NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 07 The Mathematics of Maybe Introduction to Probability (संभावनाओं की गणित प्रायिकता का परिचय) Exercise 7.4 in Hindi

Question 1: A और B फलों की दो टकरियाँ हैं। टोकरी A में एक सेब और दो संतरे हैं। टोकरी B में एक केला और एक आम है। आप यादृच्छिक रूप से प्रत्येक टोकरी से एक फल निकालते हैं –
(i) फलों के सभी संभावित युग्मों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींचिए।
(ii) प्रतिदर्श समष्टि को सूचीबद्ध कीजिए।
(iii) एक सेब और एक केला निकालने की प्रायिकता क्या होगी?

Answer:

(i) वृक्ष आरेख में टोकरी A के फलों (सेब, संतरा 1, संतरा 2) को पहली शाखा के रूप में और टोकरी B के फलों (केला, आम) को दूसरी शाखा के रूप में दर्शाया जाता है।
(ii) प्रतिदर्श समष्टि \( S \) सभी संभावित युग्मों का समुच्चय है:
\( S = \{(\text{सेब, केला}), (\text{सेब, आम}), (\text{संतरा 1, केला}), (\text{संतरा 1, आम}), (\text{संतरा 2, केला}), (\text{संतरा 2, आम})\} \)
यहाँ कुल संभव परिणामों की संख्या \( = 6 \) है।
(iii) एक सेब और एक केला निकालने के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 1 \) है जो कि \( (\text{सेब, केला}) \) है।
अतः प्रायिकता \( = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} \)
\( = \frac{1}{6} \)

मुख्य बिंदु:

• वृक्ष आरेख द्वारा सभी संभावित परिणामों को आसानी से समझा जा सकता है।
• प्रतिदर्श समष्टि में सभी संभव युग्मों को क्रमित युग्म के रूप में लिखा जाता है।
• प्रायिकता निकालने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों से भाग दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• दोनों संतरों को अलग-अलग (संतरा 1 और संतरा 2) न मानना।
• प्रतिदर्श समष्टि के कुल परिणामों की गिनती में गलती करना।
• प्रायिकता का सूत्र गलत लिखना।

Exam Tips:

a) वृक्ष आरेख बनाते समय सभी शाखाओं को स्पष्ट रूप से नामांकित करें।
b) प्रतिदर्श समष्टि लिखते समय कर्ली ब्रैकेट्स \( \{ \} \) का सही प्रयोग करें।
c) अंतिम उत्तर को भिन्न के सरलतम रूप में लिखें।

Question 2: मान लीजिए, आपके पास एक बक्सा है जिसमें 3 लाल पेन, 4 काले पेन और 2 हरे पेन हैं। आपने बक्से में बिना देखे एक पेन निकाला और वापस उसी में रख दिया। अब आपका मित्र भी इसी कार्य को दोहराता है।
(i) पेन के रंगों के संभावित परिणाम क्या हैं? क्या आप संभावित परिणामों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींच सकते हैं?
(ii) क्या आप वृक्ष आरेख का उपयोग कर अनुमान लगा सकते हैं कि आप और आपके मित्र द्वारा एक ही रंग के पेन निकालने की प्रायिकता क्या होगी?

Answer:

(i) पेन के रंगों के संभावित परिणाम लाल, काला और हरा हैं।
चूँकि निकाले गए पेन को वापस रख दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बार परिणामों की प्रायिकता समान रहती है।
प्रतिदर्श समष्टि \( S \) इस प्रकार है:
\( S = \{(\text{लाल, लाल}), (\text{लाल, काला}), (\text{लाल, हरा}), (\text{काला, लाल}), (\text{काला, काला}), (\text{काला, हरा}), (\text{हरा, लाल}), (\text{हरा, काला}), (\text{हरा, हरा})\} \)
इस प्रकार, कुल संभावित परिणामों की संख्या \( = 9 \) है।
(ii) दोनों द्वारा एक ही रंग के पेन निकालने के अनुकूल परिणाम वे हैं जहाँ दोनों बार एक ही रंग आता है:
अनुकूल परिणाम \( = \{(\text{लाल, लाल}), (\text{काला, काला}), (\text{हरा, हरा})\} \)
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 3 \)
कुल परिणामों की संख्या \( = 9 \)
अतः प्रायिकता \( = \frac{3}{9} \)
\( = \frac{1}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• 'वापस रखने' (with replacement) के कारण हर बार कुल पेन समान (9) रहते हैं।
• एक ही रंग के पेन निकालने के परिणाम तीनों समरूपी रंगों के युग्म होंगे।
• प्रायिकता को सरल भिन्न में बदला गया है।

आम गलतियाँ:

• पेन वापस न रखने की स्थिति मान लेना।
• कुल परिणामों की संख्या 9 की बजाय कुछ और लिख देना।
• भिन्न को सरल न करना (\( 3/9 \) पर ही छोड़ देना)।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दी गई शर्तों जैसे 'वापस रख दिया' को ध्यान से पढ़ें।
b) प्रतिदर्श समष्टि के सभी अवयवों को क्रमित युग्म में स्पष्ट दिखाएं।
c) प्रायिकता निकालने के बाद यदि भिन्न कटती है तो उसे न्यूनतम रूप में बदलें।