NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 06 Measuring Space Perimeter and Area (समष्टि मापन परिमाप और क्षेत्रफल) End of Chapter Exercises in Hindi

Question 1(i): \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) और \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) सर्वसमिकाओं के अनुरूप आकृतियाँ बनाइए।

Answer:

(i) \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) के लिए:
भुजा \( a \) वाला एक वर्ग खींचिए। इसका क्षेत्रफल \( a^2 \) है।
अब एक कोने से भुजा \( b \) वाला एक वर्ग हटाइए। हटाया गया क्षेत्रफल \( b^2 \) है।
शेष क्षेत्रफल = \( a^2 - b^2 \)
इस शेष क्षेत्र को एक आयत में इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसकी भुजाएँ हों: \( (a + b) \) और \( (a - b) \)
अतः, \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

मुख्य बिंदु:

• बीजीय सर्वसमिकाओं को ज्यामितीय क्षेत्रफल के माध्यम से प्रदर्शित किया जा सकता है।
• बड़े क्षेत्रफल में से छोटे क्षेत्रफल को घटाकर परिणाम प्राप्त होता है।
• आयत की लंबाई और चौड़ाई नए भागों के योग और अंतर को दर्शाती है।

आम गलतियाँ:

• आकृतियों के माप को गलत लेना।
• क्षेत्रफल घटाने के बजाय जोड़ने की गलती करना।
• पुनर्व्यवस्थित करते समय भुजाओं केH आयामों को भूल जाना।

Exam Tips:

a) ज्यामितीय प्रमाण देते समय आकृतियों के नाम स्पष्ट लिखें।
b) प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल अलग-अलग दर्शाएँ।
c) चित्र बनाकर समझाने से अंक पूरे मिलते हैं।

Question 1(ii): \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) के लिए आकृति बनाइए।

Answer:

भुजा \( (a + b + c) \) वाला एक बड़ा वर्ग खींचिए।
प्रत्येक भुजा को तीन भागों में विभाजित कीजिए: \( a, b \) और \( c \)
अब वर्ग इस प्रकार विभाजित हो जाता है:
• क्षेत्रफल \( a^2 \) वाला एक वर्ग
• क्षेत्रफल \( b^2 \) वाला एक वर्ग
• क्षेत्रफल \( c^2 \) वाला एक वर्ग
• क्षेत्रफल \( ab \) वाले दो आयत
• क्षेत्रफल \( bc \) वाले दो आयत
• क्षेत्रफल \( ca \) वाले दो आयत
अतः, कुल क्षेत्रफल = \( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)
अतः, \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिपद के वर्ग में 9 अलग-अलग क्षेत्र बनते हैं।
• इसमें 3 वर्ग और 6 आयत शामिल होते हैं।
• सभी छोटे क्षेत्रों का कुल योग बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

आम गलतियाँ:

• \( 2ab, 2bc \) और \( 2ca \) के गुणांकों को छोड़ देना।
• आयतों के क्षेत्रफल को एक बार ही गिनना जबकि वे दो होते हैं।
• भुजाओं के विभाजन को असमान बनाना।

Exam Tips:

a) आलेखीय निरूपण में रंगों का उपयोग करके विभिन्न भागों को दर्शाना आसान होता है।
b) प्रत्येक उप-आकृति का क्षेत्रफल लिखकर योग दिखाएँ।
c) सूत्र के प्रत्येक पद की ज्यामितीय सार्थकता स्पष्ट करें।

Question 2: एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 40 सेंटीमीटर है। इसकी समान भुजाएँ 15 सेंटीमीटर लंबी हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer:

समान भुजाएँ = \( 15 \) सेमी और \( 15 \) सेमी
परिमाप = \( 40 \) सेमी
आधार = \( 40 - 15 - 15 = 10 \) सेमी
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्षलंब आधार को समद्विभाजित करता है। अतः, आधे आधार = \( \frac{10}{2} = 5 \) सेमी
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
\( \text{ऊँचाई}^2 = 15^2 - 5^2 \)
\( = 225 - 25 = 200 \)
\( \text{ऊँचाई} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \) सेमी
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 10 \times 10\sqrt{2} \)
\( = 50\sqrt{2} \) वर्ग सेंटीमीटर

मुख्य बिंदु:

• समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब आधार को दो बराबर भागों में बांटता है।
• पाइथागोरस प्रमेय से त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात की जाती है।
• क्षेत्रफल की इकाई वर्ग सेंटीमीटर होती है।

आम गलतियाँ:

• आधार का आधा किए बिना पाइथागोरस प्रमेय लगाना।
• वर्गमूल हल करते समय गलती करना।
• क्षेत्रफल के साथ मात्रक न लिखना।

Exam Tips:

a) त्रिभुज का कच्चा चित्र बनाकर मान अंकित करें।
b) सूत्र लिखकर ही गणना शुरू करें।
c) अंतिम उत्तर में वर्ग इकाई लिखना न भूलें।

Question 3: एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 10 सेंटीमीटर है और इसका क्षेत्रफल 60 वर्ग सेंटीमीटर है। समान भुजाओं की लंबाई क्या होगी?

Answer:

आधार = \( 10 \) सेमी
क्षेत्रफल = \( 60 \) सेमी \( ^2 \)
क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( 60 = \frac{1}{2} \times 10 \times \text{ऊँचाई} \)
\( 60 = 5 \times \text{ऊँचाई} \)
\( \text{ऊँचाई} = \frac{60}{5} = 12 \) सेमी
समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्षलंब आधार को दो बराबर भागों में बाँटता है।
आधार का आधा भाग = \( \frac{10}{2} = 5 \) सेमी
माना बराबर भुजा = \( x \)
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
\( x^2 = 12^2 + 5^2 \)
\( x^2 = 144 + 25 \)
\( x^2 = 169 \)
\( x = 13 \) सेमी
अतः, समान भुजाएँ प्रत्येक \( 13 \) सेमी की हैं।

मुख्य बिंदु:

• दिए गए क्षेत्रफल से पहले ऊँचाई ज्ञात की जाती है।
• समकोण त्रिभुज बनाकर पाइथागोरस प्रमेय लगाई जाती है।
• बराबर भुजाएँ कर्ण का काम करती हैं।

आम गलतियाँ:

• आधार को आधा किए बिना समकोण त्रिभुज की भुजा मानना।
• क्षेत्रफल के सूत्र में मान गलत रखना।
• वर्गमूल निकालते समय ऋणात्मक मान लेना।

Exam Tips:

a) चरणों को क्रमानुसार लिखें ताकि गणना स्पष्ट रहे।
b) इकाई (सेमी और सेमी \( ^2 \)) का विशेष ध्यान रखें।
c) अंत में स्पष्ट भाषा में उत्तर लिखें।

Question 4: एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 54 वर्ग सेंटीमीटर है। इसकी एक भुजा की लंबाई 12 सेंटीमीटर है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer:

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( 54 \) सेमी \( ^2 \)
एक भुजा = \( 12 \) सेमी
माना दूसरी भुजा = \( x \) सेमी
क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( 54 = \frac{1}{2} \times 12 \times x \)
\( 54 = 6x \)
\( x = \frac{54}{6} = 9 \) सेमी
अतः, दोनों भुजाएँ \( 12 \) सेमी और \( 9 \) सेमी हैं।
कर्ण = \( \sqrt{12^2 + 9^2} \)
\( = \sqrt{144 + 81} \)
\( = \sqrt{225} = 15 \) सेमी
परिमाप = तीनों भुजाओं का योग
\( = 12 + 9 + 15 = 36 \) सेमी

मुख्य बिंदु:

• समकोण त्रिभुज में आधार और लंब को भुजाएँ माना जाता है।
• पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण ज्ञात किया जाता है।
• परिमाप सभी भुजाओं का योग होता है।

आम गलतियाँ:

• 12 सेमी को कर्ण मान लेना जबकि क्षेत्रफल दिया है।
• परिमाप निकालते समय केवल दो भुजाओं को जोड़ना।
• वर्गमूल की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) पहले अज्ञात भुजा निकालें, फिर कर्ण ज्ञात करें।
b) सूत्र स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करें।
c) परिमाप और क्षेत्रफल की इकाइयाँ सही लिखें।

Question 5: एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 2:3:4 है और इसका परिमाप 45 सेंटीमीटर है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना भुजाएँ \( 2x, 3x \) और \( 4x \) हैं।
परिमाप : \( 2x + 3x + 4x = 45 \)
\( 9x = 45 \)
\( x = 5 \)
अतः, भुजाएँ हैं:
\( a = 2 \times 5 = 10 \) सेमी
\( b = 3 \times 5 = 15 \) सेमी
\( c = 4 \times 5 = 20 \) सेमी
अर्ध-परिमाप: \( s = \frac{45}{2} = 22.5 \) सेमी
हेरॉन के सूत्र का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( = \sqrt{22.5(22.5 - 10)(22.5 - 15)(22.5 - 20)} \)
\( = \sqrt{22.5 \times 12.5 \times 7.5 \times 2.5} \)
\( = \sqrt{5273.4375} \approx 72.62 \) सेमी \( ^2 \)
अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \approx 72.62 \) सेमी \( ^2 \) है।

मुख्य बिंदु:

• अनुपात वाले प्रश्नों में चर \( x \) मानकर भुजाएँ निकाली जाती हैं।
• हेरॉन के सूत्र के लिए पहले अर्ध-परिमाप \( s \) ज्ञात करते हैं।
• दशमलव संख्याओं का वर्गमूल सावधानी से हल करना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• अनुपात को सीधे भुजा मान लेना बिना \( x \) के।
• \( s - a, s - b, s - c \) की गणना में गलती करना।
• वर्गमूल निकालते समय निकटतम मान गलत लिखना।

Exam Tips:

a) हेरॉन का सूत्र लिखकर मान प्रतिस्थापित करें।
b) गुणनफल निकालते समय चरणों को साफ-सुथरा रखें।
c) दशमलव के दो स्थानों तक उत्तर लिखें।

Question 6: एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 7 सेंटीमीटर, 24 सेंटीमीटर और 25 सेंटीमीटर है। त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भिन्न-भिन्न विधियों से ज्ञात कीजिए।

Answer:

विधि 1: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके
चूँकि \( 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 \)
अतः, त्रिभुज समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण = \( 25 \) सेमी है।
क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84 \) सेमी \( ^2 \)

विधि 2: हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके
अर्ध-परिमाप: \( s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28 \)
क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( = \sqrt{28(28 - 7)(28 - 24)(28 - 25)} \)
\( = \sqrt{28 \times 21 \times 4 \times 3} \)
\( = \sqrt{7056} = 84 \) सेमी \( ^2 \)
अतः, दोनों विधियों से त्रिभुज का क्षेत्रफल \( 84 \) सेमी \( ^2 \) है।

मुख्य बिंदु:

• समकोण त्रिभुज की पहचान पाइथागोरस त्रिक से की जाती है।
• किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरॉन सूत्र से निकाला जा सकता है।
• दोनों विधियों से उत्तर समान आना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• त्रिक की जाँच किए बिना सीधे समकोण त्रिभुज का सूत्र लगाना।
• हेरॉन सूत्र में मान रखते समय घटाने में गलती करना।
• गुणनखंड बनाते समय वर्गमूल गलत निकालना।

Exam Tips:

a) दोनों विधियों को अलग-अलग शीर्षक (विधि 1, विधि 2) देकर हल करें।
b) पाइथागोरस त्रिक की पुष्टि अवश्य दिखाएँ।
c) उत्तर की सत्यता की जाँच दोनों तरीकों से हो जाती है।

Question 7: यदि किसी साइकिल के पहिए का व्यास 60 सेंटीमीटर है तो पहिए के 100 बार घूर्णन के पश्चात साइकिल चालक कितनी दूरी तय करेगा?

Answer:

व्यास = \( 60 \) सेमी
पहिये की परिधि = \( \pi \times \text{व्यास} \)
\( = \frac{22}{7} \times 60 = \frac{1320}{7} \) सेमी
एक चक्कर में तय की गई दूरी = \( \frac{1320}{7} \) सेमी
100 चक्करों में तय की गई दूरी = \( 100 \times \frac{1320}{7} \) सेमी
\( = \frac{132000}{7} \) सेमी
\( = 18857.14 \) सेमी (लगभग)
मीटर में बदलने पर: \( \frac{18857.14}{100} = 188.57 \) मीटर (लगभग)
अतः, साइकिल चालक लगभग \( 188.57 \) मीटर की दूरी तय करता है।

मुख्य बिंदु:

• एक घूर्णन में तय दूरी पहिए की परिधि के बराबर होती है।
• सेंटीमीटर को मीटर में बदलने के लिए 100 से भाग दिया जाता है।
• \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) उपयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• व्यास के स्थान पर त्रिज्या से परिधि निकालना।
• सेंटीमीटर को मीटर में बदलना भूल जाना।
• गणना में दशमलव का स्थान गलत लगाना।

Exam Tips:

a) परिधि का सूत्र स्पष्ट लिखें।
b) अंतिम उत्तर को मीटर में बदलकर लिखना बेहतर रहता है।
c) लगभग का चिह्न उपयोग करें जहाँ मान पूर्ण न हो।

Question 8: उस वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 66 सेंटीमीटर है।

Answer:

वृत्त की परिधि = \( 66 \) सेमी
सूत्र: \( C = 2\pi r \)
\( \pi = \frac{22}{7} \) का उपयोग करने पर:
\( 66 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \)
\( 66 = \frac{44r}{7} \)
\( r = \frac{66 \times 7}{44} \)
\( r = 10.5 \) सेमी
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 110.25 \)
\( = 86.625 \) सेमी \( ^2 \)
अतः, चतुर्थांश का क्षेत्रफल \( 86.625 \) सेमी \( ^2 \) है।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त की परिधि से पहले त्रिज्या \( r \) निकाली जाती है।
• वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का चौथा हिस्सा होता है।
• दशमलव की गणना में सावधानी रखें।

आम गलतियाँ:

• चतुर्थांश के क्षेत्रफल में \( \frac{1}{2} \) से गुणा करना (जबकि \( \frac{1}{4} \) होता है)।
• त्रिज्या निकालते समय पक्षांतर में गलती करना。
• इकाई वर्ग सेंटीमीटर न लिखना।

Exam Tips:

a) पहले त्रिज्या ज्ञात करने के चरणों को स्पष्ट दिखाएँ।
b) चतुर्थांश के सूत्र \( \frac{1}{4}\pi r^2 \) का उल्लेख करें।
c) गणना को भिन्न या दशमलव में साफ-सुथरा हल करें।

Question 9: एक कार के पहिए की बाहरी त्रिज्या 28 सेंटीमीटर है। पहिए के एक पूर्ण घूर्णन के पश्चात कार कितनी दूरी तय करती है और एक किलोमीटर की यात्रा के दौरान पहिया कितनी बार घूमता है, इसकी गणना कीजिए।

Answer:

त्रिज्या \( r = 28 \) सेमी
एक पूरे चक्कर में तय की गई दूरी = पहिये की परिधि \( C = 2\pi r \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \)
\( = 176 \) सेमी
अतः, कार एक पूरे चक्कर में \( 176 \) सेमी की दूरी तय करती है।
अब, \( 1 \) किमी = \( 1000 \) मी = \( 100000 \) सेमी
चक्करों की संख्या = \( \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{एक चक्कर में दूरी}} \)
\( = \frac{100000}{176} \approx 568.18 \) (लगभग)
अतः, \( 1 \) किमी की यात्रा में पहिया लगभग \( 568 \) बार घूमता है।

मुख्य बिंदु:

• पहिए की एक चक्कर की दूरी उसकी परिधि होती है।
• किलोमीटर को सेंटीमीटर में बदलने के लिए \( 100000 \) से गुणा करते हैं।
• चक्करों की संख्या पूर्ण मान या निकटतम संख्या में लिखी जाती है।

आम गलतियाँ:

• इकाइयों को एक समान (सेंटीमीटर में) न बदलना।
• परिधि निकालते समय व्यास और त्रिज्या में भ्रम होना।
• भाग देते समय दशमलव की गलती करना।

Exam Tips:

a) इकाइयों का रूपांतरण पहले ही स्पष्ट कर दें।
b) सूत्र लिखकर मान रखें।
c) व्यावहारिक उत्तर (चक्करों की संख्या) को पूर्ण संख्या के रूप में भी दर्शाएँ।

Question 10: दो आयतों का क्षेत्रफल और परिमाप समान है। क्या इसका अर्थ यह है कि वे दोनों एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं?

Answer:

हाँ।
माना पहले आयत की भुजाएँ \( a \) और \( b \) हैं।
माना दूसरे आयत की भुजाएँ \( x \) और \( y \) हैं।
दिया गया है:
क्षेत्रफल बराबर हैं: \( ab = xy \)
परिमाप बराबर हैं: \( 2(a + b) = 2(x + y) \implies a + b = x + y \)
दो संख्याएँ उनके योग और गुणनफल से निर्धारित होती हैं।
चूँकि \( a, b \) और \( x, y \) का योग और गुणनफल समान है, इसलिए भुजाओं की लंबाई समान संख्याओं का ही युग्म होनी चाहिए।
अतः, \( a = x \) और \( b = y \) या \( a = y \) और \( b = x \)
अतः, दोनों आयतों की संगत भुजाएँ बराबर हैं।
इसलिए, दोनों आयत सर्वांगसम हैं।

मुख्य बिंदु:

• समान क्षेत्रफल और परिमाप वाले आयतों की भुजाओं के योग और गुणनफल समान होते हैं।
• द्विघात समीकरण के मूलों के गुणधर्म के अनुसार संख्याएँ समान होती हैं।
• सर्वांगसमता का अर्थ सभी संगत भाग समान होना है।

आम गलतियाँ:

• केवल क्षेत्रफल समान देखकर सर्वांगसम मान लेना।
• परिमाप के सूत्र से भुजाओं के संबंध स्थापित न करना。
• तर्क को अधूरा छोड़ देना।

Exam Tips:

a) बीजीय समीकरणों \( ab = xy \) और \( a+b = x+y \) को स्पष्ट लिखें।
b) तार्किक निष्कर्ष को वाक्यों में भली-भांति समझाएँ।
c) हाँ या ना का स्पष्ट उत्तर पहले दें।

Question 11: आप जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई होता है। इस सूत्र और आकृति का उपयोग करते हुए दर्शाइए कि समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर भुजाओं के योग का आधा और ऊँचाई का गुणनफल, अर्थात \( \frac{1}{2}(a + b)h \) होता है।

Answer:

दिया गया है: एक समलंब चतुर्भुज जिसकी समांतर भुजाएँ \( a \) (ऊपर) और \( b \) (नीचे) हैं तथा ऊँचाई \( h \) है।
शीर्ष बिंदु \( P \) से सामने वाले निचले बिंदु \( Q \) तक एक विकर्ण \( PQ \) खींचिए।
इससे समलंब चतुर्भुज दो त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है:
• त्रिभुज PQR \( \rightarrow \) आधार = \( a \), ऊँचाई = \( h \)
• त्रिभुज PQT \( \rightarrow \) आधार = \( b \), ऊँचाई = \( h \)
दोनों त्रिभुजों की ऊँचाई समान \( h \) है, क्योंकि समांतर भुजाओं \( a \) और \( b \) के बीच लंबवत दूरी सदैव स्थिर \( h \) ही रहती है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times a \times h \)
त्रिभुज PQT का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times b \times h \)
दोनों क्षेत्रफलों को जोड़ने पर, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल + त्रिभुज PQT का क्षेत्रफल
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}(a + b)h \)
अतः, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} \)

मुख्य बिंदु:

• विकर्ण खींचकर समलंब को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।
• दोनों त्रिभुजों की ऊँचाई समलंब की ऊँचाई के बराबर होती है।
• दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग समलंब का कुल क्षेत्रफल बनता है।

आम गलतियाँ:

• दोनों त्रिभुजों की ऊँचाई अलग-अलग मान लेना।
• क्षेत्रफल जोड़ते समय उभयनिष्ठ पदों को ठीक से न लेना。
• सूत्र का अंतिम रूप गलत लिखना।

Exam Tips:

a) रचना (विकर्ण खींचना) का उल्लेख जरूर करें।
b) प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल अलग से दर्शाएँ।
c) बीजगणितीय गुणनखंडन को स्पष्ट रूप से दिखाएँ।

Question 12: एक समलंब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करके दर्शाइए कि इसका क्षेत्रफल समांतर भुजाओं के योग का आधा और ऊँचाई का गुणनफल होता है (जैसा कि सूत्र ऊपर दिया गया है)।

Answer:

माना समलंब चतुर्भुज ABCD की समांतर भुजाएँ \( a \) और \( b \) हैं। माना ऊँचाई \( h \) है।
समलंब चतुर्भुज ABCD का एक विकर्ण BD खींचिए।
इससे समलंब चतुर्भुज दो त्रिभुजों ABD और BCD में विभाजित हो जाता है।
त्रिभुज ABD का आधार \( a \) और ऊँचाई \( h \) है।
अतः, इसका क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{ah}{2} \)
त्रिभुज BCD का आधार \( b \) और ऊँचाई \( h \) है।
अतः, इसका क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{bh}{2} \)
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल + दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल
\( = \frac{ah}{2} + \frac{bh}{2} \)
\( = \frac{1}{2}(a + b)h \)
अतः, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2}(a + b)h \)

मुख्य बिंदु:

• विकर्ण BD समलंब को दो भागों में बांटता है।
• त्रिभुज ABD की भुजा \( a \) आधार बनती है और BCD की भुजा \( b \) ।
• दोनों में उभयनिष्ठ ऊँचाई \( h \) होती है।

आम गलतियाँ:

• त्रिभुजों के आधार गलत चुनना।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने में गलती करना।
• क्षेत्रफल का सूत्र अधूरा छोड़ना।

Exam Tips:

a) आकृति बनाकर विकर्ण BD को दर्शाएँ।
b) प्रत्येक त्रिभुज के लिए आधार और ऊँचाई स्पष्ट रूप से लिखें।
c) सामान्य गुणनखंड बाहर निकालकर सूत्र स्थापित करें।

Question 13: दर्शाइए कि समलंब चतुर्भुज की दो समान प्रतियों का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज कैसे निर्मित कर सकते हैं। इससे हमें समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र कैसे प्राप्त होगा?

Answer:

एक समलंब चतुर्भुज ABCD की दो समरूप प्रतियाँ ABCD और PQRS लीजिए।
माना प्रत्येक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ \( a \) और \( b \) हैं। माना ऊँचाई \( h \) है।
अब PQRS को घुमाकर ABCD के बगल में इस प्रकार रखिए कि असमांतर भुजाएँ आपस में मिल जाएँ।
दोनों समलंब चतुर्भुज मिलकर एक समांतर चतुर्भुज ASPD बनाते हैं।
समांतर चतुर्भुज ASPD के लिए: आधार = \( a + b \), ऊँचाई = \( h \)
समांतर चतुर्भुज ASPD का क्षेत्रफल = आधार \( \times \) ऊँचाई = \( (a + b)h \)
चूँकि यह समांतर चतुर्भुज दो समरूप समलंब चतुर्भुजों سے मिलकर बना है, इसलिए:
एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
\( = \frac{1}{2} \times (a + b)h \)
अतः, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2}(a + b)h \)

मुख्य बिंदु:

• दो समान समलंबों को मिलाकर एक समांतर चतुर्भुज बनाया जाता है।
• बड़े समांतर चतुर्भुज का आधार दोनों समांतर भुजाओं का योग \( (a+b) \) होता है।
• एक समलंब का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतियों को जोड़ते समय गलत भुजाओं को मिला देना।
• समांतर चतुर्भुज के आधार को केवल \( a \) या \( b \) मान लेना।
• अंत में 2 से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ज्यामितीय संयोजन को शब्दों में स्पष्ट लिखें।
b) समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से समलंब के क्षेत्रफल का संबंध दिखाएँ।
c) अंतिम सूत्र को बॉक्स में बंद करें।

Question 14: दर्शाइए कि पतंग का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है। इन दोनों तरह से दर्शाइए – (i) बीजगणित का उपयोग करके (ii) ज्यामिति का उपयोग करके

Answer:

माना ABCD एक पतंग है, जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
(i) बीजगणित द्वारा:
माना \( A(0, q), B(-p, 0), C(0, -q) \) और \( D(p, 0) \)
\( AC \perp BD \) तथा AC, BD को समद्विभाजित करती है।
अर्थात, \( BO = OD = p \), \( AC = 2q \), \( BD = 2p \)
पतंग ABCD का क्षेत्रफल = \( \triangle AOB \) का क्षेत्रफल + \( \triangle AOD \) का क्षेत्रफल + \( \triangle COB \) का क्षेत्रफल + \( \triangle COD \) का क्षेत्रफल
\( = \frac{1}{2}(pq) + \frac{1}{2}(pq) + \frac{1}{2}(pq) + \frac{1}{2}(pq) = 2pq \)
परंतु, \( AC \times BD = 2q \times 2p = 4pq \)
अतः, पतंग का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times AC \times BD \)

(ii) ज्यामिति द्वारा:
पतंग ABCD के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं तथा AC, BD को समद्विभाजित करती है। अतः, \( BO = OD \)
पतंग का क्षेत्रफल = \( \triangle AOB + \triangle AOD + \triangle COB + \triangle COD \)
\( = \frac{1}{2}(AO \times BO) + \frac{1}{2}(AO \times OD) + \frac{1}{2}(CO \times BO) + \frac{1}{2}(CO \times OD) \)
\( = \frac{1}{2}[AO(BO + OD) + CO(BO + OD)] \)
\( = \frac{1}{2}(AO + CO)(BO + OD) \)
अब, \( AO + CO = AC \) और \( BO + OD = BD \)
अतः, पतंग का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times AC \times BD \)
निष्कर्ष: दोनों विधियों से सिद्ध होता है कि पतंग का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \), जहाँ \( d_1 \) और \( d_2 \) विकर्ण हैं।

मुख्य बिंदु:

• पतंग के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
• पतंग को चार समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
• बीजगणितीय और ज्यामितीय दोनों दृष्टियों से परिणाम समान आता है।

आम गलतियाँ:

• निर्देशांक ज्यामिति में बिंदुओं के चिन्ह गलत लेना।
• त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़ते समय मान गलत रखना।
• विकर्णों के लंबवत संबंध को नजरअंदाज करना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों (i) और (ii) को अलग-अलग लिखकर हल करें।
b) ज्यामितीय विधि में उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालना सीखें।
c) अंत में सामान्य निष्कर्ष अवश्य लिखें।

Question 15(i): आयत ABCD की भुजाएँ a और b हैं और आयत PQRS की भुजाएँ 2a और 2b हैं। दर्शाइए कि PQRS का क्षेत्रफल ABCD के क्षेत्रफल का चार गुना है। क्या इसका अर्थ यह है कि आयत ABCD की चार प्रतिआकृतियाँ आयत PQRS में समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके देखिए!

Answer:

आयत ABCD का क्षेत्रफल: = \( a \times b = ab \)
आयत PQRS का क्षेत्रफल: = \( 2a \times 2b = 4ab \)
अतः, PQRS का क्षेत्रफल = \( 4 \times (\text{ABCD का क्षेत्रफल}) \)
हाँ, आयत ABCD की \( 4 \) प्रतियाँ आयत PQRS में समा जाएँगी।
चूँकि PQRS की लंबाई और चौड़ाई, ABCD की लंबाई और चौड़ाई से दोगुनी है, अतः हम लंबाई के अनुदिश \( 2 \) प्रतियाँ और चौड़ाई के अनुदिश \( 2 \) प्रतियाँ व्यवस्थित कर सकते हैं।
कुल प्रतियाँ = \( 2 \times 2 = 4 \)
अतः, आयत ABCD की \( 4 \) प्रतियाँ आयत PQRS में ठीक-ठीक समा जाती हैं।

मुख्य बिंदु:

• भुजाएँ दोगुनी होने पर क्षेत्रफल \( 2^2 = 4 \) गुना हो जाता है।
• क्षेत्रफल चार गुना होने का अर्थ है कि चार छोटी आकृतियाँ बड़ी आकृति में समा सकती हैं。
• विमाओं का अनुपात क्षेत्रफल के संबंध को स्पष्ट करता है।

आम गलतियाँ:

• भुजा दोगुनी होने पर क्षेत्रफल को भी केवल दो गुना मान लेना।
• प्रतिआकृतियों के समायोजन की दिशा (लंबाई-चौड़ाई) का ध्यान न रखना。
• गुणनफल में अचर संख्या छोड़ देना।

Exam Tips:

a) दोनों आयतों के क्षेत्रफल के सूत्र लिखकर तुलना करें।
b) प्रायोगिक या तार्किक रूप से प्रतियों की संख्या समझाएँ।
c) स्पष्ट भाषा में निष्कर्ष दें।

Question 15(ii): \( \triangle ABC \) की भुजाएँ \( a, b, c \) हैं और \( \triangle PQR \) की भुजाएँ \( 2a, 2b, 2c \) हैं। दर्शाइए कि \( \triangle PQR \) का क्षेत्रफल \( \triangle ABC \) के क्षेत्रफल का चार गुना है। क्या इसका अर्थ यह है कि \( \triangle PQR \) में \( \triangle ABC \) की 4 प्रतिआकृतियाँ समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके लिखिए!

Answer:

दिया गया है: \( \triangle ABC \) की भुजाएँ \( a, b, c \) हैं तथा \( \triangle PQR \) की भुजाएँ \( 2a, 2b, 2c \) हैं।
\( \triangle ABC \) के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
माना \( s = \frac{a + b + c}{2} \)
\( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( \triangle PQR \) के लिए PQR का अर्ध-परिमाप: \( s' = \frac{2a + 2b + 2c}{2} = 2s \)
\( \triangle PQR \) का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s'(s' - 2a)(s' - 2b)(s' - 2c)} \)
\( s' = 2s \) रखने पर:
\( \triangle PQR \) का क्षेत्रफल = \( \sqrt{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)} \)
\( = \sqrt{2s \times 2(s - a) \times 2(s - b) \times 2(s - c)} \)
\( = \sqrt{16 \times s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( = 4 \times \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( = 4 \times (\triangle ABC \text{ का क्षेत्रफल}) \)
अतः सिद्ध हुआ: क्षेत्रफल \( (\triangle PQR) = 4 \times \text{क्षेत्रफल}(\triangle ABC) \)
यदि किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को दोगुना कर दिया जाए, तो बड़े त्रिभुज को 4 सर्वांगसम छोटे त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक \( \triangle ABC \) के सर्वांगसम होगा। अतः, \( \triangle ABC \) की 4 प्रतियाँ \( \triangle PQR \) में ठीक-ठीक समा जाती हैं।

मुख्य बिंदु:

• त्रिभुज की भुजाएँ दोगुनी करने पर अर्ध-परिमाप भी दोगुना हो जाता है।
• हेरॉन सूत्र में मान रखने पर 16 बाहर आकर वर्गमूल से 4 बनता है।
• समरूप त्रिभुजों में भुजाओं का अनुपात दोगुना होने पर क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( s' \) का मान रखते समय 2 बाहर लेना भूल जाना।
• वर्गमूल के अंदर से अचर संख्या निकालते समय गलती करना。
• निष्कर्ष में प्रतिआकृतियों की संख्या गलत लिखना।

Exam Tips:

a) हेरॉन सूत्र को चरणबद्ध तरीके से हल करें।
b) उभयनिष्ठ 2 को बाहर निकालकर 16 बनाना विशेष रूप से दिखाएँ।
c) अंत में ज्यामितीय तथ्य का उल्लेख करें।

Question 15(iii): \( \triangle ABC \) की भुजाएँ \( a, b, c \) हैं और \( \triangle PQR \) की भुजाएँ \( 3a, 3b, 3c \) हैं। दर्शाइए कि \( \triangle PQR \) का क्षेत्रफल \( \triangle ABC \) के क्षेत्रफल का नौ गुना है। क्या इसका अर्थ यह है कि \( \triangle PQR \) में \( \triangle ABC \) की नौ प्रतिआकृतियाँ समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके लिखिए!

Answer:

दिया गया है: \( \triangle ABC \) की भुजाएँ \( a, b, c \) हैं तथा \( \triangle PQR \) की भुजाएँ \( 3a, 3b, 3c \) हैं।
\( \triangle ABC \) के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते हुए माना \( s = \frac{a + b + c}{2} \)
\( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( \triangle PQR \) के लिए अर्ध-परिमाप: \( s' = \frac{3a + 3b + 3c}{2} = 3s \)
\( \triangle PQR \) का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s'(s' - 3a)(s' - 3b)(s' - 3c)} \)
\( s' = 3s \) रखने पर:
\( \triangle PQR \) का क्षेत्रफल = \( \sqrt{3s(3s - 3a)(3s - 3b)(3s - 3c)} \)
\( = \sqrt{3s \times 3(s - a) \times 3(s - b) \times 3(s - c)} \)
\( = \sqrt{81 \times s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( = 9 \times \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( = 9 \times (\triangle ABC \text{ का क्षेत्रफल}) \)
अतः सिद्ध हुआ: क्षेत्रफल \( (\triangle PQR) = 9 \times \text{क्षेत्रफल}(\triangle ABC) \)
यदि किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को तिगुना कर दिया जाए, तो बड़े त्रिभुज को 9 सर्वांगसम छोटे त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक \( \triangle ABC \) के सर्वांगसम होगा। अतः, \( \triangle ABC \) की 9 प्रतियाँ \( \triangle PQR \) में ठीक-ठीक समा जाती हैं।

मुख्य बिंदु:

• भुजाएँ तीन गुनी होने पर क्षेत्रफल \( 3^2 = 9 \) गुना हो जाता है।
• हेरॉन सूत्र में चारों कोष्ठकों से 3 बाहर आने पर \( 3^4 = 81 \) बनता है।
• \( \sqrt{81} = 9 \) होता है।

आम गलतियाँ:

• 81 के स्थान पर गलती से 27 या कोई अन्य संख्या लिख देना।
• अर्ध-परिमाप \( 3s \) को सही से प्रतिस्थापित न करना।
• प्रतियों की संख्या और क्षेत्रफल के गुणक में भ्रम होना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक पद से 3 कॉमन लेने की प्रक्रिया स्पष्ट करें।
b) \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \) के गुणन को दर्शाएँ।
c) निष्कर्ष को पूर्ण वाक्य में लिखें।

Question 16: चित्रों के अनुसार हल कीजिए। (त्रिभुज और वर्ग के छायांकित भाग से संबंधित)

Answer:

चित्र 6.44 से:
\( \triangle ABD \) में, D भुजा AB का मध्य बिंदु है। अतः, \( ar(ADE) = ar(BDE) \) ...(1) [माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर भागों में विभाजित करती है]
इसी प्रकार, \( \triangle BCE \) में, F भुजा EC का मध्य बिंदु है। अतः, \( ar(BEF) = ar(BCF) \) ...(2)
अब, \( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल = \( ar(ADE) + ar(BDE) + ar(BEF) + ar(BCF) \)
\( = ar(BDE) + ar(BDE) + ar(BEF) + ar(BEF) \) [(1) और (2) से]
\( = 2[ar(BDE) + ar(BEF)] = 2 \, ar(BDEF) \)
अतः, \( ar(BDEF) = \frac{1}{2} \, ar(ABC) \)
अतः, छायांकित अंश = \( \frac{1}{2} \)
वर्ग वाले भाग से:
वर्ग की भुजा = 1 इकाई मानने पर, वर्ग का क्षेत्रफल = \( 1 \times 1 = 1 \)
कोनों के 4 त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल = \( 4 \times \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1\right) = 1 \)
अतिव्यापी क्षेत्रों के विश्लेषण से छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{5} \) (या 20%) भाग घेरता है।

मुख्य बिंदु:

• माध्यिका त्रिभुज के क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में बाँटती है।
• वर्ग के कोनों के त्रिभुजों और अतिव्यापी भागों का क्षेत्रफल निकाला जाता है।
• छायांकित भाग कुल क्षेत्रफल का एक निश्चित अंश होता है।

आम गलतियाँ:

• माध्यिका के गुणधर्म को ठीक से न पहचानना।
• वर्ग के अंदर अतिव्यापी भागों को छोड़ देना।
• अनुपातिक गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) समीकरण (1) और (2) का स्पष्ट हवाला दें।
b) वर्ग और त्रिभुज के भागों को अलग-अलग हल करें।
c) अंतिम उत्तर भिन्न या प्रतिशत में स्पष्ट लिखें।

Question 17: चित्रों के अनुसार हल कीजिए। (आयत में वृत्तों द्वाराच्छादित भाग)

Answer:

दोनों आकृतियों में, बराबर वृत्त एक आयत में एक-दूसरे के साथ फिट किए गए हैं।
माना प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या \( r \) है। व्यास = \( 2r \)
\( n \) वृत्तों के लिए:
आयत की लंबाई = \( n \times 2r \)
आयत की चौड़ाई = \( 2r \)
आयत का क्षेत्रफल = \( (n \times 2r) \times 2r = 4nr^2 \)
\( n \) वृत्तों का कुल क्षेत्रफल = \( n\pi r^2 \)
वृत्तों द्वारा ढका गया अंश = \( \frac{n\pi r^2}{4nr^2} = \frac{\pi}{4} \)
\( \pi = \frac{22}{7} \) का उपयोग करने पर:
\( \frac{\pi}{4} = \frac{22}{28} = \frac{11}{14} \)
अतः, चित्र 6.45 और चित्र 6.46 दोनों में, वृत्तों द्वारा ढका गया अंश है: \( \frac{11}{14} \)

मुख्य बिंदु:

• आयत की लंबाई वृत्तों की संख्या और उनके व्यास पर निर्भर करती है।
• वृत्तों द्वारा ढके गए क्षेत्र का अनुपात कुल आयत के क्षेत्रफल से निकाला जाता है।
• \( n \) चर अंत में कट जाता है, जिससे यह वृत्तों की संख्या से स्वतंत्र हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• आयत की चौड़ाई को गलत मान लेना।
• \( n \) को काटना भूल जाना।
• भिन्न को सरल न करना।

Exam Tips:

a) आयत की लंबाई \( 2nr \) और चौड़ाई \( 2r \) स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
b) क्षेत्रफल का अनुपात निकालकर दिखाएँ कि \( n \) कट जाता है।
c) \( \pi = \frac{22}{7} \) रखकर अंतिम भिन्न प्राप्त करें।

Question 18: उपरोक्त दी गई सूचनाओं का उपयोग करते हुए दर्शाई गई विधि से आप वृत्तों द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के विषय में अनुमान लगाइए। आप अपने अनुमान का विशिष्ट स्थितियों के लिए परीक्षण कीजिए- 10 वृत्त, 20 वृत्त, 50 वृत्त। आप अपने अनुमान को सिद्ध कीजिए।

Answer:

अनुमान: आयत में चाहे कितने ही बराबर वृत्त एक-दूसरे के साथ फिट क्यों न किए जाएँ, वृत्तों द्वारा ढका गया आयत का अंश सदैव \( \frac{\pi}{4} \) होता है।
\( \pi = \frac{22}{7} \) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है \( \frac{\pi}{4} = \frac{11}{14} \)
अतः, 10 वृत्तों, 20 वृत्तों और 50 वृत्तों के लिए, ढका गया अंश सदैव \( \frac{11}{14} \) है।
प्रमाण:
माना \( n \) वृत्त हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या \( r \) है।
प्रत्येक वृत्त का व्यास = \( 2r \)
आयत की लंबाई = \( n \times 2r = 2nr \)
आयत की चौड़ाई = \( 2r \)
आयत का क्षेत्रफल = \( 2nr \times 2r = 4nr^2 \)
\( n \) वृत्तों का कुल क्षेत्रफल = \( n\pi r^2 \)
ढका गया अंश = \( \frac{n\pi r^2}{4nr^2} = \frac{\pi}{4} \)
अतः, यह अंश सदैव \( \frac{\pi}{4} \) होता है, जो वृत्तों की संख्या से स्वतंत्र है।

मुख्य बिंदु:

• वृत्तों द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल वृत्तों की संख्या पर निर्भर नहीं करता।
• अनुपात हमेशा \( \frac{\pi}{4} \) ही रहता है।
• बीजगणितीय प्रमाण से यह सर्वकालिक सत्य सिद्ध होता है।

आम गलतियाँ:

• संख्या बदलने पर अनुपात बदलने की गलतफहमी पालना।
• क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखते समय गलती करना।
• प्रमाण में \( n \) को स्थिर मान लेना।

Exam Tips:

a) पहले अपना अनुमान स्पष्ट शब्दों में लिखें।
b) सामान्य सूत्र स्थापित करके सिद्ध करें कि यह \( n \) पर निर्भर नहीं है।
c) 10, 20 या 50 किसी भी संख्या के लिए उत्तर समान रहेगा यह बताएँ।

Question 19: चित्र में नौ एक समान आयतों को जोड़कर एक बड़ा आयत निर्मित किया गया है, जिसका क्षेत्रफल 72 वर्ग सेंटीमीटर है। प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना प्रत्येक छोटे आयत की लंबाई \( l \) सेमी है और चौड़ाई \( b \) सेमी है।
चित्र से: ऊपर की पंक्ति में 4 आयत लंबाई की दिशा में रखे गए हैं। नीचे की पंक्ति में 5 आयत चौड़ाई की दिशा में रखे गए हैं। (या व्यवस्था के अनुसार)
कुल चौड़ाइयाँ बराबर हैं: \( 4l = 5b \implies b = \frac{4l}{5} \)
बड़े आयत का क्षेत्रफल = \( 72 \) सेमी \( ^2 \)
बड़ा आयत छोटे आयतों से मिलकर बना है, अतः बड़े आयत का क्षेत्रफल = \( 4l(l + b) = 72 \)
\( b = \frac{4l}{5} \) रखने पर:
\( 4l\left(l + \frac{4l}{5}\right) = 72 \)
\( 4l\left(\frac{9l}{5}\right) = 72 \)
\( \frac{36l^2}{5} = 72 \)
\( 36l^2 = 360 \implies l^2 = 10 \implies l = \sqrt{10} \)
अब, \( b = \frac{4\sqrt{10}}{5} = 0.8\sqrt{10} \)
प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप = \( 2(l + b) = 2(\sqrt{10} + 0.8\sqrt{10}) = 2(1.8\sqrt{10}) = 3.6\sqrt{10} \) सेमी
अतः, प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप \( 3.6\sqrt{10} \) सेमी है।

मुख्य बिंदु:

• छोटे आयतों की व्यवस्था से उनकी भुजाओं में संबंध बनता है।
• बड़े आयत के क्षेत्रफल के समीकरण से भुजा \( l \) निकाली जाती है।
• परिमाप का सूत्र \( 2(l + b) \) होता है।

आम गलतियाँ:

• आयतों की व्यवस्था से संबंध \( 4l = 5b \) को गलत लिखना।
• समीकरण हल करते समय गणना में त्रुटि करना।
• परिमाप और क्षेत्रफल की इकाइयों में अंतर न समझना।

Exam Tips:

a) चित्र में आयतों की स्थिति को ध्यान से समझकर समीकरण बनाएँ।
b) वर्गमूल के पदों में उत्तर छोड़ना अधिक सटीक होता है।
c) अंत में छोटे आयत का परिमाप स्पष्ट रूप से निकालें।

Question 20: दर्शाइए कि छायांकित नीले त्रिभुज और छायांकित लाल त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है। नीले त्रिभुज को कुछ टुकड़ों (भागों) में काटने और उन भागों को इस प्रकार से व्यवस्थित करने की विधि ढूँढिए, जिससे लाल त्रिभुज आच्छादित हो जाए।

Answer:

चित्र में, त्रिभुज के एक शीर्ष बिंदु से सामने वाली भुजा के त्रिविभाजन बिंदुओं तक रेखाएँ खींची गई हैं। अतः, सामने वाली भुजा तीन बराबर भागों में विभाजित हो जाती है।
अतः, \( BD = DE = EC \) ...(1)
दोनों त्रिभुजों की ऊँचाई समान है, माना \( h \), क्योंकि वे एक ही शीर्ष बिंदु साझा करते हैं और उनके आधार एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं।
नीले त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times BD \times h \)
लाल त्रिभुज AEC का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times EC \times h \)
समीकरण (1) से, \( BD = EC \)
अतः, \( ar(ABD) = ar(AEC) \)
अतः, नीले त्रिभुज का क्षेत्रफल = लाल त्रिभुज का क्षेत्रफल

मुख्य बिंदु:

• त्रिविभाजन के कारण आधार बराबर होते हैं।
• एक ही शीर्ष और एक ही आधार रेखा वाले त्रिभुजों की ऊँचाई समान होती है।
• बराबर आधार और समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिविभाजन बिंदुओं के अर्थ को न समझना।
• ऊँचाई को भिन्न मान लेना।
• क्षेत्रफल के सूत्र में मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) आधारों की समानता \( BD = EC \) को पहले स्पष्ट करें।
b) समान ऊँचाई \( h \) का तर्क अवश्य दें।
c) क्षेत्रफल के सूत्रों की तुलना करके सिद्ध करें।

Question 21: चित्र में एक वर्ग के भीतर एक चतुर्थांश वृत्त दर्शाया गया है। इसका केंद्र एक शीर्ष पर है और यह दो आसन्न शीर्षों से होकर गुजरता है। दो आसन्न भुजाओं पर व्यास के रूप में दो अर्द्धवृत्त हैं। ये छायांकित क्षेत्र A और B बनाते हैं। दर्शाइए कि A और B के पास समान क्षेत्र है।

Answer:

माना चतुर्थांश चाप के अंतर्गत चार क्षेत्र A, B, C और D हैं। माना वर्ग की भुजा \( 2r \) है। तब प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या \( r \) है।
आधार PQ वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल: \( C + A = \frac{1}{2}\pi r^2 \)
आधार SR वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल: \( D + A = \frac{1}{2}\pi r^2 \)
दोनों अर्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल: \( C + D + 2A = \pi r^2 \) ...(1)
चतुर्थांश वृत्त की त्रिज्या \( 2r \) है और इसमें A, B, C और D क्षेत्र शामिल हैं।
चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल: \( A + B + C + D = \frac{1}{4} \times \pi(2r)^2 \)
\( A + B + C + D = \frac{1}{4} \times 4\pi r^2 = \pi r^2 \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) के बाईं ओर (LHS) को बराबर करने पर:
\( C + D + 2A = A + B + C + D \)
\( 2A = A + B \implies A = B \)
अतः, A का क्षेत्रफल = B का क्षेत्रफल

मुख्य बिंदु:

• क्षेत्रों को A, B, C, D में विभाजित करके समीकरण बनाए जाते हैं।
• अर्धवृत्तों और चतुर्थांश के क्षेत्रफल का कुल योग तुलना में मदद करता है।
• समान पदों को दोनों पक्षों से हटाने पर अभीष्ट संबंध प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• चतुर्थांश की त्रिज्या 2r के स्थान पर r ले लेना।
• क्षेत्रों के समीकरण बनाते समय ओवरलैपिंग क्षेत्रों को भूल जाना।
• पक्षांतर में चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) क्षेत्रों को डायग्राम के अनुसार नाम (A, B, C, D) दें।
b) अर्धवृत्त और चतुर्थांश के क्षेत्रफलों के अलग-अलग समीकरण लिखें।
c) दोनों समीकरणों की तुलना करके सीधे निष्कर्ष निकालें।

Question 22: चित्र 6.50 में 2 इकाई भुजा वाले वर्ग के भीतर चार अर्द्धवृत्त खींचे गए हैं। इन अर्द्धवृत्तों के केंद्र, भुजाओं के मध्यबिंदु हैं। ये चार पंखुड़ियों वाला एक पुष्प बनाते हैं (जिन्हें नीले रंग से दर्शाया गया है)। इस पुष्प का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer:

वर्ग की भुजा = \( 2 \) इकाई
प्रत्येक अर्धवृत्त का व्यास = \( 2 \) इकाई अतः, त्रिज्या \( r = 1 \) इकाई
प्रत्येक पंखुड़ी, त्रिज्या 1 वाले दो चतुर्थांश चापों से बनी है।
अतः, एक पंखुड़ी का परिमाप = \( 2 \times \) एक चतुर्थांश वृत्त की लंबाई
\( = 2 \times \left(\frac{1}{4} \times 2\pi r\right) = 2 \times \left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi \)
कुल 4 पंखुड़ियाँ हैं। फूल का कुल परिमाप = \( 4 \times \pi = 4\pi \) इकाई
\( \pi = \frac{22}{7} \) का उपयोग करने पर: परिमाप = \( 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \) इकाई
एक आधी पंखुड़ी का क्षेत्रफल: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल
\( = \frac{1}{4}\pi(1)^2 - \left(\frac{1}{2} \times 1 \times 1\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \)
कुल मिलाकर 8 ऐसे भाग (सेक्शन) हैं, अतः पंखुड़ियों का कुल क्षेत्रफल = \( 8\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right) = 2\pi - 4 \)
\( \pi = \frac{22}{7} \) का उपयोग करने पर: क्षेत्रफल = \( 2 \times \frac{22}{7} - 4 = \frac{44}{7} - \frac{28}{7} = \frac{16}{7} \) वर्ग इकाई
अतः, फूल का परिमाप = \( \frac{88}{7} \) इकाई और क्षेत्रफल = \( \frac{16}{7} \) वर्ग इकाई है।

मुख्य बिंदु:

• पुष्प की एक पंखुड़ी दो वृत्ताकार चापों से मिलकर बनती है।
• त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर एक भाग का क्षेत्रफल निकलता है।
• कुल परिमाप और क्षेत्रफल के लिए उचित गुणा किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• व्यास और त्रिज्या में भ्रम होना (व्यास 2 है तो त्रिज्या 1 होगी)।
• पंखुड़ी के परिमाप में केवल एक चाप जोड़ना।
• त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में त्रिभुज का क्षेत्रफल न घटाना।

Exam Tips:

a) परिमाप और क्षेत्रफल दोनों की गणना अलग-अलग स्पष्ट करें।
b) \( \pi \) का मान अंत में रखकर भिन्न के रूप में उत्तर दें।
c) मात्रक (इकाई और वर्ग इकाई) सही लिखें।

Question 23: चित्र 6.51 में हम दो सकेंद्रिय वृत्तों में देखते हैं कि उनका एक ही केंद्र O है। बड़े वृत्त की एक जीवा BC खींची गई है जो छोटे वृत्त को बिंदु A पर स्पर्श करती है। BC की लंबाई l है। दर्शाइए कि दोनों वृत्तों के मध्य स्थित हरे भाग का क्षेत्रफल \( \frac{1}{4}\pi l^2 \) है।

Answer:

माना बड़े वृत्त की त्रिज्या \( R \) है। माना छोटे वृत्त की त्रिज्या \( r \) है।
चूँकि BC, छोटे वृत्त को बिंदु A पर स्पर्श करती है, अतः \( OA \perp BC \)
साथ ही, चूँकि O बड़े वृत्त का केंद्र है, अतः O से जीवा BC पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः, \( AB = AC = \frac{l}{2} \)
अब, समकोण त्रिभुज OAC में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
\( OC^2 = OA^2 + AC^2 \)
यहाँ, \( OC = R \), \( OA = r \) और \( AC = \frac{l}{2} \)
अतः, \( R^2 = r^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \)
\( R^2 - r^2 = \frac{l^2}{4} \)
हरे क्षेत्र का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल - छोटे वृत्त का क्षेत्रफल
\( = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) \)
\( R^2 - r^2 = \frac{l^2}{4} \) रखने पर:
हरे क्षेत्र का क्षेत्रफल = \( \pi \times \frac{l^2}{4} = \frac{1}{4}\pi l^2 \)

मुख्य बिंदु:

• स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है।
• केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• वलय (Ring) का क्षेत्रफल बड़े वृत्त और छोटे वृत्त के क्षेत्रफलों का अंतर होता है।

आम गलतियाँ:

• जीवा की लंबाई \( l \) को आधा करना भूल जाना।
• पाइथागोरस प्रमेय में कर्ण को गलत पहचानना।
• क्षेत्रफल के अंतर के सूत्र में \( \pi \) कॉमन न लेना।

Exam Tips:

a) प्रमेय का हवाला दें कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब समद्विभाजित करता है।
b) समकोण त्रिभुज OAC में पाइथागोरस प्रमेय स्पष्ट दिखाएँ।
c) \( R^2 - r^2 \) के मान को सीधे क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

Question 24: चित्र 6.52 में समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर अर्द्धवृत्त खींचे गए हैं, जैसा आकृति में दर्शाया गया है। दर्शाइए कि क्षेत्रफल (A) + क्षेत्रफल (B) = क्षेत्रफल (C) है।

Answer:

माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ \( a, b \) और \( c \) हैं, जहाँ \( c \) कर्ण है।
व्यास \( d \) वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8} \)
अतः,
भुजा \( a \) पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \( \frac{\pi a^2}{8} \)
भुजा \( b \) पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \( \frac{\pi b^2}{8} \)
भुजा \( c \) पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \( \frac{\pi c^2}{8} \)
चूँकि त्रिभुज समकोण है, पाइथागोरस प्रमेय से: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
दोनों पक्षों को \( \frac{\pi}{8} \) से गुणा करने पर:
\( \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi c^2}{8} \)
अतः, भुजा \( a \) पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + भुजा \( b \) पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = भुजा \( c \) पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल
चित्र से, उभयनिष्ठ अतिव्यापी भागों को हटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
क्षेत्रफल(A) + क्षेत्रफल(B) = क्षेत्रफल(C)

मुख्य बिंदु:

• अर्धवृत्त का क्षेत्रफल उसके व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है (\( \frac{\pi d^2}{8} \))।
• समकोण त्रिभुज में भुजाओं के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।
• यह पाइथागोरस प्रमेय का एक ज्यामितीय विस्तार है।

आम गलतियाँ:

• अर्धवृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र में त्रिज्या के बजाय व्यास का वर्ग सीधा लिख देना बिना 4 से भाग दिए।
• पाइथागोरस संबंध को भूल जाना।
• उभयनिष्ठ भागों के प्रभाव को स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) व्यास के पदों में अर्धवृत्त का क्षेत्रफल सूत्र \( \frac{\pi d^2}{8} \) व्युत्पन्न करें।
b) पाइथागोरस समीकरण लिखकर दोनों पक्षों में समान अचर से गुणा दिखाएँ।
c) अंत में क्षेत्रों A, B और C के साथ संबंध स्थापित करें।

Question 25: चित्र 6.53 में दो वृत्त दर्शाए गए हैं जो एक-दूसरे के केंद्रों से होकर गुजरते हैं। दोनों वृत्तों द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल उभयनिष्ठ त्रिज्या r के पदों में ज्ञात कीजिए।

Answer:

दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं और प्रत्येक दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है। माना उभयनिष्ठ त्रिज्या \( r \) है।
उभयनिष्ठ संलग्न क्षेत्र, दो बराबर वृत्तखंडों से मिलकर बना है।
दोनों केंद्रों और दोनों प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मिलाइए।
प्रत्येक वृत्त, \( 120^\circ \) कोण का एक त्रिज्यखंड बनाता है।
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \( \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{\pi r^2}{3} \)
त्रभुज ACD समद्विबाहु है जिसमें \( AC = AD = r \) है।
त्रिभुज AMC में, \( AM = \frac{r}{2} \) [चूँकि \( AB = r \)]
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
\( AC^2 = AM^2 + MC^2 \)
\( r^2 = \left(\frac{r}{2}\right)^2 + MC^2 \)
\( MC^2 = r^2 - \frac{r^2}{4} = \frac{3r^2}{4} \)
\( MC = \frac{\sqrt{3}r}{2} \implies CD = \sqrt{3}r \) [चूँकि \( CD = 2MC \)]
अब, त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times CD \times AM = \frac{1}{2} \times \sqrt{3}r \times \frac{r}{2} = \frac{\sqrt{3}r^2}{4} \)
अतः, एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल
\( = \frac{\pi r^2}{3} - \frac{\sqrt{3}r^2}{4} \)
उभयनिष्ठ संलग्न क्षेत्र का क्षेत्रफल = \( 2 \times \left(\frac{\pi r^2}{3} - \frac{\sqrt{3}r^2}{4}\right) \)
\( = 2r^2\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = r^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल \( r^2\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) है।

मुख्य बिंदु:

• परस्पर केंद्रों से गुजरने वाले वृत्तों के बीच का कोण \( 120^\circ \) होता है।
• उभयनिष्ठ क्षेत्र दो वृत्तखंडों से मिलकर बनता है।
• वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल।

आम गलतियाँ:

• त्रिज्यखंड का कोण \( 60^\circ \) या \( 90^\circ \) मान लेना।
• वृत्तखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाना भूल जाना।
• समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई निकालते समय गणना की गलती करना।

Exam Tips:

a) त्रिज्यखंड के केंद्रीय कोण \( 120^\circ \) का कारण स्पष्ट करें।
b) वृत्तखंड का सूत्र लिखकर मान क्रमानुसार हल करें।
c) अंत में 2 से गुणा करके कुल उभयनिष्ठ क्षेत्र प्राप्त करें।

Question 26: चित्र 6.54 में हम एक आयत के भीतर तीन त्रिभुज देख रहे हैं। दर्शाइए कि इन त्रिभुजों का क्षेत्रफल \( \frac{2(A + C)(B + C)}{C} \) है।

Answer:

माना त्रिभुज C की ऊर्ध्वाधर भुजा \( p \) है। माना त्रिभुज C की क्षैतिज भुजा \( q \) है।
अतः, \( C = \frac{1}{2} \times p \times q \implies pq = 2C \)
माना आयत की बाईं भुजा से \( p \) तक की क्षैतिज दूरी \( x \) है।
माना आयत की निचली भुजा से \( q \) तक की ऊर्ध्वाधर दूरी \( y \) है।
तब, \( A = \frac{1}{2} \times p \times x \implies px = 2A \)
साथ ही, \( B = \frac{1}{2} \times q \times y \implies qy = 2B \)
अब, आयत की:
लंबाई = \( x + q \)
चौड़ाई = \( y + p \)
आयत का क्षेत्रफल = \( (x + q)(y + p) = xy + xp + qy + qp \)
यहाँ, \( xp = 2A \), \( qy = 2B \) और \( qp = 2C \)
साथ ही, \( xy = \frac{xp \times qy}{pq} = \frac{2A \times 2B}{2C} = \frac{2AB}{C} \)
अतः, आयत का क्षेत्रफल = \( \frac{2AB}{C} + 2A + 2B + 2C \)
\( = 2\left(\frac{AB}{C} + A + B + C\right) = 2\left(\frac{AB + AC + BC + C^2}{C}\right) = \frac{2(A + C)(B + C)}{C} \)
अतः, आयत (या कुल त्रिभुजों) का क्षेत्रफल \( \frac{2(A + C)(B + C)}{C} \) है।

मुख्य बिंदु:

• आयत के भीतर बने त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को उनकी भुजाओं के पदों में व्यक्त किया जाता है।
• आयत की कुल लंबाई और चौड़ाई को भागों में तोड़कर लिखा जाता है।
• बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिभुज की भुजाओं और आयत के निर्देशांकों में भ्रम होना।
• \( xy \) का मान निकालते समय अनुपातिक संबंधों का उपयोग न करना।
• गुणनखंडन के चरण में गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक त्रिभुज (A, B, C) के क्षेत्रफल के समीकरण अलग से बनाएँ।
b) आयत के क्षेत्रफल को उसके घटकों के गुणन के रूप में लिखें।
c) बीजगणितीय सरलीकरण सावधानीपूर्वक करें।

Question 27: चित्र में हम एक-चौथाई वृत्त, एक अर्द्धवृत्त और एक त्रिभुज द्वारा निर्मित दो छायांकित क्षेत्र देखते हैं - दर्शाइए कि दोनों छायांकित क्षेत्रों का क्षेत्रफल समान है।

Answer:

माना दोनों छायांकित क्षेत्रों के बीच का क्षेत्रफल = \( x \)
माना \( OA = OB = r \) है। तब AOB एक समकोण त्रिभुज है।
साथ ही, \( AB^2 = OA^2 + OB^2 \)
\( AB^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \implies AB = r\sqrt{2} \)
अब, \( AB \), अर्धवृत्त का व्यास है।
अर्धवृत्त की त्रिज्या = \( \frac{AB}{2} = \frac{r\sqrt{2}}{2} \)
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \pi \times \left(\frac{r\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times \frac{2r^2}{4} = \frac{\pi r^2}{4} \)
वृत्तीय छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = \( \frac{\pi r^2}{4} - x \)
केंद्र O और त्रिज्या \( r \) वाले चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{4} \times \pi r^2 = \frac{\pi r^2}{4} \)
त्रिभुजाकार छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = \( \frac{\pi r^2}{4} - x \)
अतः, दोनों छायांकित क्षेत्रों के क्षेत्रफल बराबर हैं।

मुख्य बिंदु:

• समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \( AB \) ज्ञात किया जाता है।
• अर्धवृत्त का व्यास कर्ण है, जिससे उसकी त्रिज्या निकाली जाती है।
• दोनों छायांकित क्षेत्रों का क्षेत्रफल कुल क्षेत्र में से उभयनिष्ठ भाग \( x \) घटाने पर समान प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• अर्धवृत्त की त्रिज्या निकालते समय व्यास को आधा करना भूल जाना।
• चतुर्थांश वृत्त और अर्धवृत्त के क्षेत्रफलों के सूत्रों में अंतर न समझना।
• उभयनिष्ठ क्षेत्र \( x \) को समीकरण में सम्मिलित न करना।

Exam Tips:

a) पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण का मान \( r\sqrt{2} \) स्पष्ट निकालें।
b) अर्धवृत्त और चतुर्थांश के क्षेत्रफल अलग-अलग परिकलित करें।
c) दोनों क्षेत्रों का मान समान आने पर अंतिम कथन लिखें।