NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 03 Matrices (आव्यूह) Exercise 3.3 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित आव्यूह में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए:
(i) \( \begin{bmatrix} 5 \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{bmatrix} \)
(ii) \( \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \)
(iii) \( \begin{bmatrix} -1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix} \)

Answer:

(i) माना \( A = \begin{bmatrix} 5 \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{bmatrix} \)
अतः परिवर्त आव्यूह \( A' = \begin{bmatrix} 5 & \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix} \)

(ii) माना \( B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \)
अतः परिवर्त आव्यूह \( B' = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \)

(iii) माना \( C = \begin{bmatrix} -1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix} \)
अतः परिवर्त आव्यूह \( C' = \begin{bmatrix} -1 & \sqrt{3} & 2 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -1 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी आव्यूह का परिवर्त निकालने के लिए पंक्तियों को स्तंभों में और स्तंभों को पंक्तियों में बदलते हैं।
• यदि आव्यूह की कोटि \( m \times n \) है, तो उसके परिवर्त की कोटि \( n \times m \) होती है।
• परिवर्त आव्यूह को \( A' \) या \( A^T \) से प्रदर्शित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलते समय अवयवों के चिह्न बदल देना।
• कोटि को सही ढंग से परिवर्तित न करना।
• आव्यूह के कोष्ठक सही प्रकार से न लगाना।

Exam Tips:

a) परिवर्त ज्ञात करते समय प्रत्येक पंक्ति को क्रमानुसार स्तंभ में लिखें।
b) उत्तर लिखते समय अंत में \( A' \) या \( B' \) का संकेत अवश्य दें।
c) गणना की स्पष्टता के लिए कोष्ठक बड़े और स्पष्ट बनाएँ।

Question 2: यदि \( A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \) तथा \( B = \begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \) हैं तो सत्यापित कीजिए कि:
(i) \( (A + B)' = A' + B' \)
(ii) \( (A - B)' = A' - B' \)

Answer:

(i) दिया गया है:
\( A + B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -1 - 4 & 2 + 1 & 3 - 5 \\ 5 + 1 & 7 + 2 & 9 + 0 \\ -2 + 1 & 1 + 3 & 1 + 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & 9 \\ -1 & 4 & 2 \end{bmatrix} \)
अतः \( (A + B)' = \begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{bmatrix} \) ...(1)
अब, \( A' = \begin{bmatrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \end{bmatrix} \) तथा \( B' = \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A' + B' = \begin{bmatrix} -1 - 4 & 5 + 1 & -2 + 1 \\ 2 + 1 & 7 + 2 & 1 + 3 \\ 3 - 5 & 9 + 0 & 1 + 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{bmatrix} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि \( (A + B)' = A' + B' \) ।

(ii) \( A - B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -1 - (-4) & 2 - 1 & 3 - (-5) \\ 5 - 1 & 7 - 2 & 9 - 0 \\ -2 - 1 & 1 - 3 & 1 - 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 8 \\ 4 & 5 & 9 \\ -3 & -2 & 0 \end{bmatrix} \)
अतः \( (A - B)' = \begin{bmatrix} 3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0 \end{bmatrix} \) ...(1)
अब, \( A' - B' = \begin{bmatrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -1 - (-4) & 5 - 1 & -2 - 1 \\ 2 - 1 & 7 - 2 & 1 - 3 \\ 3 - (-5) & 9 - 0 & 1 - 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0 \end{bmatrix} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि \( (A - B)' = A' - B' \) ।

मुख्य बिंदु:

• आव्यूहों के योग और अंतर का परिवर्त उनके अलग-अलग परिवर्तों के योग और अंतर के बराबर होता है।
• संगत अवयवों को जोड़ते या घटाते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखना चाहिए।
• सत्यापन वाले प्रश्नों में दोनों पक्षों (LHS और RHS) को अलग-अलग हल करके समान दिखाना होता है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिह्नों को आपस में जोड़ते या घटाते समय गलती करना।
• समीकरण (1) और (2) को बिना तुलना किए सीधे उत्तर लिख देना।
• परिवर्त निकालते समय पंक्ति के अवयव को गलत स्तंभ में लिखना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों को हल करते समय समीकरण संख्या (1) और (2) स्पष्ट रूप से अंकित करें।
b) योग और अंतर की संक्रिया करते समय रफ कार्य में चिह्नों की जांच अवश्य कर लें।
c) अंत में "अतः सत्यापित हुआ" लिखना न भूलें।

Question 3: यदि \( A' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) तथा \( B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \) हैं तो सत्यापित कीजिए कि:
(i) \( (A + B)' = A' + B' \)
(ii) \( (A - B)' = A' - B' \)

Answer:

(i) दिया गया है: \( A' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
चूंकि \( (A')' = A \), इसलिए आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
अब, \( A + B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 3 - 1 & -1 + 2 & 0 + 1 \\ 4 + 1 & 2 + 2 & 1 + 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
अतः \( (A + B)' = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \) ...(1)
अब, \( A' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) तथा \( B' = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( A' + B' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 3 - 1 & 4 + 1 \\ -1 + 2 & 2 + 2 \\ 0 + 1 & 1 + 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से, \( (A + B)' = A' + B' \)

(ii) आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \) तथा \( B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \)
\( A - B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 3 - (-1) & -1 - 2 & 0 - 1 \\ 4 - 1 & 2 - 2 & 1 - 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 4 & -3 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \end{bmatrix} \)
अतः \( (A - B)' = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \) ...(1)
अब, \( A' - B' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 3 - (-1) & 4 - 1 \\ -1 - 2 & 2 - 2 \\ 0 - 1 & 1 - 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से, \( (A - B)' = A' - B' \)

मुख्य बिंदु:

• यदि किसी आव्यूह के परिवर्त का परिवर्त निकाला जाए, तो मूल आव्यूह प्राप्त होता है अर्थात् \( (A')' = A \) ।
• इस प्रश्न में पहले \( A' \) से \( A \) ज्ञात करना आवश्यक है।
• दोनों आव्यूहों की कोटि समान होने पर ही उनका योग या अंतर संभव है।

आम गलतियाँ:

• \( A' \) को ही सीधा आव्यूह \( A \) मानकर प्रश्न हल करना।
• \( B \) का परिवर्त \( B' \) निकालते समय पंक्ति और स्तंभ में गलती करना।
• घटाव करते समय आंतरिक चिह्नों की उपेक्षा करना।

Exam Tips:

a) सबसे पहले \( A' \) से \( A \) और \( B \) से \( B' \) स्पष्ट रूप से ज्ञात करें।
b) दोनों पक्षों के परिणाम का मिलान सावधानीपूर्वक करें।
c) कोष्ठक के बाहर लगे डैश (\('\)) का अर्थ परिवर्त आव्यूह होता है, इसे न भूलें।

Question 4: यदि \( A' = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \) तथा \( B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \) हैं तो \( (A + 2B)' \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया है: \( A' = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)
चूंकि \( (A')' = A \), इसलिए आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \)
अब, \( A + 2B = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2(-1) & 2(0) \\ 2(1) & 2(2) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -2 - 2 & 1 + 0 \\ 3 + 2 & 2 + 4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -4 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \)
अतः \( (A + 2B)' = \begin{bmatrix} -4 & 5 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी आव्यूह को अदिश से गुणा करने पर उसके सभी अवयव उस अदिश से गुना हो जाते हैं।
• पहले कोष्ठक के अंदर का व्यंजक \( (A + 2B) \) ज्ञात किया जाता है, फिर उसका परिवर्त निकाला जाता है।
• परिवर्त निकालते समय पंक्तियों को स्तंभों में बदला जाता है।

आम गलतियाँ:

• 2 का गुणा केवल आव्यूह के पहले अवयव से करना।
• \( A' \) को ही आव्यूह \( A \) मान लेना।
• अंत में परिवर्त ज्ञात करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) अदिश गुणन को पहले हल करके नया आव्यूह लिखें।
b) योग करने के बाद ही परिवर्त आव्यूह ज्ञात करें।
c) अंतिम उत्तर में आव्यूह की कोटि की जांच करें।

Question 5: A तथा B आव्यूह के लिए सत्यापित कीजिए कि \( (AB)' = B'A' \), जहाँ
(i) \( A = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
(ii) \( A = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \end{bmatrix} \)

Answer:

(i) दिया गया है: \( A = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} \) तथा \( B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
यहाँ आव्यूह \( A \) की कोटि \( 3 \times 1 \) है और आव्यूह \( B \) की कोटि \( 1 \times 3 \) है।
अतः गुणनफल \( AB \) की कोटि \( 3 \times 3 \) होगी।
\( AB = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 \times (-1) & 1 \times 2 & 1 \times 1 \\ -4 \times (-1) & -4 \times 2 & -4 \times 1 \\ 3 \times (-1) & 3 \times 2 & 3 \times 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 4 & -8 & -4 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix} \)
अतः \( (AB)' = \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} \) ...(1)
अब, \( B' = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \) तथा \( A' = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} \)
\( B'A' = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -1 \times 1 & -1 \times (-4) & -1 \times 3 \\ 2 \times 1 & 2 \times (-4) & 2 \times 3 \\ 1 \times 1 & 1 \times (-4) & 1 \times 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि \( (AB)' = B'A' \)。

(ii) दिया गया है: \( A = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \) तथा \( B = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \end{bmatrix} \)
\( AB = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 \times 1 & 0 \times 5 & 0 \times 7 \\ 1 \times 1 & 1 \times 5 & 1 \times 7 \\ 2 \times 1 & 2 \times 5 & 2 \times 7 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 10 & 14 \end{bmatrix} \)
अतः \( (AB)' = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix} \) ...(1)
अब, \( B' = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} \) तथा \( A' = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( B'A' = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 \times 0 & 1 \times 1 & 1 \times 2 \\ 5 \times 0 & 5 \times 1 & 5 \times 2 \\ 7 \times 0 & 7 \times 1 & 7 \times 2 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि \( (AB)' = B'A' \)。

मुख्य बिंदु:

• आव्यूह गुणन के परिवर्त का नियम होता है: \( (AB)' = B'A' \) ।
• गुणन करते समय याद रखें कि क्रम बदल जाता है (अर्थात पहले \( B' \) फिर \( A' \) लिखा जाता है)।
• पंक्ति को स्तंभ से गुणा करने की प्रक्रिया का सावधानीपूर्वक पालन करें।

आम गलतियाँ:

• RHS में \( A'B' \) लिख देना जबकि नियम के अनुसार \( B'A' \) होना चाहिए।
• गुणन करते समय पंक्तियों और स्तंभों के मिलान में त्रुटि करना।
• ऋणात्मक चिह्नों के गुणन में भूल करना।

Exam Tips:

a) गुणन का क्रम हमेशा ध्यान रखें: \( (AB)' \) बराबर होता है \( B'A' \) के।
b) प्रत्येक अवयव का गुणा करते समय रफ कार्य की सहायता लें।
c) समीकरण (1) और (2) के परिणामों की तुलना स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 6: (i) यदि \( A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \) हो तो सत्यापित कीजिए कि \( A'A = I \)
(ii) यदि \( A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \) हो तो सत्यापित कीजिए कि \( A'A = I \)

Answer:

(i) दिया गया है: \( A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \)
अतः परिवर्त आव्यूह \( A' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \)
अब, \( A'A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix} \)
हम जानते हैं कि \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) और \( \cos \alpha \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha = 0 \)
अतः \( A'A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \)

(ii) दिया गया है: \( A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \)
अतः परिवर्त आव्यूह \( A' = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \)
अब, \( A'A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha & \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \end{bmatrix} \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करने पर:
\( A'A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \)

मुख्य बिंदु:

• ऐसा आव्यूह जिसके लिए \( A'A = I \) (या \( AA' = I \)) हो, उसे लांबिक (Orthogonal) आव्यूह कहते हैं।
• \( I \) एक तत्समक (Identity) आव्यूह है।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) का उपयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय पदों को गुणा करते समय चिह्न की गलती करना।
• परिणामी आव्यूह को तत्समक आव्यूह न पहचान पाना।
• परिवर्त आव्यूह निकालते समय चिह्न बदलना भूल जाना।

Exam Tips:

a) गुणनफल के प्रत्येक पद को त्रिकोणमितीय सूत्रों की सहायता से सरल करें।
b) अंत में \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) को स्पष्ट रूप से \( I \) लिखें।
c) यह प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण है, इसका अभ्यास अच्छे से करें।

Question 7: (i) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix} \) एक सममित आव्यूह है।
(ii) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \) एक विषम सममित आव्यूह है।

Answer:

(i) दिया गया आव्यूह: \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix} \)
इसका परिवर्त आव्यूह ज्ञात करने पर:
\( A' = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix} \)
चूंकि \( A' = A \), अतः आव्यूह \( A \) एक सममित आव्यूह है।

(ii) दिया गया आव्यूह: \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \)
इसका परिवर्त आव्यूह ज्ञात करने पर:
\( A' = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)
अब यदि हम \( A' \) से ऋण चिह्न बाहर लें:
\( A' = -\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \)
\( A' = -A \)
चूंकि \( A' = -A \), अतः आव्यूह \( A \) एक विषम सममित आव्यूह है।

मुख्य बिंदु:

• सममित आव्यूह के लिए शर्त है: \( A' = A \)。
• विषम सममित आव्यूह के लिए शर्त है: \( A' = -A \)。
• विषम सममित आव्यूह के विकर्ण के सभी अवयव शून्य (0) होते हैं।

आम गलतियाँ:

• विषम सममित सिद्ध करते समय ऋण चिह्न (\(-\)) कॉमन लेना भूल जाना।
• परिवर्त निकालते समय केवल कुछ ही अवयवों के स्थान बदलना।
• परिभाषाओं को आपस में मिला देना।

Exam Tips:

a) सममित आव्यूह में सिद्ध करें कि \( A' = A \) है।
b) विषम सममित आव्यूह में सभी पदों से \( -1 \) उभयनिष्ठ लेकर \( -A \) दिखाएं।
c) परिभाषा के साथ निष्कर्ष वाक्य अवश्य लिखें।

Question 8: आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \) के लिए सत्यापित कीजिए कि:
(i) \( (A + A') \) एक सममित आव्यूह है।
(ii) \( (A - A') \) एक विषम सममित आव्यूह है।

Answer:

दिया गया है: \( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \)
अतः परिवर्त आव्यूह \( A' = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} \)

(i) \( A + A' = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 + 1 & 5 + 6 \\ 6 + 5 & 7 + 7 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix} \)
अब \( (A + A')' = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}' = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix} = A + A' \)
चूंकि \( (A + A')' = (A + A') \), अतः \( (A + A') \) एक सममित आव्यूह है।

(ii) \( A - A' = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 - 1 & 5 - 6 \\ 6 - 5 & 7 - 7 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)
अब \( (A - A')' = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}' = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)
\( = -\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -(A - A') \)
चूंकि \( (A - A')' = -(A - A') \), अतः \( (A - A') \) एक विषम सममित आव्यूह है।

मुख्य बिंदु:

• किसी भी वर्ग आव्यूह \( A \) के लिए \( A + A' \) हमेशा एक सममित आव्यूह होता है।
• किसी भी वर्ग आव्यूह \( A \) के लिए \( A - A' \) हमेशा एक विषम सममित आव्यूह होता है।
• विषम सममित आव्यूह दिखाने के लिए अंत में ऋण चिह्न बाहर निकालना जरूरी है।

आम गलतियाँ:

• \( A + A' \) का परिवर्त निकालते समय भूल करना।
• विषम सममित सिद्ध करते समय ऋण चिह्न को अंदर ही छोड़ देना।
• घटाव करते समय संगत अवयवों में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) पहले \( A + A' \) या \( A - A' \) का मान पूरी तरह ज्ञात करें।
b) प्राप्त नए आव्यूह का परिवर्त निकालकर दिखाएं कि वह मूल आव्यूह के बराबर या उसके ऋणात्मक के बराबर है।
c) यह एक महत्वपूर्ण गुणधर्म है, इसे प्रमेय की तरह याद रखें।

Question 9: यदि \( A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix} \) तो \( (A + A') \) तथा \( \frac{1}{2}(A - A') \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया है: \( A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix} \)
अतः परिवर्त आव्यूह \( A' = \begin{bmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} \)

अब, \( A + A' = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0+0 & a-a & b-b \\ -a+a & 0+0 & c-c \\ -b+b & -c+c & 0+0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
अतः \( \frac{1}{2}(A + A') = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)

अब, \( A - A' = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0-0 & a-(-a) & b-(-b) \\ -a-a & 0-0 & c-(-c) \\ -b-b & -c-c & 0-0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 2a & 2b \\ -2a & 0 & 2c \\ -2b & -2c & 0 \end{bmatrix} \)
अतः \( \frac{1}{2}(A - A') = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 2a & 2b \\ -2a & 0 & 2c \\ -2b & -2c & 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ \( A \) एक विषम सममित आव्यूह है, इसलिए \( A + A' \) शून्य आव्यूह प्राप्त होता है।
• किसी आव्यूह को \( \frac{1}{2} \) से गुणा करने का अर्थ है उसके प्रत्येक अवयव को 2 से विभाजित करना।
• घटाव करते समय चरों के चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• \( A' \) निकालते समय सभी अवयव के चिह्न गलत बदल देना।
• घटाव में \( a - (-a) \) को \( 0 \) लिख देना (सही उत्तर \( 2a \) है)।
• \( \frac{1}{2} \) से गुणा करते समय किसी पद को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) चरणों को बहुत साफ-सुथरा लिखें क्योंकि इसमें बीजगणितीय पद (\( a, b, c \)) हैं।
b) घटाव के कोष्ठक खोलते समय चिह्नों की जांच अवश्य करें।
c) अंतिम परिणाम को सरलतम रूप में लिखें।

Question 10: निम्नलिखित आव्यूहो को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) \( \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)
(ii) \( \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \)
(iii) \( \begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{bmatrix} \)
(iv) \( \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)

Answer:

(i) माना \( A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)
अतः \( A' = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \)
किसी भी वर्ग आव्यूह को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( A = P + Q \), जहाँ \( P = \frac{1}{2}(A + A') \) और \( Q = \frac{1}{2}(A - A') \)
अब, \( A + A' = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \)
\( P = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \)
सत्यापन के लिए \( P' = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} = P \) (अतः \( P \) सममित है)।
अब, \( A - A' = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{bmatrix} \)
\( Q = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} \)
सत्यापन के लिए \( Q' = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = -Q \) (अतः \( Q \) विषम सममित है)।
अतः \( A = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} \)

(ii) माना \( A = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( A' = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( A + A' = \begin{bmatrix} 12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6 \end{bmatrix} \)
\( P = \frac{1}{2}(A + A') = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \) (सममित आव्यूह)
\( A - A' = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\( Q = \frac{1}{2}(A - A') = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \) (विषम सममित आव्यूह)
अतः \( A = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)

(iii) माना \( A = \begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{bmatrix} \)
\( A' = \begin{bmatrix} 3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( A + A' = \begin{bmatrix} 6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4 \end{bmatrix} \)
\( P = \frac{1}{2}(A + A') = \begin{bmatrix} 3 & 1/2 & -5/2 \\ 1/2 & -2 & -2 \\ -5/2 & -2 & 2 \end{bmatrix} \)
\( A - A' = \begin{bmatrix} 0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0 \end{bmatrix} \)
\( Q = \frac{1}{2}(A - A') = \begin{bmatrix} 0 & 5/2 & 3/2 \\ -5/2 & 0 & 3 \\ -3/2 & -3 & 0 \end{bmatrix} \)
अतः \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1/2 & -5/2 \\ 1/2 & -2 & -2 \\ -5/2 & -2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 5/2 & 3/2 \\ -5/2 & 0 & 3 \\ -3/2 & -3 & 0 \end{bmatrix} \)

(iv) माना \( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( A' = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \)
\( A + A' = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} \implies P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \)
\( A - A' = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -6 & 0 \end{bmatrix} \implies Q = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \)
अतः \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी भी वर्ग आव्यूह को सममित और विषम सममित के योग के रूप میں लिखने का सूत्र: \( A = \frac{1}{2}(A + A') + \frac{1}{2}(A - A') \ होता है।
\) • यहाँ \( P = \frac{1}{2}(A + A') \) हमेशा सममित होता है।
• यहाँ \( Q = \frac{1}{2}(A - A') \) हमेशा विषम सममित होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{2} \) से गुणा करना भूल जाना।
• अंतिम उत्तर में दोनों भागों को जोड़ने के बजाय अलग-अलग छोड़ देना।
• परिवर्त आव्यूह निकालते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा सूत्र \( A = P + Q \) लिखकर शुरुआत करें।
b) \( P \) और \( Q \) की सममितता और विषम सममितता की जांच करके दिखाएं।
c) अंत में दोनों आव्यूहों के योग के रूप में अंतिम उत्तर प्रस्तुत करें।

Question 11: यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB - BA एक
(A) विषम सममित आव्यूह है
(B) सममित आव्यूह है
(C) शून्य आव्यूह है
(D) तत्समक आव्यूह है

Answer:

दिया गया है कि A और B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं।
अतः \( A' = A \) और \( B' = B \)
अब हमें आव्यूह \( (AB - BA) \) का परिवर्त ज्ञात करना है:
\( (AB - BA)' = (AB)' - (BA)' \)
परिवर्त के गुणन नियम \( (XY)' = Y'X' \) का प्रयोग करने पर:
\( = B'A' - A'B' \)
चूंकि \( A' = A \) और \( B' = B \) दिया गया है, इसलिए:
\( = BA - AB \)
\( = -(AB - BA) \)
चूंकि \( (AB - BA)' = -(AB - BA) \) है, अतः \( (AB - BA) \) एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः सही विकल्प (A) है।

मुख्य बिंदु:

• सममित आव्यूह के लिए \( A' = A \) और \( B' = B \) होता है।
• आव्यूह गुणन का परिवर्त नियम: \( (AB)' = B'A' \) ।
• यदि किसी आव्यूह का परिवर्त उसके ऋणात्मक के बराबर हो, तो वह विषम सममित होता है।

आम गलतियाँ:

• \( (AB)' \) को सीधे \( A'B' \) लिख देना (जो कि गलत है)।
• सममित और विषम सममित की परिभाषा में भ्रमित होना।
• ऋण चिह्न कॉमन लेते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्न में भी पूरा हल करके ही सही विकल्प चुनें।
b) \( (XY)' = Y'X' \) गुणधर्म का हवाला अवश्य दें।
c) सही विकल्प (A) को अपने उत्तर पुस्तिका में लिखें।

Question 12: यदि \( A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \) तथा \( A + A' = I \), तो \( \alpha \) का मान है:
(A) \( \frac{\pi}{6} \)
(B) \( \frac{\pi}{3} \)
(C) \( \pi \)
(D) \( \frac{3\pi}{2} \)}

Answer:

दिया गया है: \( A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \)
अतः परिवर्त आव्यूह \( A' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \)
प्रશ્नानुसार, \( A + A' = I \)
\( \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
संगत अवयवों को जोड़ने पर:
\( \begin{bmatrix} 2\cos \alpha & 0 \\ 0 & 2\cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
दोनों पक्षों के संगत अवयवों की तुलना करने पर:
\( 2\cos \alpha = 1 \)
\( \implies \cos \alpha = \frac{1}{2} \)
हम जानते हैं कि मुख्य मान अंतराल में \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) होता है।
अतः \( \alpha = \frac{\pi}{3} \)
अतः सही विकल्प (B) है।

मुख्य बिंदु:

• दो आव्यूह बराबर होते हैं जब उनके संगत अवयव समान हों।
• तत्समक आव्यूह \( I \) का मान \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) होता है।
• त्रिकोणमितीय सारणी के अनुसार \( \cos 60^\circ \) या \( \cos \frac{\pi}{3} \) का मान \( \frac{1}{2} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( A + A' \) निकालते समय त्रिकोणमितीय पदों को आपस में जोड़कर गलत पद बना देना।
• तुलना करते समय 2 से भाग देना भूल जाना।
• कोण का मान रेडियन के बजाय अंश में छोड़ देना जबकि विकल्प रेडियन में हैं।

Exam Tips:

a) समीकरण बनाते समय तत्समक आव्यूह \( I \) को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) तुलना करने के बाद त्रिकोणमितीय समीकरण को सावधानी से हल करें।
c) सही विकल्प (B) को चुनें।