NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 01 Relations and Functions (संबंध एवं फलन) Exercise 1.1 in Hindi

Question 1: निर्धारित कीजिए कि निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं:
(i) समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, \dots, 13, 14\} \) में संबंध \( R \), इस प्रकार परिभाषित है कि \( R = \{(x, y) : 3x - y = 0\} \)
(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय \( N \) में \( R = \{(x, y) : y = x + 5 \) तथा \( x < 4\} \) द्वारा परिभाषित संबंध \( R \)
(iii) समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) में \( R = \{(x, y) : y \) भाज्य है \( x \) से\} द्वारा परिभाषित संबंध \( R \)
(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय \( Z \) में \( R = \{(x, y) : x - y \) एक पूर्णांक है\} द्वारा परिभाषित संबंध \( R \)
(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के नागरिकों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध \( R \)
(a) \( R = \{(x, y) : x \) तथा \( y \) एक ही स्थान पर कार्य करते हैं\}
(b) \( R = \{(x, y) : x \) तथा \( y \) एक ही मोहल्ले में रहते हैं\}
(c) \( R = \{(x, y) : x, y \) से ठीक-ٹھیک 7 सेमी लंबा है\}
(d) \( R = \{(x, y) : x, y \) की पत्नी है\}
(e) \( R = \{(x, y) : x, y \) का पिता है\}

Answer:

(i) दिया गया समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, \dots, 13, 14\} \) है और संबंध \( R = \{(x, y) : 3x - y = 0\} \)
इस प्रकार \( R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\} \)
सवतुल्य के लिए: \( (1, 1) \notin R \), अतः संबंध \( R \) स्वतुल्य नहीं है।
सममित के लिए: \( (1, 3) \in R \) परंतु \( (3, 1) \notin R \), अतः \( R \) सममित नहीं है।
संक्रामक के लिए: \( (1, 3) \in R \) और \( (3, 9) \in R \) किंतु \( (1, 9) \notin R \), अतः \( R \) संक्रामक नहीं है।

(ii) समुच्चय \( N \) पर \( R = \{(x, y) : y = x + 5, x < 4\} \)
यहाँ \( x < 4 \) के लिए \( x \) का मान \( 1, 2, 3 \) हो सकता है।
\( R = \{(1, 6), (2, 7), (3, 8)\} \)
सवतुल्य: \( (1, 1) \notin R \), अतः स्वतुल्य नहीं है।
सममित: \( (1, 6) \in R \) किंतु \( (6, 1) \notin R \), अतः सममित नहीं है।
संक्रामक: किसी भी युग्म के लिए \( (x, y) \in R \) तथा \( (y, z) \in R \) संभव नहीं है, अतः संक्रामक है।

(iii) समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), संबंध \( R = \{(x, y) : y \) भाज्य है \( x \) से\}
सवतुल्य: प्रत्येक संख्या स्वयं से विभाजित होती है, अतः \( (x, x) \in R \), यह स्वतुल्य है।
सममित: \( (2, 4) \in R \) (चूँकि 4, 2 से विभाजित है) लेकिन \( (4, 2) \notin R \), अतः सममित नहीं है।
संक्रामक: यदि \( (x, y) \in R \) और \( (y, z) \in R \), तो \( x, y \) को विभाजित करता है और \( y, z \) को विभाजित करता है, जिससे \( x, z \) को भी विभाजित करेगा। अतः यह संक्रामक है।

(iv) समुच्चय \( Z \) में \( R = \{(x, y) : x - y \) एक पूर्णांक है\}
सवतुल्य: \( x - x = 0 \), जो कि एक पूर्णांक है। अतः \( (x, x) \in R \) (स्वतुल्य है)।
सममित: यदि \( (x, y) \in R \), तो \( x - y \) एक पूर्णांक है, तब \( -(x - y) = y - x \) भी एक पूर्णांक होगा। अतः \( (y, x) \in R \) (सममित है)।
संक्रामक: यदि \( (x, y) \in R \) और \( (y, z) \in R \), तो \( x - y \) और \( y - z \) पूर्णांक हैं। इनका योग \( (x - y) + (y - z) = x - z \) भी पूर्णांक होगा। अतः \( (x, z) \in R \) (संक्रामक है)।

(v)(a) कार्य स्थान संबंध: यह स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक तीनों है क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति स्वयं के साथ वही कार्य करता है।
(v)(b) मोहल्ला संबंध: यह भी स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक तीनों है।
(v)(c) लंबाई संबंध: कोई भी व्यक्ति स्वयं से 7 सेमी लंबा नहीं हो सकता, अतः स्वतुल्य नहीं है। सममित और संक्रामक भी नहीं है।
(v)(d) पत्नी संबंध: यह स्वतुल्य, सममित और संक्रामक में से कोई भी नहीं है।
(v)(e) पिता संबंध: यह भी स्वतुल्य, सममित और संक्रामक में से कोई भी नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• स्वतुल्य जाँचने के लिए \( (a, a) \in R \) होना आवश्यक है।
• सममित के लिए यदि \( (a, b) \in R \) हो तो \( (b, a) \in R \) होना चाहिए।
• संक्रामक के लिए \( (a, b) \in R \) और \( (b, c) \in R \) से \( (a, c) \in R \) सिद्ध करना होता है।

आम गलतियाँ:

• विद्यार्थी अक्सर सममित जाँचते समय क्रम बदलना भूल जाते हैं।
• संक्रामक संबंध में रिक्त संबंधों को गलत तरीके से असत्य मान लेते हैं।
• समुच्चय के डोमेन का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक स्थिति (स्वतुल्य, सममित, संक्रामक) के लिए अलग-अलग उदाहरण लिखकर स्पष्ट करें।
b) यदि संबंध असत्य है, तो एक प्रति-उदाहरण (counter-example) अवश्य दें।
c) परिभाषाओं को सटीक रूप से लिखें।

Question 2: सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय \( R \) में \( R = \{(a, b) : a \le b^2\} \) द्वारा परिभाषित संबंध \( R \), न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।

Answer:

दिया गया संबंध \( R = \{(a, b) : a \le b^2\} \) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय \( R \) पर है।
सवतुल्य की जाँच:
माना \( a = \frac{1}{2} \), तब \( \frac{1}{2} \le \left(\frac{1}{2}\right)^2 \) अर्थात् \( \frac{1}{2} \le \frac{1}{4} \), जो कि असत्य है।
अतः \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \notin R \), इसलिए संबंध स्वतुल्य नहीं है।
सममित की जाँच:
माना \( (1, 4) \in R \) क्योंकि \( 1 \le 4^2 \) (अर्थात \( 1 \le 16 \)) सत्य है।
परंतु \( (4, 1) \notin R \) क्योंकि \( 4 \le 1^2 \) (अर्थात \( 4 \le 1 \)) असत्य है।
अतः संबंध सममित नहीं है।
संक्रामक की जाँच:
माना \( (3, 2) \in R \) क्योंकि \( 3 \le 2^2 \) (यानि \( 3 \le 4 \)) सत्य है।
और \( (2, 1.5) \in R \) क्योंकि \( 2 \le (1.5)^2 \) (यानि \( 2 \le 2.25 \)) सत्य है।
परंतु \( (3, 1.5) \notin R \) क्योंकि \( 3 \le (1.5)^2 \) (यानि \( 3 \le 2.25 \)) असत्य है।
अतः संबंध संक्रामक नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• वास्तविक संख्याओं के लिए भिन्नात्मक मान (fractions) प्रति-उदाहरण के रूप में सबसे अच्छे होते हैं।
• असत्य सिद्ध करने के लिए एक भी काउंटर-उदाहरण पर्याप्त है।
• असामान्यता (inequality) के प्रश्नों में विशेष सावधानी बरतें।

आम गलतियाँ:

• पूर्णांकों पर ही जाँच करके छोड़ देना, जबकि भिन्नों पर स्थिति बदल जाती है।
• संक्रामक के लिए तीनों अवयव गलत चुनना।

Exam Tips:

a) हमेशा ऐसे मान चुनें जिनकी गणना आसान हो जैसे \( \frac{1}{2}, 2, 3 \) आदि।
b) तीनों भागों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग शीर्षक देकर हल करें।
c) तर्क को गणितीय रूप से स्पष्ट लिखें।

Question 3: जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) में \( R = \{(a, b) : b = a + 1\} \) द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।

Answer:

माना समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) है।
संबंध \( R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)\} \)
सवतुल्य के लिए:
यहाँ \( (1, 1) \notin R \) (क्योंकि \( 1 \neq 1 + 1 \)), अतः संबंध स्वतुल्य नहीं है।
सममित के लिए:
यहाँ \( (1, 2) \in R \) है क्योंकि \( 2 = 1 + 1 \), परंतु \( (2, 1) \notin R \) क्योंकि \( 1 \neq 2 + 1 \), अतः संबंध सममित नहीं है।
संक्रामक के लिए:
यहाँ \( (1, 2) \in R \) और \( (2, 3) \in R \) है, किंतु \( (1, 3) \notin R \) (क्योंकि \( 3 \neq 1 + 1 \)), अतः संबंध संक्रामक नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• सीमित समुच्चय वाले संबंधों में रोस्टर रूप (roster form) लिखना सबसे आसान तरीका है।
• प्रत्येक युग्म की जाँच दी गई शर्त \( b = a + 1 \) के आधार पर की जाती है।
• यदि एक भी शर्त पूरी न हो, तो संबंध वह नहीं रहता।

आम गलतियाँ:

• समुच्चय के सभी अवयवों के लिए स्वतुल्य न होने पर भी हाँ कह देना।
• संक्रामक जाँचते समय मध्यवर्ती अवयव की अनदेखी करना।

Exam Tips:

• रोस्टर रूप में बदलकर प्रश्नों को हल करना परीक्षा में समय बचाता है।
• प्रत्येक परिणाम के अंत में निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें।
• प्रति-उदाहरण अवश्य दें।

Question 4: सिद्ध कीजिए कि \( R \) में \( R = \{(a, b) : a \le b\} \), द्वारा परिभाषित संबंध \( R \) स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

Answer:

दिया गया संबंध \( R = \{(a, b) : a \le b\} \) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय \( R \) पर है।
सवतुल्य के लिए:
प्रत्येक वास्तविक संख्या \( a \) के लिए \( a \le a \) सदैव सत्य होता है।
अतः \( (a, a) \in R \), इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
सममित के लिए:
माना \( (2, 4) \in R \) क्योंकि \( 2 \le 4 \) सत्य है।
परंतु \( (4, 2) \notin R \) क्योंकि \( 4 \le 2 \) असत्य है।
अतः संबंध सममित नहीं है।
संक्रामक के लिए:
माना \( (a, b) \in R \) और \( (b, c) \in R \), जिसका अर्थ है \( a \le b \) और \( b \le c \) ।
इससे प्राप्त होता है कि \( a \le c \), अत: \( (a, c) \in R \) ।
इसलिए संबंध संक्रामक है।

मुख्य बिंदु:

• \( \le \) (छोटा या बराबर) का संबंध हमेशा स्वतुल्य और संक्रामक होता है।
• सममित की जाँच के लिए एक विपरीत असमानता वाला उदाहरण देना होता है।
• बीजगणितीय प्रमाण संक्रामक के लिए सबसे सटीक होते हैं।

आम गलतियाँ:

• संक्रामक सिद्ध करते समय चरों \( a, b, c \) का सही क्रम न लिखना।
• सममित और संक्रामक में भ्रमित होना।

Exam Tips:

• असमानता वाले प्रश्नों में सामान्य संख्याओं का उदाहरण देकर सममितता का खंडन करें।
• संक्रामक सिद्ध करते समय चर विधि का प्रयोग करें।
• सभी चरणों को क्रमानुसार लिखें।

Question 5: जाँच कीजिए कि क्या \( R \) में \( R = \{(a, b) : a \le b^3\} \) द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है।

Answer:

दिया गया संबंध \( R = \{(a, b) : a \le b^3\} \) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर है।
सवतुल्य के लिए:
माना \( a = \frac{1}{2} \), तब \( \frac{1}{2} \le \left(\frac{1}{2}\right)^3 \) अर्थात \( \frac{1}{2} \le \frac{1}{8} \), जो कि असत्य है।
अतः \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \notin R \), इसलिए संबंध स्वतुल्य नहीं है।
सममित के लिए:
माना \( (1, 2) \in R \) क्योंकि \( 1 \le 2^3 \) (अर्थात \( 1 \le 8 \)) सत्य है।
परंतु \( (2, 1) \notin R \) क्योंकि \( 2 \le 1^3 \) (अर्थात \( 2 \le 1 \)) असत्य है।
अतः संबंध सममित नहीं है।
संक्रामक के लिए:
माना \( (3, \frac{3}{2}) \in R \) और \( (\frac{3}{2}, \frac{5}{4}) \in R \), किंतु \( 3 \le \left(\frac{5}{4}\right)^3 \) असत्य है।
अतः संबंध संक्रामक नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• घन (cube) से संबंधित असमानताएँ भिन्नों के लिए असत्य सिद्ध करना आसान होता है।
• प्रत्येक जाँच के लिए उपयुक्त मान का चयन महत्वपूर्ण है।
• तार्किक चरणों का पालन करें।

आम गलतियाँ:

• केवल पूर्णांकों की जाँच करके निष्कर्ष निकालना।
• गणना में घात (power) की गलती करना।

Exam Tips:

a) \( 0 \) और \( 1 \) के बीच की संख्याओं का चयन करें।
b) तीनों भागों को स्पष्ट रूप से अलग दिखाएं।
c) कारण सहित उत्तर दें।

Question 6: सिद्ध कीजिए कि समुच्चय \(\{1, 2, 3\}\) में \( R = \{(1, 2), (2, 1)\} \) द्वारा प्रदत्त संबंध \( R \) सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक है।

Answer:

समुच्चय \( A = \{1, 2, 3\} \) और \( R = \{(1, 2), (2, 1)\} \)
सवतुल्य के लिए:
यहाँ \( (1, 1), (2, 2), (3, 3) \notin R \), अतः संबंध स्वतुल्य नहीं है।
सममित के लिए:
चूँकि \( (1, 2) \in R \) है और इसका उल्टा \( (2, 1) \in R \) भी विद्यमान है, अतः संबंध सममित है।
संक्रामक के लिए:
यहाँ \( (1, 2) \in R \) और \( (2, 1) \in R \) है, किंतु \( (1, 1) \notin R \), अतः संबंध संक्रामक नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• छोटे समुच्चयों के लिए सभी अवयवों की जाँच प्रत्यक्ष रूप से की जा सकती है।
• सममित होने के लिए प्रत्येक \( (a, b) \) का \( (b, a) \) होना आवश्यक है।
• संक्रामक के लिए \( (a, b) \) व \( (b, c) \) से \( (a, c) \) की तलाश करें।

आम गलतियाँ:

• केवल एक युग्म को देखकर संक्रामक मान लेना।
• स्वतुल्य के लिए एक भी अवयव की अनुपस्थिति को नजरअंदाज करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक स्थिति को एक-एक लाइन में स्पष्ट करें।
b) समुच्चय के सभी अवयवों को ध्यान में रखें।
c) निष्कर्ष को अंतिम पंक्ति में स्पष्ट लिखें।

Question 7: सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय \( A \) में \( R = \{(x, y) : x \) तथा \( y \) में पृष्ठों की संख्या समान है\} द्वारा प्रदत्त संबंध \( R \) एक तुल्यता संबंध है।

Answer:

समुच्चय \( A \) पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों का समुच्चय है और \( R = \{(x, y) : x \) तथा \( y \) में पृष्ठों की संख्या समान है\}
सवतुल्य के लिए:
प्रत्येक पुस्तक \( x \in A \) के लिए, \( x \) में पृष्ठों की संख्या स्वयं के पृष्ठों की संख्या के समान होगी।
अतः \( (x, x) \in R \), इसलिए \( R \) स्वतुल्य है।
सममित के लिए:
यदि \( (x, y) \in R \), तो पुस्तक \( x \) और \( y \) में पृष्ठों की संख्या समान है।
इसका अर्थ है कि पुस्तक \( y \) और \( x \) में भी पृष्ठों की संख्या समान होगी।
अतः \( (y, x) \in R \), इसलिए \( R \) सममित है।
संक्रामक के लिए:
यदि \( (x, y) \in R \) और \( (y, z) \in R \), तो \( x \) और \( y \) में पृष्ठों की संख्या समान है तथा \( y \) और \( z \) में भी पृष्ठों की संख्या समान है।
अतः \( x \) और \( z \) में भी पृष्ठों की संख्या समान होगी।
इसलिए \( (x, z) \in R \), अतः \( R \) संक्रामक है।
चूँकि संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक तीनों है, अतः \( R \) एक तुल्यता संबंध है।

मुख्य बिंदु:

• तुल्यता संबंध सिद्ध करने के लिए तीनों गुणों (स्वतुल्य, सममित, संक्रामक) का होना अनिवार्य है।
• समानता (equality) वाले संबंध हमेशा तुल्यता संबंध होते हैं।
• भाषा को तार्किक रूप से व्यवस्थित करें।

आम गलतियाँ:

• तीनों में से किसी एक की भी उपेक्षा करना।
• परिभाषा की बजाय सीधे हाँ लिख देना।

Exam Tips:

a) प्रश्न के तीनों भागों को अलग-अलग हेडिंग के साथ हल करें।
b) अंत में "अतः यह एक तुल्यता संबंध है" की घोषणा अवश्य करें।
c) स्पष्ट भाषा का प्रयोग करें।

Question 8: सिद्ध कीजिए कि समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) में, \( R = \{(a, b) : |a - b| \) सम है\} द्वारा प्रदत्त संबंध \( R \) एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि \(\{1, 3, 5\}\) के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय \(\{2, 4\}\) के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु \(\{1, 3, 5\}\) का कोई भी अवयव \(\{2, 4\}\) के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।

Answer:

समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) और \( R = \{(a, b) : |a - b| \) सम है\}
सवतुल्य के लिए:
प्रत्येक \( a \in A \) के लिए \( |a - a| = 0 \), जो कि एक सम संख्या है।
अतः \( (a, a) \in R \), इसलिए \( R \) स्वतुल्य है।
सममित के लिए:
यदि \( (a, b) \in R \), तो \( |a - b| \) सम है।
चूँकि \( |a - b| = |b - a| \), अतः \( |b - a| \) भी सम होगा।
इसलिए \( (b, a) \in R \), अतः \( R \) सममित है।
संक्रामक के लिए:
यदि \( (a, b) \in R \) और \( (b, c) \in R \), तो \( |a - b| \) और \( |b - c| \) सम हैं।
इसका अर्थ है कि \( (a - b) \) और \( (b - c) \) दोनों सम हैं, जिससे उनका योग \( (a - b) + (b - c) = (a - c) \) भी सम होगा।
अतः \( |a - c| \) सम है, इसलिए \( (x, z) \in R \), अतः \( R \) संक्रामक है।
अतः \( R \) एक तुल्यता संबंध है।
पुनः, समुच्चय \(\{1, 3, 5\}\) के किन्हीं भी दो अवयवों का अंतर हमेशा सम होता है (जैसे \( |1 - 3| = 2 \), सम है), अतः ये सभी एक-दूसरे से संबंधित हैं। इसी प्रकार \(\{2, 4\}\) के अवयव भी संबंधित हैं। परंतु विषम और सम संख्याओं का अंतर हमेशा विषम होता है, अतः \(\{1, 3, 5\}\) का कोई भी अवयव \(\{2, 4\}\) के अवयव से संबंधित नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• मापांक (modulus) के गुणधर्मों का उपयोग करें।
• दो सम संख्याओं का योग और अंतर हमेशा सम होता है।
• सम और विषम संख्याओं के अंतर की मूल प्रकृति को समझें।

आम गलतियाँ:

• मापांक चिह्न की उपेक्षा करना।
• सम-विषम के तर्क को स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) तुल्यता संबंध सिद्ध करने के बाद उप-भाग (sub-part) को अलग से हल करें।
b) उदाहरण देकर स्पष्ट करें कि सम और विषम का अंतर विषम होता है।
c) सभी चरणों को सुव्यवस्थित लिखें।

Question 9: सिद्ध कीजिए कि समुच्चय \( A = \{x \in Z : 0 \le x \le 12\} \) में दिए गए निम्नलिखित संबंधों \( R \) में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
(i) \( R = \{(a, b) : |a - b| \) 4 का एक गुणज है\};
(ii) \( R = \{(a, b) : a = b\} \)
प्रत्येक दशा में \( 1 \) से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।

Answer:

(i) समुच्चय \( A = \{0, 1, 2, \dots, 12\} \) और \( R = \{(a, b) : |a - b|, 4 \) का एक गुणज है\}
सवतुल्य: \( |a - a| = 0 \), जो 4 का गुणज है। अतः \( (a, a) \in R \) (स्वतुल्य है)।
सममित: यदि \( (a, b) \in R \), तो \( |a - b| \) चार का गुणज है, जिससे \( |b - a| \) भी चार का गुणज होगा। अतः \( (b, a) \in R \) (सममित है)।
संक्रामक: यदि \( (a, b) \in R \) और \( (b, c) \in R \), तो \( |a - b| \) तथा \( |b - c| \) चार के गुणज हैं। इनका योग \( a - c \) भी चार का गुणज होगा। अतः \( (a, c) \in R \) (संक्रामक है)।
अतः \( R \) एक तुल्यता संबंध है।
\( 1 \) से संबंधित अवयव: वे अवयव \( x \) जिनके लिए \( |1 - x| \) चार का गुणज हो, वे हैं: \(\{1, 5, 9\}\) ।
(ii) \( R = \{(a, b) : a = b\} \)
यह स्पष्ट है कि यह एक तत्समक संबंध है जो कि स्वतुल्य, सममित और संक्रामक तीनों है, अतः यह तुल्यता संबंध है।
\( 1 \) से संबंधित केवल अवयव \( \{1\} \) है।

मुख्य बिंदु:

• चार का गुणज होने का अर्थ है कि अंतर \( 4, 8, 12 \) आदि हो सकता है।
• समुच्चय सीमित है, इसलिए सभी संबंधित अवयवों को आसानी से सूचीबद्ध किया जा सकता है।
• तुल्यता वर्ग (equivalence class) की अवधारणा का प्रयोग करें।

आम गलतियाँ:

• 4 के गुणज में शून्य को शामिल न करना।
• संबंधित अवयव निकालते समय समुच्चय \( A \) की सीमा से बाहर जाना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों को (i) और (ii) डालकर अलग-अलग हल करें।
b) संबंधित अवयवों को समुच्चय कोष्ठक में ही लिखें।
c) गुणज की परिभाषा को स्पष्ट रूप से समझाएं।

Question 10: ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो
(i) सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।
(ii) संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।
(v) सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।

Answer:

(i) माना समुच्चय \( A = \{5, 6, 7\} \) तथा संबंध \( R = \{(5, 6), (6, 5)\} \)
यह सममित है, किंतु \( (5, 5) \notin R \) होने से स्वतुल्य नहीं है और संक्रामक भी नहीं है।
(ii) समुच्चय \( R \) में \( R = \{(a, b) : a < b\} \) (वास्तविक संख्याओं पर)
यह संक्रामक है, परंतु \( a < a \) असंभव होने से स्वतुल्य नहीं है और सममित भी नहीं है।
(iii) समुच्चय \( A = \{4, 6, 8\} \) पर \( R = \{(4, 4), (6, 6), (8, 8), (4, 6), (6, 4), (6, 8), (8, 6)\} \)
यह स्वतुल्य और सममित है, किंतु \( (4, 8) \notin R \) होने से संक्रामक नहीं है।
(iv) \( R = \{(a, b) : a^2 \ge b^2\} \) (वास्तविक संख्याओं पर)
यह स्वतुल्य और संक्रामक है, किंतु सममित नहीं है।
(v) समुच्चय \( A = \{-5, -6\} \) पर \( R = \{(-5, -6), (-6, -5), (-5, -5)\} \)
यह सममित और संक्रामक है, किंतु \( (-6, -6) \notin R \) होने से स्वतुल्य नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• ऐसे प्रश्नों में छोटे और स्पष्ट उदाहरणों का प्रयोग करना चाहिए।
• प्रत्येक स्थिति के लिए काउंटर-उदाहरण ही मुख्य आधार हैं।
• संबंध की परिभाषाओं का सही संयोजन बनाएं।

आम गलतियाँ:

• उदाहरण चुनते समय अन्य गुणों का अनजाने में आ जाना।
• समुच्चय को परिभाषित किए बिना सीधे संबंध लिखना।

Exam Tips:

a) सभी पाँचों भागों को स्पष्ट रूप से संख्यांकित करके हल करें।
b) छोटे समुच्चय (जैसे 2 या 3 अवयव वाले) चुनें ताकि गणना सरल हो।
c) प्रत्येक के लिए कारण संक्षेप में दें।

Question 11: सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, \( R = \{(P, Q) : \) बिंदु \( P \) की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु \( Q \) की मूल बिंदु से दूरी के समान है\} द्वारा प्रदत्त संबंध \( R \) एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु \( P \neq (0, 0) \) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय \( P \) से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।

Answer:

संबंध \( R = \{(P, Q) : OP = OQ\} \), जहाँ \( O \) मूल बिंदु है।
सवतुल्य के लिए: प्रत्येक बिंदु \( P \) के लिए \( OP = OP \), अतः \( (P, P) \in R \), संबंध स्वतुल्य है।
सममित के लिए: यदि \( (P, Q) \in R \), तो \( OP = OQ \), जिससे \( OQ = OP \), अतः \( (Q, P) \in R \), संबंध सममित है।
संक्रामक के लिए: यदि \( (P, Q) \in R \) और \( (Q, S) \in R \), तो \( OP = OQ \) और \( OQ = OS \), जिससे \( OP = OS \), अतः \( (P, S) \in R \), संबंध संक्रामक है।
अतः \( R \) एक तुल्यता संबंध है।
बिंदु \( P \neq (0, 0) \) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय उन सभी बिंदुओं का बिंदुपथ है जिनकी मूल बिंदु से दूरी \( OP = k \) (अचर) है। यह समीकरण \( x^2 + y^2 = k^2 \) को निरूपित करता है, जो मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त है।

मुख्य बिंदु:

• मूल बिंदु से समान दूरी वाले बिंदुओं का समुच्चय वृत्त बनाता है।
• तुल्यता संबंध के तीनों चरणों को मानक रूप में लिखें।
• ज्यामितीय व्याख्या को स्पष्ट करें।

आम गलतियाँ:

• वृत्त के समीकरण और केंद्र को स्पष्ट रूप से न दर्शाना।
• मूल बिंदु को शामिल करने में गलती करना।

Exam Tips:

a) तुल्यता संबंध सिद्ध करने के बाद ज्यामितीय भाग को अलग से समझाएं।
b) \( OP = k \) की त्रिज्या वाली बात का उल्लेख अवश्य करें।
c) स्पष्ट चित्र या समीकरण का प्रयोग करें।

Question 12: सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय \( A \) में \( R = \{(T_1, T_2) : T_1, T_2 \) के समरूप है\} द्वारा परिभाषित संबंध \( R \) एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं \( 3, 4, 5 \) वाले समकोण त्रिभुज \( T_1 \), भुजाओं \( 5, 12, 13 \) वाले समकोण त्रिभुज \( T_2 \) तथा भुजाओं \( 6, 8, 10 \) वाले समकोण त्रिभुज \( T_3 \) पर विचार कीजिए। \( T_1, T_2 \) और \( T_3 \) में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?

Answer:

संबंध \( R = \{(T_1, T_2) : T_1, T_2 \) के समरूप है\}
सवतुल्य: प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है, अतः \( (T_1, T_1) \in R \) (स्वतुल्य है)।
सममित: यदि \( (T_1, T_2) \in R \), तो \( T_1, T_2 \) के समरूप है, जिससे \( T_2, T_1 \) के समरूप होगा। अतः \( (T_2, T_1) \in R \) (सममित है)।
संक्रामक: यदि \( (T_1, T_2) \in R \) तथा \( (T_2, T_3) \in R \), तो \( T_1, T_2 \) के समरूप है और \( T_2, T_3 \) के समरूप है, जिससे \( T_1, T_3 \) के समरूप होगा। अतः \( (T_1, T_3) \in R \) (संक्रामक है)।
अतः यह एक तुल्यता संबंध है।
त्रिभुजों की समरूपता की जाँच के लिए संगत भुजाओं का अनुपात समान होना चाहिए:
त्रिभुज \( T_1 \) (भुजाएँ 3, 4, 5) और त्रिभुज \( T_3 \) (भुजाएँ 6, 8, 10) के लिए:
\( \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
चूँकि संगत भुजाएँ समानुपाती हैं, अतः \( T_1 \) और \( T_3 \) परस्पर संबंधित हैं।

मुख्य बिंदु:

• समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात समान होता है।
• तुल्यता संबंध के तीनों चरणों को भली-भांति सिद्ध करें।
• दिए गए मानों से संगत अनुपात निकालें।

आम गलतियाँ:

• गलत भुजाओं का अनुपात आपस में तुलना करना।
• समरूपता और सर्वांगसमता में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) भुजाओं के अनुपातों को भिन्न के रूप में स्पष्ट रूप से दिखाएं।
b) निष्कर्ष में बताएं कि कौन से त्रिभुज समरूप हैं।
c) ज्यामितीय नियमों का सही हवाला दें।

Question 13: सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय \( A \) में, \( R = \{(P_1, P_2) : P_1 \) तथा \( P_2 \) की भुजाओं की संख्या समान है\} प्रकार से परिभाषित संबंध \( R \) एक तुल्यता संबंध है। \( 3, 4 \) और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय \( A \) के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

Answer:

संबंध \( R = \{(P_1, P_2) : P_1 \) तथा \( P_2 \) की भुजाओं की संख्या समान है\}
सवतुल्य: प्रत्येक बहुभुज \( P_1 \) की भुजाओं की संख्या स्वयं के समान होती है, अतः \( (P_1, P_1) \in R \) (स्वतुल्य है)।
सममित: यदि \( (P_1, P_2) \in R \), तो \( P_1 \) और \( P_2 \) की भुजाओं की संख्या समान है, जिससे \( P_2 \) और \( P_1 \) की भी भुजाओं की संख्या समान होगी। अतः \( (P_2, P_1) \in R \) (सममित है)।
संक्रामक: यदि \( (P_1, P_2) \in R \) तथा \( (P_2, P_3) \in R \), तो \( P_1 \) व \( P_2 \) तथा \( P_2 \) व \( P_3 \) की भुजाओं की संख्या समान है, जिससे \( P_1 \) और \( P_3 \) की भी भुजाओं की संख्या समान होगी। अतः \( (P_1, P_3) \in R \) (संक्रामक है)।
अतः यह एक तुल्यता संबंध है।
दिया गया त्रिभुज 3 भुजाओं वाला बहुभुज (त्रिभुज) है। अतः इससे संबंधित समुच्चय \( A \) के वे सभी अवयव होंगे जिनमें भुजाओं की संख्या 3 हो, अर्थात् \( A \) के सभी त्रिभुजों का समुच्चय।

मुख्य बिंदु:

• बहुभुज की भुजाओं की संख्या एक निश्चित पूर्णांक होती है।
• तुल्यता संबंध के तीनों चरणों को स्पष्ट लिखें।
• संबंधित समुच्चय में वही बहुभुज आएंगे जिनकी भुजाएँ समान हों।

आम गलतियाँ:

• त्रिभुज को छोड़कर अन्य बहुभुजों को संबंधित मान लेना।
• भुजाओं की संख्या के बजाय लंबाई की तुलना करना।

Exam Tips:

a) तुल्यता संबंध सिद्ध करने के बाद संबंधित समुच्चय की परिभाषा स्पष्ट करें।
b) त्रिकोणीय संबंध को स्पष्ट शब्दों में लिखें।
c) मानक शब्दावली का प्रयोग करें।

Question 14: मान लीजिए कि \( XY \)-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय \( L \) है और \( R = \{(L_1, L_2) : L_1 \) समांतर है \( L_2 \) के\} द्वारा परिभाषित संबंध \( R \) है। सिद्ध कीजिए कि \( R \) एक तुल्यता संबंध है। रेखा \( y = 2x + 4 \) से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

Answer:

संबंध \( R = \{(L_1, L_2) : L_1 \) समांतर है \( L_2 \) के\}
सवतुल्य: प्रत्येक रेखा स्वयं के समांतर होती है, अतः \( (L_1, L_1) \in R \) (स्वतुल्य है)।
सममित: यदि \( (L_1, L_2) \in R \), तो रेखा \( L_1, L_2 \) के समांतर है, जिससे \( L_2 \) भी \( L_1 \) के समांतर होगी। अतः \( (L_2, L_1) \in R \) (सममित है)।
संक्रामक: यदि \( (L_1, L_2) \in R \) तथा \( (L_2, L_3) \in R \), तो \( L_1, L_2 \) के समांतर है और \( L_2, L_3 \) के समांतर है, जिससे \( L_1, L_3 \) के समांतर होगी। अतः \( (L_1, L_3) \in R \) (संक्रामक है)।
अतः \( R \) एक तुल्यता संबंध है।
दी गई रेखा \( y = 2x + 4 \) की ढाल (slope) \( m = 2 \) है। समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है। अतः इस रेखा से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय \( y = 2x + c \) के रूप का होगा, जहाँ \( c \) एक अचर है।

मुख्य बिंदु:

• समांतर रेखाओं की ढाल (slope) समान होती है।
• तुल्यता संबंध सिद्ध करने के लिए तीनों नियमों का पालन अनिवार्य है।
• समीकरण में अचर पद \( c \) बदलता है।

आम गलतियाँ:

• ढाल (slope) को बदलते समय गलती करना।
• तुल्यता संबंध के चरणों को अधूरा छोड़ देना।

Exam Tips:

a) रेखाओं के समांतर होने के गुण को ज्यामितीय रूप से समझाएं।
b) संबंधित रेखाओं का समीकरण \( y = 2x + c \) रूप में लिखें।
c) अचर \( c \) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।

Question 15: मान लीजिए कि समुच्चय \(\{1, 2, 3, 4\}\) में, \( R = \{(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)\} \) द्वारा परिभाषित संबंध \( R \) है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए:
(A) \( R \) स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है।
(B) \( R \) स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
(C) \( R \) सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतुल्य नहीं है।
(D) \( R \) एक तुल्यता संबंध है।

Answer:

समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) और \( R = \{(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)\} \)
सवतुल्य के लिए: चूँकि \( (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \in R \) हैं, अतः संबंध स्वतुल्य है।
सममित के लिए: \( (1, 2) \in R \) है, किंतु इसका प्रतिलोम \( (2, 1) \notin R \) है, अतः संबंध सममित नहीं है।
संक्रामक के लिए: सभी \( (a, b) \) और \( (b, c) \) के लिए \( (a, c) \in R \) संतुष्ट होता है (जैसे \( (1, 3) \) और \( (3, 2) \) से \( (1, 2) \in R \) है), अतः संबंध संक्रामक है।
अतः सही विकल्प (B) है: \( R \) स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• बहुविकल्पीय प्रश्न में प्रत्येक विकल्प को क्रमानुसार जाँचें।
• सभी अवयवों के लिए \( (a, a) \) की उपस्थिति स्वतुल्य सिद्ध करती है।
• संक्रामक की जाँच के लिए सभी युग्मों का परीक्षण करें।

आम गलतियाँ:

• \( (3, 2) \) और अन्य युग्मों की संक्रामकता जाँचने में चूक होना।
• बिना सोचे-समझे तुल्यता संबंध टिक करना।

Exam Tips:

a) रफ़ कार्य में सभी युग्मों को लिखकर जाँच करें।
b) सही विकल्प का चयन करने के बाद उचित कारण भी लिखें।
c) समय बचाने के लिए सीधे प्रति-उदाहरण ढूँढें।

Question 16: मान लीजिए कि समुच्चय \( N \) में, \( R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\} \) द्वारा प्रदत्त संबंध \( R \) है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए:
(A) \((2, 4) \in R\)
(B) \((3, 8) \in R\)
(C) \((6, 8) \in R\)
(D) \((8, 7) \in R\)

Answer:

संबंध \( R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\} \)
शर्त के अनुसार \( b > 6 \) होना अनिवार्य है।
विकल्प (A) \( (2, 4) \in R \): यहाँ \( b = 4 \) है, जो कि \( 4 > 6 \) की शर्त को पूरा नहीं करता, अतः असत्य है।
विकल्प (B) \( (3, 8) \in R \): \( 3 = 8 - 2 = 6 \) (असत्य है)।
विकल्प (C) \( (6, 8) \in R \): यहाँ \( b = 8 > 6 \) है और \( a = 8 - 2 = 6 \) है, जो कि सत्य है।
विकल्प (D) \( (8, 7) \in R \): \( 8 = 7 - 2 = 5 \) (असत्य है)।
अतः सही विकल्प (C) है।

मुख्य बिंदु:

• प्रतिबंध \( b > 6 \) सबसे पहले जाँचने योग्य है।
• दिए गए मानों को \( a = b - 2 \) में प्रतिस्थापित करके देखें।
• प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर आधारित प्रश्न है।

आम गलतियाँ:

• \( b > 6 \) की शर्त को नजरअंदाज करके केवल समीकरण देखना।
• \( a \) और \( b \) के क्रम में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक विकल्प को समीकरण में रखकर सत्यता की जाँच करें।
b) प्रतिबंधों को सबसे पहले प्राथमिकता दें।
c) सही विकल्प को स्पष्ट रूप से चिन्हित करें।