NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 07 The Mathematics of Maybe Introduction to Probability (संभावनाओं की गणित प्रायिकता का परिचय) Exercise 7.3 in Hindi

Question 1: जब एक षट्फलकीय पासा फेंका जाता है तो प्रतिदर्श समष्टि में संभावित परिणामों की कुल संख्या कितनी होगी?

Answer:

जब एक षट्फलकीय पासा फेंका जाता है, तो ऊपरी फलक पर आने वाले संभावित परिणाम 1 से 6 तक होते हैं।
अतः, संभावित परिणामों का समुच्चय या प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) होगी।
इस प्रकार, संभावित परिणामों की कुल संख्या \( n(S) = 6 \) होगी।

मुख्य बिंदु:

• षट्फलकीय पासे में 6 फलक होते हैं जिन पर 1 से 6 तक अंक अंकित होते हैं।
• प्रतिदर्श समष्टि किसी प्रयोग के सभी संभव परिणामों का समुच्चय होती है।
• \( n(S) \) प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की कुल संख्या को दर्शाता है।

आम गलतियाँ:

• छात्र पासे के परिणामों को 0 से शुरू कर देते हैं, जो कि गलत है।
• \( n(S) \) का मान कुल परिणामों की संख्या के स्थान पर कुछ और लिख देना।
• समुच्चय (Set) के कोष्ठक \( \{\} \) न लगाना।

Exam Tips:

a) प्रायिकता के प्रश्नों में सबसे पहले प्रतिदर्श समष्टि \( S \) और \( n(S) \) स्पष्ट रूप से लिखें।
b) समुच्चय लिखते समय हमेशा सर्पिली कोष्ठक \( \{\} \) का ही प्रयोग करें।
c) पासे और सिक्कों से संबंधित प्रयोगों के मूलभूत परिणामों को हमेशा याद रखें।

Question 2: निम्नलिखित प्रयोगों के लिए प्रतिदर्श समष्टि S लिखिए –
(i) एक साथ एक पासा फेंकना और एक सिक्का उछालना।
(ii) −5 और +5 के मध्य एक पूर्णांक का यादृच्छिक चयन करना।
(iii) एक बक्से में 5 हरी और 7 लाल गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली गई।

Answer:

(i) पासे फेंकने पर संभावित परिणाम: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \)
सिक्का उछालने पर संभावित परिणाम: \( H \) (चित), \( T \) (पट)
चूंकि दोनों प्रयोग एक साथ किए जाते हैं, प्रत्येक परिणाम एक युग्म के रूप में होगा: (पासे की संख्या, सिक्के का परिणाम)
अतः, प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{(1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), (5,H), (5,T), (6,H), (6,T)\} \)
इस प्रकार, \( n(S) = 12 \) होगा।

(ii) −5 और +5 के मध्य पूर्णांक (दोनों सिरों सहित):
दी गई शर्त के अनुसार पूर्णांक हैं: \( -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \)
अतः, प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)
इस प्रकार, कुल अवयव \( n(S) = 11 \) होंगे।

(iii) एक बक्से में 5 हरी और 7 लाल गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली गई।
स्थिति 1: यदि गेंदें एक-दूसरे से अभिन्न हैं (अर्थात रंग के आधार पर पहचानी जाती हैं):
गेंदों के दो प्रकार हैं: हरी (\( G \)) और लाल (\( R \))
प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{\text{हरी गेंद, लाल गेंद}\} \) या \( S = \{G, R\} \), जहाँ \( n(S) = 2 \).
स्थिति 2: यदि गेंदें व्यक्तिगत रूप से भिन्न (पहचान योग्य) हों:
हरी गेंदें: \( G_1, G_2, G_3, G_4, G_5 \) और लाल गेंदें: \( R_1, R_2, R_3, R_4, R_5, R_6, R_7 \)
अतः, प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{G_1, G_2, G_3, G_4, G_5, R_1, R_2, R_3, R_4, R_5, R_6, R_7\} \), जहाँ \( n(S) = 12 \)
(नोट: इस स्तर पर प्रायिकता के प्रयोजन के लिए रंग-आधारित प्रतिदर्श समष्टि ही मानक होती है।)

मुख्य बिंदु:

• संयुक्त प्रयोगों में परिणामों को क्रमित युग्मों (Ordered Pairs) के रूप में लिखा जाता है।
• "के मध्य" और "तक" शब्दों में अंतर समझना आवश्यक है (जैसे दोनों सिरों को शामिल करना या न करना)।
• गेंदों के रंग या उनकी व्यक्तिगत पहचान के आधार पर प्रतिदर्श समष्टि बदल सकती है।

आम गलतियाँ:

• पासे और सिक्के के परिणामों को गुणा करने के बजाय जोड़ देना।
• -5 और +5 के बीच चयन में सिरों (Endpoints) को छोड़ देना या गलत पूर्णांक लिखना।
• क्रमित युग्म (Ordered Pairs) बनाते समय कोष्ठक लगाना भूल जाना।

Exam Tips:

a) दो स्वतंत्र घटनाओं के कुल परिणामों की संख्या उनके अलग-अलग परिणामों की संख्या के गुणनफल के बराबर होती है।
b) पूर्णांकों वाले प्रश्नों में संख्या रेखा का मानसिक या रफ कार्य में उपयोग करें।
c) यदि प्रश्न में विशिष्ट पहचान न दी गई हो, तो मानक रंग-आधारित समष्टि का ही प्रयोग करें।

Question 3: एक ग्रामीण मेले में 3 लोकप्रिय नाश्ते उपलब्ध हैं- समोसा, पकौड़ा और भाजी। पेय पदार्थों में ग्रामीण व्यक्ति चाय या लस्सी का चयन कर सकते हैं।
(i) नाश्ते और पेय के सभी संभव संयोजन जो एक व्यक्ति मेले में चयनित कर सकता है, की प्रतिदर्श समष्टि सूचीबद्ध कीजिए।
(ii) ‘समोसे को नाश्ते के रूप में चयनित करने’ की घटना को सूचीबद्ध कीजिए।

Answer:

(i) नाश्ते के प्रकार = \( 3 \) (समोसा, पकौड़ा, भाजी)
पेय पदार्थों के प्रकार = \( 2 \) (चाय, लस्सी)
सभी संभावित संयोजनों की प्रतिदर्श समष्टि \( S \) होगी:
\( S = \{(\text{समोसा, चाय}), (\text{समोसा, लस्सी}), (\text{पकौड़ा, चाय}), (\text{पकौड़ा, लस्सी}), (\text{भाजी, चाय}), (\text{भाजी, लस्सी})\} \)
अतः, \( n(S) = 6 \)

(ii) 'समोसे को नाश्ते के रूप में चयनित करने' की घटना \( E \) को इस प्रकार सूचीबद्ध किया जा सकता है:
\( E = \{(\text{समोसा, चाय}), (\text{समोसा, लस्सी})\\)

• घटना \( E \) हमेशा प्रतिदर्श समष्टि \( S \) का एक उपसमुच्चय (Subset) होती है।
• किसी घटना की प्रायिकता निकालने के लिए \( P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} \) सूत्र का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• संयोजनों को लिखते समय जोड़े बनाना भूल जाना।
• घटना \( E \) में गलत खाद्य पदार्थों को शामिल कर लेना।
• प्रायिकता निकालते समय कुल परिणामों की संख्या गलत लिखना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के व्यावहारिक प्रश्नों में वृक्ष आरेख (Tree Diagram) का उपयोग करके आसानी से सभी संयोजन बनाए जा सकते हैं।
b) घटना को हमेशा एक नए प्रतीक (जैसे \( E \) या \( A \)) से निरूपित करें।
c) भिन्न (Fraction) के रूप में आने वाले उत्तर को हमेशा सरलतम रूप में (Lowest Form) लिखें।