) है, अतः \( x = \frac{\pi}{4} \)
मान लीजिए कि \( \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = y \), इसलिए \( \cos y = -\frac{1}{2} = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \cos^{-1} \) का परिसर \( [0, \pi] \) है, अतः \( y = \frac{2\pi}{3} \)
मान लीजिए कि \( \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = z \), इसलिए \( \sin z = -\frac{1}{2} = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \sin^{-1} \) का परिसर \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) है, अतः \( z = -\frac{\pi}{6} \)
अब, दिए गए व्यंजक का मान:
\( = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + \left(-\frac{\pi}{6}\right) \)
\( = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \)
लघुतम समापवर्त्य (LCM) 12 लेने पर:
\( = \frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} \)
\( = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} \)
मुख्य बिंदु:
• तीनों पदों के मुख्य मान अलग-अलग ज्ञात किए जाते हैं।
• भिन्नों को जोड़ने के लिए LCM का उपयोग होता है।
• प्रत्येक प्रतिलोम फलन की मुख्य शाखा का ध्यान रखना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• एक साथ सभी को हल करने में भ्रमित होना।
• LCM लेने में गणना संबंधी त्रुटि करना।
• किसी एक पद का मुख्य मान गलत निकालना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों को हमेशा अलग-अलग भागों में हल करें।
b) अंत में सभी मानों को सावधानी से जोड़ें।
c) भिन्न को सरलतम रूप में बदलें।
Question 12: \( \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)
Answer:
मान लीजिए कि \( \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = x \), इसलिए \( \cos x = \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \)
चूँकि \( \cos^{-1} \) का परिसर \( [0, \pi] \) है, अतः \( x = \frac{\pi}{3} \)
मान लीजिए कि \( \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = y \), इसलिए \( \sin y = \frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \)
चूँकि \( \sin^{-1} \) का परिसर \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) है, अतः \( y = \frac{\pi}{6} \)
अब, दिए गए व्यंजक का मान:
\( = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)
\( = \frac{\pi}{3} + 2\left(\frac{\pi}{6}\right) \)
\( = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \)
\( = \frac{2\pi}{3} \)
मुख्य बिंदु:
• \( \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \) होता है।
• \( \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \) होता है।
• गुणा की संक्रिया को प्राथमिकता दें।
आम गलतियाँ:
• 2 से गुणा करना भूल जाना।
• मानों को आपस में बदल देना।
• जोड़ने में गलती करना।
Exam Tips:
a) गुणा वाले भाग को पहले हल करें।
b) समान हर (denominator) होने पर जोड़ना आसान होता है।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 13: यदि \( \sin^{-1}x = y \), तो (A) \( 0 \le y \le \pi \) (B) \( -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \) (C) \( 0 < y < \pi \) (D) \( -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \)
Answer:
दिया गया है: \( \sin^{-1}x = y \)
हम जानते हैं कि प्रतिलोम ज्या फलन (\( \sin^{-1} \)) के परिसर (Range) को इसकी मुख्य मान शाखा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो कि \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) होती है।
इसलिए, \( y \) का मान \( -\frac{\pi}{2} \) से \( \frac{\pi}{2} \) के बीच (इनको सम्मिलित करते हुए) होता है।
अतः, \( -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \) है।
अत:, विकल्प (B) सही है।
मुख्य बिंदु:
• \( \sin^{-1} \) का परिसर बंद अंतराल \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) होता है।
• असमिकाओं (inequalities) में वर्गाकार कोष्ठक (closed interval) का अर्थ '<= या >=' होता है।
• यह एक बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) है।
आम गलतियाँ:
• \( \cos^{-1} \) के परिसर \( [0, \pi] \) से भ्रमित होना।
• खुले और बंद अंतरालों में अंतर न समझना।
• गलत विकल्प चुनना।
Exam Tips:
a) सभी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के डोमेन और रेंज की सारणी याद रखें।
b) MCQ में सही विकल्प का क्रमांक और मान दोनों लिखें।
c) असमंजस से बचने के लिए मूल परिभाषा का स्मरण करें।
Question 14: \( \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2) \) का मान बराबर है: (A) \( \pi \) (B) \( -\frac{\pi}{3} \) (C) \( \frac{\pi}{3} \) (D) \( \frac{2\pi}{3} \)
Answer:
मान लीजिए कि \( \tan^{-1}(\sqrt{3}) = x \), इसलिए \( \tan x = \sqrt{3} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \)
चूँकि \( \tan^{-1} \) का परिसर \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) है, अतः \( x = \frac{\pi}{3} \)
मान लीजिए कि \( \sec^{-1}(-2) = y \), इसलिए \( \sec y = -2 \)
अर्थात \( \cos y = -\frac{1}{2} = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \)
चूँकि \( \sec^{-1} \) का परिसर \( [0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \) है, अतः \( y = \frac{2\pi}{3} \)
अब, दिए गए व्यंजक का मान:
\( = \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2) \)
\( = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} \)
\( = -\frac{\pi}{3} \)
अतः, विकल्प (B) सही है।
मुख्य बिंदु:
• \( \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \) होता है।
• \( \sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3} \) होता है।
• घटाने की संक्रिया में लघुतम समान होने पर सीधे अंश घटते हैं।
आम गलतियाँ:
• \( \sec^{-1}(-2) \) का मान गलत चतुर्थांश में निकालना।
• घटाते समय चिह्नों की गलती करना।
• गलत विकल्प का चयन करना।
Exam Tips:
a) दोनों भागों को अलग-अलग हल करके फिर घटाएं।
b) sec के ऋणात्मक मान के लिए cos के नियम का पालन करें।
c) परीक्षा में सही विकल्प के साथ पूरा हल भी दर्शाइए।
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