Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 07 संभावनाओं की गणित प्रायिकता का परिचय
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Question 1: निम्नलिखित घटनाओं को एक पैमाने पर 0 (असंभव) से लेकर 1 (निश्चित) तक क्रमबद्ध कीजिए। प्रत्येक घटना को असंभव, कम संभव, समप्रायिक, अधिक संभव और निश्चित में वर्गीकृत कीजिए। कारण बताइए कि आपने प्रत्येक घटना को इस वर्ग में क्यों रखा है।
(i) आगामी सोमवार रविवार के पश्चात आएगा।
(ii) मुंबई में जुलाई महीने में बर्फबारी होगी।
(iii) आज आपकी कक्षा से एक हाथी गुजरेगा।
(iv) कल आप अपने विद्यालय में कम-से-कम एक मित्र का अभिवादन करेंगे।
Answer:
(i) निश्चित – प्रायिकता = \( 1 \)
कारण: सप्ताह के दिन सदैव एक निश्चित क्रम का पालन करते हैं। रविवार के बाद हमेशा सोमवार ही आता है। यह निश्चित रूप से होगा, अतः इसकी प्रायिकता \( 1 \) है।
(ii) असंभव – प्रायिकता = \( 0 \)
कारण: मुंबई की जलवायु उष्णकटिबंधीय है। जुलाई में वहाँ मानसून का मौसम होता है, जिसमें गर्म और आर्द्र मौसम रहता है। वहाँ बर्फबारी संभव नहीं है। अतः यह घटना बिल्कुल भी नहीं हो सकती, इसकी प्रायिकता \( 0 \) है।
(iii) असंभव – प्रायिकता = \( 0 \)
कारण: सामान्य परिस्थितियों में, किसी हाथी का विद्यालय की कक्षा में चलकर आना संभव नहीं है। यह घटना व्यावहारिक रूप से नहीं हो सकती, अतः इसकी प्रायिकता \( 0 \) (या \( 0 \) के अत्यंत निकट) है।
(iv) अधिक संभव – प्रायिकता \( 1 \) के निकट है, परंतु ठीक \( 1 \) नहीं
कारण: विद्यालय में आपके आस-पास कई मित्र होते हैं। यह अत्यंत संभावित है कि आप कम-से-कम एक मित्र का अभिवादन करेंगे। इसकी संभावना बहुत अधिक है, अतः यह घटना “अधिक संभव” है। यह “निश्चित” नहीं है क्योंकि कुछ दुर्लभ परिस्थितियाँ हो सकती हैं (जैसे आप अनुपस्थित हों या विद्यालय बंद हो), परंतु सामान्यतः यह घटित होगी।
मुख्य बिंदु:
• किसी भी घटना की प्रायिकता \( 0 \) से \( 1 \) के बीच होती है।
• असंभव घटना की प्रायिकता \( 0 \) और निश्चित घटना की प्रायिकता \( 1 \) होती है।
• वास्तविक जीवन के अनुभव प्रायिकता के निर्धारण में मदद करते हैं।
आम गलतियाँ:
• घटना के घटित होने की संभावना को बिना तार्किक कारण के वर्गीकृत करना।
• 'अधिक संभव' और 'निश्चित' घटनाओं के बीच अंतर न समझ पाना।
• प्रायिकता के मान \( 0 \) और \( 1 \) की सीमा को भूल जाना।
Exam Tips:
a) प्रायिकता के सैद्धांतिक और व्यावहारिक पहलुओं को समझकर उत्तर दें।
b) प्रत्येक घटना का वर्गीकरण करने के बाद उसका उचित तार्किक कारण अवश्य लिखें।
c) पैमानों के मानों (\( 0 \) से \( 1 \)) का स्पष्ट उल्लेख करें।
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