NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 08 Predicting What Comes Next Exploring Sequences and Progressions (अगले पद का पूर्वानुमान अनुक्रमों और श्रेणियों का अन्वेषण) End of Chapter Exercises in Hindi

Question 1: उस समानांतर श्रेढ़ी का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

Answer:

मान लीजिए कि समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद \( a \) तथा सार्व अंतर \( d \) है।
प्रश्न के अनुसार, 11वाँ पद 38 है, अतः:
\( a + 10d = 38 \)    ...(1)
तथा 16वाँ पद 73 है, अतः:
\( a + 15d = 73 \)    ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 15d) - (a + 10d) = 73 - 38 \)
\( 5d = 35 \)
\( d = 7 \)
अब \( d = 7 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 10(7) = 38 \)
\( a + 70 = 38 \)
\( a = 38 - 70 \)
\( a = -32 \)
अब 31वाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र \( t_n = a + (n-1)d \) का प्रयोग करते हैं:
\( t_{31} = a + 30d \)
\( t_{31} = -32 + 30(7) \)
\( t_{31} = -32 + 210 \)
\( t_{31} = 178 \)
अतः, दी गई समानांतर श्रेढ़ी का 31वाँ पद 178 है।

मुख्य बिंदु:

• समांतर श्रेढ़ी के nवें पद का व्यापक सूत्र \( t_n = a + (n - 1)d \) होता है।
• दो अज्ञात राशियों (\( a \) और \( d \)) को ज्ञात करने के लिए दो रैखिक समीकरणों के युग्م को हल किया जाता है।
• समीकरणों को हल करते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• 11वें पद को \( a + 11d \) लिख देना, जबकि यह \( a + 10d \) होता है।
• समीकरणों को घटाते समय चिह्नों की गलती करना।
• अंतिम गणना में धनात्मक और ऋणात्मक चिह्न की भूल करना।

Exam Tips:

a) परीक्षा में हमेशा मान लीजिए लिखकर प्रथम पद और सार्व अंतर स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
b) समीकरणों को नाम दें जैसे (1) और (2) ताकि परीक्षक को समझने में आसानी हो।
c) गणना पूरी करने के बाद उत्तर को अलग से बॉक्स में या स्पष्ट शब्दों में लिखें।

Question 2: उस समानांतर श्रेढ़ी का निर्धारण (की रचना) कीजिए, जिसका तीसरा पद 16 है और जिसका 7वाँ पद, 5वें पद से 12 अधिक है।

Answer:

मान लीजिए कि समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद \( a \) तथा सार्व अंतर \( d \) है।
तीसरा पद 16 है, अतः:
\( a + 2d = 16 \)    ...(1)
प्रश्नानुसार, 7वाँ पद, 5वें पद से 12 अधिक है, अतः:
\( (a + 6d) - (a + 4d) = 12 \)
\( a + 6d - a - 4d = 12 \)
\( 2d = 12 \)
\( d = 6 \)
अब \( d = 6 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2(6) = 16 \)
\( a + 12 = 16 \)
\( a = 16 - 12 \)
\( a = 4 \)
अतः, प्रथम पद \( a = 4 \) तथा सार्व अंतर \( d = 6 \) है।
समानांतर श्रेढ़ी (A.P.) के पद निम्नलिखित होंगे:
पहला पद = \( 4 \)
दूसरा पद = \( 4 + 6 = 10 \)
तीसरा पद = \( 10 + 6 = 16 \)
चौथा पद = \( 16 + 6 = 22 \)
पाँचवा पद = \( 22 + 6 = 28 \)
अतः, अभीष्ट समानांतर श्रेढ़ी: \( 4, 10, 16, 22, 28, \dots \) है।

मुख्य बिंदु:

• किसी भी समांतर श्रेढ़ी की रचना करने के लिए प्रथम पद (\( a \)) और सार्व अंतर (\( d \)) ज्ञात होना आवश्यक है।
• दी गई शर्त के अनुसार रैखिक समीकरण बनाना श्रेढ़ी के प्रश्नों को हल करने की कुंजी है।
• श्रेढ़ी के क्रमिक पदों को प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पिछले पद में सार्व अंतर जोड़ा जाता है।

आम गलतियाँ:

• 7वें और 5वें पद के अंतर को समीकरण के रूप में लिखते समय कोष्ठक का प्रयोग न करना जिससे चिह्न की गलती हो जाती है।
• \( d \) का मान निकालने के बाद उसे समीकरण (1) में वापस रखना भूल जाना।
• केवल प्रथम पद और सार्व अंतर लिखकर छोड़ देना, जबकि प्रश्न में 'श्रेढ़ी की रचना' पूछी गई है।

Exam Tips:

a) शर्तों को गणितीय समीकरण में बदलते समय शांत होकर प्रश्न को दो बार पढ़ें।
b) श्रेढ़ी लिखते समय कम से कम 4-5 पद लिखकर डॉट-डॉट (...) अवश्य लगाएं।
c) अंत में स्पष्ट रूप से लिखें कि 'अतः अभीष्ट समांतर श्रेढ़ी यह है'।

Question 3: कितनी 3-अंकीय संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

Answer:

7 से विभाज्य सबसे छोटी तीन अंकों की संख्या 105 है (क्योंकि \( 105 \div 7 = 15 \))।
7 से विभाज्य सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्या 994 है (क्योंकि \( 994 \div 7 = 142 \))।
अतः, 7 से विभाज्य सभी तीन अंकों की संख्याएँ एक समांतर श्रेढ़ी बनाती हैं:
\( 105, 112, 119, \dots, 994 \)
यहाँ प्रथम पद \( a = 105 \)
सार्व अंतर \( d = 7 \)
अंतिम पद या nवाँ पद \( t_n = 994 \)
हम जानते हैं कि nवें पद का सूत्र है:
\( t_n = a + (n - 1)d \)
मान रखने पर:
\( 994 = 105 + (n - 1)7 \)
\( 994 - 105 = 7(n - 1) \)
\( 889 = 7(n - 1) \)
\( n - 1 = \frac{889}{7} \)
\( n - 1 = 127 \)
\( n = 127 + 1 \)
\( n = 128 \)
अतः, 7 से विभाज्य तीन अंकों की कुल 128 संख्याएँ हैं।

मुख्य बिंदु:

• ऐसी समस्याओं में सबसे पहले दी गई शर्त के अनुसार श्रेणी का पहला और अंतिम पद ढूँढना होता है।
• तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या 100 और सबसे बड़ी संख्या 999 होती है।
• पदों की कुल संख्या \( n \) ज्ञात करने के लिए A.P. के व्यापक सूत्र का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या 100 को ही 7 से भाग न देने पर सीधे श्रेणी का प्रथम पद मान लेना।
• समीकरण हल करते समय 1 जोड़ने से भूल जाना जिससे उत्तर एक कम आता है।
• भाग देने में साधारण गणना त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) परीक्षा में प्रथम और अंतिम संख्या ढूँढने की कार्यप्रणाली (Working) को भी उत्तर पुस्तिका में दर्शाएँ।
b) सूत्र \( t_n = a + (n - 1)d \) को बॉक्स में बंद करें।
c) अंतिम उत्तर में भाषा का पूर्ण वाक्य प्रयोग करें (जैसे: 'अतः, 7 से विभाज्य तीन अंकों की संख्याएँ 128 हैं')।

Question 4: 4 के कितने गुणज 10 और 250 के बीच आते हैं?

Answer:

10 से बड़ा 4 का सबसे छोटा गुणज 12 है (क्योंकि \( 12 = 4 \times 3 \))।
250 से छोटा 4 का सबसे बड़ा गुणज 248 है (क्योंकि \( 248 \div 4 = 62 \))।
अतः, 10 और 250 के बीच 4 के सभी गुणज एक समांतर श्रेढ़ी बनाते हैं:
\( 12, 16, 20, \dots, 248 \)
इस समांतर श्रेढ़ी के लिए:
प्रथम पद \( a = 12 \)
सार्व अंतर \( d = 4 \)
अंतिम पद \( t_n = 248 \)
सूत्र \( t_n = a + (n - 1)d \) का उपयोग करने पर:
\( 248 = 12 + (n - 1)4 \)
\( 248 - 12 = 4(n - 1) \)
\( 236 = 4(n - 1) \)
\( n - 1 = \frac{236}{4} \)
\( n - 1 = 59 \)
\( n = 59 + 1 \)
\( n = 60 \)
अतः, 10 और 250 के बीच 4 के कुल 60 गुणज आते हैं।

मुख्य बिंदु:

• किसी संख्या के गुणज (Multiples) हमेशा एक समान अंतर (यानी उसी संख्या) वाली समांतर श्रेढ़ी बनाते हैं।
• 'के बीच' शब्द का अर्थ है कि सीमाओं (10 और 250) को शामिल नहीं करना है, बल्कि उनके अंदर की संख्याओं को देखना है।
• पदों की संख्या निकालने के लिए A.P. का सूत्र ही सबसे सटीक विधि है।

आम गलतियाँ:

• 10 से छोटी संख्या 8 या स्वयं 10 को प्रथम पद मान लेना।
• 250 को भी श्रेणी में शामिल कर लेना, जबकि 250 स्वयं 4 से पूरी तरह विभाज्य नहीं है।
• पक्षांतर करते समय चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रथम और अंतिम पद प्राप्त करने की संक्षिप्त उपपत्ति या तर्क को उत्तर में जरूर लिखें।
b) प्रत्येक चरण को एक नई पंक्ति में लिखें ताकि उत्तर स्पष्ट और पठनीय लगे।
c) अंतिम गणना की दो बार जाँच करें।

Question 5: उस गुणोत्तर श्रेढ़ी की रचना (निर्माण) कीजिए, जिसके प्रारंभिक दो पदों का योगफल \( -4 \) है और जिसका पाँचवा पद, तीसरे पद का 4 गुना है।

Answer:

मान लीजिए कि गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) का प्रथम पद \( a \) तथा सार्व अनुपात \( r \) है।
अतः, आवश्यक गुणोत्तर श्रेढ़ी के पद \( a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \dots \) हैं।
प्रश्नानुसार, प्रथम दो पदों का योगफल \( -4 \) है:
\( a + ar = -4 \)
\( a(1 + r) = -4 \)    ...(1)
साथ ही, पाँचवाँ पद तीसरे पद का 4 गुना है:
पाँचवाँ पद = \( ar^4 \)
तीसरा पद = \( ar^2 \)
अतः:
\( ar^4 = 4ar^2 \)
\( ar^4 - 4ar^2 = 0 \)
\( ar^2(r^2 - 4) = 0 \)
चूँकि प्रथम पद \( a \neq 0 \), इसलिए:
\( r^2 - 4 = 0 \)
\( r^2 = 4 \)
\( r = 2 \) या \( r = -2 \)
स्थिति 1: जब \( r = 2 \)
समीकरण (1) में \( r = 2 \) रखने पर:
\( a(1 + 2) = -4 \)
\( 3a = -4 \)
\( a = -\frac{4}{3} \)
अतः, इस स्थिति में गुणोत्तर श्रेढ़ी है:
\( -\frac{4}{3}, -\frac{8}{3}, -\frac{16}{3}, -\frac{32}{3}, \dots \)
स्थिति 2: जब \( r = -2 \)
समीकरण (1) में \( r = -2 \) रखने पर:
\( a(1 - 2) = -4 \)
\( -a = -4 \)
\( a = 4 \)
अतः, इस स्थिति में गुणोत्तर श्रेढ़ी है:
\( 4, -8, 16, -32, 64, \dots \)
अतः, दो संभावित गुणोत्तर श्रेणियाँ प्राप्त होती हैं।

मुख्य बिंदु:

• गुणोत्तर श्रेढ़ी के क्रमिक पद \( a, ar, ar^2, ar^3, \dots \) होते हैं।
• nवें पद का व्यापक सूत्र \( t_n = ar^{n-1} \) होता है।
• समीकरण हल करते समय \( r \) के दो मान (\( +2 \) और \( -2 \)) प्राप्त होना इस प्रश्न का मुख्य मोड़ है।

आम गलतियाँ:

• \( ar^4 = 4ar^2 \) को हल करते समय दोनों पक्षों से सीधे \( ar^2 \) काट देना और \( r = -2 \) वाले हल को छोड़ देना।
• समीकरण (1) में मान रखते समय ब्रैकेट खोलते समय चिह्न की गलती करना।
• श्रेढ़ी के पदों को भिन्न के रूप में सही से न लिखना।

Exam Tips:

a) दोनों स्थितियों (\( r = 2 \) और \( r = -2 \)) को अलग-अलग headings या खंड बनाकर हल करें।
b) प्रत्येक श्रेणी के कम से कम 4 पद लिखकर दिखाएं।
c) गुणनखंड विधि का स्पष्ट रूप से उल्लेख करें।

Question 6: 100 को क्रमागत प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिखने की सभी संभव विधियाँ ज्ञात कीजिए।

Answer:

हमें ऐसी क्रमागत प्राकृत संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका योगफल 100 हो। संभावित लंबाइयाँ (पदों की संख्या) निम्नलिखित हो सकती हैं:
1 पद के लिए:
\( 100 = 100 \)
5 पदों के लिए:
मान लीजिए संख्याएँ \( x - 2, x - 1, x, x + 1, x + 2 \) हैं।
इनका योगफल = \( 5x \)
प्रश्नानुसार:
\( 5x = 100 \)
\( x = 20 \)
अतः संख्याएँ हैं: \( 18, 19, 20, 21, 22 \)
योग: \( 100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22 \)
8 पदों के लिए:
मान लीजिए संख्याएँ \( x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5, x + 6, x + 7 \) हैं।
इनका योगफल = \( 8x + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 8x + 28 \)
प्रश्नानुसार:
\( 8x + 28 = 100 \)
\( 8x = 100 - 28 \)
\( 8x = 72 \)
\( x = 9 \)
अतः संख्याएँ 9 से 16 तक हैं।
योग: \( 100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 \)
अतः, 100 को क्रमागत प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिखने की सभी संभव विधियाँ निम्नलिखित हैं:
\( 100 = 100 \)
\( 100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22 \)
\( 100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 \)

मुख्य बिंदु:

• क्रमागत संख्याओं को मानने के लिए विषम पदों की संख्या में \( x-1, x, x+1 \) और सम पदों की संख्या में \( x, x+1 \) आदि रूप का प्रयोग किया जाता है।
• समांतर श्रेणी के योग के सूत्र या औसत विधि का उपयोग करके भी इसे समझा जा सकता है।
• यहाँ सभी संभावित लंबाइयों की जाँच करनी होती है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक या दो विधियाँ लिखकर छोड़ देना और सभी संभव विधियों की जाँच न करना।
• 8 पदों वाले योग में संख्याओं के योग (28) को जोड़ने में गलती करना।
• प्राकृत संख्याओं की परिभाषा से बाहर जाकर ऋणात्मक संख्याएँ मान लेना।

Exam Tips:

a) पदों की संख्या (1 पद, 5 पद, 8 पद) को स्पष्ट रूप से अलग-अलग headings के तहत हल करें।
b) उत्तर को समीकरण के रूप में व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत करें।
c) अंत में सभी विधियों को एक साथ सारांश के रूप में लिखें।

Question 7: किसी कल्चर (नमूने) में जीवाणुओं की संख्या प्रत्येक घंटे में दुगुनी हो जाती है। यदि प्रारंभ में कल्चर (नमूने) में 30 जीवाणु विद्यमान थे, तो दूसरे घंटे के अंत में, चौथे घंटे के अंत में और nवें घंटे के अंत में कितने जीवाणु विद्यमान होंगे?

Answer:

प्रारंभ में (शुरुआत में यानी \( t = 0 \) पर) जीवाणुओं की संख्या = 30
चूँकि जीवाणुओं की संख्या प्रत्येक घंटे में दुगुनी हो जाती है, यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) के रूप में बढ़ता है।
पहले घंटे के अंत में जीवाणुओं की संख्या = \( 30 \times 2 = 60 \)
दूसरे घंटे के अंत में जीवाणुओं की संख्या:
\( = 30 \times 2^2 = 30 \times 4 = 120 \)
चौथे घंटे के अंत में जीवाणुओं की संख्या:
\( = 30 \times 2^4 = 30 \times 16 = 480 \)
nवें घंटे के अंत में जीवाणुओं की संख्या:
व्यापक सूत्र \( t_n = a \cdot r^n \) (जहाँ प्रारंभिक मान \( a = 30 \) और सार्व अनुपात \( r = 2 \)) के अनुसार:
\( = 30 \times 2^n \)
अतः:
• दूसरे घंटे के अंत में = 120 जीवाणु
• चौथे घंटे के अंत में = 480 जीवाणु
• nवें घंटे के अंत में = \( 30 \times 2^n \) जीवाणु

मुख्य बिंदु:

• जब कोई मात्रा प्रत्येक निश्चित अंतराल पर गुना (multiply) होती है, तो वह गुणोत्तर वृद्धि (Exponential Growth) या G.P. को दर्शाती है।
• प्रारंभिक मान को पहला पद या शून्यवें पद का आधार माना जाता है।
• nवें घंटे के लिए घात (exponent) \( n \) होती है।

आम गलतियाँ:

• दूसरे घंटे के लिए सीधे 30 को 2 से दो बार गुणा करने के बजाय \( 30 \times 2 \) (जो पहले घंटे का है) ही लिख देना।
• nवें घंटे के अंत में \( 30 \times 2^{n-1} \) लिख देना, जबकि यहाँ प्रारंभ (0वें घंटे) से शुरुआत हुई है अतः \( 30 \times 2^n \) सही है।
• घात की गणना में गुणा की गलती करना (जैसे \( 2^4 = 16 \) की जगह कुछ और लिख देना)।

Exam Tips:

a) प्रत्येक भाग (दूसरा घंटा, चौथा घंटा और nवाँ घंटा) के उत्तर को अलग-अलग पंक्तियों में स्पष्ट रूप से लिखें।
b) भाषा वाले प्रश्नों में प्रारंभिक स्थिति का वर्णन अवश्य करें।
c) अंत में मुख्य निष्कर्ष को एक बार फिर से बिंदुओं में दोहरा दें।

Question 8: किसी समानांतर श्रेढ़ी के चौथे और आठवें पदों का योगफल 24 है और छठे और दसवें पदों का योगफल 44 है। समानांतर श्रेढ़ी के पहले तीन पद ज्ञात कीजिए।

Answer:

मान लीजिए कि समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद \( a \) और सार्व अंतर \( d \) है।
चौथा पद = \( a + 3d \)
आठवाँ पद = \( a + 7d \)
प्रश्नानुसार, चौथे और आठवें पदों का योगफल 24 है:
\( (a + 3d) + (a + 7d) = 24 \)
\( 2a + 10d = 24 \)
दो से भाग देने पर:
\( a + 5d = 12 \)    ...(1)
इसी प्रकार, छठा पद = \( a + 5d \)
दसवाँ पद = \( a + 9d \)
प्रश्नानुसार, छठे और दसवें पदों का योगफल 44 है:
\( (a + 5d) + (a + 9d) = 44 \)
\( 2a + 14d = 44 \)
दो से भाग देने पर:
\( a + 7d = 22 \)    ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 7d) - (a + 5d) = 22 - 12 \)
\( 2d = 10 \)
\( d = 5 \)
अब \( d = 5 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 5(5) = 12 \)
\( a + 25 = 12 \)
\( a = 12 - 25 \)
\( a = -13 \)
अतः, समांतर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पद (\( a, a+d, a+2d \)) निम्नलिखित हैं:
पहला पद = \( -13 \)
दूसरा पद = \( -13 + 5 = -8 \)
तीसरा पद = \( -13 + 2(5) = -13 + 10 = -3 \)
अतः, प्रथम तीन पद \( -13, -8, -3 \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद सूत्र \( t_n = a + (n - 1)d \) से निकाला जाता है।
• दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि (Elimination Method) से हल करना सबसे आसान होता है।
• प्रथम तीन पदों को \( a, a+d, a+2d \) के रूप में लिखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• चौथे पद को \( a + 4d \) लिख देना जबकि यह \( a + 3d \) होता है।
• समीकरणों को सरल करने के लिए दोनों पक्षों में भाग (जैसे 2 से भाग) देना भूल जाना, जिससे गणना बड़ी हो जाती है।
• ऋणात्मक मानों को जोड़ते या घटाते समय चिह्न की भूल करना।

Exam Tips:

a) समीकरणों को सरल बनाने के लिए यदि किसी संख्या से भाग जाता है तो उसे अवश्य दें।
b) पदों के मान निकालते समय कोष्ठक का सही उपयोग करें।
c) अंत में प्रथम तीन पदों को स्पष्ट रूप से अलग से दर्शाएँ।

Question 9: n का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए, जिससे प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल 1,000 से अधिक हो।

Answer:

प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याओं का योगफल \( S_n \) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
\( S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \)
प्रश्नानुसार, हमें \( n \) का वह न्यूनतम मान चाहिए जिसके लिए योगफल 1,000 से अधिक हो:
\( \frac{n(n + 1)}{2} > 1000 \)
\( n(n + 1) > 2000 \)
अब हम ऐसी प्राकृत संख्या \( n \) की खोज करते हैं जिसके लिए \( n(n + 1) \) का मान 2000 के निकट और उससे बड़ा हो।
यदि हम \( n = 44 \) लें:
\( 44 \times 45 = 1980 \)
अतः \( S_{44} = \frac{1980}{2} = 990 \)
यदि हम \( n = 45 \) लें:
\( 45 \times 46 = 2070 \)
अतः \( S_{45} = \frac{2070}{2} = 1035 \)
चूँकि 1035, 1,000 से अधिक है तथा \( n = 44 \) के लिए योगफल 990 है (जो 1000 से कम है), इसलिए 1,000 से अधिक योगफल देने वाला \( n \) का न्यूनतम मान 45 है।

मुख्य बिंदु:

• प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याओं के योग का मानक सूत्र \( \frac{n(n+1)}{2} \) होता है।
• असमिका (Inequality) वाले प्रश्नों में अनुमान और जाँच (Trial and Error) विधि का प्रयोग किया जाता है।
• न्यूनतम मान का अर्थ है कि उससे ठीक पहले वाली संख्या पर योगफल 1000 से कम होना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• केवल 2000 के पास की संख्या देखकर रुक जाना और योगफल की तुलना 1000 से करना भूल जाना।
• 2 से गुणा करना भूल जाना जिससे असमानता गलत हो जाती है।
• गणना में गुणा करते समय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) अनुमान लगाते समय आसपास की दो क्रमागत संख्याओं (जैसे 44 और 45) के गुणनफल को लिखकर दिखाएँ ताकि परीक्षक को पता चले कि आपने सही जाँच की है।
b) सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंत में 'अतः n का न्यूनतम मान 45 है' वाक्य स्पष्ट लिखें।

Question 10: गुणोत्तर श्रेढ़ी 2, 8, 32, … का कौन-सा पद 131072 है? nवें पद के लिए व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र भी लिखिए।

Answer:

दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी: \( 2, 8, 32, \dots \)
यहाँ प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्व अनुपात \( r = \frac{8}{2} = 4 \)
मान लीजिए दी गई श्रेढ़ी का nवाँ पद 131072 है, अर्थात \( t_n = 131072 \)
गुणोत्तर श्रेढ़ी के nवें पद के लिए व्यापक सूत्र:
\( t_n = a \cdot r^{n-1} \) मान रखने पर:
\( 2 \times 4^{n-1} = 131072 \)
\( 4^{n-1} = \frac{131072}{2} \)
\( 4^{n-1} = 65536 \)
अब 65536 को 4 की घात के रूप में लिखने पर:
\( 4^8 = 65536 \)
अतः:
\( 4^{n-1} = 4^8 \)
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
\( n - 1 = 8 \)
\( n = 8 + 1 \)
\( n = 9 \)
अतः, 131072 इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का 9वाँ पद है।
पुनरावर्ती सूत्र (Recurrence Formula):
\( t_1 = 2 \)
\( t_n = 4 \cdot t_{n-1} \), जबकि \( n \geq 2 \)

मुख्य बिंदु:

• गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक (General) सूत्र \( t_n = ar^{n-1} \) होता है।
• घातांक के समीकरण को हल करने के लिए दोनों पक्षों को समान आधार (Base) में बदलना पड़ता है।
• पुनरावर्ती सूत्र पिछले पद के संदर्भ में अगले पद को परिभाषित करता है।

आम गलतियाँ:

• सार्व अनुपात \( r \) निकालते समय \( \frac{2}{8} \) लिख देना जबकि यह बाद के पद को पहले पद से भाग देने पर (\( \frac{8}{2} \)) आता है।
• 65536 का आधार 4 में गुणनखंड करने में गलती करना।
• पुनरावर्ती सूत्र में प्रथम पद देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र दोनों को अलग से हाइलाइट करके लिखें।
b) घातांक की तुलना करते समय कारण स्पष्ट लिखें।
c) अंतिम पद ज्ञात करने के बाद यह स्पष्ट लिखें कि यह कौन-सा पद है (जैसे 9वाँ पद)।

Question 11: एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पदों का योगफल 13/12 है और उनका गुणनफल −1 है। श्रेढ़ी का सार्व अनुपात और पद ज्ञात कीजिए।

Answer:

जब किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के तीन पदों का गुणनफल दिया हो, तो पदों को सुविधा के लिए \( \frac{a}{r}, a, ar \) मानना सबसे अच्छा रहता है।
प्रश्नानुसार, उनका गुणनफल \( -1 \) है:
\( \left(\frac{a}{r}\right) \times a \times (ar) = -1 \)
\( a^3 = -1 \)
\( a = -1 \)
अब तीन पद हैं: \( -\frac{1}{r}, -1, -r \)
प्रश्नानुसार, प्रथम तीन पदों का योगफल \( \frac{13}{12} \) है:
\( -\frac{1}{r} - 1 - r = \frac{13}{12} \)
दोनों पक्षों में \( -1 \) को दाईं ओर ले जाने पर या सीधे लघुत्तम लेने पर:
\( -\left(\frac{1}{r} + 1 + r\right) = \frac{13}{12} \)
\( \frac{1 + r + r^2}{r} = -\frac{13}{12} \)
वज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर:
\( 12(1 + r + r^2) = -13r \)
\( 12 + 12r + 12r^2 = -13r \)
\( 12r^2 + 12r + 13r + 12 = 0 \)
\( 12r^2 + 25r + 12 = 0 \)
मध्य पद को विभक्त करने पर (\( 16 \times 9 = 144 \) और \( 16 + 9 = 25 \)):
\( 12r^2 + 16r + 9r + 12 = 0 \)
\( 4r(3r + 4) + 3(3r + 4) = 0 \)
\( (4r + 3)(3r + 4) = 0 \)
अतः:
\( r = -\frac{3}{4} \) या \( r = -\frac{4}{3} \)
स्थिति 1: जब \( r = -\frac{3}{4} \) और \( a = -1 \)
पद हैं: \( -\frac{1}{-\frac{3}{4}}, -1, -\left(-\frac{3}{4}\right) \)
अर्थात: \( \frac{4}{3}, -1, \frac{3}{4} \)
स्थिति 2: जब \( r = -\frac{4}{3} \) और \( a = -1 \)
पद हैं: \( -\frac{1}{-\frac{4}{3}}, -1, -\left(-\frac{4}{3}\right) \)
अर्थात: \( \frac{3}{4}, -1, \frac{4}{3} \)
अतः, सार्व अनुपात \( -\frac{3}{4} \) या \( -\frac{4}{3} \) है तथा श्रेढ़ी के पद \( \frac{4}{3}, -1, \frac{3}{4} \) या \( \frac{3}{4}, -1, \frac{4}{3} \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• तीन पदों वाली G.P. में गणना को आसान बनाने के लिए पदों को \( \frac{a}{r}, a, ar \) माना जाता है।
• गुणनफल से सीधे प्रथम पद \( a \) का मान प्राप्त हो जाता है।
• द्विघात समीकरण को हल करके सार्व अनुपात के दो मान प्राप्त होते हैं।

आम गलतियाँ:

• सामान्य पद \( a, ar, ar^2 \) मानकर हल करना जिससे समीकरण जटिल हो जाती है।
• भिन्नों का लघुत्तम लेते समय चिह्न की गलती करना।
• द्विघात समीकरण के गुणनखंड बनाते समय गलत युग्म चुनना।

Exam Tips:

a) याद रखें कि जब भी तीन पदों का गुणनफल दिया हो, \( \frac{a}{r}, a, ar \) मानना ही सबसे सही तरीका है।
b) द्विघात समीकरण के चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएँ।
c) दोनों मानों के लिए श्रेढ़ी के पद अलग-अलग लिखकर स्पष्ट करें।

Question 12: यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का चौथा, दसवाँ और सोलहवाँ पद क्रमश: x, y और z है। सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।

Answer:

मान लीजिए कि गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद \( a \) तथा सार्व अनुपात \( r \) है।
प्रश्नानुसार:
चौथा पद \( x = ar^3 \)
दसवाँ पद \( y = ar^9 \)
सोलहवाँ पद \( z = ar^{15} \)
हमें सिद्ध करना है कि \( x, y, z \) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, जिसके लिए यह आवश्यक है कि:\br \( \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \)
अब बाएँ पक्ष का अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( \frac{y}{x} = \frac{ar^9}{ar^3} = r^{9-3} = r^6 \)    ...(1)
अब दाएँ पक्ष का अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( \frac{z}{y} = \frac{ar^{15}}{ar^9} = r^{15-9} = r^6 \)    ...(2)
समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि:
\( \frac{y}{x} = \frac{z}{y} = r^6 \)<चूँकि किन्हीं भी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान है,
अतः \( x, y, z \) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं। (इति सिद्धम्)

मुख्य बिंदु:

• किसी अनुक्रम को गुणोत्तर श्रेढ़ी में सिद्ध करने के लिए उसके किन्हीं भी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होना चाहिए (\( \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2} \))。
• गुणोत्तर श्रेढ़ी के nवें पद का सूत्र \( t_n = ar^{n-1} \) होता है।
• घातांक के नियमों का प्रयोग करके भाग देने पर घातें घट जाती हैं (\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \))।

आम गलतियाँ:

• चौथे पद को \( ar^4 \) लिख देना जबकि यह \( ar^3 \) होता है।
• अनुपात निकालते समय पदों को उल्टा (\( \frac{x}{y} \)) लिख देना।
• उपपत्ति को अधूरा छोड़ देना और निष्कर्ष न लिखना।

Exam Tips:

a) उपपत्ति वाले प्रश्नों में 'दिया है', 'सिद्ध करना है' और 'उपपत्ति' (Proof) के रूप में चरणबद्ध लिखें।
b) घातांक के सूत्र को साइड में ब्रैकेट में अवश्य दर्शाएँ।
c) अंत में 'अतः सिद्ध हुआ' या 'इति सिद्धम्' लिखना न भूलें।

Question 13: एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पदों का योगफल 26 है और उन पदों के वर्गों का योगफल 364 है। गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों को ज्ञात कीजिए।

Answer:

मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पद \( a, ar, ar^2 \) हैं।
पहली शर्त के अनुसार, पदों का योगफल 26 है:
\( a + ar + ar^2 = 26 \)
\( a(1 + r + r^2) = 26 \)    ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, पदों के वर्गों का योगफल 364 है:
\( a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 364 \)
\( a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 364 \)
\( a^2(1 + r^2 + r^4) = 364 \)    ...(2)
अब समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से विभाजित करने पर:
\( \frac{a^2(1 + r^2 + r^4)}{[a(1 + r + r^2)]^2} = \frac{364}{26^2} \)
\( \frac{a^2(1 + r^2 + r^4)}{a^2(1 + r + r^2)^2} = \frac{364}{676} \)
\( \frac{1 + r^2 + r^4}{(1 + r + r^2)^2} = \frac{7}{13} \)
हम जानते हैं कि \( 1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2) \) होता है। अतः:
\( \frac{(1 + r + r^2)(1 - r + r^2)}{(1 + r + r^2)^2} = \frac{7}{13} \)
\( \frac{1 - r + r^2}{1 + r + r^2} = \frac{7}{13} \)
वज्र गुणन करने पर:
\( 13(1 - r + r^2) = 7(1 + r + r^2) \)
\( 13 - 13r + 13r^2 = 7 + 7r + 7r^2 \)
\( 13r^2 - 7r^2 - 13r - 7r + 13 - 7 = 0 \)
\( 6r^2 - 20r + 6 = 0 \)
दो से भाग देने पर:
\( 3r^2 - 10r + 3 = 0 \)
मध्य पद को विभक्त करने पर:
\( 3r^2 - 9r - r + 3 = 0 \)
\( 3r(r - 3) - 1(r - 3) = 0 \)
\( (3r - 1)(r - 3) = 0 \)
अतः, \( r = \frac{1}{3} \) या \( r = 3 \)
स्थिति 1: जब \( r = \frac{1}{3} \)
समीकरण (1) से:
\( a\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right) = 26 \)
\( a\left(\frac{9 + 3 + 1}{9}\right) = 26 \)
\( a\left(\frac{13}{9}\right) = 26 \)
\( a = 26 \times \frac{9}{13} = 18 \)
अतः पद हैं: \( 18, 18 \times \frac{1}{3}, 18 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 \), अर्थात \( 18, 6, 2 \)
स्थिति 2: जब \( r = 3 \)
समीकरण (1) से:
\( a(1 + 3 + 3^2) = 26 \)
\( a(1 + 3 + 9) = 26 \)
\( a(13) = 26 \)
\( a = 2 \)
अतः पद हैं: \( 2, 2 \times 3, 2 \times 3^2 \), अर्थात \( 2, 6, 18 \)
अतः, गुणोत्तर श्रेढ़ी के पद \( 18, 6, 2 \) या \( 2, 6, 18 \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• वर्गों के योग वाले प्रश्नों में समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देना एक मानक तकनीक है।
• बीजीय सर्वसमिका \( 1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2) \) का ज्ञान होना आवश्यक है।
• अंत में सार्व अनुपात के दोनों मानों के लिए श्रेढ़ी के पद अलग-अलग ज्ञात किए जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• समीकरण (1) के वर्ग से भाग देते समय \( a \) का वर्ग करना भूल जाना।
• बीजगणितीय सर्वसमिका को गलत विस्तारित करना।
• द्विघात समीकरण बनाते समय चिह्न की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) यह एक दीर्घ उत्तरीय (Long Answer) प्रश्न है, अतः प्रत्येक चरण को बहुत साफ-सुथरा लिखें।
b) सर्वसमिका का उपयोग करते समय उसे ब्रैकेट में अलग से लिखकर बताएँ।
c) दोनों स्थितियों के उत्तरों को स्पष्ट रूप से अलग करें।

Question 14: मान लीजिए कि \( P_1 = 1, P_2 = 2 \) है और \( n > 2 \) के लिए \( P_n = P_1 + P_2 + \dots + P_{n-1} + 1 \) है। \( P_1, P_2, \dots, P_8 \) के मान ज्ञात कीजिए। क्या आप \( P_n \) के लिए एक अधिक सरल पुनरावर्ती सूत्र ज्ञात कर सकते हैं? क्या आप एक व्यापक सूत्र बता सकते हैं?

Answer:

दिया है: \( P_1 = 1, P_2 = 2 \)
तथा \( n > 2 \) के लिए: \( P_n = P_1 + P_2 + \dots + P_{n-1} + 1 \)
अब क्रमिक मान ज्ञात करते हैं:
\( P_3 = P_1 + P_2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \)
\( P_4 = P_1 + P_2 + P_3 + 1 = 1 + 2 + 4 + 1 = 8 \)
\( P_5 = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 1 = 16 \)
\( P_6 = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 1 = 32 \)
\( P_7 = 64 \)
\( P_8 = 128 \)
अतः \( P_1, P_2, \dots, P_8 \) के मान हैं: \( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 \)
सरल पुनरावर्ती सूत्र (Simple Recurrence Formula):
चूँकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद का दुगुना है, अतः:
\( P_1 = 1 \)
\( P_n = 2P_{n-1} \), जबकि \( n \geq 2 \)
व्यापक सूत्र (General Formula):
इस अनुक्रम के लिए व्यापक सूत्र है:
\( P_n = 2^{n-1} \)

मुख्य बिंदु:

• अनुक्रम और श्रेणी के ऐसे प्रश्नों में पहले कुछ पदों को निकालकर पैटर्न की पहचान की जाती है।
• पुनरावर्ती सूत्र पिछले पदों पर निर्भर करता है, जबकि व्यापक सूत्र सीधे पद संख्या \( n \) पर निर्भर करता है।
• यहाँ प्राप्त अनुक्रम \( 1, 2, 4, 8, \dots \) एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है।

आम गलतियाँ:

• योग वाले सूत्र में पिछले सभी पदों को जोड़ते समय गणना में गलती करना।
• पुनरावर्ती सूत्र लिखते समय \( 2 \) का गुणा करना भूल जाना।
• व्यापक सूत्र में घात \( n-1 \) की जगह केवल \( n \) लिख देना।

Exam Tips:

a) सभी पदों (\( P_1 \) से \( P_8 \)) को एक साथ अनुक्रम के रूप में अंत में जरूर लिखें।
b) पुनरावर्ती और व्यापक सूत्र को अलग-अलग वाक्यों में स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
c) पैटर्न को पहचानते ही उसे गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में पहचानना आसान हो जाता है।

Question 15: मान लीजिए \( W_1 = 1, W_2 = 2 \) और \( n > 2 \) के लिए \( W_n = W_1 + W_2 + \dots + W_{n-2} + 2 \) है। \( W_1, W_2, \dots, W_8 \) के मान ज्ञात कीजिए। क्या आप इस अनुक्रम को पहचानते हैं?

Answer:

दिया है: \( W_1 = 1, W_2 = 2 \)
तथा \( n > 2 \) के लिए: \( W_n = W_1 + W_2 + \dots + W_{n-2} + 2 \)
अब क्रमिक मान ज्ञात करते हैं:
\( W_3 = W_1 + 2 = 1 + 2 = 3 \)
\( W_4 = W_1 + W_2 + 2 = 1 + 2 + 2 = 5 \)
\( W_5 = W_1 + W_2 + W_3 + 2 = 1 + 2 + 3 + 2 = 8 \)
\( W_6 = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 + 2 = 1 + 2 + 3 + 5 + 2 = 13 \)
\( W_7 = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 2 = 21 \)
\( W_8 = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 2 = 34 \)
अतः \( W_1, W_2, \dots, W_8 \) के मान हैं: \( 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 \)
हाँ, हम इस अनुक्रम को पहचानते हैं। यह प्रसिद्ध विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम (Virahanka-Fibonacci Sequence) है, जिसमें प्रत्येक अगला पद अपने ठीक पिछले दो पदों का योग होता है (\( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \))。

मुख्य बिंदु:

• फिबोनाची अनुक्रम गणित और प्रकृति में पाया जाने वाला एक बहुत ही महत्वपूर्ण पैटर्न है।
• इस अनुक्रम में शुरुआती दो पदों को छोड़कर प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों को जोड़ने पर प्राप्त होता है।
• प्राचीन भारतीय गणितज्ञ विरहांक ने छंद शास्त्र में इसका सबसे पहले अध्ययन किया था।

आम गलतियाँ:

• योग निकालते समय बीच के किसी पद को छोड़ देना।
• अनुक्रम के नाम को पहचान न पाना या केवल मान लिखकर छोड़ देना।
• \( W_n \) के सूत्र में दिए गए नियमों को गलत तरीके से लागू करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक पद की गणना को एक-एक करके स्पष्ट रूप से दिखाएँ।
b) अनुक्रम के मानों (\( 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 \)) को ध्यान से देखें क्योंकि यह बहुत प्रसिद्ध संख्या श्रृंखला है।
c) अंत में अनुक्रम की पहचान (फिबोनाची अनुक्रम) का उल्लेख अवश्य करें।