Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 08 अगले पद का पूर्वानुमान अनुक्रमों और श्रेणियों का अन्वेषण
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Question 1: समानांतर श्रेढ़ी 3, 8, 13, 18, ... के 10वें और 26वें पद ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई समांतर श्रेढ़ी है: \( 3, 8, 13, 18, \dots \)
प्रथम पद \( a = 3 \)
सार्व अंतर \( d = 8 - 3 = 5 \)
n-वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र है: \( t_n = a + (n - 1)d \)
10वाँ पद ज्ञात करने के लिए \( n = 10 \) रखने पर:
\( t_{10} = 3 + (10 - 1) \times 5 \)
\( t_{10} = 3 + 9 \times 5 \)
\( t_{10} = 3 + 45 = 48 \)
26वाँ पद ज्ञात करने के लिए \( n = 26 \) रखने पर:
\( t_{26} = 3 + (26 - 1) \times 5 \)
\( t_{26} = 3 + 25 \times 5 \)
\( t_{26} = 3 + 125 = 128 \)
अतः, 10वाँ पद 48 तथा 26वाँ पद 128 है।
मुख्य बिंदु:
• समांतर श्रेढ़ी में प्रथम पद और सार्व अंतर की पहचान करना।
• n-वाँ पद निकालने के मानक सूत्र \( t_n = a + (n - 1)d \) का प्रयोग।
• गणना में BODMAS नियम का सही पालन।
आम गलतियाँ:
• सार्व अंतर निकालते समय \( 3 - 8 \) (उल्टा) लिख देना।
• सूत्र में \( (n - 1) \) की जगह सीधे \( n \) से गुणा कर देना।
• गुणन और जोड़ की प्रक्रिया में सामान्य गलती करना।
Exam Tips:
a) हमेशा प्रश्न में दिए गए मानों (\( a \) और \( d \)) को पहले स्पष्ट रूप से लिखें।
b) गणना के प्रत्येक चरण को अलग लाइन में दिखाएं ताकि गलती की संभावना न रहे।
c) अंतिम उत्तर को शब्दों में स्पष्ट रूप से रेखांकित करें।
Question 2: समानांतर श्रेढ़ी 21, 18, 15, ... का कौन-सा पद -81 है? साथ ही क्या 0 इस समानांतर श्रेढ़ी का एक पद है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
Answer:
दी गई समांतर श्रेढ़ी है: \( 21, 18, 15, \dots \)
प्रथम पद \( a = 21 \)
सार्व अंतर \( d = 18 - 21 = -3 \)
मान लीजिए कि n-वाँ पद \( -81 \) है, तब सूत्र \( t_n = a + (n - 1)d \) से:
\( -81 = 21 + (n - 1)(-3) \)
\( -81 - 21 = -3(n - 1) \)
\( -102 = -3(n - 1) \)
\( n - 1 = \frac{-102}{-3} = 34 \)
\( n = 34 + 1 = 35 \)
चूँकि \( n = 35 \) एक धनात्मक पूर्णांक है, अतः \( -81 \) इस श्रेढ़ी का 35वाँ पद है।
अब जाँच करते हैं कि क्या 0 इस श्रेढ़ी का पद है:
मान लीजिए \( t_n = 0 \), तब:
\( 0 = 21 + (n - 1)(-3) \)
\( -21 = -3(n - 1) \)
\( n - 1 = \frac{-21}{-3} = 7 \)
\( n = 7 + 1 = 8 \)
चूँकि \( n = 8 \) एक प्राकृत संख्या है, अतः 0 इस श्रेढ़ी का 8वाँ पद है।
मुख्य बिंदु:
• किसी पद के मान से उसका पद क्रमांक (n) ज्ञात करना।
• n का मान हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक (प्राकृत संख्या) होना चाहिए।
• ऋणात्मक सार्व अंतर के साथ समीकरण को हल करना।
आम गलतियाँ:
• n का मान भिन्न या ऋणात्मक आने पर भी उसे पद मान लेना।
• पक्षांतर करते समय चिन्हों (+/-) की गलती करना।
• दो अलग-अलग भागों वाले प्रश्न में दूसरे भाग की जाँच भूल जाना।
Exam Tips:
a) दोनों भागों को अलग-अलग शीर्षक या चरण में हल करें।
b) n के मान की प्रकृति (प्राकृत संख्या होना) का उल्लेख अनिवार्य रूप से करें।
c) समीकरण हल करते समय ब्रैकेट खोलते वक्त चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।
Question 3: समानांतर श्रेढ़ी 11, 8, 5, 2, ... का nवाँ पद ज्ञात कीजिए। इस श्रेढ़ी के लिए पुनरावर्ती सूत्र लिखिए।
Answer:
दी गई समांतर श्रेढ़ी है: \( 11, 8, 5, 2, \dots \)
प्रथम पद \( a = 11 \)
सार्व अंतर \( d = 8 - 11 = -3 \)
n-वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र: \( t_n = a + (n - 1)d \)
मान रखने पर:
\( t_n = 11 + (n - 1)(-3) \)
\( t_n = 11 - 3n + 3 \)
\( t_n = 14 - 3n \)
अब, इस श्रेढ़ी के लिए पुनरावर्ती (Recursive) सूत्र:
\( t_1 = 11 \)
\( t_n = t_{n-1} - 3 \), जहाँ \( n \geq 2 \)
मुख्य बिंदु:
• व्यापक पद (n-th term) को n के रूप में व्यक्त करना।
• पुनरावर्ती सूत्र में पिछले पद \( t_{n-1} \) और सार्व अंतर का संबंध स्थापित करना।
• प्रथम पद को आधार के रूप में परिभाषित करना।
आम गलतियाँ:
• पुनरावर्ती सूत्र लिखते समय प्रथम पद की शर्त \( n \geq 2 \) छोड़ देना।
• बीजगणितीय सरल करते समय चिन्ह की गलती करना।
Exam Tips:
a) n-वें पद का अंतिम व्यंजक सरलतम रूप में लिखें।
b) पुनरावर्ती सूत्र लिखते समय प्रारंभिक मान \( t_1 \) अवश्य दें।
c) स्टेप-बाय-स्टेप बीजगणितीय हल दिखाएं।
Question 4: एक समानांतर श्रेढ़ी में 50 पद हैं। यदि श्रेढ़ी का तीसरा पद 12 और अंतिम पद 106 है तो इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद \( a \) और सार्व अंतर \( d \) है।
दिया गया है कि कुल पद 50 हैं।
तीसरा पद \( t_3 = 12 \Rightarrow a + 2d = 12 \) ...(समीकरण 1)
अंतिम पद 50वाँ पद है, अतः \( t_{50} = 106 \Rightarrow a + 49d = 106 \) ...(समीकरण 2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) में से घटाने पर:
\( (a + 49d) - (a + 2d) = 106 - 12 \)
\( 47d = 94 \)
\( d = \frac{94}{47} = 2 \)
अब \( d = 2 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2(2) = 12 \)
\( a + 4 = 12 \)
\( a = 12 - 4 = 8 \)
अब 29वाँ पद ज्ञात करना है:
\( t_{29} = a + (29 - 1)d \)
\( t_{29} = 8 + 28 \times 2 \)
\( t_{29} = 8 + 56 = 64 \)
अतः, 29वाँ पद 64 है।
मुख्य बिंदु:
• दो अज्ञात राशियों (\( a \) और \( d \)) को ज्ञात करने के लिए दो रैखिक समीकरण बनाना।
• विलोपन विधि से समीकरणों को हल करना।
• 50वें पद को ही अंतिम पद मानना।
आम गलतियाँ:
• तीसरे पद को \( a + 3d \) लिख देना (सही रूप \( a + 2d \) है)।
• समीकरण घटाते समय चिन्हों की गलती करना।
• a और d निकलने के बाद भी 29वें पद का सूत्र गलत लगाना।
Exam Tips:
a) समीकरणों के युग्म को स्पष्ट रूप से (1) और (2) नाम दें।
b) a और d के मान निकालने के बाद उनकी सत्यता की हल्की जाँच कर लें।
c) अंतिम उत्तर निकालते समय पूरी गणना साफ-सुथरी लिखें।
Question 5: कितनी 2-अंकीय संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं? इन सभी 2-अंकीय संख्याओं का योगफल क्या है?
Answer:
3 से विभाज्य 2-अंकीय संख्याएँ हैं: \( 12, 15, 18, \dots, 99 \)
यह एक समांतर श्रेढ़ी बनाती है जहाँ:
प्रथम पद \( a = 12 \)
सार्व अंतर \( d = 15 - 12 = 3 \)
अंतिम पद \( t_n = 99 \)
सूत्र \( t_n = a + (n - 1)d \) का उपयोग करने पर:
\( 99 = 12 + (n - 1) \times 3 \)
\( 99 - 12 = 3(n - 1) \)
\( 87 = 3(n - 1) \)
\( n - 1 = \frac{87}{3} = 29 \)
\( n = 29 + 1 = 30 \)
अतः, 3 से विभाज्य कुल 2-अंकीय संख्याएँ 30 हैं।
इन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात करने के लिए सूत्र \( S_n = \frac{n}{2} (a + t_n) \) का प्रयोग करने पर:
\( S_{30} = \frac{30}{2} (12 + 99) \)
\( S_{30} = 15 \times 111 \)
\( S_{30} = 1665 \)
अतः, 3 से विभाज्य सभी 2-अंकीय संख्याओं का योगफल 1665 है।
मुख्य बिंदु:
• पहली और अंतिम 2-अंकीय संख्या जो 3 से विभाज्य है, उसकी पहचान करना।
• पदों की कुल संख्या (n) निकालने के लिए n-वें पद के सूत्र का प्रयोग।
• जब प्रथम और अंतिम पद ज्ञात हो, तब योगफल के छोटे सूत्र का प्रयोग करना।
आम गलतियाँ:
• पहली 2-अंकीय संख्या 3 मान लेना (जबकि यह 1-अंकीय है)।
• योगफल के सूत्र में n का मान गलत रखना।
• गुणा करते समय गणना में गलती करना।
Exam Tips:
a) श्रेणी बनाते समय श्रृंखला की शुरुआत और अंत स्पष्ट लिखें।
b) योगफल के लिए उपयुक्त सूत्र का चयन करें जिससे गणना आसान हो।
c) दोनों भागों (संख्याओं की कुल संख्या और उनका योग) के उत्तर अलग-अलग हाईलाइट करें।
Question 6: हरीश ने कोई कार्य (नौकरी) ₹5,00,000 वार्षिक आय से प्रारंभ की और प्रतिवर्ष ₹20,000 वेतन-वृद्धि के रूप में प्राप्त किए। कितने वर्षों के बाद उसकी आमदनी ₹7,00,000 हुई होगी?
Answer:
प्रारंभिक वेतन \( a = \text{₹}5,00,000 \)
वार्षिक वृद्धि \( d = \text{₹}20,000 \)
यह एक समांतर श्रेढ़ी बनाती है: \( 5,00,000, 5,20,000, 5,40,000, \dots \)
माना n-वें वर्ष में वेतन ₹7,00,000 हो जाता है, अतः \( t_n = \text{₹}7,00,000 \)
सूत्र \( t_n = a + (n - 1)d \) का उपयोग करने पर:
\( 7,00,000 = 5,00,000 + (n - 1) \times 20,000 \)
\( 7,00,000 - 5,00,000 = (n - 1) \times 20,000 \)
\( 2,00,000 = (n - 1) \times 20,000 \)
\( n - 1 = \frac{2,00,000}{20,000} = 10 \)
\( n = 10 + 1 = 11 \)
अतः, हरीश की आमदनी 11वें वर्ष में ₹7,00,000 हुई होगी, यानी इसमें 10 वेतन-वृद्धियाँ लगीं।
मुख्य बिंदु:
• वास्तविक जीवन की समस्या को समांतर श्रेढ़ी के रूप में ढालना।
• प्रथम पद और सार्व अंतर को निर्धारित करना।
• nवें वर्ष और वर्षों की संख्या (वृद्धियों की संख्या) के बीच के अंतर को समझना।
आम गलतियाँ:
• n के मान को ही सीधे वर्षों की वृद्धि मान लेना (यहाँ 11वें वर्ष का अर्थ 10 वर्ष पूरे होने के बाद है)।
• बड़ी संख्याओं के पक्षांतर और भाग में शून्य (zeros) की गिनती में गलती करना।
Exam Tips:
a) इकाई (₹) का ध्यान रखें, हालांकि गणना के दौरान इन्हें छोड़ कर अंत में लगा सकते हैं।
b) भाषा वाले प्रश्न में अंतिम वाक्य में निष्कर्ष जरूर लिखें।
c) एपी के सूत्र का स्पष्ट उल्लेख करें।
Question 7: एक बच्चा कंचों को पंक्तियों में इस प्रकार व्यवस्थित करता है कि पहली पंक्ति में 1 कंचा है, दूसरी पंक्ति में 2 कंचे हैं, तीसरी पंक्ति में 3 कंचे हैं तथा इसी प्रकार से 25वीं पंक्ति तक कंचे रखे गए हैं। बच्चा इनमें से कुल कितने कंचों का उपयोग करता है?
Answer:
प्रत्येक पंक्ति में कंचों की संख्या इस प्रकार है: \( 1, 2, 3, \dots, 25 \)
यह एक समांतर श्रेढ़ी है जहाँ प्रथम पद \( a = 1 \), सार्व अंतर \( d = 1 \) और पदों की संख्या \( n = 25 \) है।
कुल कंचों की संख्या निकालने के लिए सभी पंक्तियों के कंचों का योग ज्ञात करना होगा:
\( S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \)
\( n = 25 \) रखने पर:
\( S_{25} = \frac{25(25 + 1)}{2} \)
\( S_{25} = \frac{25 \times 26}{2} \)
\( S_{25} = 25 \times 13 \)
\( S_{25} = 325 \)
अतः, बच्चा कुल 325 कंचों का उपयोग करता है।
मुख्य बिंदु:
• प्रथम n प्राकृत संख्याओं के योग के सीधे सूत्र \( \frac{n(n+1)}{2} \) का उपयोग।
• पंक्तियों की कुल संख्या को n मानना।
• अनुक्रम के योग की अवधारणा को समझना।
आम गलतियाँ:
• n का मान गलत रख देना या 25वें पद और 25 पदों के योग में भ्रमित होना।
• गुणा या भाग करते समय छोटी गणना त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) प्राकृत संख्याओं के योग का विशेष सूत्र याद रखें ताकि समय बचे।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं जैसे 26 को 2 से काटना।
c) अंत में उत्तर की इकाई (कंचे) अवश्य लिखें।
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Mathematics Class 9 Curriculum Solutions: Chapter 08 अगले पद का पूर्वानुमान अनुक्रमों और श्रेणियों का अन्वेषण
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