Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 07 संभावनाओं की गणित प्रायिकता का परिचय
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Practice Class 9 Mathematics Solutions: Chapter 07 संभावनाओं की गणित प्रायिकता का परिचय
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Question 1: रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
(i) असंभव घटना की प्रायिकता _____ है।
(ii) एक यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभव परिणामों के समुच्चय को _____ कहा जाता है।
(iii) एक निश्चित ही घटित होने वाली घटना की प्रायिकता _____ है।
(iv) निष्पक्ष सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता _____ है।
Answer:
(i) 0
(ii) प्रतिदर्श समष्टि
(iii) 1
(iv) \( \frac{1}{2} \)
मुख्य बिंदु:
• असंभव घटना की प्रायिकता हमेशा 0 होती है।
• निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा 1 होती है।
• प्रतिदर्श समष्टि किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है।
आम गलतियाँ:
• प्रायिकता का मान 0 से कम या 1 से अधिक लिखना।
• निश्चित घटना की प्रायिकता 0 लिख देना।
• प्रतिदर्श समष्टि की परिभाषा में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) प्रायिकता के मूल सिद्धांतों को अच्छी तरह याद रखें।
b) रिक्त स्थान भरते समय सटीक शब्दावली का प्रयोग करें।
c) प्रायिकता की सीमा हमेशा \( 0 \le P(E) \le 1 \) होती है।
Question 2: 50 विद्यार्थियों के एक सर्वेक्षण में 15 विद्यार्थियों ने कहा कि उन्हें फुटबॉल पसंद है। फुटबॉल पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या 15 है और ________ (आवृत्ति/सापेक्षिक आवृत्ति) _____ है (भिन्न अथवा दशमलव में पूर्ति कीजिए)।
Answer:
सापेक्षिक आवृत्ति
\( \frac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0.3 \)
मुख्य बिंदु:
• कुल विद्यार्थियों की संख्या 50 है।
• अनुकूल परिणामों की संख्या 15 है।
• सापेक्षिक आवृत्ति अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात होती है।
आम गलतियाँ:
• आवृत्ति और सापेक्षिक आवृत्ति में अंतर न समझना।
• भिन्न को सरल रूप में न बदलना।
• दशमलव में गलत मान लिखना।
Exam Tips:
a) सापेक्षिक आवृत्ति निकालते समय कुल संख्या को हर में रखें।
b) भिन्न को हमेशा न्यूनतम रूप में व्यक्त करें।
c) दशमलव रूपांतरण सावधानी से करें।
Question 3: निम्नलिखित में किस प्रयोग के समप्रायिक परिणाम हैं? व्याख्या कीजिए।
(i) एक चालक कार को चालू करने का प्रयास कर रहा है। कार चालू होती है या नहीं होती है।
(ii) निष्पक्ष सिक्का एक बार उछालना।
(iii) निष्पक्ष षट्फलकीय पासा फेंकना।
(iv) एक थैली से यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकालना, जिसमें 3 लाल कंचे और 7 नीले कंचे हों।
(v) एक बच्चे का जन्म हुआ है। यह एक लड़का है या लड़की है।
Answer:
(i) समप्रायिक नहीं है, क्योंकि कार का चालू होना उसकी आंतरिक स्थिति, ईंधन और बैटरी पर निर्भर करता है।
(ii) हाँ, समप्रायिक है, क्योंकि चित और पट दोनों के आने की प्रायिकता समान \( \frac{1}{2} \) होती है।
(iii) हाँ, समप्रायिक है, क्योंकि सभी 6 फलकों के आने की संभावना समान \( \frac{1}{6} \) होती है।
(iv) समप्रायिक नहीं है, क्योंकि लाल और नीले कंचों की संख्या भिन्न है, अतः प्रायिकताएँ भिन्न होंगी।
(v) हाँ, लगभग समप्रायिक है, क्योंकि जैविक रूप से लड़का या लड़की होने की संभावना लगभग समान मानी जाती है।
मुख्य बिंदु:
• समप्रायिक परिणाम वे होते हैं जिनकी आने की संभावना समान हो।
• सिक्का उछालना और पासा फेंकना समप्रायिक प्रयोग हैं।
• असमान संख्या वाले परिणाम समप्रायिक नहीं होते।
आम गलतियाँ:
• हर प्रयोग को बिना सोचे समप्रायिक मान लेना।
• बाहरी कारकों के प्रभाव को नजरअंदाज करना।
Exam Tips:
a) समप्रायिक की परिभाषा अच्छी तरह समझें।
b) प्रत्येक कथन का तार्किक कारण लिखें।
c) कंचों वाले प्रश्नों में संख्या का अनुपात देखें।
Question 4: दी गई सूचनाओं के आधार पर प्रतिदर्श समष्टि लिखिए और प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(i) एक ही समय पर दो सिक्कों को उछाला जाता है। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है?
(ii) 10 सर्वसम पत्ते 1 से 10 तक संख्यांकित करके एक बक्से में रखे गए हैं। एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। एक सम संख्या वाले पत्ते के आने की प्रायिकता क्या है?
(iii) एक पासा एक बार फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
(iv) एक थैले में 3 लाल गेंदें, 2 नीली गेंदें और 1 हरी गेंद है। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गेंद लाल नहीं होगी?
(v) तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। ठीक दो चित आने की प्रायिकता क्या है?
Answer:
(i) प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{HH, HT, TH, TT\} \), \( n(S) = 4 \)
कम-से-कम एक चित घटना \( E = \{HH, HT, TH\} \), \( n(E) = 3 \)
\( P(\text{कम-से-कम एक चित}) = \frac{3}{4} \)
(ii) प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \), \( n(S) = 10 \)
सम संख्याएँ \( E = \{2, 4, 6, 8, 10\} \), \( n(E) = 5 \)
\( P(\text{सम संख्या}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
(iii) प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), \( n(S) = 6 \)
4 से बड़ी संख्याएँ \( E = \{5, 6\} \), \( n(E) = 2 \)
\( P(4 \text{ से बड़ी संख्या}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
(iv) कुल गेंदें = \( 3 + 2 + 1 = 6 \)
लाल न होने वाली गेंदें (नीली या हरी) = \( 2 + 1 = 3 \)
\( P(\text{लाल नहीं}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
(v) प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} \), \( n(S) = 8 \)
ठीक दो चित घटना \( E = \{HHT, HTH, THH\} \), \( n(E) = 3 \)
\( P(\text{ठीक दो चित}) = \frac{3}{8} \)
मुख्य बिंदु:
• पहले प्रतिदर्श समष्टि \( n(S) \) ज्ञात करें।
• अनुकूल परिणामों का समुच्चय \( n(E) \) बनाएं।
• प्रायिकता सूत्र \( P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} \) का प्रयोग करें।
आम गलतियाँ:
• 'कम-से-कम' और 'ठीक' शब्दों में अंतर न समझना।
• प्रतिदर्श समष्टि में परिणाम लिखना भूल जाना।
• भिन्नों को सरल न करना।
Exam Tips:
a) सभी उप-प्रश्नों के लिए पहले प्रतिदर्श समष्टि स्पष्ट रूप से लिखें।
b) अनुकूल परिणामों को सेट के रूप में दर्शाएं।
c) अंतिम उत्तर को भिन्न के सरल रूप में छोड़ें।
Question 5: एक थैली में 3 टॉफियाँ हैं— स्ट्रॉबेरी, नींबू और पुदीना। एक टॉफी यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। स्ट्रॉबेरी टॉफी निकालने की प्रायिकता क्या है?
Answer:
प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{\text{स्ट्रॉबेरी, नींबू, पुदीना\}} \), \( n(S) = 3 \)
स्ट्रॉबेरी टॉफी की संख्या \( n(E) = 1 \)
\( P(\text{स्ट्रॉबेरी}) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{3} \)
मुख्य बिंदु:
• कुल टॉफियों की संख्या 3 है।
• स्ट्रॉबेरी टॉफी केवल 1 है।
• सभी टॉफियों के निकलने के अवसर समान हैं।
आम गलतियाँ:
• कुल संख्या को अंश में लिख देना।
• नाम की वर्तनी में गलती करना।
Exam Tips:
a) कुल परिणामों को हर में लिखें।
b) अनुकूल परिणाम को अंश में लिखें।
c) चरणबद्ध तरीके से हल करें।
Question 6: एक बच्चे के पास 2 कमीजें (एक लाल और एक नीला) और 3 प्रकार की पतलूनें (जींस, खाकी और शॉर्ट्स) हैं। एक कमीज और एक पतलून मिलकर बनने वाली पोशाक के सभी संभव संयोजनों को सूचीबद्ध कीजिए। अपने उत्तर को सारणी रूप में प्रस्तुत कीजिए।
Answer:
संभव संयोजनों की सारणी:
लाल कमीज + जींस
लाल कमीज + खाकी
लाल कमीज + शॉर्ट्स
नीली कमीज + जींस
नीली कमीज + खाकी
नीली कमीज + शॉर्ट्स
अतः, कुल संभव संयोजन = 6 पोशाकें
मुख्य बिंदु:
• कुल कमीजें = 2
• कुल पतलूनें = 3
• कुल संयोजन = \( 2 \times 3 = 6 \)
आम गलतियाँ:
• कुछ संयोजनों को छोड़ देना।
• सारणी रूप में प्रस्तुत न करना।
Exam Tips:
a) गुणन नियम का उपयोग करके कुल परिणामों की जाँच करें।
b) उत्तर को स्पष्ट सारणी में दर्शाएं।
c) सभी विकल्पों को क्रमित रूप से लिखें।
Question 7: एक टायर कंपनी 1000 मामलों में प्रतिस्थापन (रिप्लेसमेंट) से पूर्व दूरियों को अभिलेखित करती है—
यादृच्छिक चयनित टायर की आयु की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जब दूरी –
(i) 4000 किलोमीटर से कम हो।
(ii) 4000 से 14000 किलोमीटर के मध्य हो।
(iii) 14000 किलोमीटर से अधिक हो।
Answer:
कुल टायरों की संख्या \( n(S) = 1000 \)
(i) 4000 किमी से कम दूरी वाले टायर = 20
\( P(\text{4000 किमी से कम}) = \frac{20}{1000} = \frac{1}{50} \)
(ii) 4001 से 14000 किमी के बीच के मामले = \( 210 + 325 = 535 \)
\( P(\text{4000 से 14000 किमी के मध्य}) = \frac{535}{1000} \)
(iii) 14000 किमी से अधिक वाले मामले = 445
\( P(14000 \text{ किमी से अधिक}) = \frac{445}{1000} \)
मुख्य बिंदु:
• कुल मामलों की संख्या हमेशा हर में (1000) आएगी।
• दी गई शर्त के अनुसार बारंबारता सारणी से मान चुनें।
• भिन्नों को सरल करें जहाँ संभव हो।
आम गलतियाँ:
• आवृत्तियों को गलत जोड़ना।
• कुल संख्या 1000 के स्थान पर कुछ और ले लेना।
Exam Tips:
a) सारणी के आँकड़ों को ध्यान से पढ़ें।
b) योग करते समय सावधानी बरतें।
c) प्रायिकता के रूप में मान को भिन्न या दशमलव में लिखें।
Question 8: ‘PEACE’ शब्द के अक्षरों को पत्तों पर लिखा गया है। लीला बिना देखे एक पत्ता निकालती है –
(i) इसके P, E या C होने की प्रायिकता क्या है?
(ii) इसके E न होने की प्रायिकता क्या है?
Answer:
‘PEACE’ में कुल अक्षर (पत्ते) = 5, अतः \( n(S) = 5 \)
(i) P, E या C वाले पत्तों की संख्या: P = 1, E = 2, C = 1, कुल अनुकूल पत्ते = \( 1 + 2 + 1 = 4 \)
\( P(P, E \text{ या } C) = \frac{4}{5} \)
(ii) E वाले पत्तों की संख्या = 2
E न होने वाले पत्ते = \( 5 - 2 = 3 \) (अर्थात P, A, C)
\( P(E \text{ न होना}) = \frac{3}{5} \)
मुख्य बिंदु:
• कुल अक्षरों की गिनती 5 है।
• एक जैसे अक्षरों (E) की पुनरावृत्ति को ध्यान में रखें।
• पूरक घटना का भी प्रयोग किया जा सकता है।
आम गलतियाँ:
• E को एक ही बार गिनना जबकि वह दो बार आया है।
• कुल पत्तों की संख्या गलत लिखना।
Exam Tips:
a) शब्द में प्रत्येक अक्षर की बारंबारता नोट करें।
b) पूरक प्रायिकता सूत्र \( P(\text{नहीं}) = 1 - P(\text{है}) \) का अभ्यास करें।
c) गणना की दोबारा जाँच करें।
Question 9: संयोग के एक खेल में एक तीर घूमता है (आकृति 7.7 देखिए), जो रुकने के पश्चात 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है और ये सभी परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित करेगा –
(i) 8?
(ii) एक विषम संख्या?
(iii) 2 से बड़ी संख्या?
(iv) 9 से छोटी संख्या?
(v) 3 का एक गुणज?
Answer:
कुल परिणाम = \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \), अतः \( n(S) = 8 \)
(i) 8 पर इंगित करना: अनुकूल परिणाम = \( \{8\} \), \( n(E) = 1 \)
\( P(8) = \frac{1}{8} \)
(ii) विषम संख्या: विषम संख्याएँ = \( \{1, 3, 5, 7\} \), \( n(E) = 4 \)
\( P(\text{विषम}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
(iii) 2 से बड़ी संख्या: 2 से बड़ी संख्याएँ = \( \{3, 4, 5, 6, 7, 8\} \), \( n(E) = 6 \)
\( P(2 \text{ से बड़ी संख्या}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)
(iv) 9 से छोटी संख्या: 1 से 8 तक सभी संख्याएँ 9 से छोटी हैं, \( n(E) = 8 \)
\( P(9 \text{ से छोटी संख्या}) = \frac{8}{8} = 1 \)
(v) 3 का गुणज: 3 के गुणज = \( \{3, 6\} \), \( n(E) = 2 \)
\( P(3 \text{ का गुणज}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
मुख्य बिंदु:
• कुल परिणामों की संख्या 8 है।
• प्रत्येक भाग के लिए अनुकूल परिणामों का समुच्चय बनाएँ।
• निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
आम गलतियाँ:
• 2 से बड़ी संख्या में 2 को शामिल कर लेना।
• 3 के गुणज में गलत संख्याएँ लिख देना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक उप-भाग के लिए सेट बनाकर हल करें।
b) भिन्नों को सरलतम रूप में बदलें।
c) प्रायिकता के मूल नियमों का पालन करें।
Question 10: एक टोकरी में 4 लाल और 5 नीले रंग की गेंदें हैं। एक गेंद निकाली जाती है और अलग रख दी जाती है, इसके पश्चात दूसरी गेंद निकाली जाती है। संभावित परिणामों और प्रायिकता को दर्शाने के लिए एक वृक्ष आरेख खींचिए। वृक्ष आरेख का उपयोग करके निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए –
(i) एक लाल और उसके पश्चात एक नीले रंग की गेंद को निकालने की प्रायिकता क्या है?
(ii) 2 नीली गेंदें निकालने की प्रायिकता क्या है?
Answer:
कुल गेंदें = \( 4 \text{ लाल} + 5 \text{ नीली} = 9 \text{ गेंदें} \)
चूँकि पहली गेंद वापस नहीं रखी जाती (बिना प्रतिस्थापन), इसलिए दूसरी गेंद निकालते समय कुल गेंदें 8 रह जाती हैं।
(i) पहली गेंद लाल और दूसरी नीली निकालने की प्रायिकता:
\( P(R, B) = P(\text{पहली लाल}) \times P(\text{दूसरी नीली | पहली लाल}) \)
\( = \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18} \)
(ii) दोनों गेंदें नीली निकालने की प्रायिकता:
\( P(B, B) = P(\text{पहली नीली}) \times P(\text{दूसरी नीली | पहली नीली}) \)
\( = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18} \)
मुख्य बिंदु:
• यह बिना प्रतिस्थापन वाला प्रश्न है जहाँ कुल संख्या कम हो जाती है।
• क्रमिक घटनाओं में प्रायिकताओं का गुणन होता है।
• वृक्ष आरेख संभावित मार्ग दिखाता है।
आम गलतियाँ:
• दूसरी बार निकालते समय कुल गेंदों की संख्या 9 ही रखना।
• बिना प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन के अंतर को न समझना।
Exam Tips:
a) बिना प्रतिस्थापन वाले प्रश्नों में हर को प्रत्येक चरण में 1 घटाकर लिखें।
b) गुणन नियम को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) परिणाम को भिन्न के सरल रूप में बदलें।
Question 11: मैंने षट्फलकीय पासे के एक युग्म को फेंका। एक ऐसी घटना लिखिए, जिसकी प्रायिकता 0 हो और एक ऐसा परिणाम लिखिए, जिसकी प्रायिकता 1 हो।
Answer:
प्रायिकता 0 वाली घटना (असंभव घटना): दोनों पासों पर प्राप्त अंकों का योग 1 होना। (चूँकि न्यूनतम योग \( 1 + 1 = 2 \) होता है, अतः योग 1 आना असंभव है।)
प्रायिकता 1 वाला परिणाम (निश्चित घटना): प्राप्त अंकों का योग 13 से कम होना। (चूँकि अधिकतम योग \( 6 + 6 = 12 \) होता है, जो सदैव 13 से कम है, अतः यह निश्चित है।)
मुख्य बिंदु:
• असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।
• निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
• दो पासे फेंकने पर न्यूनतम योग 2 और अधिकतम योग 12 होता है।
आम गलतियाँ:
• असंभव और निश्चित घटनाओं के उदाहरण में गलती करना।
• न्यूनतम और अधिकतम योग की सीमा भूल जाना।
Exam Tips:
a) पासे के प्रश्नों के लिए न्यूनतम और अधिकतम मान हमेशा याद रखें।
b) अपने उत्तर के समर्थन में तार्किक कारण जरूर लिखें।
Question 12: नीचे दी गई सूचना के आधार पर प्रतिदर्श समष्टि लिखिए और प्रायिकता की गणना कीजिए –
(i) दो पासे फेंके गए। इसकी क्या प्रायिकता है कि प्राप्त अंकों का योग 5 से बड़ी अभाज्य संख्या हो?
(ii) एक थैले में 4 लाल, 3 हरे और 2 नीले रंग की गेंदें हैं। दो गेंदों को बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदों के रंग भिन्न हैं?
(iii) तीन सिक्कों को उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि पहला सिक्का चित प्रदर्शित करता हो और कुल मिलाकर दो चित प्राप्त हों।
(iv) 1, 2, 3 और 4 संख्याओं को बिना पुनरावृत्ति के उपयोग करके एक 4-अंकीय संख्या बनाई गई है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह संख्या सम है?
(v) एक विद्यार्थी 3 प्रश्नों की एक बहु-विकल्पीय परीक्षा में सम्मिलित होता है, जहाँ प्रत्येक प्रश्न के 4 विकल्प (A, B, C, D) हैं और उनमें से केवल एक विकल्प सही है। इसकी क्या प्रायिकता है कि विद्यार्थी अनुमान लगाकर 2 सही उत्तर प्राप्त करे?
Answer:
(i) कुल परिणाम \( n(S) = 36 \)
5 से बड़ी अभाज्य संख्याएँ (जो योग हो सकती हैं): 7 और 11
योग 7 वाले परिणाम: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) [6 परिणाम]
योग 11 वाले परिणाम: (5,6), (6,5) [2 परिणाम]
कुल अनुकूल परिणाम = \( 6 + 2 = 8 \)
\( P(\text{योग 5 से बड़ी अभाज्य संख्या}) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \)
(ii) कुल गेंदें = \( 4 + 3 + 2 = 9 \)
कुल संभव तरीके बिना प्रतिस्थापन के 2 गेंदें निकालने के = \( 9 \times 8 = 72 \)
भिन्न रंग के अनुकूल तरीके:
(लाल और हरा) = \( (4 \times 3) + (3 \times 4) = 12 + 12 = 24 \)
(लाल और नीला) = \( (4 \times 2) + (2 \times 4) = 8 + 8 = 16 \)
(हरा और नीला) = \( (3 \times 2) + (2 \times 3) = 6 + 6 = 12 \)
कुल अनुकूल परिणाम = \( 24 + 16 + 12 = 52 \)
\( P(\text{भिन्न रंग}) = \frac{52}{72} = \frac{13}{18} \)
(iii) \( n(S) = 8 \)
पहला सिक्का H हो और कुल दो चित हों: \( \{HHT, HTH\} \), \( n(E) = 2 \)
\( P = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
(iv) 4 अंकों से बनने वाली कुल संख्याएँ = \( 4! = 24 \)
सम संख्या होने के लिए अंतिम अंक 2 या 4 होना चाहिए।
अंतिम अंक 2 होने पर शेष 3 अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके = \( 3! = 6 \)
अंतिम अंक 4 होने पर शेष 3 अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके = \( 3! = 6 \)
कुल अनुकूल परिणाम = \( 6 + 6 = 12 \)
\( P(\text{सम संख्या}) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)
(v) एक प्रश्न सही होने की प्रायिकता = \( \frac{1}{4} \), गलत होने की प्रायिकता = \( \frac{3}{4} \)
ठीक 2 सही उत्तर के 3 मामले हैं: (C,C,W), (C,W,C), (W,C,C)
प्रत्येक मामले की प्रायिकता = \( \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{64} \)
कुल प्रायिकता = \( 3 \times \frac{3}{64} = \frac{9}{64} \)
मुख्य बिंदु:
• यह मिश्रित प्रायिकता और क्रमचय-संचय पर आधारित उन्नत प्रश्न है।
• पासों के योग और सिक्कों के प्रतिदर्श समष्टि को अच्छी तरह समझें।
• बिना प्रतिस्थापन में हर चरण में कुल संख्या घटती है।
आम गलतियाँ:
• अभाज्य संख्याओं की पहचान में गलती करना।
• क्रमचय के प्रश्नों में कुल व्यवस्थाएँ भूल जाना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक भाग को शांति से स्टेप-बाय-स्टेप हल करें।
b) बहु-विकल्पीय प्रायिकता में सही और गलत दोनों संभावनाओं का ध्यान रखें।
c) अंतिम भिन्न को न्यूनतम रूप में लाएँ।
Question 13: एक बक्से में 4 गेंदें हैं जिन पर 1 से 4 तक अंक लिखे हैं। निम्नलिखित प्रयोगों के लिए वृक्ष आरेख का उपयोग करते हुए एक प्रतिदर्श समष्टि लिखिए –
(i) एक गेंद निकाली जाती है और उस पर लिखित अंक को एक कागज पर लिख लिया जाता है। तत्पश्चात गेंद को वापस बक्से में रख दिया जाता है और एक दूसरी गेंद निकाली जाती है और उस पर लिखित अंक को लिख लिया जाता है。
(ii) एक गेंद निकाली जाती है और लिख ली जाती है। पहली गेंद के बिना प्रतिस्थापन के परीक्षक दूसरी गेंद निकालता है और उसे लिख लेता है。
(iii) इन दोनों प्रतिदर्श समष्टियों के आकार क्या हैं?
Answer:
(i) प्रतिस्थापन सहित: \( S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)\} \)
(ii) प्रतिस्थापन रहित: \( S = \{(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)\} \)
(iii) प्रतिस्थापन सहित आकार = 16, प्रतिस्थापन रहित आकार = 12
मुख्य बिंदु:
• प्रतिस्थापन सहित में समान संख्या वाले युग्म (जैसे 1,1) आते हैं।
• प्रतिस्थापन रहित में समान संख्या वाले युग्म नहीं आते।
• कुल आकार \( 4 \times 4 = 16 \) और \( 4 \times 3 = 12 \) होता है।
आम गलतियाँ:
• दोनों स्थितियों में एक जैसे परिणाम लिख देना।
• युग्मों की कुल संख्या गलत गिनना।
Exam Tips:
a) प्रश्न में 'वापस रखने' (प्रतिस्थापन) शब्द को ध्यान से पढ़ें।
b) क्रमित युग्मों को करली ब्रैकेट में स्पष्ट लिखें।
Question 14: एक सिक्का उछालने और 1 से 6 तक संख्यांकित ताश के 6 पत्तों के समूह से एक पत्ता निकालने का प्रयोग एक साथ करने के लिए एक प्रतिदर्श समष्टि के तत्त्वों को सूचीबद्ध कीजिए।
Answer:
सिक्के के परिणाम = \( \{H, T\} \)
पत्ते के परिणाम = \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{(H,1), (H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)\} \)
\( n(S) = 12 \)
मुख्य बिंदु:
• स्वतंत्र प्रयोगों के परिणामों का कार्तीय गुणन किया जाता है।
• कुल परिणाम \( 2 \times 6 = 12 \) होंगे।
• प्रत्येक युग्म में एक सिक्के का परिणाम और एक पत्ते का परिणाम होता है।
आम गलतियाँ:
• क्रमित युग्मों के स्थान पर साधारण संख्याएँ लिख देना।
• कुछ परिणामों को छोड़ देना।
Exam Tips:
a) दोनों प्रयोगों के कुल परिणामों को गुणा करके प्रतिदर्श समष्टि के आकार की जाँच करें।
b) युग्मों कोष्ठक \( (,) \) के अंदर लिखें।
Question 15: तीन सिक्कों को उछाला जाता है और चित आने की संख्या को अंकित किया जाता है। निम्नलिखित में कौन-सा समुच्चय इस प्रयोग के लिए एक प्रतिदर्श समष्टि है? अन्य समुच्चय, प्रतिदर्श समष्टि के रूप में योग्य क्यों नहीं माने जाते हैं –
(i) \( \{1, 2, 3\} \)
(ii) \( \{0, 1, 2\} \)
(iii) \( \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
(iv) \( \{0, 1, 2, 3\} \)
Answer:
जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो चित (H) की संख्या 0, 1, 2 या 3 हो सकती है।
(i) \( \{1, 2, 3\} \) वैध नहीं है, क्योंकि इसमें 0 चित (यानि सभी पट TTT) शामिल नहीं है।
(ii) \( \{0, 1, 2\} \) वैध नहीं है, क्योंकि इसमें 3 चित (HHH) शामिल नहीं है।
(iii) \( \{0, 1, 2, 3, 4\} \) वैध नहीं है, क्योंकि मान 4 संभव नहीं है (अधिकतर 3 सिक्के ही उछाले गए हैं)।
(iv) \( \{0, 1, 2, 3\} \) सही प्रतिदर्श समष्टि है, क्योंकि इसमें सभी संभावित मान (0, 1, 2, 3 चित) शामिल हैं।
मुख्य बिंदु:
• प्रतिदर्श समष्टि में प्रयोग के सभी संभावित परिणाम होने चाहिए।
• 3 सिक्के उछालने पर चित की न्यूनतम संख्या 0 और अधिकतम 3 हो सकती है।
• कोई भी संभावित परिणाम छूटना या अतिरिक्त परिणाम जुड़ना नहीं चाहिए।
आम गलतियाँ:
• केवल संभावित संख्याओं को देखकर बिना सोचे टिक कर देना।
• 0 चित की स्थिति (सभी पट) को भूल जाना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक विकल्प की तुलना वास्तविक प्रयोग से करें।
b) कारण स्पष्ट रूप से लिखें कि कौन सा मान छूट रहा है या अतिरिक्त है।
Question 16: मान लीजिए, आप यादृच्छिक रूप से चित्र 7.8 में दर्शाए अनुसार आयताकार क्षेत्र में रंग की एक बूँद गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता होगी कि यह बूँद 1 मीटर व्यास वाले वृत्त में गिरेगी?
Answer:
आयत की लंबाई = 3 मीटर, चौड़ाई = 2 मीटर
आयत का क्षेत्रफल = \( 3 \times 2 = 6 \) वर्ग मीटर
वृत्त का व्यास = 1 मीटर, अतः त्रिज्या \( r = 0.5 \) मीटर
वृत्त का क्षेत्रफल = \( \pi r^2 = \pi \times (0.5)^2 = \pi \times 0.25 = \frac{\pi}{4} \) वर्ग मीटर
\( P(\text{वृत्त के अंदर गिरना}) = \frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{आयत का क्षेत्रफल}} \)
\( = \frac{\pi / 4}{6} = \frac{\pi}{24} \)
मुख्य बिंदु:
• यह ज्यामितीय प्रायिकता (Geometric Probability) का प्रश्न है।
• इसमें क्षेत्रफल का अनुपात निकाला जाता है।
• वृत्त की त्रिज्या व्यास की आधी होती है।
आम गलतियाँ:
• व्यास को ही त्रिज्या मान लेना।
• क्षेत्रफल के बजाय परिमाप का उपयोग करना।
Exam Tips:
a) ज्यामितीय प्रायिकता में हमेशा अनुकूल क्षेत्र का क्षेत्रफल कुल क्षेत्र से भाग दें।
b) त्रिज्या निकालते समय व्यास का आधा करना न भूलें।
c) पाई \( \pi \) के मान को आवश्यकतानुसार वैसे ही छोड़ दें।
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