Official NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 08 अगले पद का पूर्वानुमान अनुक्रमों और श्रेणियों का अन्वेषण
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 08 अगले पद का पूर्वानुमान अनुक्रमों और श्रेणियों का अन्वेषण
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Question 1: उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पदों को ज्ञात कीजिए, जिसका nवाँ पद निम्नलिखित प्रकार से दिया गया है-
(i) \( t_n = 3n - 4 \)
(ii) \( t_n = 2 - 5n \)
(iii) \( t_n = n^2 - 2n + 3 \) जहाँ \( n \ge 1 \) हो।
Answer:
दिया गया है कि अनुक्रम का nवाँ पद विभिन्न सूत्रों द्वारा परिभाषित है। प्रत्येक स्थिति में n के मान 1 से 5 तक रखकर प्रथम पाँच पद ज्ञात करते हैं:
(i) \( t_n = 3n - 4 \)
\( t_1 = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1 \)
\( t_2 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2 \)
\( t_3 = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5 \)
\( t_4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8 \)
\( t_5 = 3(5) - 4 = 15 - 4 = 11 \)
अतः, प्रथम पाँच पद: \( -1, 2, 5, 8, 11 \)
(ii) \( t_n = 2 - 5n \)
\( t_1 = 2 - 5(1) = 2 - 5 = -3 \)
\( t_2 = 2 - 5(2) = 2 - 10 = -8 \)
\( t_3 = 2 - 5(3) = 2 - 15 = -13 \)
\( t_4 = 2 - 5(4) = 2 - 20 = -18 \)
\( t_5 = 2 - 5(5) = 2 - 25 = -23 \)
अतः, प्रथम पाँच पद: \( -3, -8, -13, -18, -23 \)
(iii) \( t_n = n^2 - 2n + 3 \)
\( t_1 = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \)
\( t_2 = (2)^2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 \)
\( t_3 = (3)^2 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6 \)
\( t_4 = (4)^2 - 2(4) + 3 = 16 - 8 + 3 = 11 \)
\( t_5 = (5)^2 - 2(5) + 3 = 25 - 10 + 3 = 18 \)
अतः, प्रथम पाँच पद: \( 2, 3, 6, 11, 18 \)
मुख्य बिंदु:
• किसी भी अनुक्रम का nवाँ पद \( t_n \) ज्ञात होने पर n के स्थान पर धनात्मक पूर्णांक रखकर उसके पद निकाले जाते हैं।
• ऋणात्मक चिन्हों के गुणा करते समय विशेष सावधानी रखनी चाहिए।
• वर्ग और गुणा की संक्रियाएँ BODMAS नियम के अनुसार हल की जाती हैं।
आम गलतियाँ:
• n के मान 1 से शुरू करने के बजाय 0 से शुरू करना।
• गुणा और घटाव करते समय चिन्ह की गलती करना (विशेषकर ऋणात्मक मानों में)।
• पदों को सही क्रम में न लिखना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक पद की गणना को अलग-अलग पंक्ति में स्पष्ट रूप से दिखाएँ।
b) अंतिम उत्तर को समुच्चय या अल्पविराम लगाकर अलग से हाईलाइट करें।
c) गणना के बाद एक बार पुनः मान रखकर जाँच अवश्य करें।
Question 2: अनुक्रम \( t_n = 5n - 3 \) हो, जबकि \( n \ge 1 \) के 10वें एवं 15वें पदों को ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया अनुक्रम है: \( t_n = 5n - 3 \)
10वाँ पद ज्ञात करने के लिए \( n = 10 \) रखने पर:
\( t_{10} = 5(10) - 3 \)
\( = 50 - 3 = 47 \)
15वाँ पद ज्ञात करने के लिए \( n = 15 \) रखने पर:
\( t_{15} = 5(15) - 3 \)
\( = 75 - 3 = 72 \)
अतः, 10वाँ पद = \( 47 \) और 15वाँ पद = \( 72 \)
मुख्य बिंदु:
• विशिष्ट पद ज्ञात करने के लिए n के दिए गए मान को सीधे nवाँ पद के व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाता है।
• यहाँ \( n = 10 \) और \( n = 15 \) रखना है।
• गुणन संक्रिया को घटाने से पहले हल किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• 5 को n से गुणा करने के बजाय सीधे 510 या 515 लिख देना।
• घटाव की प्रक्रिया में गलती करना।
• दोनों पदों को आपस में मिला देना।
Exam Tips:
a) प्रश्न में दिए गए सूत्र को सबसे पहले लिखें।
b) प्रत्येक पद के लिए मान प्रतिस्थापन को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) अंत में दोनों उत्तरों को अलग-अलग वाक्यों में स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 3: निर्धारित कीजिए कि क्या 97 और 172 अनुक्रम \( t_n = 5n - 3 \) के पद हैं, जबकि \( n \ge 1 \) है।
Answer:
दिया गया अनुक्रम है: \( t_n = 5n - 3 \)
संख्या 97 के लिए जाँच करते हैं:
मान लीजिए \( t_n = 97 \)
\( 5n - 3 = 97 \)
\( 5n = 97 + 3 \)
\( 5n = 100 \)
\( n = \frac{100}{5} = 20 \)
चूँकि \( n = 20 \) एक प्राकृत संख्या है, अतः 97 इस अनुक्रम का एक पद है (यह 20वाँ पद है)।
अब संख्या 172 के लिए जाँच करते हैं:
मान लीजिए \( t_n = 172 \)
\( 5n - 3 = 172 \)
\( 5n = 172 + 3 \)
\( 5n = 175 \)
\( n = \frac{175}{5} = 35 \)
चूँकि \( n = 35 \) एक प्राकृत संख्या है, अतः 172 भी इस अनुक्रम का एक पद है (यह 35वाँ पद है)।
मुख्य बिंदु:
• किसी संख्या के अनुक्रम का पद होने के लिए n का मान एक धनात्मक पूर्णांक (प्राकृत संख्या) होना चाहिए।
• यदि n का मान भिन्न (fraction) या ऋणात्मक आता है, तो वह संख्या उस अनुक्रम का पद नहीं होती।
• समीकरण को हल करके n का मान निकाला जाता है।
आम गलतियाँ:
• n का मान दशमलव या भिन्न आने पर भी उसे पद मान लेना।
• पक्षांतर करते समय चिन्ह बदलना भूल जाना।
• केवल एक संख्या की जाँच करके छोड़ देना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक संख्या के लिए समीकरण को अलग से हल करें।
b) n के मान के प्राकृत संख्या होने का कारण उत्तर में जरूर लिखें।
c) यह भी बताएँ कि वह संख्या कौन-لसी पद संख्या है।
Question 4: अनुक्रम \( t_n = 5n - 3 \) जहाँ \( n \ge 1 \) है, में कौन-सा पद 607 है?
Answer:
दिया गया अनुक्रम है: \( t_n = 5n - 3 \)
मान लीजिए कि nवाँ पद 607 है, अर्थात \( t_n = 607 \)
\( 5n - 3 = 607 \)
\( 5n = 607 + 3 \)
\( 5n = 610 \)
\( n = \frac{610}{5} \)
\( n = 122 \)
चूँकि \( n = 122 \) एक प्राकृत संख्या है, अतः 607 इस अनुक्रम का 122वाँ पद है।
मुख्य बिंदु:
• अज्ञात पद की स्थिति (n) ज्ञात करने के लिए \( t_n \) को दी गई संख्या के बराबर रखा जाता है।
• रैखिक समीकरण को हल करके n का सटीक मान निकाला जाता है।
• n का मान एक धनात्मक पूर्णांक होना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• भाग देते समय गणना में त्रुटि करना।
• n के मान की पुष्टि न करना कि वह प्राकृत संख्या है या नहीं।
• समीकरण हल करते समय -3 को बाएँ से दाएँ ले जाते समय चिन्ह न बदलना।
Exam Tips:
a) समीकरण हल करने के प्रत्येक चरण को नीचे की ओर क्रमिक रूप से लिखें।
b) अंतिम परिणाम को स्पष्ट रूप से वाक्यों में लिखें।
c) उत्तर की सत्यता की जाँच के लिए \( 5 \times 122 - 3 \) करके देख सकते हैं।
Question 5: एक अनुक्रम \( t_1 = -5, t_{n+1} = t_n + 3 \) पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जब \( n \ge 1 \) हो। अनुक्रम के प्रथम पाँच पद ज्ञात कीजिए। क्या इस अनुक्रम का एक पद 52 है? यदि हाँ, तो यह अनुक्रम का कौन-सा पद है?
Answer:
दिया गया है: \( t_1 = -5 \) और \( t_{n+1} = t_n + 3 \)
प्रथम पाँच पद ज्ञात करने के लिए n के मान रखते हैं:
\( t_1 = -5 \)
\( t_2 = t_1 + 3 = -5 + 3 = -2 \) (n = 1 रखने पर)
\( t_3 = t_2 + 3 = -2 + 3 = 1 \) (n = 2 रखने पर)
\( t_4 = t_3 + 3 = 1 + 3 = 4 \) (n = 3 रखने पर)
\( t_5 = t_4 + 3 = 4 + 3 = 7 \) (n = 4 रखने पर)
अतः प्रथम पाँच पद हैं: \( -5, -2, 1, 4, 7 \)
यह एक समांतर अनुक्रम (A.P.) है जिसका प्रथम पद \( a = -5 \) और सार्व अंतर \( d = 3 \) है।
समांतर श्रेणी का nवाँ पद सूत्र: \( t_n = a + (n - 1)d \)
\( t_n = -5 + (n - 1)3 \)
\( t_n = -5 + 3n - 3 \)
\( t_n = 3n - 8 \)
अब जाँचते हैं कि क्या 52 इस अनुक्रम का पद है:
मान लीजिए \( t_n = 52 \)
\( 3n - 8 = 52 \)
\( 3n = 52 + 8 \)
\( 3n = 60 \)
\( n = \frac{60}{3} = 20 \)
चूँकि \( n = 20 \) एक प्राकृत संख्या है, अतः 52 इस अनुक्रम का एक पद है। यह इस अनुक्रम का 20वाँ पद है।
मुख्य बिंदु:
• पुनरावर्ती (recursive) सूत्र में अगला पद पिछले पद की सहायता से निकाला जाता है।
• लगातार पदों का अंतर समान होने पर यह समांतर श्रेणी बनती है।
• nवें पद का व्यापक सूत्र बनाकर किसी भी पद की स्थिति ज्ञात की जा सकती है।
आम गलतियाँ:
• पुनरावर्ती सूत्र में मान रखते समय पिछले पद का सही मान न लेना।
• समांतर श्रेणी के सूत्र में गलत मान प्रतिस्थापित करना।
• n के मान के पूर्णांक होने की उपेक्षा करना।
Exam Tips:
a) पुनरावर्ती पदों को एक के बाद एक क्रमानुसार निकालें।
b) व्यापक पद (nth term) का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएँ।
c) अंतिम भाग में समीकरण हल करने के चरणों को साफ-सुथरा रखें।
Question 6: मान लीजिए, \( T_1 = 1, T_2 = 2, T_3 = 4 \) और \( T_n = T_{n-1} + T_{n-2} + T_{n-3} \) हो, जबकि \( n \ge 4 \) है। \( T_4, T_5, T_6, T_7, \) और \( T_8 \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( T_1 = 1, T_2 = 2, T_3 = 4 \) और पुनरावर्ती संबंध \( T_n = T_{n-1} + T_{n-2} + T_{n-3} \) (जब \( n \ge 4 \))
अब चरणबद्ध गणना करते हैं:
\( n = 4 \) रखने पर:
\( T_4 = T_3 + T_2 + T_1 \)
\( T_4 = 4 + 2 + 1 = 7 \)
\( n = 5 \) रखने पर:
\( T_5 = T_4 + T_3 + T_2 \)
\( T_5 = 7 + 4 + 2 = 13 \)
\( n = 6 \) रखने पर:
\( T_6 = T_5 + T_4 + T_3 \)
\( T_6 = 13 + 7 + 4 = 24 \)
\( n = 7 \) रखने पर:
\( T_7 = T_6 + T_5 + T_4 \)
\( T_7 = 24 + 13 + 7 = 44 \)
\( n = 8 \) रखने पर:
\( T_8 = T_7 + T_6 + T_5 \)
\( T_8 = 44 + 24 + 13 = 81 \)
मुख्य बिंदु:
• यह एक त्रि-पदीय पुनरावर्ती अनुक्रम है जहाँ प्रत्येक नया पद पिछले तीन पदों के योग के बराबर होता है।
• अगले पद को निकालने के लिए ठीक पहले के तीन मानों की आवश्यकता होती है।
• गणना में क्रमिक रूप से आगे बढ़ना जरूरी है ताकि पिछले मान गलत न हों।
आम गलतियाँ:
• पिछले तीन पदों के बजाय केवल दो पदों को जोड़ना।
• गलत पिछले पदों के मान (जैसे पुरानी संख्याएँ) जोड़ देना।
• जोड़ करते समय सामान्य गणितीय त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक चरण में n का मान लिखकर स्पष्ट करें कि कौन सा सूत्र उपयोग हो रहा है।
b) जोड़ की प्रक्रिया सावधानी से करें क्योंकि एक गलती अगले सभी पदों को गलत कर देगी।
c) सभी उत्तरों \( (T_4 \) से \( T_8) \) को अंत में एक साथ स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करें।
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