Download NCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 08 अगले पद का पूर्वानुमान अनुक्रमों और श्रेणियों का अन्वेषण
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Question 1: उस गुणोत्तर श्रेढ़ी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका सार्व अनुपात 2 है और 8वाँ पद 192 है।
Answer:
दिया गया है:
सार्व अनुपात \( r = 2 \)
8वाँ पद \( t_8 = 192 \)
हम जानते हैं कि गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद सूत्र \( t_n = ar^{n-1} \) द्वारा दिया जाता है।
अतः, \( t_8 = ar^{7} = 192 \)
\( a(2)^7 = 192 \)
\( a \times 128 = 192 \)
\( a = \frac{192}{128} \)
\( a = \frac{3}{2} \)
अब, 12वाँ पद ज्ञात करने के लिए:
\( t_{12} = ar^{11} \)
\( t_{12} = \frac{3}{2} \times (2)^{11} \)
\( t_{12} = 3 \times 2^{10} \)
\( t_{12} = 3 \times 1024 = 3072 \)
अतः, 12वाँ पद 3072 है।
मुख्य बिंदु:
• गुणोत्तर श्रेढ़ी के मानक सूत्र \( t_n = ar^{n-1} \) का प्रयोग किया गया है。
• प्रथम पद \( a \) का मान समीकरण हल करके निकाला गया है。
• घातों को सरल करके अंतिम उत्तर प्राप्त किया गया है।
आम गलतियाँ:
• \( r^{n-1} \) में \( n-1 \) की जगह सीधे \( n \) लिख देना।
• गणना करते समय घातांक के नियमों में गलती करना।
• प्रथम पद \( a \) निकाले बिना सीधे 12वाँ पद ज्ञात करने का प्रयास करना।
Exam Tips:
a) हमेशा मानों को लिखने के बाद उपयुक्त सूत्र स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
b) गणना के चरणों को एक के बाद एक नई लाइन में लिखें।
c) अंत में उत्तर की इकाई या वाक्य स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 2: गुणोत्तर श्रेढ़ी 5, 25, 125, … का 10वाँ पद तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP): \( 5, 25, 125, \dots \)
प्रथम पद \( a = 5 \)
सार्व अनुपात \( r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{25}{5} = 5 \)
nवाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र \( t_n = ar^{n-1} \) का उपयोग करने पर:
\( t_n = 5 \times (5)^{n-1} \)
\( t_n = 5^n \)
अतः, nवाँ पद \( 5^n \) है।
अब, 10वाँ पद ज्ञात करने के लिए \( n = 10 \) रखने पर:
\( t_{10} = 5^{10} = 9765625 \)
अतः, 10वाँ पद 9765625 है।
मुख्य बिंदु:
• दी गई श्रेणी से प्रथम पद और सार्व अनुपात की पहचान करना।
• घातांक के नियमों का प्रयोग करके \( 5 \times 5^{n-1} = 5^n \) प्राप्त करना।
• बड़ी संख्याओं के घातांक का सही मान निकालना।
आम गलतियाँ:
• सार्व अनुपात निकालते समय अंश और हर को आपस में बदल देना।
• \( 5 \times 5^{n-1} \) को हल करते समय घातों को न जोड़ना।
• बड़ी संख्या का गुणा करने में गलती करना।
Exam Tips:
a) श्रेणी के प्रकार की पहचान पहले ही लिख दें।
b) घातांक के गुणों को दर्शाते समय कोष्ठक का सही प्रयोग करें।
c) परीक्षा में यदि संख्या बहुत बड़ी हो, तो उसे घाتاंक रूप में भी छोड़ा जा सकता है यदि निर्देश न हों।
Question 3: एक अनुक्रम का पुनरावर्ती सूत्र \( t_1 = 2 \), \( t_{n+1} = 3t_n - 2 \), जबकि \( n \ge 1 \) है। इस अनुक्रम का कौन-सा पद 730 है?
Answer:
दिया गया है:
\( t_1 = 2 \)
पुनरावर्ती सूत्र: \( t_{n+1} = 3t_n - 2 \)
चरणबद्ध रूप से पद ज्ञात करते हुए:
\( t_1 = 2 \)
\( t_2 = 3t_1 - 2 = 3(2) - 2 = 4 \)
\( t_3 = 3t_2 - 2 = 3(4) - 2 = 10 \)
\( t_4 = 3t_3 - 2 = 3(10) - 2 = 28 \)
\( t_5 = 3t_4 - 2 = 3(28) - 2 = 82 \)
\( t_6 = 3t_5 - 2 = 3(82) - 2 = 244 \)
\( t_7 = 3t_6 - 2 = 3(244) - 2 = 730 \)
अतः, 730 इस अनुक्रम का 7वाँ पद है।
मुख्य बिंदु:
• पुनरावर्ती (Recursive) संबंधों में पिछले पद का मान अगले पद को निकालने के लिए उपयोग किया जाता है।
• \( n = 1, 2, 3, \dots \) रखकर क्रमिक पदों की गणना की जाती है。
• वांछित मान मिलने पर प्रक्रिया रोक दी जाती है।
आम गलतियाँ:
• पुनरावर्ती सूत्र में मान रखते समय गुणा और घटाव के क्रम को गलत करना।
• गलत पद से अगला पद निकालना (जैसे \( t_3 \) की जगह किसी अन्य मान का प्रयोग करना)।
• प्रश्न में पूछे गए पद की संख्या के बजाय उसका मान बता देना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएँ ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।
b) गणना करते समय BODMAS नियम का पालन करें।
c) अंतिम निष्कर्ष वाक्य स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 4: गुणोत्तर श्रेढ़ी 2, 6, 18, … का कौन-सा पद 4374 है? इस श्रेढ़ी के nवें पद के लिए मानक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र भी लिखिए।
Answer:
दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP): \( 2, 6, 18, \dots \)
प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्व अनुपात \( r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{2} = 3 \)
व्यापक सूत्र (मानक सूत्र): \( t_n = ar^{n-1} \) अर्थात् \( t_n = 2 \times 3^{n-1} \)
पुनरावर्ती सूत्र: \( t_1 = 2 \), \( t_n = 3t_{n-1} \), जबकि \( n \ge 2 \)
मान लीजिए \( t_n = 4374 \)
\( 2 \times 3^{n-1} = 4374 \)
\( 3^{n-1} = \frac{4374}{2} \)
\( 3^{n-1} = 2187 \)
चूँकि \( 2187 = 3^7 \), इसलिए:
\( 3^{n-1} = 3^7 \)
आधार समान होने पर घातों की तुलना करने पर:
\( n - 1 = 7 \)
\( n = 8 \)
अतः, 4374 इस श्रेढ़ी का 8वाँ पद है।
मुख्य बिंदु:
• गुणोत्तर श्रेढ़ी का मानक और पुनरावर्ती दोनों सूत्र लिखना।
• समीकरण को हल करके घातांक के रूप में बदलना।
• दोनों पक्षों के आधार समान करके घातों की तुलना करना।
आम गलतियाँ:
• पुनरावर्ती सूत्र लिखते समय प्रारंभिक शर्त \( t_1 \) को छोड़ देना।
• बड़ी संख्या के अझभाज्य गुणनखंड या घात निकालने में गलती करना।
• \( n-1 \) को सीधे \( n \) के बराबर मान लेना।
Exam Tips:
a) मानक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र दोनों को अलग-अलग व स्पष्ट रूप से बॉक्स में दर्शाएँ।
b) घातीय समीकरण हल करते समय लघुगणक या आधार समानता नियम का उल्लेख अवश्य करें।
c) उत्तर की पुष्टि के लिए मान को वापस सूत्र में रखकर जाँच सकते हैं।
Question 5: एक गेंद को 80 मीटर की ऊँचाई से गिराया जाता है। भूमि से टकराने के बाद गेंद अपनी प्रारंभिक ऊँचाई के 60 प्रतिशत तक भूमि के ऊपर जाती है। इसी प्रकार से गेंद की उछाल जारी रहती है अर्थात प्रत्येक बार गेंद भूमि से टकराकर अपनी पिछली ऊँचाई के 60 प्रतिशत तक ऊपर जाती है। (i) 5 उछालों के बाद गेंद कितनी ऊँचाई तक जाती है? (ii) गेंद द्वारा भूमि से छठी बार टकराने तक तय की गई कुल लंबवत दूरी कितनी है?
Answer:
(i) प्रारंभिक ऊँचाई = 80 मीटर
उछाल अनुपात = \( 60\% = \frac{60}{100} = 0.6 \)
पहले उछाल के बाद ऊँचाई = \( 80 \times 0.6 = 48 \) मीटर
दूसरे उछाल के बाद ऊँचाई = \( 48 \times 0.6 = 28.8 \) मीटर
तीसरे उछाल के बाद ऊँचाई = \( 28.8 \times 0.6 = 17.28 \) मीटर
चौथे उछाल के बाद ऊँचाई = \( 17.28 \times 0.6 = 10.368 \) मीटर
पाँचवें उछाल के बाद ऊँचाई = \( 10.368 \times 0.6 = 6.2208 \) मीटर
अतः, 5 उछालों के बाद गेंद 6.2208 मीटर ऊँचाई तक जाती है।
(ii) गेंद पहले भूमि पर पहली बार टकराने के लिए 80 मीटर नीचे गिरती है।
इसके बाद प्रत्येक उछाल में गेंद ऊपर जाती है और उतनी ही दूरी तय करके वापस नीचे गिरती है (अर्थात प्रत्येक उछाल की ऊँचाई को दो बार जोड़ा जाएगा)।
भूमि से छठी बार टकराने तक तय की गई कुल दूरी:
= प्रारंभिक गिरना + 2 × (पहला उछाल + दूसरा उछाल + तीसरा उछाल + चौथा उछाल + पाँचवाँ उछाल)
= \( 80 + 2(48 + 28.8 + 17.28 + 10.368 + 6.2208) \)
= \( 80 + 2(110.6688) \)
= \( 80 + 221.3376 \)
= \( 301.3376 \) मीटर
अतः, तय की गई कुल लंबवत दूरी 301.3376 मीटर है।
मुख्य बिंदु:
• प्रतिशत को दशमलव रूप में बदलकर क्रमिक ऊँचाइयाँ निकालना।
• गेंद के ऊपर जाने और नीचे आने की दोहरी दूरी को समझना।
• दशमलव संख्याओं का सटीक गुणा और जोड़ करना।
आम गलतियाँ:
• दूसरे भाग में वापसी की दूरी (नीचे गिरने की दूरी) को शामिल करना भूल जाना।
• दशमलव के बाद की गणना में अंक छोड़ देना।
• उछालों की संख्या की गिनती में गलती करना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक उछाल की ऊँचाई को क्रमबद्ध रूप से अलग-अलग पंक्ति में निकालें।
b) दूसरे भाग में कुल दूरी के लिए सूत्र या स्पष्ट योग का प्रारूप बना लें ताकि कोई पद छूटे नहीं।
c) गणना में सावधानी बरतें क्योंकि दशमलव के गुणन में गलती होने की संभावना अधिक होती है।
Question 6: अनुक्रम \( 2, 2\sqrt{2}, 4, \dots \) का कौन-सा पद 128 है?
Answer:
दिया गया अनुक्रम: \( 2, 2\sqrt{2}, 4, \dots \)
यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) है।
प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्व अनुपात \( r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)
सूत्र \( t_n = ar^{n-1} \) का उपयोग करते हुए:
\( t_n = 2(\sqrt{2})^{n-1} \)
मान लीजिए \( t_n = 128 \)
\( 2(\sqrt{2})^{n-1} = 128 \)
\( (\sqrt{2})^{n-1} = \frac{128}{2} \)
\( (\sqrt{2})^{n-1} = 64 \)
चूँकि \( 64 = 2^6 \) और \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \), इसलिए:
\( (2^{1/2})^{n-1} = 2^6 \)
\( 2^{\frac{n-1}{2}} = 2^6 \)
आधार समान होने पर दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
\( \frac{n-1}{2} = 6 \)
\( n - 1 = 12 \)
\( n = 13 \)
अतः, 128 इस अनुक्रम का 13वाँ पद है।
मुख्य बिंदु:
• वर्गमूल वाली संख्याओं को घातांक रूप \( (2^{1/2}) \) में बदलना।
• गुणोत्तर श्रेढ़ी के व्यापक सूत्र का प्रयोग करना।
• समीकरण को हल करने के लिए समान आधार पर घातांक के नियमों का उपयोग करना।
आम गलतियाँ:
• \( \sqrt{2} \) को सार्व अनुपात के रूप में निकालते समय सही ढंग से सरल न करना।
• \( \sqrt{2} \) को घात रूप में बदलते समय गलती करना।
• समीकरण हल करते समय 2 से गुणा करना भूल जाना।
Exam Tips:
a) करणी (Radicals) को घातांक रूप में बदलकर हल करना आसान होता है।
b) प्रत्येक चरण में समानता चिह्न (=) की श्रृंखला न बनाकर नई लाइन का प्रयोग करें।
c) अंत में जाँच लें कि क्या \( n \) का मान एक पूर्णांक आया है या नहीं।
Question 7: चित्र 8.12 में सिएरपिंस्की वर्ग कारपेट के चरण 0 से चरण 3 तक प्रदर्शित हैं। इस फ्रैक्टल का चरण 0 कागज का एक वर्गाकार पत्रक है। चरण 1 की रचना करने के लिए वर्ग की प्रत्येक भुजा को तीन समान भागों में बाँटा गया है और सम्मुख भुजाओं के त्रिविभाजक बिंदुओं को मिलाने पर नौ छोटे वर्ग प्राप्त होते हैं। तत्पश्चात मध्य में स्थित वर्ग को हटा दिया जाता है और 8 छोटे वर्गों के मध्य एक वर्गाकार रिक्ति शेष रह जाती है। यही प्रक्रिया आठ छोटे छायांकित वर्गों पर दोहराई जाती है, जिससे चरण 2 प्राप्त होता है और आगे भी यही प्रक्रिया जारी रहती है। चित्र 8.12 को देखिए और नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयास कीजिए। (i) चरण 0 से 3 तक कितने लाल वर्ग हैं? (ii) क्या आप चरण 4 से 5 में लाल वर्गों की संख्या का पूर्वानुमान लगा सकते हैं? (iii) क्या आप nवें चरण में लाल वर्गों की संख्या के लिए सूत्र ज्ञात कर सकते हैं? किसी भी चरण में लाल वर्गों की संख्या के लिए एक व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र भी लिखिए। (iv) मान लीजिए चरण 0 में वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई है। चरण 1, 2 और 3 में लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है? चरण 4 और 5 में लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना होगा? nवें चरण में लाल क्षेत्र के क्षेत्रफल के लिए व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र भी ज्ञात कीजिए। संख्या n बढ़ने के साथ इस क्षेत्रफल में क्या अंतर आता है?
Answer:
(i) चरण 0: 1 लाल वर्ग
चरण 1: 8 लाल वर्ग
चरण 2: \( 8^2 = 64 \) लाल वर्ग
चरण 3: \( 8^3 = 512 \) लाल वर्ग
अतः, चरण 0 से 3 तक क्रमशः 1, 8, 64 और 512 लाल वर्ग हैं।
(ii) प्रत्येक चरण पर लाल वर्गों की संख्या 8 गुनी हो जाती है।
चरण 4 में लाल वर्गों की संख्या = \( 8^4 = 4096 \)
चरण 5 में लाल वर्गों की संख्या = \( 8^5 = 32768 \)
अतः, चरण 4 में 4096 और चरण 5 में 32768 लाल वर्ग हैं।
(iii) लाल वर्गों की संख्या का अनुक्रम: \( 1, 8, 64, 512, \dots \)
व्यापक सूत्र: \( t_n = 8^n \) (यहाँ चरण 0, \( n = 0 \) के संगत है)
पुनरावर्ती सूत्र: \( t_0 = 1 \), \( t_n = 8t_{n-1} \), जबकि \( n \ge 1 \)
(iv) चूँकि प्रत्येक चरण पर वर्ग को 9 बराबर भागों में बाँटा जाता है और मध्य भाग हटाया जाता है, इसलिए शेष लाल क्षेत्रफल पिछले क्षेत्रफल का \( \frac{8}{9} \) हो जाता है।
चरण 0 का क्षेत्रफल = 1 वर्ग इकाई
चरण 1 का क्षेत्रफल = \( \frac{8}{9} \)
चरण 2 का क्षेत्रफल = \( \left(\frac{8}{9}\right)^2 = \frac{64}{81} \)
चरण 3 का क्षेत्रफल = \( \left(\frac{8}{9}\right)^3 = \frac{512}{729} \)
चरण 4 का क्षेत्रफल = \( \left(\frac{8}{9}\right)^4 = \frac{4096}{6561} \)
चरण 5 का क्षेत्रफल = \( \left(\frac{8}{9}\right)^5 = \frac{32768}{59049} \)
व्यापक सूत्र (क्षेत्रफल के लिए): \( A_n = \left(\frac{8}{9}\right)^n \) (यहाँ चरण 0, \( n = 0 \) के संगत है)
पुनरावर्ती सूत्र: \( A_0 = 1 \), \( A_n = \frac{8}{9}A_{n-1} \), जबकि \( n \ge 1 \)
जैसे-जैसे \( n \) बढ़ता है, क्षेत्रफल लगातार घटता जाता है और 0 के अधिकाधिक निकट होता जाता है, परंतु यह कभी भी ठीक 0 नहीं होता।
मुख्य बिंदु:
• पैटर्न को पहचानकर गुणोत्तर अनुक्रम बनाना।
• भिन्नों के घात के रूप में क्षेत्रफल की गणना करना।
• सीमांत व्यवहार (limiting behavior) को समझना कि जैसे \( n \) अनंत की ओर अग्रसर होता है, क्षेत्रफल शून्य की ओर अग्रसर होता है।
आम गलतियाँ:
• चरण 0 से गिनती शुरू करने के बजाय चरण 1 से मान लेना जिससे घात में अंतर आ जाता है।
• क्षेत्रफल के अनुपात \( \frac{8}{9} \) को गलत लिखना।
• पुनरावर्ती और व्यापक सूत्र में अंतर स्पष्ट न करना।
Exam Tips:
a) उप-प्रश्नों (i) से (iv) के उत्तर अलग-अलग भागों में स्पष्ट रूप से लिखें।
b) बड़े भिन्नों के गुणा में यदि मान जटिल हो तो उन्हें घातांक रूप में ही छोड़ना बेहतर होता है।
c) फ्रैक्टल और ज्यामितीय पैटर्न वाले प्रश्नों में अनुक्रम के नियम को पहले समझ लें।
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NCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 08 अगले पद का पूर्वानुमान अनुक्रमों और श्रेणियों का अन्वेषण
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