Download NCERT Solutions for Class 12 Mathematics Chapter 01 संबंध एवं फलन
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Question 1: सिद्ध कीजिए कि \( f: R_* \to R_* \) द्वारा परिभाषित फलन \( f(x) = \frac{1}{x} \), एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ \( R_* \) सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत \( R_* \) को \( N \) से बदल दिया जाए, तब कि सहप्रांत पूर्ववत् \( R_* \) ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
Answer:
दिया गया फलन \( f: R_* \to R_* \) है, जहाँ \( f(x) = \frac{1}{x} \)
एकैकी के लिए:
माना \( x, y \in R_* \), इस प्रकार है कि \( f(x) = f(y) \)
\( \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{y} \)
\( \Rightarrow x = y \)
अतः \( f \) एकैकी फलन है।
आच्छादक के लिए:
यहाँ सहप्रांत में \( y \in R_* \) के लिए, \( x = \frac{1}{y} \in R_* \) का अस्तित्व है, क्योंकि \( y \neq 0 \), जहाँ
\( f(x) = f\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{1}{\frac{1}{y}} = y \)
अतः \( f \) आच्छादक है।
इस प्रकार, \( f \) एकैकी तथा आच्छादक दोनों है।
अब यदि प्रांत को \( N \) से बदल दिया जाए, तो फलन \( g: N \to R_* \) होगा, जहाँ \( g(x) = \frac{1}{x} \)
माना \( x_1, x_2 \in N \), तब \( g(x_1) = g(x_2) \)
\( \Rightarrow \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \)
\( \Rightarrow x_1 = x_2 \)
अतः \( g \) एकैकी फलन है।
परन्तु \( g \) आच्छादक नहीं है, क्योंकि सहप्रांत \( R_* \) में \( 1.2 \) के लिए \( N \) में कोई ऐसा अवयव नहीं है जिसके लिए \( g(x) = \frac{1}{1.2} \) हो।
अतः इस स्थिति में फलन एकैकी तो है परन्तु आच्छादक नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• फलन को एकैकी सिद्ध करने के लिए \( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \) दिखाया जाता है।
• फलन को आच्छादक सिद्ध करने के लिए सहप्रांत के प्रत्येक अवयव \( y \) के संगत प्रांत में पूर्व-प्रतिबिंब \( x \) ज्ञात किया जाता है।
• प्रांत बदलने पर फलन के आच्छादक गुणधर्म पर प्रभाव पड़ सकता है।
आम गलतियाँ:
• केवल मान रखकर जाँच करना, व्यापक विधि का प्रयोग न करना।
• सहप्रांत और प्रांत के समुच्चयों के प्रतिबंधों को ध्यान में न रखना।
• हर में शून्य आने की स्थिति को स्पष्ट न करना।
Exam Tips:
a) एकैकी और आच्छादक के चरणों को हमेशा अलग-अलग headings के साथ लिखें।
b) काउंटर-उदाहरण (counter-example) देते समय समुच्चय के अवयव का विशेष ध्यान रखें।
c) तीर-आरेख (arrow diagram) बनाकर रफ कार्य में इसकी पुष्टि अवश्य कर लें।
Question 2: निम्नलिखित फलनों की एकैकी (Injective) तथा आच्छादक (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
(i) \( f(x) = x^2 \) द्वारा प्रदत्त \( f: N \to N \) फलन है।
(ii) \( f(x) = x^2 \) द्वारा प्रदत्त \( f: Z \to Z \) फलन है।
(iii) \( f(x) = x^2 \) द्वारा प्रदत्त \( f: R \to R \) फलन है।
(iv) \( f(x) = x^3 \) द्वारा प्रदत्त \( f: N \to N \) फलन है।
(v) \( f(x) = x^3 \) द्वारा प्रदत्त \( f: Z \to Z \) फलन है।
Answer:
(i) दिया गया है \( f: N \to N \), जहाँ \( f(x) = x^2 \)
माना \( x, y \in N \) के लिए, \( f(x) = f(y) \)
\( \Rightarrow x^2 = y^2 \)
\( \Rightarrow x = y \) (चूँकि प्राकृत संख्याएँ धनात्मक होती हैं)
अतः फलन एकैकी है।
आच्छादक के लिए: सहप्रांत \( N \) में \( 2 \) के लिए कोई ऐसा \( x \in N \) नहीं है कि \( f(x) = x^2 = 2 \), क्योंकि \( \sqrt{2} \notin N \) ।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
(ii) दिया गया है \( f: Z \to Z \), जहाँ \( f(x) = x^2 \)
यहाँ \( 1, -1 \in Z \) के लिए \( f(1) = 1 \) और \( f(-1) = 1 \), लेकिन \( 1 \neq -1 \) ।
अतः फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक के लिए: सहप्रांत \( Z \) में ऋणात्मक संख्याएँ (जैसे \( -2 \)) मौजूद हैं, जिनका कोई पूर्व-प्रतिबिंब प्रांत \( Z \) में नहीं है क्योंकि किसी भी पूर्णांक का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
(iii) दिया गया है \( f: R \to R \), जहाँ \( f(x) = x^2 \)
यहाँ \( 1, -1 \in R \) के लिए \( f(1) = 1 \) और \( f(-1) = 1 \), लेकिन \( 1 \neq -1 \) ।
अतः फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक के लिए: सहप्रांत \( R \) में \( -2 \) के लिए कोई वास्तविक संख्या \( x \) ऐसी नहीं है कि \( f(x) = -2 \) ।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
(iv) दिया गया है \( f: N \to N \), जहाँ \( f(x) = x^3 \)
माना \( x, y \in N \) के लिए, \( f(x) = f(y) \)
\( \Rightarrow x^3 = y^3 \)
\( \Rightarrow x = y \)
अतः फलन एकैकी है।
आच्छादक के लिए: सहप्रांत \( N \) में \( 2 \) के लिए कोई \( x \in N \) ऐसा नहीं है कि \( f(x) = 2 \) (\( \sqrt[3]{2} \notin N \))।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
(v) दिया गया है \( f: Z \to Z \), जहाँ \( f(x) = x^3 \)
माना \( x, y \in Z \) के लिए, \( f(x) = f(y) \)
\( \Rightarrow x^3 = y^3 \)
\( \Rightarrow x = y \)
अतः फलन एकैकी है।
आच्छादक के लिए: सहप्रांत \( Z \) में \( 2 \) के लिए कोई पूर्णांक \( x \) ऐसा नहीं है कि \( x^3 = 2 \) ।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• समुच्चय \( N \), \( Z \) और \( R \) के अंतर को समझना आवश्यक है।
• वर्ग वाले फलनों में ऋणात्मक और धनात्मक मानों के लिए समान परिणाम आ सकते हैं, जिससे वे एकैकी नहीं रहते।
• घन वाले फलन एकैकी होते हैं क्योंकि \( x^3 = y^3 \) से केवल \( x = y \) ही प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• \( x^2 = y^2 \) से सीधे \( x = y \) लिख देना बिना समुच्चय की प्रकृति देखे।
• आच्छादक सिद्ध करने के लिए केवल एक मान के लिए संतुष्टि दिखाना, जबकि असत्य के लिए एक भी काउंटर-उदाहरण पर्याप्त होता है।
Exam Tips:
a) प्रत्येक उप-प्रश्न (i) से (v) को अलग-अलग हल करें और स्पष्ट रूप से एकैकी व आच्छादक की जाँच लिखें।
b) यदि फलन एकैकी या आच्छादक नहीं है, तो प्रति-उदाहरण (counter-example) अवश्य दें।
c) फलनों के डोमेन और को-डोमेन पर विशेष ध्यान दें।
Question 3: सिद्ध कीजिए कि \( f(x) = [x] \) द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन \( f: R \to R \), न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ \([x]\), \(x\) से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
Answer:
दिया गया फलन \( f: R \to R \), \( f(x) = [x] \) है।
एकैकी के लिए:
यहाँ \( f(1.2) = [1.2] = 1 \) और \( f(1.9) = [1.9] = 1 \)
अतः \( f(1.2) = f(1.9) \), लेकिन \( 1.2 \neq 1.9 \) ।
इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक के लिए:
हम जानते हैं कि महत्तम पूर्णांक फलन का मान हमेशा एक पूर्णांक होता है।
अतः सहप्रांत \( R \) में उपस्थित कोई भी भिन्न संख्या (जैसे \( 0.7 \in R \)) किसी भी \( x \in R \) का प्रतिबिंब नहीं हो सकती क्योंकि \( [x] \) कभी भी दशमलव संख्या नहीं हो सकता।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: दिया गया महत्तम पूर्णांक फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
मुख्य बिंदु:
• महत्तम पूर्णांक फलन \([x]\) हमेशा \(x\) से छोटा या उसके बराबर का सबसे बड़ा पूर्णांक देता है।
• एकैकी की जाँच के लिए दो भिन्न वास्तविक संख्याएँ जिनका पूर्णांक मान समान हो (जैसे \(1.2\) और \(1.9\)) चुनते हैं।
• आच्छादक की जाँच के लिए सहप्रांत में एक ऐसा वास्तविक मान लेते हैं जो पूर्णांक न हो।
आम गलतियाँ:
• \([x]\) और \(|x|\) में भ्रमित होना।
• आच्छादक सिद्ध करते समय केवल पूर्णांकों पर विचार करना जबकि सहप्रांत वास्तविक संख्याओं का समुच्चय \(R\) है।
Exam Tips:
a) महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा को संक्षिप्त रूप में उत्तर के आरंभ में लिखें।
b) एकैकी असत्य सिद्ध करने के लिए दशमलव वाले मानों का उदाहरण सबसे उपयुक्त होता है।
c) स्पष्ट रूप से बताएं कि सहप्रांत के कौन से अवयव (अपूर्णांक) छूट रहे हैं।
Question 4: सिद्ध कीजिए कि \( f(x) = |x| \) द्वारा प्रदत्त मापांक फलन \( f: R \to R \), न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ \( |x| \) बराबर \( x \), यदि \( x \) धन या शून्य है तथा \( |x| \) बराबर \(-x\), यदि \( x \) ऋण है।
Answer:
दिया गया फलन \( f: R \to R \), \( f(x) = |x| \) है।
एकैकी के लिए:
यहाँ \( f(-1) = |-1| = 1 \) और \( f(1) = |1| = 1 \)
अतः \( f(-1) = f(1) \), लेकिन \(-1 \neq 1 \) ।
इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक के लिए:
मापांक फलन \( f(x) = |x| \) सदैव एक धनात्मक संख्या या शून्य होता है, अर्थात् इसका परिसर \([0, \infty)\) है।
सहप्रांत \( R \) में ऋणात्मक संख्याएँ (जैसे \(-1\)) उपस्थित हैं, जिनका कोई भी पूर्व-प्रतिबिंब प्रांत \( R \) में नहीं है क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या का मापांक ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• मापांक फलन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों इनपुट के लिए धनात्मक आउटपुट देता है।
• एकैकी न होने के लिए \( f(-x) = f(x) \) (जहाँ \( x \neq 0 \)) का तर्क दिया जाता है।
• आच्छादक न होने के लिए सहप्रांत के ऋणात्मक वास्तविक मानों का उदाहरण दिया जाता है।
आम गलतियाँ:
• परिसर और सहप्रांत को एक मान लेना।
• मापांक के चिह्न को हल करते समय भूल जाना।
Exam Tips:
a) फलन की परिभाषा को खंडित रूप में लिखकर समझाएं।
b) एकैकी के लिए \( 1 \) और \(-1\) का सरल उदाहरण दें।
c) आच्छादक के लिए परिसर (Range) और सहप्रांत (Co-domain) का अंतर स्पष्ट करें।
Question 5: सिद्ध कीजिए कि \( f: R \to R \), \( f(x) = \begin{cases} 1, & \text{यदि } x > 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \\ -1, & \text{यदि } x < 0 \end{cases} \) द्वारा प्रदत्त चिह्न फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
Answer:
दिया गया फलन \( f: R \to R \) चिह्न फलन (Signum Function) है, जो इस प्रकार परिभाषित है:
\( f(x) = \begin{cases} 1, & \text{यदि } x > 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \\ -1, & \text{यदि } x < 0 \end{cases} \)
एकैकी के लिए:
यहाँ \( 1, 2 \in R \) (जहाँ \( x > 0 \)) के लिए \( f(1) = 1 \) और \( f(2) = 1 \)
अतः \( f(1) = f(2) \), लेकिन \( 1 \neq 2 \) ।
इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक के लिए:
इस फलन का परिसर \( \{ -1, 0, 1 \} \) है, जो कि सहप्रांत \( R \) के बराबर नहीं है।
सहप्रांत \( R \) में कई संख्याएँ (जैसे \( 2 \)) ऐसी हैं जिनका कोई पूर्व-प्रतिबिंब प्रांत \( R \) में नहीं है, क्योंकि फलन का मान केवल \( -1, 0 \) या \( 1 \) ही हो सकता है।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• चिह्न फलन (Signum Function) धनात्मक संख्याओं के लिए \(1\), शून्य के लिए \(0\) और ऋणात्मक संख्याओं के लिए \(-1\) मान देता है।
• एकैकी की जाँच के लिए एक से अधिक धनात्मक या ऋणात्मक मान चुनकर दिखाए जाते हैं।
• आच्छादक के लिए परिसर सीमित होने के कारण सहप्रांत के शेष अवयवों का छूटना बताया जाता है।
आम गलतियाँ:
• फलन की परिभाषा के तीनों खंडों को ठीक से न समझना।
• परिसर और सहप्रांत के अंतर को स्पष्ट न करना।
Exam Tips:
a) फलन के तीनों भागों को स्पष्ट रूप से लिखकर समझाइए।
b) एकैकी न होने के लिए एक ही प्रकार के चिह्न वाले दो अलग-अलग अवयव चुनकर दिखाएं।
c) परिसर \( \{ -1, 0, 1 \} \) लिखकर आच्छादक न होने का ठोस कारण दें।
Question 6: मान लीजिए कि \( A = \{1, 2, 3\}, B = \{4, 5, 6, 7\} \) तथा \( f = \{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\} \) समुच्चय \( A \) से \( B \) तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि \( f \) एकैकी है।
Answer:
दिया गया है: \( A = \{1, 2, 3\} \) और \( B = \{4, 5, 6, 7\} \)
फलन \( f: A \to B \) क्रਮ युग्मों के समुच्चय के रूप में परिभाषित है:
\( f = \{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\} \)
फलन के मान इस प्रकार हैं:
\( f(1) = 4, \quad f(2) = 5, \quad f(3) = 6 \)
यहाँ समुच्चय \( A \) के भिन्न-भिन्न अवयवों के सहप्रांत \( B \) में भिन्न-भिन्न और अद्वितीय प्रतिबिंब हैं:
\( f(1) \neq f(2) \neq f(3) \)
अतः फलन \( f \) एकैकी है।
मुख्य बिंदु:
• सीमित समुच्चय वाले फलनों में प्रत्येक अवयव का मान सीधे देखा जा सकता है।
• एकैकी के लिए डोमेन के सभी अलग-अलग अवयवों का को-डोमेन में अलग प्रतिबिंब होना आवश्यक है।
• यहाँ कोई भी दो भिन्न इनपुट एक ही आउटपुट नहीं दे रहे हैं।
आम गलतियाँ:
• क्रमित युग्मों (Ordered pairs) को ठीक से न पढ़ना।
• सहप्रांत के छूटे हुए अवयव (जैसे \(7\)) को देखकर फलन को आच्छादक समझ लेना (प्रश्न में केवल एकैकी सिद्ध करने को कहा गया है)।
Exam Tips:
a) फलन के प्रत्येक अवयव के मान \( f(1), f(2), f(3) \) को अलग से लिखकर दिखाएं।
b) परिभाषा का हवाला दें कि भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब भिन्न हैं।
c) प्रश्न की माँग के अनुसार केवल एकैकी सिद्ध करने पर ही ध्यान केंद्रित रखें।
Question 7: निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए गए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादक (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए:
(i) \( f(x) = 3 - 4x \) द्वारा परिभाषित फलन \( f: R \to R \) है।
(ii) \( f(x) = 1 + x^2 \) द्वारा परिभाषित फलन \( f: R \to R \) है।
Answer:
(i) दिया गया है \( f: R \to R \), जहाँ \( f(x) = 3 - 4x \)
एकैकी के लिए:
माना \( x_1, x_2 \in R \) इस प्रकार हैं कि \( f(x_1) = f(x_2) \)
\( \Rightarrow 3 - 4x_1 = 3 - 4x_2 \)
\( \Rightarrow -4x_1 = -4x_2 \)
\( \Rightarrow x_1 = x_2 \)
अतः \( f \) एकैकी फलन है।
आच्छादक के लिए:
सहप्रांत \( R \) में किसी वास्तविक संख्या \( y \) के लिए, यदि \( f(x) = y \) हो, तो
\( 3 - 4x = y \)
\( \Rightarrow 4x = 3 - y \)
\( \Rightarrow x = \frac{3 - y}{4} \)
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या \( y \) के लिए \( x = \frac{3 - y}{4} \in R \) का अस्तित्व सहप्रांत में है, इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः दिया गया फलन एकैकी आच्छादक (bijective) है।
(ii) दिया गया है \( f: R \to R \), जहाँ \( f(x) = 1 + x^2 \)
एकैकी के लिए:
माना \( x_1, x_2 \in R \) इस प्रकार हैं कि \( f(x_1) = f(x_2) \)
\( \Rightarrow 1 + x_1^2 = 1 + x_2^2 \)
\( \Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \)
\( \Rightarrow x_1 = \pm x_2 \)
यहाँ \( x_1 \) और \( x_2 \) के मान भिन्न हो सकते हैं (जैसे \( f(1) = f(-1) = 2 \), लेकिन \( 1 \neq -1 \))।
अतः फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक के लिए:
चूँकि \( x^2 \geq 0 \) होता है, इसलिए \( f(x) = 1 + x^2 \geq 1 \) होगा।
सहप्रांत \( R \) में ऋणात्मक संख्याएँ और \( 1 \) से छोटी संख्याएँ (जैसे \( -2 \)) उपस्थित हैं, जिनका कोई पूर्व-प्रतिबिंब प्रांत में नहीं है।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: दिया गया फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
मुख्य बिंदु:
• रैखिक फलन (Linear function) जैसे \( f(x) = ax + b \) (जहाँ \( a \neq 0 \)) हमेशा एकैकी और आच्छादक होते हैं।
• द्विघात फलन (Quadratic function) जैसे \( f(x) = 1 + x^2 \) सामान्यतः एकैकी नहीं होते और उनका परिसर सीमित होता है।
• आच्छादक की जाँच के लिए \( y \) के पदों में \( x \) का मान निकालकर प्रांत में उसकी उपस्थिति की जाँच की जाती है।
आम गलतियाँ:
• \( x_1^2 = x_2^2 \) से सीधे \( x_1 = x_2 \) लिख देना और \( \pm \) को छोड़ देना।
• परिसर (Range) निकाले बिना सीधे आच्छादक लिख देना।
Exam Tips:
a) दोनों उप-प्रश्नों (i) और (ii) को अलग-अलग हल करें।
b) पहले भाग में रैखिक समीकरण को हल करके दिखाएं कि \( x \) का मान हर वास्तविक \( y \) के लिए संभव है।
c) दूसरे भाग में काउंटर-उदाहरण (जैसे \( f(1) = f(-1) \)) का स्पष्ट उल्लेख करें।
Question 8: मान लीजिए कि \( A \) तथा \( B \) दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि \( f: A \times B \to B \times A \) इस प्रकार कि \( f(a, b) = (b, a) \) एक एकैकी आच्छादक (bijective) फलन है।
Answer:
दिया गया है: \( f: A \times B \to B \times A \) इस प्रकार परिभाषित है कि \( f(a, b) = (b, a) \)
एकैकी के लिए:
माना \((a_1, b_1), (a_2, b_2) \in A \times B \) इस प्रकार हैं कि
\( f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \)
\( \Rightarrow (b_1, a_1) = (b_2, a_2) \)
क्र्मित युग्मों की समानता से:
\( b_1 = b_2 \) और \( a_1 = a_2 \)
अतः \( (a_1, b_1) = (a_2, b_2) \)
इसलिए फलन एकैकी है।
आच्छादक के लिए:
सहप्रांत \( B \times A \) से कोई भी स्वेच्छ अवयव \((b, a)\) लीजिए।
चूँकि \( a \in A \) और \( b \in B \), इसलिए प्रांत \( A \times B \) में क्रमित युग्म \((a, b)\) का अस्तित्व इस प्रकार है कि
\( f(a, b) = (b, a) \)
अतः सहप्रांत के प्रत्येक अवयव का पूर्व-प्रतिबिंब प्रांत में विद्यमान है।
इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: दिया गया फलन एकैकी आच्छादक (bijective) है।
मुख्य बिंदु:
• यहाँ डोमेन और को-डोमेन कार्तीय गुणन (Cartesian product) समुच्चय हैं।
• एकैकी सिद्ध करने के लिए दो क्रमित युग्मों के फलनों को बराबर रखकर उनके घटकों की तुलना की जाती है।
• आच्छादक सिद्ध करने के लिए सहप्रांत के सामान्य अवयव \((b, a)\) के संगत प्रांत में \((a, b)\) की उपस्थिति दिखाई जाती है।
आम गलतियाँ:
• क्रमित युग्मों के अवयवों को आपस में मिला देना।
• केवल साधारण संख्याओं की तरह मान मानकर हल करना जबकि यहाँ समुच्चय कार्तीय गुणन रूप में हैं।
Exam Tips:
a) क्रमित युग्मों (Ordered pairs) की समानता के नियम का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) फलन की परिभाषा \( f(a, b) = (b, a) \) को हर चरण में ध्यान में रखें।
c) अंत में स्पष्ट लिखें कि चूँकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है, अतः यह बाइजेक्टिव (bijective) है।
Question 9: मान लीजिए कि समस्त \( n \in N \) के लिए, \( f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2}, & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}, & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases} \) द्वारा परिभाषित एक फलन \( f: N \to N \) है। बतलाइए कि क्या फलन एकैकी आच्छादक (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Answer:
दिया गया है \( f: N \to N \), जहाँ
\( f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2}, & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}, & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases} \)
एकैकी के लिए:
यहाँ \( f(1) = \frac{1+1}{2} = 1 \) और \( f(2) = \frac{2}{2} = 1 \)
अतः \( f(1) = f(2) = 1 \), लेकिन \( 1 \neq 2 \).
इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक के लिए:
माना सहप्रांत \( N \) में कोई प्राकृत संख्या \( n \) है।
स्थिति I: यदि \( n \) विषम संख्या है, तब \( n = 2r + 1 \) (जहाँ \( r \in N \)) के लिए, प्रांत में \( 4r + 1 \in N \) का अस्तित्व होगा क्योंकि
\( f(4r + 1) = \frac{(4r + 1) + 1}{2} = \frac{4r + 2}{2} = 2r + 1 = n \)
स्थिति II: यदि \( n \) सम संख्या है, तब \( n = 2r \) (जहाँ \( r \in N \)) के लिए, प्रांत में \( 4r \in N \) का अस्तित्व होगा क्योंकि
\( f(4r) = \frac{4r}{2} = 2r = n \)
अतः सहप्रांत के प्रत्येक अवयव का पूर्व-प्रतिबिंब प्रांत में विद्यमान है।
इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: दिया गया फलन आच्छादक है परन्तु एकैकी नहीं है, अतः यह एकैकी आच्छादक (bijective) नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• फलन की परिभाषा सम और विषम प्राकृतिक संख्याओं के लिए अलग-अलग दी गई है।
• एकैकी की जाँच के लिए \( f(1) = f(2) = 1 \) काउंटर-उदाहरण का उपयोग किया जाता है।
• आच्छादक सिद्ध करने के लिए सम और विषम दोनों स्थितियों के लिए प्रांत में अवयव खोजे जाते हैं।
आम गलतियाँ:
• सम और विषम दोनों स्थितियों को एक साथ मिलाने की कोशिश करना।
• आच्छादक की जाँच करते समय \( 4r+1 \) और \( 4r \) के चयन में गलती करना।
Exam Tips:
a) एकैकी की जाँच सबसे पहले आसान काउंटर-उदाहरण से करें।
b) आच्छादक की जाँच के लिए सम और विषम स्थितियों को स्पष्ट रूप से 'स्थिति I' और 'स्थिति II' में विभाजित करें।
c) अंत में निष्कर्ष लिखें कि फलन बाइजेक्टिव नहीं है क्योंकि यह एकैकी नहीं है।
Question 10: मान लीजिए कि \( A = R - \{3\} \) तथा \( B = R - \{1\} \) है। \( f(x) = \left(\frac{x-2}{x-3}\right) \) द्वारा परिभाषित फलन \( f: A \to B \) पर विचार कीजिए। क्या \( f \) एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Answer:
दिया गया है: \( A = R - \{3\} \), \( B = R - \{1\} \) और \( f: A \to B \), जहाँ \( f(x) = \frac{x-2}{x-3} \)
एकैकी के लिए:
माना \( x, y \in A \) इस प्रकार हैं कि \( f(x) = f(y) \)
\( \Rightarrow \frac{x-2}{x-3} = \frac{y-2}{y-3} \)
\( \Rightarrow (x-2)(y-3) = (y-2)(x-3) \)
\( \Rightarrow xy - 3x - 2y + 6 = xy - 3y - 2x + 6 \)
\( \Rightarrow -3x - 2y = -3y - 2x \)
\( \Rightarrow -3x + 2x = -3y + 2y \)
\( \Rightarrow -x = -y \)
\( \Rightarrow x = y \)
अतः फलन एकैकी है।
आच्छादक के लिए:
माना सहप्रांत \( B \) में कोई स्वेच्छ अवयव \( y \) है (जहाँ \( y \neq 1 \))।
अब \( f(x) = y \)
\( \Rightarrow \frac{x-2}{x-3} = y \)
\( \Rightarrow x - 2 = y(x - 3) \)
\( \Rightarrow x - 2 = xy - 3y \)
\( \Rightarrow x - xy = 2 - 3y \)
\( \Rightarrow x(1 - y) = 2 - 3y \)
\( \Rightarrow x = \frac{2 - 3y}{1 - y} \)
चूँकि \( y \neq 1 \), इसलिए हर \( (1 - y) \neq 0 \) है। साथ ही यह मान \( A = R - \{3\} \) में भी विद्यमान है।
अतः सहप्रांत \( B \) के प्रत्येक अवयव \( y \) के संगत प्रांत \( A \) में पूर्व-प्रतिबिंब \( x = \frac{2 - 3y}{1 - y} \) का अस्तित्व है।
इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: दिया गया फलन एकैकी तथा आच्छादक दोनों है।
मुख्य बिंदु:
• परिमेय फलनों (Rational functions) के लिए एकैकी सिद्ध करने हेतु क्रिस्-क्रॉस गुणा करके समीकरण को सरल करते हैं।
• आच्छादक सिद्ध करने के लिए \( f(x) = y \) को \( x \) के पदों में हल करके प्रांत का अवयव प्राप्त किया जाता है।
• वर्जित मानों (\(3\) और \(1\)) का विशेष ध्यान रखना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• गुणन खंड हल करते समय चिह्न की गलती करना।
• यह जाँच करना भूल जाना कि प्राप्त \( x \) का मान प्रांत \( A \) में है या नहीं।
Exam Tips:
a) बीजगणितीय चरणों को बहुत सावधानी से हल करें ताकि चिह्न की कोई गलती न हो।
b) आच्छादक सिद्ध करते समय \( y \neq 1 \) का संदर्भ अवश्य दें।
c) अंत में स्पष्ट रूप से लिखें कि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों (bijective) है।
Question 11: मान लीजिए कि \( f: R \to R \), \( f(x) = x^4 \) द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए:
(A) \( f \) एकैकी आच्छादक है
(B) \( f \) बहुएक आच्छादक है
(C) \( f \) एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है
(D) \( f \) न तो एकैकी है और न आच्छादक है
Answer:
दिया गया है \( f: R \to R \), जहाँ \( f(x) = x^4 \)
एकैकी के लिए:
माना \( x, y \in R \) के लिए \( f(x) = f(y) \)
\( \Rightarrow x^4 = y^4 \)
\( \Rightarrow x = \pm y \)
उदाहरण के लिए, \( f(1) = 1 \) और \( f(-1) = 1 \), लेकिन \( 1 \neq -1 \) ।
अतः फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक के लिए:
चूँकि \( x^4 \geq 0 \) होता है, इसलिए सहप्रांत \( R \) में उपस्थित ऋणात्मक संख्याएँ (जैसे \(-2\)) किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिबिंब नहीं हो सकतीं।
अतः फलन आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: दिया गया फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
इसलिए, सही विकल्प (D) है।
मुख्य बिंदु:
• सम घात वाले फलन (\(x^2, x^4\) आदि) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर एकैकी नहीं होते।
• ऐसे फलनों का परिसर केवल ऋणेतर वास्तविक संख्याएँ (\([0, \infty)\)) होता है।
• बहुविकल्पीय प्रश्न में सही विकल्प चुनने से पहले दोनों गुणों (एकैकी और आच्छादक) की जाँच कर लेनी चाहिए।
आम गलतियाँ:
• \( x^4 = y^4 \) से केवल \( x = y \) मान लेना और \( \pm \) को नजरअंदाज करना।
• सहप्रांत \( R \) को ध्यान में न रखकर केवल धनात्मक पक्ष पर विचार करना।
Exam Tips:
a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी संक्षिप्त हल अवश्य लिखकर देखें।
b) काउंटर-उदाहरण (जैसे \(1\) और \(-1\)) का उपयोग करके तुरंत एकैकी न होने की पुष्टि करें।
c) सही विकल्प (D) को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें।
Question 12: मान लीजिए कि \( f: R \to R \), \( f(x) = 3x \) द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर चुनिए:
(A) \( f \) एकैकी आच्छादक है
(B) \( f \) बहुएक आच्छादक है
(C) \( f \) एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है
(D) \( f \) न तो एकैकी है और न आच्छादक है
Answer:
दिया गया है \( f: R \to R \), जहाँ \( f(x) = 3x \)
एकैकी के लिए:
माना \( x, y \in R \) के लिए \( f(x) = f(y) \)
\( \Rightarrow 3x = 3y \)
\( \Rightarrow x = y \)
अतः फलन एकैकी है।
आच्छादक के लिए:
सहप्रांत \( R \) में किसी वास्तविक संख्या \( y \) के लिए, \( x = \frac{y}{3} \in R \) का अस्तित्व इस प्रकार है कि
\( f\left(\frac{y}{3}\right) = 3\left(\frac{y}{3}\right) = y \)
अतः सहप्रांत के प्रत्येक अवयव का पूर्व-प्रतिबिंब प्रांत में विद्यमान है।
इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: दिया गया फलन एकैकी तथा आच्छादक दोनों (bijective) है।
इसलिए, सही विकल्प (A) है।
मुख्य बिंदु:
• \( f(x) = ax \) प्रकार के रैखिक फलन (जहाँ \( a \neq 0 \)) हमेशा एकैकी और आच्छादक होते हैं।
• एकैकी सिद्ध करने के लिए \( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \) का प्रयोग किया जाता है।
• आच्छादक सिद्ध करने के लिए \( x = \frac{y}{a \) रूप का प्रयोग होता है।
आम गलतियाँ:
• सरल रैखिक फलन को भी जटिल मानकर गलती करना।
• सहप्रांत और प्रांत के समुच्चय \( R \) को ध्यान में न रखना।
Exam Tips:
a) यह एक मानक रैखिक फलन है, अतः इसके परिणाम को सीधे याद रखा जा सकता है।
b) परीक्षा में इसके दोनों गुणों (एकैकी और आच्छादक) को संक्षिप्त रूप में हल करके दिखाएं।
c) सही विकल्प (A) को स्पष्ट रूप से चुनें।
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