Official NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 06 समष्टि मापन परिमाप और क्षेत्रफल
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 06 समष्टि मापन परिमाप और क्षेत्रफल
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Question 1: यदि त्रिज्यखंड का कोण 60° है तो 7 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है:
त्रिज्या \( r = 7 \) सेंटीमीटर
त्रिज्यखंड का कोण \( \theta = 60^\circ \)
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
मान रखने पर:
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \)
\( = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 49 \)
\( = \frac{1}{6} \times 22 \times 7 \)
\( = \frac{154}{6} = \frac{77}{3} \) वर्ग सेंटीमीटर
अतः, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल \( \frac{77}{3} \) वर्ग सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \) होता है।
• यहाँ \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) प्रयोग किया गया है।
• त्रिज्या का वर्ग करने पर \( 7 \times 7 = 49 \) प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• सूत्र में \( 360^\circ \) के स्थान पर अन्य मान लिख देना।
• त्रिज्या का वर्ग करना भूल जाना।
• भिन्न को सरल न करना।
Exam Tips:
a) परीक्षा में मान रखते समय मात्रक (सेंटीमीटर या वर्ग सेंटीमीटर) अवश्य लिखें।
b) गणना को अंत तक सरल करें।
c) सूत्र को स्पष्ट रूप से पहले लिखें।
Question 2: उस वृत्त के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 44 सेंटीमीटर है।
Answer:
दिया गया है:
वृत्त की परिधि = 44 सेंटीमीटर
परिधि का सूत्र \( 2\pi r = 44 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r = 44 \)
\( \frac{44r}{7} = 44 \)
\( r = \frac{44 \times 7}{44} = 7 \) सेंटीमीटर
वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{4} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 49 \)
\( = \frac{1}{4} \times 22 \times 7 \)
\( = \frac{154}{4} = \frac{77}{2} \) वर्ग सेंटीमीटर
अतः, चतुर्थांश का क्षेत्रफल \( \frac{77}{2} \) वर्ग सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• वृत्त की परिधि से पहले त्रिज्या \( r \) ज्ञात की जाती है।
• वृत्त के चतुर्थांश का कोण \( 90^\circ \) होता है, अतः क्षेत्रफल \( \frac{1}{4}\pi r^2 \) होता है।
• \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) उपयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• परिधि के सूत्र से सीधे क्षेत्रफल निकाल देना बिना त्रिज्या ज्ञात किए।
• चतुर्थांश के लिए \( \frac{1}{2} \) से गुणा कर देना जबकि यह \( \frac{1}{4} \) होना चाहिए।
• गणना में भाग देते समय त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) पहले दी गई शर्त से अज्ञात राशि (त्रिज्या) निकालें।
b) चतुर्थांश और अर्धवृत्त के अंतर को समझें।
c) उत्तर में वर्ग इकाई लिखना न भूलें।
Question 3: एक घड़ी की मिनट की सूई की लंबाई 7 सेंटीमीटर है। 10 मिनट में सूई द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
मिनट की सूई 60 मिनट में \( 360^\circ \) का पूरा चक्कर लगाती है।
अतः 1 मिनट में बनाया गया कोण = \( \frac{360^\circ}{60} = 6^\circ \)
10 मिनट में सूई द्वारा बनाया गया कोण \( (\theta) = 10 \times 6^\circ = 60^\circ \)
मिनट की सूई की लंबाई ही वृत्त की त्रिज्या \( r = 7 \) सेंटीमीटर होगी।
10 मिनट में तय किया गया क्षेत्रफल (त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल):
\( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \)
\( = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 49 \)
\( = \frac{154}{6} = \frac{77}{3} \) वर्ग सेंटीमीटर
अतः, तय किया गया क्षेत्रफल \( \frac{77}{3} \) वर्ग सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• घड़ी की मिनट की सूई द्वारा 1 मिनट में बनाया गया कोण \( 6^\circ \) होता है।
• सूई की लंबाई त्रिज्यखंड की त्रिज्या का काम करती है।
• त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• 10 मिनट में बने कोण को सीधे 10 डिग्री मान लेना।
• कुल समय 60 मिनट के स्थान पर 12 घंटे का उपयोग करना।
• त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के बजाय केवल परिधि निकाल देना।
Exam Tips:
a) घड़ी के प्रश्नों में प्रति मिनट कोण \( 6^\circ \) याद रखें।
b) त्रिज्या और कोण स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंत में सही भिन्न रूप में उत्तर छोड़ें।
Question 4: 10 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। संगत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए- (i) लघु त्रिज्यखंड (जो मध्यबिंदु पर 90° का कोण बनाता है) (ii) दीर्घ त्रिज्यखंड (जो मध्यबिंदु पर 270° का कोण बनाता है)। (\(\pi \approx 3.14\) का उपयोग कीजिए।)
Answer:
दिया गया है:
त्रिज्या \( r = 10 \) सेंटीमीटर
(i) लघु त्रिज्यखंड के लिए कोण \( \theta = 90^\circ \)
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \( \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times 3.14 \times (10)^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 \)
\( = \frac{314}{4} = 78.5 \) वर्ग सेंटीमीटर
(ii) दीर्घ त्रिज्यखंड के लिए कोण \( \theta = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ \)
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \( \frac{270^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{3}{4} \times 3.14 \times (10)^2 \)
\( = \frac{3}{4} \times 3.14 \times 100 \)
\( = 3 \times 78.5 = 235.5 \) वर्ग सेंटीमीटर
अतः, लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल \( 78.5 \) वर्ग सेंटीमीटर तथा दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल \( 235.5 \) वर्ग सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• लघु त्रिज्यखंड का कोण \( 90^\circ \) है।
• दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण \( 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ \) होता है।
• \( \pi \) का मान \( 3.14 \) प्रयोग करना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण निकालने में \( 180^\circ \) घटा देना।
• दशमलव की गणना में गलती करना।
• \( \pi \) के स्थान पर \( \frac{22}{7} \) रख देना जबकि \( 3.14 \) निर्दिष्ट है।
Exam Tips:
a) जहाँ \( \pi \) का मान दिया हो, वही प्रयोग करें।
b) दोनों भागों को (i) और (ii) डालकर अलग-अलग हल करें।
c) गणना को आसान बनाने के लिए \( 10^2 = 100 \) का पहले गुणा करें।
Question 5: 15 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। वृत्त के संगत लघु एवं दीर्घ खंडों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है:
त्रिज्या \( r = 15 \) सेंटीमीटर
कोण \( \theta = 60^\circ \)
\( \pi = 3.14 \) तथा \( \sqrt{3} = 1.73 \)
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \( \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{6} \times 3.14 \times (15)^2 \)
\( = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 225 \)
\( = 117.75 \) वर्ग सेंटीमीटर
चूँकि कोण \( 60^\circ \) है और दोनों त्रिज्याएँ समान हैं, अतः संगत त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होगा।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{भुजा}^2 \)
\( = \frac{1.73}{4} \times (15)^2 \)
\( = \frac{1.73}{4} \times 225 \)
\( = 97.3125 \) वर्ग सेंटीमीटर
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
\( = 117.75 - 97.3125 = 20.4375 \) वर्ग सेंटीमीटर (लगभग \( 20.44 \) वर्ग सेंटीमीटर)
वृत्त का कुल क्षेत्रफल = \( \pi r^2 = 3.14 \times 225 = 706.5 \) वर्ग सेंटीमीटर
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
\( = 706.5 - 20.4375 = 686.0625 \) वर्ग सेंटीमीटर (लगभग \( 686.06 \) वर्ग सेंटीमीटर)
मुख्य बिंदु:
• वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाया जाता है।
• \( 60^\circ \) कोण वाला त्रिभुज समबाहु त्रिभुज होता है।
• दीर्घ वृत्तखंड के लिए कुल वृत्त के क्षेत्रफल में से लघु वृत्तखंड घटाया जाता है।
आम गलतियाँ:
• त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के अंतर को न समझना।
• त्रिभुज के क्षेत्रफल का गलत सूत्र लगाना।
• दशमलव के बाद की संख्याओं में घटाते समय गलती करना।
Exam Tips:
a) चरणबद्ध तरीके से पहले त्रिज्यखंड फिर त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें।
b) मानों को दशमलव के दो स्थानों तक सन्निकटित करें।
c) लघु और दीर्घ दोनों भागों के उत्तर स्पष्ट लिखें।
Question 6: एक कार में दो वाइपर लगे हैं जो एक-दूसरे को आपस में आच्छादित नहीं करते हैं। प्रत्येक वाइपर के ब्लेड की लंबाई 28 सेंटीमीटर है और यह 120° के कोण पर घूमता है। ब्लेड के प्रत्येक चक्र में साफ किए गए कुल क्षेत्रफल को ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है:
एक वाइपर की त्रिज्या \( r = 28 \) सेंटीमीटर
कोण \( \theta = 120^\circ \)
एक वाइपर द्वारा साफ किया गया क्षेत्रफल = \( \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (28)^2 \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 784 \)
\( = \frac{2464}{3} \) वर्ग सेंटीमीटर
चूँकि कार में दो वाइपर हैं जो एक-दूसरे को आच्छादित नहीं करते, अतः कुल साफ किया गया क्षेत्रफल:
\( = 2 \times \frac{2464}{3} \)
\( = \frac{4928}{3} \) वर्ग सेंटीमीटर
अतः, कुल साफ किया गया क्षेत्रफल \( \frac{4928}{3} \) वर्ग सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• प्रत्येक वाइपर एक त्रिज्यखंड के आकार का क्षेत्रफल साफ करता है।
• कोण \( 120^\circ \) होने पर \( \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3} \) होता है।
• दो वाइपर होने के कारण एक वाइपर के क्षेत्रफल को 2 से गुणा किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• दो वाइपर से गुणा करना भूल जाना।
• त्रिज्या \( 28 \) का वर्ग करने में गलती करना।
• अंश और हर को गलत काटना।
Exam Tips:
• ऐसे व्यावहारिक प्रश्नों में दी गई वस्तुओं की संख्या (जैसे दो वाइपर) का ध्यान रखें।
• गणना को अंत में ही भाग दें, बीच में दशमलव में न बदलें।
• सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 7: त्रिज्या r वाले एक वृत्त की एक जीवा वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। दर्शाइए कि वृत्त के संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल \( r^2\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \) के समान है।
Answer:
मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और AB जीवा है।
दिया गया है: \( OA = OB = r \) तथा \( \angle AOB = 60^\circ \)
चूँकि \( OA = OB \) है, अतः \( \angle OAB = \angle OBA \) और \( \angle AOB = 60^\circ \) होने के कारण त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा \( r \) है।
लघु त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल = \( \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{\pi r^2}{6} \)
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \( \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{भुजा}^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \)
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल) - (समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल)
\( = \frac{\pi r^2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \)
\( = r^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \)
अतः, सिद्ध हुआ कि लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल \( r^2\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \) के समान है।
मुख्य बिंदु:
• यह एक व्यापक (general) सूत्र सिद्ध करने वाला प्रश्न है।
• वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल।
• उभयनिष्ठ \( r^2 \) बाहर लेने पर वांछित व्यंजक प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• इसे विशिष्ट संख्यात्मक मान मानकर हल करने का प्रयास करना।
• बीजगणितीय व्यंजक में \( r^2 \) कॉमन लेना भूल जाना।
• त्रिभुज के क्षेत्रफल का गलत सूत्र लिखना।
Exam Tips:
a) उपपत्ति (Proof) वाले प्रश्नों में प्रत्येक चरण का कारणज लिखें।
b) अंत में सिद्ध होने वाले पद को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) कोण \( 60^\circ \) से समबाहु त्रिभुज बनने की बात अवश्य लिखें।
Question 8: एक समबाहु त्रिभुज r त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंतर्निहित है। दर्शाइए कि त्रिभुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात \( \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413 \) के समान है।
Answer:
माना ABC एक समबाहु त्रिभुज है जो r त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है तथा O वृत्त का केंद्र है।
समबाहु त्रिभुज की भुजा = \( a \)
शीर्ष A से BC पर लंब AD खींचा गया है, जो माध्यिका भी है।
समबाहु त्रिभुज में शीर्षलंब \( AD = \frac{\sqrt{3}}{2}a \)
केंद्र O समबाहु त्रिभुज का केंद्रक (Centroid) भी है जो माध्यिका को \( 2:1 \) के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः \( AO = \frac{2}{3}AD \)
चूँकि AO वृत्त की त्रिज्या \( r \) है:
\( r = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{a}{\sqrt{3}} \)
अतः समबाहु त्रिभुज की भुजा \( a = \sqrt{3}r \)
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3}r)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2 \)
वृत्त का क्षेत्रफल = \( \pi r^2 \)
क्षेत्रफलों का अनुपात = \( \frac{\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}}{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}{\pi r^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \)
मान रखने पर (\(\sqrt{3} \approx 1.732\) तथा \(\pi \approx 3.142\)):
\( = \frac{3 \times 1.732}{4 \times 3.142} = \frac{5.196}{12.568} \approx 0.413 \)
अतः अनुपात \( \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413 \) है।
मुख्य बिंदु:
• वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज की भुजा और त्रिज्या में संबंध \( a = \sqrt{3}r \) होता है।
• त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2 \) प्राप्त होता है।
• अनुपात निकालने पर \( r^2 \) कट जाता है।
आम गलतियाँ:
• केंद्रक के गुण \( 2:1 \) का उपयोग न करना।
• त्रिज्या और भुजा के संबंध में त्रुटि करना।
• दशमलव मान रखकर गणना में गलती करना।
Exam Tips:
a) चित्र बनाकर केंद्रक और त्रिज्या की स्थिति को समझें।
b) अनुपात निकालते समय \( r^2 \) को अंश और हर से काटें।
c) अंतिम मान तीन दशमलव स्थानों तक निकालें।
Question 9: एक वर्ग r त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंतर्निहित है। दर्शाइए कि वर्ग के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात \( \frac{2}{\pi} \approx 0.637 \) के समान है।
Answer:
माना एक वर्ग r त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है।
वृत्त का व्यास वर्ग का विकर्ण होगा।
अतः वर्ग का विकर्ण = \( 2r \)
यदि वर्ग की भुजा \( a \) है, तो विकर्ण = \( \sqrt{2}a \)
\( \sqrt{2}a = 2r \)
\( a = \frac{2r}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}r \)
वर्ग का क्षेत्रफल = \( a^2 = (\sqrt{2}r)^2 = 2r^2 \)
वृत्त का क्षेत्रफल = \( \pi r^2 \)
क्षेत्रफलों का अनुपात = \( \frac{\text{वर्ग का क्षेत्रफल}}{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}} = \frac{2r^2}{\pi r^2} = \frac{2}{\pi} \)
\( \pi \approx 3.1416 \) रखने पर:
\( \frac{2}{3.1416} \approx 0.637 \)
अतः, वर्ग और वृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात \( \frac{2}{\pi} \approx 0.637 \) है।
मुख्य बिंदु:
• वृत्त में अंतर्निहित वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
• वर्ग की भुजा \( a = \sqrt{2}r \) होती है।
• क्षेत्रफल का अनुपात निकालते समय \( r^2 \) कट जाता है।
आम गलतियाँ:
• वर्ग की भुजा को सीधे वृत्त की त्रिज्या मान लेना।
• विकर्ण और भुजा के संबंध में \( \sqrt{2} \) का गलत प्रयोग करना।
• भाग देने में सन्निकटन गलत करना।
Exam Tips:
a) याद रखें कि वृत्त के अंदर बने वर्ग का विकर्ण \( 2r \) होता है।
b) वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{1}{2} \times (\text{विकर्ण})^2 \) भी प्रयोग कर सकते हैं।
c) उत्तर को मानक रूप में छोड़ें।
Question 10: एक r त्रिज्या वाले वृत्त में एक षट्भुज अंतर्निहित है। दर्शाइए कि षट्भुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात \( \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} = 0.827 \) के समान है। क्या आप समझ सकते हैं कि इसका उत्तर, प्रश्न 8 के उत्तर के ठीक दोगुना क्यों है?
Answer:
वृत्त में अंतर्निहित एक समषट्भुज को 6 सर्वांगसम समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
प्रत्येक समबाहु त्रिभुज की भुजा वृत्त की त्रिज्या \( r \) के बराबर होती है।
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 \)
षट्भुज का क्षेत्रफल = \( 6 \times \text{एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल} \)
\( = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2 \)
वृत्त का क्षेत्रफल = \( \pi r^2 \)
षट्भुज और वृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात = \( \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2}{\pi r^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \)
मान रखने पर (\(\sqrt{3} \approx 1.732\) तथा \(\pi \approx 3.142\)):
\( = \frac{3 \times 1.732}{2 \times 3.142} = \frac{5.196}{6.284} \approx 0.827 \)
स्पष्टीकरण (प्रश्न 8 से तुलना):
प्रश्न 8 में समबाहु त्रिभुज का अनुपात \( \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \) था और यहाँ षट्भुज का अनुपात \( \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \) है।
षट्भुज में 6 त्रिभुज होते हैं जिनकी भुजा \( r \) है, जबकि प्रश्न 8 वाले समबाहु त्रिभुज की भुजा \( \sqrt{3}r \) थी। षट्भुज के 3 त्रिभुज मिलकर प्रश्न 8 वाले त्रिभुज के बराबर क्षेत्रफल बनाते हैं और षट्भुज में ऐसे 6 त्रिभुज हैं (यानी दोगुनी संख्या में), इसलिए षट्भुज का अनुपात प्रश्न 8 के उत्तर का ठीक दोगुना है।
मुख्य बिंदु:
• समषट्भुज केंद्र पर \( 60^\circ \) के कोण बनाते हुए 6 समबाहु त्रिभुजों में बँटता है।
• षट्भुज की प्रत्येक भुजा त्रिज्या \( r \) के बराबर होती है।
• दोनों अनुपातों की तुलना से यह स्पष्ट होता है कि षट्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना है।
आम गलतियाँ:
• षट्भुज की भुजा को \( \sqrt{3}r \) मान लेना (जो कि समबाहु त्रिभुज की भुजा थी)।
• 6 त्रिभुजों के क्षेत्रफल को जोड़ते समय संख्या छोड़ देना।
• प्रश्न के दूसरे भाग (तुलना) का उत्तर न लिखना।
Exam Tips:
a) षट्भुज को त्रिभुजों में विभाजित करके हल करना सबसे आसान तरीका है।
b) तुलना वाले भाग में दोनों के क्षेत्रफलों के संबंधों को तर्कसंगत रूप से समझाएं।
c) अंतिम मान \( 0.827 \) तक की गणना सावधानी से करें।
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