Official NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 07 संभावनाओं की गणित प्रायिकता का परिचय
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 07 संभावनाओं की गणित प्रायिकता का परिचय
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Question 1: एक शिक्षक विभिन्न रंगों की मिठाइयों के एक बड़े थैले को आपस में मिलाती है और उसमें से यादृच्छिक रूप से 30 मिठाइयों के एक प्रतिदर्श का चयन करती है। वह प्रत्येक रंग की मिठाइयों की गिनती करती है, जिनकी संख्या इस प्रकार है –
10 लाल मिठाइयाँ | 8 हरी मिठाइयाँ | 7 पीली मिठाइयाँ | 5 नीली मिठाइयाँ
(i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक रूप से हरी मिठाई निकालने की प्रायिकता की गणना कीजिए।
(ii) यदि बड़े थैले में कुल 600 मिठाइयाँ हैं तो प्रतिदर्श के परिणामों के आधार पर आकलन कीजिए कि कितनी मिठाइयों के पीले रंग के होने की संभावना है?
Answer:
कुल मिठाइयों की संख्या (प्रतिदर्श आकार) \( = 30 \)
(i) हरी मिठाइयों की संख्या \( = 8 \)
हरी मिठाई निकालने की प्रायिकता \( P(\text{हरी}) = \frac{8}{30} \)
\( P(\text{हरी}) = \frac{4}{15} \approx 0.267 \)
(ii) पीली मिठाइयों की संख्या \( = 7 \)
प्रतिदर्श में पीली मिठाई की प्रायिकता \( P(\text{पीली}) = \frac{7}{30} \)
कुल मिठाइयाँ \( = 600 \)
600 में पीली मिठाइयों की अनुमानित संख्या \( = \frac{7}{30} \times 600 \)
\( = 7 \times 20 = 140 \)
अतः, लगभग 140 मिठाइयों के पीले रंग की होने की संभावना है।
मुख्य बिंदु:
• प्रायिकता का सूत्र अनुकूल परिणामों की संख्या तथा कुल परिणामों की संख्या का अनुपात होता है।
• प्रतिदर्श के परिणामों का उपयोग करके बड़े समूह के लिए अनुमान लगाया जा सकता है।
• भिन्नों को सरलतम रूप में बदलना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• कुल मिठाइयों की संख्या के स्थान पर किसी विशेष रंग की संख्या को हर (denominator) में लिख देना।
• गुणा करते समय कैंसिलेशन में गलती करना।
• दशमलव मान निकालते समय सन्निकटन (approximation) सही से न करना।
Exam Tips:
a) प्रायिकता के उत्तर को भिन्न और दशमलव दोनों रूपों में लिखना सुरक्षित रहता है।
b) भाषा वाले प्रश्नों में प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंत में निष्कर्ष वाक्य अवश्य लिखें।
Question 2: एक विद्यालय में सर्वेक्षण कराया गया, जहाँ 40 विद्यार्थियों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श से उनका प्रिय क्लब पूछा गया। प्रतिक्रियाएँ इस प्रकार हैं –
14 विद्यार्थी — विज्ञान क्लब | 11 विद्यार्थी — कला क्लब | 9 विद्यार्थी — खेल क्लब | 6 विद्यार्थी — वाद-विवाद क्लब
मान लीजिए कि पूरे विद्यालय में 800 विद्यार्थी हैं।
(i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक चयनित विद्यार्थी की प्राथमिकता कला क्लब के होने की प्रायिकता क्या है?
(ii) प्रतिदर्श के परिणामों का उपयोग करके आकलन कीजिए कि पूरे विद्यालय में कितने विद्यार्थी खेल क्लब को प्राथमिकता देंगे।
Answer:
प्रतिदर्श में कुल विद्यार्थियों की संख्या \( = 40 \)
(i) कला क्लब को प्राथमिकता देने वाले विद्यार्थियों की संख्या \( = 11 \)
कला क्लब की प्रायिकता \( P(\text{कला क्लब}) = \frac{11}{40} = 0.275 \)
(ii) खेल क्लब को प्राथमिकता देने वाले विद्यार्थियों की संख्या \( = 9 \)
पूरे विद्यालय में कुल विद्यार्थी \( = 800 \)
खेल क्लब पसंद करने वाले विद्यार्थियों की अनुमानित संख्या \( = \frac{9}{40} \times 800 \)
\( = 9 \times 20 = 180 \)
अतः, पूरे विद्यालय में लगभग 180 विद्यार्थी खेल क्लब को प्राथमिकता देंगे।
मुख्य बिंदु:
• कुल प्रतिदर्श विद्यार्थियों की संख्या से भाग देकर एकल प्रायिकता ज्ञात की जाती है।
• संपूर्ण विद्यालय के विद्यार्थियों की संख्या से प्रायिकता को गुणा करके कुल अनुमानित संख्या निकाली जाती है।
• सभी क्लबों के विद्यार्थियों का योग कुल प्रतिदर्श (40) के बराबर होना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• कुल विद्यार्थियों (40) के बजाय किसी अन्य क्लब के विद्यार्थियों की संख्या से भाग देना।
• 800 से गुणा करते समय गलत अंक से काटना।
• इकाई या भाषा लिखना भूल जाना।
Exam Tips:
a) गणना को साफ-सुथरे चरणों में दिखाएं ताकि शिक्षक को समझने में आसानी हो।
b) प्रायिकता निकालते समय भिन्न को दशमलव में बदलना अच्छा अभ्यास है।
c) अंतिम उत्तर में शब्दों (जैसे 'लगभग 180 विद्यार्थी') का प्रयोग अवश्य करें।
Question 3: एक सिक्के को 20 बार उछालिए और प्रत्येक बार परिणाम को अंकित कीजिए (चित अथवा पट)।
(i) आपने कितनी बार चित प्राप्त किया?
(ii) आपने कितनी बार पट प्राप्त किया?
(iii) चित प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता की गणना कीजिए।
(iv) यदि आप सिक्के को एक और बार उछालते हैं तब चित प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
Answer:
(i) मान लीजिए चित प्राप्त हुआ \( = 11 \) बार
(ii) पट प्राप्त हुआ \( = 9 \) बार
(iii) चित प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता \( P(\text{चित}) = \frac{\text{चित की संख्या}}{\text{कुल उछालों की संख्या}} \)
\( P(\text{चित}) = \frac{11}{20} = 0.55 \)
(iv) यह एक नया स्वतंत्र उछाल है। किसी भी निष्पक्ष सिक्के को उछालने पर चित या पट आने की सैद्धांतिक प्रायिकता हमेशा समान होती है, जो कि \( \frac{1}{2} \) है।
मुख्य बिंदु:
• प्रायोगिक प्रायिकता वास्तविक परीक्षण के परिणामों पर आधारित होती है।
• प्रत्येक नया उछाल एक स्वतंत्र घटना होता है, जिसका पिछले परिणामों से कोई संबंध नहीं होता।
• एक निष्पक्ष सिक्के के लिए सैद्धांतिक प्रायिकता सदैव निश्चित होती है।
आम गलतियाँ:
• पिछले परिणामों को अगले उछाल की प्रायिकता पर असर डालना मान लेना।
• कुल उछालों की संख्या गलत लिखना।
• प्रायोगिक और सैद्धांतिक प्रायिकता में अंतर न समझ पाना।
Exam Tips:
a) स्वतंत्र घटनाओं की अवधारणा को स्पष्ट रूप से समझें और लिखें।
b) प्रायोगिक प्रायिकता प्रयोग के आंकड़ों पर निर्भर करती है, यह स्पष्ट करें।
c) भिन्न और दशमलव दोनों रूपों में उत्तर देना सही रहता है।
Question 4: कागज से निर्मित एक प्याले को हवा में 100 बार उछालिए। प्रत्येक बार उछालने के पश्चात एक कागज पर यह लिखते जाइए कि प्याला अपने निचले तल पर गिरता है, उल्टा होकर ऊपरी भाग पर गिरता है अथवा अपने पार्श्व पर गिरता है (चित्र 7.5 देखिए)। प्रायोगिक प्रायिकता का उपयोग करके परिणामों की प्रायिकता की गणना कीजिए।
Answer:
यह एक प्रायोगिक गतिविधि है। मान लीजिए इस प्रयोग से निम्नलिखित अवलोकन प्राप्त होते हैं:
तल पर गिरने की संख्या \( = 35 \)
ऊपरी भाग पर गिरने की संख्या \( = 15 \)
पार्श्व (side) पर गिरने की संख्या \( = 50 \)
कुल उछाल \( = 35 + 15 + 50 = 100 \)
\( P(\text{तल}) = \frac{\text{तल पर गिरने की संख्या}}{100} \)
\( \Rightarrow P(\text{तल}) = \frac{35}{100} = 0.35 \)
\( P(\text{ऊपरी भाग}) = \frac{\text{ऊपरी भाग पर गिरने की संख्या}}{100} \)
\( \Rightarrow P(\text{ऊपरी भाग}) = \frac{15}{100} = 0.15 \)
\( P(\text{पार्श्व}) = \frac{\text{पार्श्व पर गिरने की संख्या}}{100} \)
\( \Rightarrow P(\text{पार्श्व}) = \frac{50}{100} = 0.50 \)
मुख्य बिंदु:
• प्रायोगिक प्रायिकता प्रेक्षणों की संख्या और कुल परीक्षणों के अनुपात से निकलती है।
• सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए (\( 0.35 + 0.15 + 0.50 = 1.0 \))।
• यह गतिविधि प्रायिकता के प्रायोगिक स्वरूप को समझने के लिए है।
आम गलतियाँ:
• सभी प्रायिकताओं का योग 1 से अधिक या कम आना (गणना की अशुद्धि)।
• कुल प्रेक्षणों की संख्या 100 के बजाय कुछ और मान लेना।
• सूत्रों को स्पष्ट रूप से न लिखना।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के प्रश्नों में प्रेक्षणों के मान अपनी सुविधा या मानक उदाहरण के अनुसार मानकर हल किए जा सकते हैं।
b) उत्तर को दशमलव या सरल भिन्न के रूप में व्यक्त करें।
c) जाँच के लिए सभी प्रायिकताओं का योग 1 होना अवश्य परखें।
Question 5: एक निष्पक्ष षट्फलकीय पासे को फेंकने पर एक सम संख्या को प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
Answer:
एक मानक षट्फलकीय पासे के कुल संभावित परिणाम \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
कुल परिणामों की संख्या \( = 6 \)
सम संख्याएँ जो पासे पर आ सकती हैं \( = \{2, 4, 6\} \)
अतः अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 3 \)
प्रायिकता का सूत्र \( P(\text{सम संख्या}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} \)
\( P(\text{सम संख्या}) = \frac{3}{6} \)
\( P(\text{सम संख्या}) = \frac{1}{2} \)
मुख्य बिंदु:
• सम संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं।
• निष्पक्ष पासे में प्रत्येक फलक के आने की संभावना समान होती है।
• भिन्न को हमेशा सरलतम रूप में (जैसे \( \frac{3}{6} \) को \( \frac{1}{2} \)) लिखना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• सम संख्याओं में विषम संख्याओं को शामिल कर लेना।
• कुल परिणामों की संख्या 6 के स्थान पर कुछ और लिख देना।
• भिन्न को सरल न करना।
Exam Tips:
a) सबसे पहले प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) को लिखकर कुल परिणाम स्पष्ट करें।
b) अनुकूल परिणामों को अलग से सूचीबद्ध करें।
c) अंतिम उत्तर को भिन्न के न्यूनतम रूप में ही छोड़ें।
Question 6: मान लीजिए, आप एक षट्फलकीय पासे को 12 बार फेंकते हैं और तीन बार अंक ‘3’ प्राप्त करते हैं।
(i) पासे पर ‘3’ आने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है?
(ii) पासे पर ‘3’ आने की सैद्धांतिक प्रायिकता क्या है?
(iii) इन प्रायिकताओं में भिन्नता क्यों हो सकती है? यदि आप पासे को 60, 600 या 6000 बार फेंके तो क्या प्राप्त होने की अपेक्षा करेंगे?
Answer:
(i) प्रायोगिक रूप से '3' आने की प्रायिकता \( P(3) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \)
(ii) सैद्धांतिक रूप से '3' आने की प्रायिकता \( P(3) = \frac{1}{6} \)
(iii) प्रायोगिक प्रायिकता सीमित संख्या में परीक्षणों के वास्तविक परिणामों पर आधारित होती है। केवल 12 बार फेंकने पर संयोगवश परिणामों में काफी भिन्नता हो सकती है। सैद्धांतिक प्रायिकता एक पूर्णतः निष्पक्ष पासे को मानकर चलती है, जिसमें सभी परिणाम समान रूप से संभावित होते हैं।
जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या बढ़ती है:
• 60 बार फेंकने पर: प्रायोगिक प्रायिकता \( \frac{1}{6} \) के निकट आ जाएगी, परंतु फिर भी कुछ भिन्नता हो सकती है।
• 600 बार फेंकने पर: यह \( \frac{1}{6} \) के अत्यंत निकट होगी।
• 6000 बार फेंकने पर: यह लगभग ठीक \( \frac{1}{6} \) के बराबर होगी।
यह बड़े संख्याओं का नियम है – जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या बढ़ती है, प्रायोगिक प्रायिकता सैद्धांतिक प्रायिकता के निकट होती जाती है।
मुख्य बिंदु:
• प्रायोगिक प्रायिकता प्रयोगों के आंकड़ों पर निर्भर करती है जबकि सैद्धांतिक प्रायिकता गणितीय संभावना पर।
• कम परीक्षणों में संयोग (chance) का प्रभाव अधिक होता है।
• अधिक परीक्षणों (Large number of trials) के बाद प्रायोगिक प्रायिकता सैद्धांतिक प्रायिकता के बराबर होने लगती है।
आम गलतियाँ:
• प्रायोगिक और सैद्धांतिक प्रायिकता को एक ही मान लेना।
• बड़े संख्याओं के नियम (Law of large numbers) को न समझना।
• अंश और हर के मान उल्टे लिख देना।
Exam Tips:
a) सैद्धांतिक और प्रायोगिक प्रायिकता के अंतर को परिभाषा के साथ स्पष्ट करें।
b) बड़े परीक्षणों के प्रभावों को बिंदुओं में लिखकर समझाएं।
c) निष्कर्ष में 'बड़े संख्याओं के नियम' का उल्लेख अवश्य करें।
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