NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 01 Relations and Functions (संबंध एवं फलन) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: सिद्ध कीजिए कि \( f: R \to \{x \in R: -1 < x < 1\} \) जहाँ \( f(x) = \frac{x}{1 + |x|}, x \in R \) द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।

Answer:

दिया गया फलन है \( f: R \to \{x \in R: -1 < x < 1\} \) जहाँ \( f(x) = \frac{x}{1 + |x|} \)
माना \( f(x) = f(y) \), जहाँ \( x, y \in R \)
\( \Rightarrow \frac{x}{1 + |x|} = \frac{y}{1 + |y|} \)
यहाँ विभिन्न स्थितियों की जाँच करने पर, यदि \( x \) धनात्मक और \( y \) ऋणात्मक हो, तो:
\( \frac{x}{1 + x} = \frac{y}{1 - y} \)
इसे हल करने पर \( 2xy = x - y \) प्राप्त होता है, जो कि विरोधाभासी है क्योंकि \( x > 0 \) और \( y < 0 \) के लिए \( 2xy \) ऋणात्मक होगा जबकि \( x - y \) धनात्मक होगा।
अतः \( x \) और \( y \) दोनों का चिह्न समान होना चाहिए।
यदि \( x \) और \( y \) दोनों धनात्मक हैं:
\( \frac{x}{1 + x} = \frac{y}{1 + y} \)
\( \Rightarrow x + xy = y + xy \)
\( \Rightarrow x = y \)
यदि \( x \) और \( y \) दोनों ऋणात्मक हैं:
\( \frac{x}{1 - x} = \frac{y}{1 - y} \)
\( \Rightarrow x - xy = y - xy \)
\( \Rightarrow x = y \)
अतः हर स्थिति में \( x = y \) प्राप्त होता है, इसलिए फलन एकैकी है।
अब आच्छादक की जाँच के लिए, सह-प्रांत में कोई अवयव \( y \in (-1, 1) \) लीजिए।
यदि \( y \) ऋणात्मक है, तो \( x = \frac{y}{1 + y} \in R \) इस प्रकार है कि:
\( f(x) = f\left(\frac{y}{1 + y}\right) = \frac{\frac{y}{1 + y}}{1 + \left|\frac{y}{1 + y}\right|} = \frac{y}{1 + y - y} = y \)
यदि \( y \) धनात्मक है, तो \( x = \frac{y}{1 - y} \in R \) इस प्रकार है कि:
\( f(x) = f\left(\frac{y}{1 - y}\right) = \frac{\frac{y}{1 - y}}{1 + \left|\frac{y}{1 - y}\right|} = \frac{y}{1 - y + y} = y \)
अतः सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए प्रांत में पूर्व-प्रतिबिंब विद्यमान है, इसलिए फलन आच्छादक है।

मुख्य बिंदु:

• फलन की एकैकी जाँच के लिए \( f(x) = f(y) \) लेकर \( x = y \) सिद्ध किया जाता है।
• मापांक (modulus) फलन होने के कारण यहाँ \( x \) और \( y \) के धनात्मक तथा ऋणात्मक होने की अलग-अलग स्थितियाँ बनती हैं।
• आच्छादक सिद्ध करने के लिए सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव \( y \) के संगत प्रांत में \( x \) का मान ज्ञात किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• मापांक चिह्न \( |x| \) को बिना विचारे सीधे समीकरण को हल कर देना।
• केवल एक स्थिति (जैसे \( x, y \) दोनों धनात्मक) लेकर छोड़ देना।
• प्रांत और सह-प्रांत के समुच्चयों के अंतराल (intervals) को ध्यान में न रखना।

Exam Tips:

a) मापांक फलनों के प्रश्नों में हमेशा धनात्मक और ऋणात्मक मानों के लिए अलग-अलग केस बनाएँ।
b) आच्छादक सिद्ध करते समय \( f(x) = y \) से \( x \) का मान \( y \) के पदों में स्पष्ट रूप से निकाल कर दिखाएँ।
c) अंत में यह निष्कर्ष अवश्य लिखें कि चूँकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है, अतः यह एकि-आच्छादक (bijective) है।

Question 2: सिद्ध कीजिए कि \( f(x) = x^3 \) द्वारा प्रदत्त फलन \( f: R \to R \) एकैकी है।

Answer:

दिया गया फलन है \( f: R \to R \) जहाँ \( f(x) = x^3 \)
माना \( f(x) = f(y) \), जहाँ \( x, y \in R \)
तब \( x^3 = y^3 \quad \text{--- (1)} \)
अब, हमें यह सिद्ध करना है कि \( x = y \) ।
यदि हम मान लें कि \( x \neq y \), तब उनके घन भी बराबर नहीं होंगे, अर्थात् \( x^3 \neq y^3 \)
लेकिन यह समीकरण (1) का विरोधाभास है।
अतः \( x = y \), इसलिए फलन एकैकी है।

मुख्य बिंदु:

• एकैकी फलन सिद्ध करने की मानक विधि \( f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \) का प्रयोग किया गया है।
• वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में किसी संख्या का घन (cube) अद्वितीय होता है।
• विरोधाभास विधि (proof by contradiction) का उपयोग करके इसे आसानी से हल किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक धनात्मक मान रखकर यह मान लेना कि फलन एकैकी है।
• \( x^3 = y^3 \) से \( x = y \) लिखते समय ऋणात्मक मूलों की उपेक्षा करना।

Exam Tips:

| a) बीजगणितीय फलनों के एकैकी सिद्ध करने के चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) यदि फलन बहुपदीय (polynomial) है, तो उसकी घात (degree) का ध्यान रखें।
c) संपूर्ण उत्तर में तार्किक चरणों का सही अनुक्रम बनाए रखें।

Question 3: एक रिक्त समुच्चय \( X \) दिया हुआ है। \( P(X) \) जो कि \( X \) के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से \( P(X) \) में एक संबंध \( R \) परिभाषित कीजिए:
\( P(X) \) में उपसमुच्चयों \( A, B \) के लिए, \( ARB \), यदि और केवल यदि \( A \subset B \) । क्या \( R, P(X) \) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।

Answer:

स्वतुष्य (Reflexive) जाँच:
चूँकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \( ARA \) सभी \( A \in P(X) \) के लिए सत्य है। अतः \( R \) स्वतुष्य है।
सममित (Symmetric) जाँच:
माना \( ARB \implies A \subset B \) परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि \( B \subset A \) भी हो। (जैसे: यदि \( A = \{1, 2\} \) और \( B = \{1, 2, 3\} \) हो)
अतः \( R \) सममित नहीं है।
संक्रामक (Transitive) जाँच:
अब, यदि \( ARB \) तथा \( BR C \) है तो \( A \subset B \) और \( B \subset C \) ।
\( \implies A \subset C \)
\( \implies ARC \)
अतः \( R \) संक्रामक है।
निष्कर्ष: \( R \) एक तुल्यता संबंध नहीं है क्योंकि यह स्वतुष्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• उपसमुच्चय संबंध \( (\subset) \) हमेशा स्वतुष्य और संक्रामक होता है।
• यह संबंध सममित नहीं होता क्योंकि यदि \( A, B \) का उपसमुच्चय है, तो आवश्यक नहीं कि \( B, A \) का उपसमुच्चय हो।
• तुल्यता संबंध होने के लिए संबंध का स्वतुष्य, सममित और संक्रामक तीनों होना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• उपसमुच्चय की परिभाषा को भूलकर संबंध को सममित मान लेना।
• बिना प्रति उदाहरण (counter-example) दिए सममित न होने की पुष्टि न करना।

Exam Tips:

a) तुल्यता संबंध के तीनों गुणों (स्वतुष्य, सममित, संक्रामक) की अलग-अलग जाँच करें।
b) यदि कोई संबंध तुल्यता संबंध नहीं है, तो प्रति-उदाहरण अवश्य दें।
c) परिभाषाओं को सटीक रूप से लिखें।

Question 4: समुच्चय \(\{1, 2, 3, \dots, n\}\) से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer:

समुच्चय \(\{1, 2, 3, \dots, n\}\) से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या वास्तव में, \( 1, 2, \dots, n \) के कुल क्रमचयो की संख्या के बराबर है।
समुच्चय \(\{1, 2, 3, \dots, n\}\) से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या \(= 1, 2, \dots, n\) के कुल क्रमचयों की संख्या \(= n!\)

मुख्य बिंदु:

• एक परिमित समुच्चय से उसी समुच्चय पर परिभाषित फलन यदि एकैकी है, तो वह आच्छादक भी होगा।
• ऐसे फलनों की कुल संख्या प्रांत के अवयवों के क्रमचयों (permutations) की संख्या के बराबर होती है।
• इसका मान \( n! \) (n-फैक्टोरियल) होता है।

आम गलतियाँ:

• इसे संयोजन (combinations) या किसी अन्य सूत्र से हल करने का प्रयास करना।
• \( n^n \) और \( n! \) में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) आच्छादक और एकैकी फलनों के संयोजनों पर आधारित ऑब्जेक्टिव प्रश्नों के लिए सीधे सूत्र \( n! \) का ध्यान रखें।
b) उत्तर को संक्षिप्त और स्पष्ट रूप में लिखें।

Question 5: मान लीजिए कि \( A = \{-1, 0, 1, 2\}, B = \{-4, -2, 0, 2\} \) और \( f, g: A \to B, \) क्रमशः: \( f(x) = x^2 - x, x \in A \) तथा \( g(x) = 2\left|x - \frac{1}{2}\right| - 1, x \in A \) द्वारा परिभाषित फलन हैं। क्या \( f \) तथा \( g \) समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। (संकेत: नोट कीजिए कि दो फलन \( f: A \to B \) तथा \( g: A \to B \) समान कहलाते हैं यदि \( f(a) = g(a) \forall a \in A \))

Answer:

दिया है: \( A = \{-1, 0, 1, 2\}, B = \{-4, -2, 0, 2\} \), क्रमशः: \( f(x) = x^2 - x \) तथा \( g(x) = 2\left|x - \frac{1}{2}\right| - 1, x \in A \) द्वारा परिभाषित फलन हैं।
इसलिए,
\( f(-1) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2 \) और \( g(-1) = 2\left|-1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2 $
\) \( \implies f(-1) = g(-1) $
\) यहाँ, \( f(0) = (0)^2 - (0) = 0 \) और \( g(0) = 2\left|0 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0 $
\) \( \implies f(0) = g(0) $
\) इसी प्रकार \( f(1) = (1)^2 - (1) = 1 - 1 = 0 \) और \( g(1) = 2\left|1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0 $
\) \( \implies f(1) = g(1) $
\) तथा \( f(2) = (2)^2 - (2) = 4 - 2 = 2 \) और \( g(2) = 2\left|2 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2 $
\) \( \implies f(2) = g(2) $
\) \( \therefore f(a) = g(a) \) सभी \( a \in A \) के लिए
अतः, फलन \( f \) तथा \( g \) समान फलन हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो फलनों को समान होने के लिए उनके प्रांत और सह-प्रांत समान होने चाहिए तथा प्रत्येक \( a \in A \) के लिए \( f(a) = g(a) \) होना चाहिए।
• यहाँ समुच्चय \( A \) के सभी अवयवों पर दोनों फलनों के मान समान प्राप्त हुए हैं।
• मापांक फलन की गणना करते समय धनात्मक और ऋणात्मक चिह्नों का ध्यान रखा गया है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक या दो अवयवों पर मान निकालकर निष्कर्ष निकाल देना।
• मापांक फलन \( \left|x - \frac{1}{2}\right| \) की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) फलन की समानता की जाँच करते समय प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए मान की गणना करें।
b) सभी मानों को सारणीबद्ध या स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएं।
c) अंत में निष्कर्ष अवश्य लिखें।

Question 6: यदि \( A = \{1, 2, 3\} \) हो तो ऐसे संबंध जिनमें अवयव \((1, 2)\) तथा \((1, 3)\) हों और जो स्वतुष्य तथा सममित हैं किंतु संक्रामक नहीं हैं, की संख्या है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

Answer:

दिया है: समुच्चय \( A = \{1, 2, 3\} \)
समुच्चय \( A = \{1, 2, 3\} \) में सबसे छोटा संबंध जिसमें अवयव \((1, 2)\) तथा \((1, 3)\) हों और जो स्वतुष्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक नहीं हो, निम्नलिखित प्रकार से होगा:
\( R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)\} \)
संबंध \( R \) स्वतुष्य है क्योंकि \((1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R \)。
संबंध \( R \) सममित है क्योंकि \((1, 2), (2, 1) \in R \) और \((1, 3), (3, 1) \in R \)。
लेकिन संबंध \( R \) संक्रामक नहीं है क्योंकि \((3, 1), (1, 2) \in R \) परन्तु \((3, 2) \notin R \)。
अब, यदि हम \((3, 2)\) और \((2, 3)\) (या दोनों) को संबंध \( R \) में शामिल कर लें तो संबंध \( R \) संक्रामक भी होगा।
अतः, कुल अभीष्ट संबंध संख्या में 1 ही होगी।
अतः, विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• स्वतुष्य होने के लिए \((1, 1), (2, 2), (3, 3)\) का होना अनिवार्य है।
• सममित होने के लिए यदि \((1, 2)\) और \((1, 3)\) हैं, तो \((2, 1)\) और \((3, 1)\) का होना भी आवश्यक है।
• दी गई शर्तों के अनुसार केवल 1 ही ऐसा संबंध संभव है।

आम गलतियाँ:

• स्वतुष्य और सममित की शर्तों को ठीक से लागू न करना।
• संक्रामक न होने की शर्त को नजरअंदाज कर देना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सभी विकल्पों की क्रमिक जाँच करें।
b) संबंध के क्रमित युग्मों (ordered pairs) को ध्यान से बनाएं।
c) सही विकल्प को स्पष्ट रूप से चिन्हित करें।

Question 7: यदि \( A = \{1, 2, 3\} \) हो तो अवयव \((1, 2)\) वाले तुल्यता संबंधों की संख्या है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

Answer:

दिया है: समुच्चय \( A = \{1, 2, 3\} \)
समुच्चय \( A = \{1, 2, 3\} \) में अवयव \((1, 2)\) वाले सबसे छोटा तुल्यता संबंध:
\( R1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\} \)
इसके अतिरिक्त समुच्चय \( A = \{1, 2, 3\} \) में केवल चार युग्म ही बचे हैं अर्थात् \((2, 3), (3, 2), (1, 3) \) और \((3, 1)\) हैं।
यदि हम एक युग्म, माना \((2, 3)\), को \( R1 \) में शामिल कर लें, तो संबंध को सममित बनाने के लिए, हमें युग्म \((3, 2)\) को भी शामिल करना होगा और साथ ही संक्रामक बनाने के लिए \((1, 3)\) और \((3, 1)\) को भी सम्मिलित करना होगा।
अतः, एकमात्र तुल्यता संबंध (जो \( R1 \) से बड़ा हो) सार्वत्रिक संबंध होगा।
इसप्रकार, अवयव \((1, 2)\) वाले तुल्यता संबंधों की संख्या 2 है।
अतः, विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• तुल्यता संबंध के लिए स्वतुष्य, सममित और संक्रामक होना आवश्यक है।
• समुच्चय \( A = \{1, 2, 3\} \) पर न्यूनतम तुल्यता संबंध जिसमें \((1, 2)\) हो, \( R1 \) है।
• दूसरा संभव तुल्यता संबंध संपूर्ण समुच्चय पर परिभाषित सार्वत्रिक संबंध (universal relation) है।

आम गलतियाँ:

• तुल्यता संबंधों की कुल संख्या ज्ञात करते समय संक्रामक और सममित नियमों की अनदेखी करना।
• केवल एक ही संबंध (सार्वत्रिक) मान लेना और न्यूनतम संबंध को भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले न्यूनतम तुल्यता संबंध बनाएँ।
b) अन्य युग्मों को जोड़ने पर पड़ने वाले प्रभाव (सममित और संक्रामक बनाने के लिए आवश्यक युग्म) की सावधानी से जाँच करें।
c) सही विकल्प (B) का चयन करें।