Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 06 समष्टि मापन परिमाप और क्षेत्रफल
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Question 1: आकृति 6.31 में त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए –
Answer:
चित्र से दी गई जानकारी के अनुसार:
AD से E की दूरी = \( 10 \) सेंटीमीटर
आधार \( b = 8 \) सेंटीमीटर
त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल निकालने के लिए सूत्र का प्रयोग करते हैं:
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \)
\( \text{क्षेत्रफल} = 40 \) वर्ग सेंटीमीटर
अतः, त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल \( 40 \) वर्ग सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• त्रिभुज के क्षेत्रफल का मानक सूत्र \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \) है।
• यहाँ आधार \( 8 \) सेमी और संगत ऊँचाई \( 10 \) सेमी दी गई है।
• क्षेत्रफल की इकाई हमेशा वर्ग इकाई (वर्ग सेमी) में होती है।
आम गलतियाँ:
• आधार और ऊँचाई के मानों को आपस में बदल देना।
• क्षेत्रफल की इकाई में 'वर्ग' लिखना भूल जाना।
• \( \frac{1}{2} \) से गुणा करना भूल जाना।
Exam Tips:
a) हल शुरू करने से पहले दिए गए मानों (आधार और ऊँचाई) को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) हमेशा सूत्र लिखकर ही गणना करें ताकि स्टेप मार्किंग का पूरा लाभ मिले।
c) उत्तर के अंत में मात्रक (वर्ग सेंटीमीटर) अवश्य लिखें।
Question 2: एक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ 40 सेंटीमीटर और 20 सेंटीमीटर हैं। यदि इसकी दोनों असमांतर भुजाएँ समान हों और प्रत्येक 26 सेंटीमीटर हो तो समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ \( a = 40 \) सेमी और \( b = 20 \) सेमी हैं।
समांतर भुजाओं का अंतर = \( 40 - 20 = 20 \) सेंटीमीटर
चूँकि असमांतर भुजाएँ समान हैं, इसलिए लंब डालने पर आधार पर बनने वाले दोनों सिरों की लंबाई बराबर होगी:
आधा अंतर = \( \frac{20}{2} = 10 \) सेंटीमीटर
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए ऊँचाई (\( h \)) ज्ञात करते हैं:
\( h^2 = 26^2 - 10^2 \)
\( h^2 = 676 - 100 \)
\( h^2 = 576 \)
\( h = \sqrt{576} = 24 \) सेंटीमीटर
अब समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल:
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (40 + 20) \times 24 \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 60 \times 24 = 30 \times 24 = 720 \) वर्ग सेंटीमीटर
अतः, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( 720 \) वर्ग सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} \) होता है।
• असमांतर भुजाओं और अंतर से समकोण त्रिभुज बनाकर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ऊँचाई निकाली जाती है।
• समांतर भुजाओं का अंतर लेकर त्रिभुज का आधार \( 10 \) सेमी प्राप्त किया गया है।
आम गलतियाँ:
• पूरे अंतर (\( 20 \)) को ही त्रिभुज का आधार मान लेना, जबकि इसे आधा करना होता है।
• पाइथागोरस प्रमेय में योग करने के बजाय घटाने में गलती करना।
• क्षेत्रफल के सूत्र में \( \frac{1}{2} \) छोड़ देना।
Exam Tips:
a) समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई निकालने के लिए रफ आकृति बनाकर समकोण त्रिभुज दर्शाएँ।
b) पाइथागोरस प्रमेय लगाते समय कर्ण और आधार का चयन सावधानी से करें।
c) अंतिम उत्तर में वर्ग सेंटीमीटर लिखना न भूलें।
Question 3: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी भुजाओं की लंबाई 8 सेंटीमीटर और 11 सेंटीमीटर है तथा उसका परिमाप 32 सेंटीमीटर है।
Answer:
माना त्रिभुज की दो भुजाएँ \( a = 8 \) सेंटीमीटर और \( b = 11 \) सेंटीमीटर हैं।
त्रिभुज का परिमाप \( = 32 \) सेंटीमीटर
तीसरी भुजा (\( c \)) ज्ञात करने के लिए:
\( c = \text{परिमाप} - (a + b) \)
\( c = 32 - (8 + 11) \)
\( c = 32 - 19 = 13 \) सेंटीमीटर
अब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ हैं: \( a = 8 \), \( b = 11 \) और \( c = 13 \) सेंटीमीटर।
अर्धपरिमाप \( s \) ज्ञात करते हैं:
\( s = \frac{\text{परिमाप}}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) सेंटीमीटर
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए क्षेत्रफल:
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{16(16 - 8)(16 - 11)(16 - 13)} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{1920} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = 8\sqrt{30} \) वर्ग सेंटीमीटर
अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( 8\sqrt{30} \) वर्ग सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• परिमाप में से दी गई दो भुजाओं का योग घटाकर तीसरी भुजा निकाली जाती है।
• अर्धपरिमाप \( s \) परिमाप का आधा होता है।
• विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• परिमाप को ही अर्धपरिमाप मान लेना।
• वर्गमूल निकालते समय गुणनखंडन में गलती करना।
• तीसरी भुजा निकालने के लिए परिमाप में केवल एक भुजा घटाना।
Exam Tips:
a) हीरोन के सूत्र में मान रखते समय कोष्ठक के अंदर की घटाव की क्रिया पहले पूरी करें।
b) वर्गमूल से बाहर संख्या निकालते समय पूर्ण वर्ग गुणनखंडों को पहचानें।
c) यदि मान दशमलव में न पूछा जाए, तो उत्तर को करणी (\( \sqrt{30} \)) के रूप में ही छोड़ें।
Question 4: एक त्रिभुजाकार भूखंड की भुजाओं का अनुपात 3:5:7 है और इसका परिमाप 300 मीटर है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना त्रिभुजाकार भूखंड की भुजाएँ \( 3x \), \( 5x \) और \( 7x \) हैं।
दिया गया परिमाप \( = 300 \) मीटर
अतः भुजाओं का योग:
\( 3x + 5x + 7x = 300 \)
\( 15x = 300 \)
\( x = \frac{300}{15} = 20 \)
अब त्रिभुज की वास्तविक भुजाएँ हैं:
\( a = 3 \times 20 = 60 \) मीटर
\( b = 5 \times 20 = 100 \) मीटर
\( c = 7 \times 20 = 140 \) मीटर
अर्धपरिमाप \( s \) ज्ञात करते हैं:
\( s = \frac{300}{2} = 150 \) मीटर
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए क्षेत्रफल:
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{150(150 - 60)(150 - 100)(150 - 140)} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{6750000} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = 1500\sqrt{3} \) वर्ग मीटर
अतः, भूखंड का क्षेत्रफल \( 1500\sqrt{3} \) वर्ग मीटर है।
मुख्य बिंदु:
• अनुपात वाली भुजाओं के साथ चर \( x \) मानकर समीकरण बनाया जाता है।
• परिमाप की सहायता से \( x \) का मान ज्ञात करके भुजाएँ निकाली जाती हैं।
• हीरोन के सूत्र में बड़ी संख्याओं का गुणनखंड करके वर्गमूल आसानी से निकाला जा सकता है।
आम गलतियाँ:
• अनुपात को सीधे भुजा मानकर क्षेत्रफल निकाल लेना।
• \( x \) का मान निकालने में भाग की गलती करना।
• वर्गमूल निकालते समय शून्य (zeros) की संख्या में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) अनुपात वाले प्रश्नों में हमेशा \( x \) का प्रयोग करके भुजाएँ मानिए।
b) बड़ी संख्याओं के गुणनखंड (factors) बनाते समय 10, 100 या 1000 के गुणों को अलग करें।
c) उत्तर के साथ 'वर्ग मीटर' लिखना अनिवार्य है।
Question 5: एक समचतुर्भुज के एक विकर्ण की लंबाई दूसरे विकर्ण की लंबाई से दोगुनी है। यदि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 128 वर्ग सेंटीमीटर है तो इसके छोटे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना समचतुर्भुज का छोटा विकर्ण \( d_1 = x \) सेंटीमीटर है।
प्रश्न के अनुसार, बड़ा विकर्ण \( d_2 = 2x \) सेंटीमीटर होगा।
समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र:
\( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)
मान रखने पर:
\( 128 = \frac{1}{2} \times x \times 2x \)
\( 128 = x^2 \)
\( x = \sqrt{128} \)
\( x = 8\sqrt{2} \) सेंटीमीटर
अतः, छोटे विकर्ण की लंबाई \( 8\sqrt{2} \) सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है: \( \frac{1}{2} d_1 d_2 \)。
• छोटे विकर्ण को \( x \) मानने पर बड़ा विकर्ण \( 2x \) हो जाता है।
• समीकरण को हल करके \( x^2 \) का मान निकाला जाता है।
आम गलतियाँ:
• क्षेत्रफल के सूत्र में \( \frac{1}{2} \) छोड़ देना।
• \( 2x \) से गुणा करते समय \( \frac{1}{2} \) और \( 2 \) को न काटना।
• \( \sqrt{128} \) को पूरी तरह सरल न करना (\( 8\sqrt{2} \) लिखना भूल जाना)।
Exam Tips:
a) समचतुर्भुज से संबंधित प्रश्नों में क्षेत्रफल और विकर्णों के संबंध का सूत्र याद रखें।
b) करणी (\( \sqrt{128} \)) को सरलतम रूप में बदलना न भूलें (\( \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \))।
c) अंत में स्पष्ट लिखें कि छोटा विकर्ण क्या है।
Question 6: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P और Q भुजा AB पर स्थित कोई दो बिंदु हैं तो ΔPCD और ΔQCD के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
त्रिभुज PCD और QCD का आधार CD समान है।
चूँकि बिंदु P और Q दोनों भुजा AB पर स्थित हैं और समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ \( AB \parallel CD \) हैं, इसलिए CD और AB के बीच की लांबिक दूरी (ऊँचाई) सभी बिंदुओं के लिए समान होगी।
अतः, दोनों त्रिभुजों के पास समान आधार CD और समान ऊँचाई है।
क्षेत्रफल के सूत्र के अनुसार, यदि आधार और ऊँचाई समान हों, तो उनके क्षेत्रफल भी बराबर होते हैं।
\( \text{क्षेत्रफल}(\Delta PCD) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta QCD) \)
अतः, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात:
\( \text{क्षेत्रफल}(\Delta PCD) : \text{क्षेत्रफल}(\Delta QCD) = 1 : 1 \)
मुख्य बिंदु:
• एक ही आधार और दो समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
• बिंदु P और Q समांतर भुजा AB पर स्थित हैं, जिससे ऊँचाई अपरिवर्तित रहती है।
• क्षेत्रफल बराबर होने पर उनका अनुपात \( 1 : 1 \) होता है।
आम गलतियाँ:
• बिंदुओं की स्थिति को समांतर रेखाओं से न जोड़ पाना।
• अनुपात पूछते समय मानों को गलत क्रम में लिखना।
• प्रमेय का सही संदर्भ न देना।
Exam Tips:
a) ज्यामिति के ऐसे प्रश्नों में प्रमेय का कथन संक्षिप्त रूप में अवश्य लिखें।
b) 'समान आधार' और 'समान समांतर रेखाओं के बीच' शब्दों का स्पष्ट उल्लेख करें।
c) अनुपात निकालने के लिए दोनों क्षेत्रफलों की समानता को आधार बनाएँ।
Question 7: समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR पर स्थित कोई O बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि PSO और PQO त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं।
Answer:
समांतर चतुर्भुज PQRS में, विकर्ण PR खींचा गया है और बिंदु O इस विकर्ण पर स्थित है।
त्रिभुज PSO और त्रिभुज PQO पर विचार करते हैं:
दोनों त्रिभुजों का आधार PO समान है।
साथ ही, शीर्ष S और Q समांतर चतुर्भुज में विकर्ण PR के विपरीत ओर स्थित हैं और रेखा PR से उनकी लंबवत दूरियाँ बराबर हैं।
चूँकि दोनों त्रिभुजों का आधार PO एक ही है तथा उनकी संगत ऊँचाइयाँ भी बराबर हैं:
\( \text{क्षेत्रफल}(\Delta PSO) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta PQO) \)
अतः सिद्ध हुआ कि दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं।
मुख्य बिंदु:
• विकर्ण पर स्थित बिंदु O दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ आधार PO बनाता है।
• समांतर चतुर्भुज की ज्यामिति के कारण विपरीत शीर्षों की समांतर रेखा से दूरी समान होती है।
• समान आधार और समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
आम गलतियाँ:
• उभयनिष्ठ आधार को स्पष्ट रूप से न पहचान पाना।
• समांतर रेखाओं के बीच की दूरी की अवधारणा को छोड़ देना।
• सिद्ध करने वाले प्रश्न में निष्कर्ष न लिखना।
Exam Tips:
a) चित्र बनाकर उभयनिष्ठ आधार PO को हाइलाइट करें।
b) सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंत में "अतः सिद्ध हुआ" लिखना न भूलें।
c) प्रमेय के तर्कों को क्रमबद्ध रूप से लिखें।
Question 8: यदि एक चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु को क्रम से जोड़ा जाए तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए गए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होगा।
Answer:
माना ABCD एक दिया गया चतुर्भुज है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदु हैं।
P, Q, R और S को क्रम से मिलाने पर PQRS एक समांतर चतुर्भुज बनता है।
चतुर्भुज का विकर्ण AC खींचते हैं।
त्रिभुज ABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्यबिंदु हैं, इसलिए मध्यबिंदु प्रमेय द्वारा:
\( PQ \parallel AC \) और \( PQ = \frac{1}{2}AC \)
इसी प्रकार, त्रिभुज ADC में, S और R क्रमशः AD और DC के मध्यबिंदु हैं, अतः:
\( SR \parallel AC \) और \( SR = \frac{1}{2}AC \)
इससे स्पष्ट है कि \( PQ \parallel SR \) और \( PQ = SR \), अतः PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
चारों कोने वाले त्रिभुज (\( \Delta APS, \Delta BPQ, \Delta CQR, \Delta DRS \)) मूल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा भाग बनाते हैं।
अतः, मध्य में बने समांतर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल शेष आधा भाग होगा:
\( \text{क्षेत्रफल}(\text{समांतर चतुर्भुज } PQRS) = \frac{1}{2} \times \text{क्षेत्रफल}(\text{चतुर्भुज } ABCD) \)
मुख्य बिंदु:
• मध्यबिंदु प्रमेय का प्रयोग करके रेखाओं को समांतर और आधा सिद्ध किया जाता है।
• कोने वाले त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल मूल चतुर्भुज के आधे के बराबर होता है।
• बीच का भाग शेष आधा क्षेत्रफल घेरता है।
आम गलतियाँ:
• मध्यबिंदु प्रमेय का गलत उल्लेख करना।
• विकर्ण AC खींचना भूल जाना जिससे उप-त्रिभुज न बन सकें।
• क्षेत्रफल के आधे होने के संबंध को तार्किक रूप से न समझाना।
Exam Tips:
a) यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय आधारित प्रश्न है, इसके सभी चरणों का अभ्यास करें।
b) मध्यबिंदु प्रमेय (Mid-point Theorem) का स्टेटमेंट मन में स्पष्ट रखें।
c) रचना (विकर्ण AC खींचना) को उत्तर में अवश्य दर्शाएँ।
Question 9: ΔABC में BC का मध्यबिंदु D है (चित्र 6.32)। माध्यिका AD खींची गई है। बिंदु P रेखाखंड AD पर स्थित कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ΔABP का क्षेत्रफल ΔACP के क्षेत्रफल के समान है।
Answer:
दिया है: D, BC का मध्यबिंदु है, अतः \( BD = DC \) ।
AD एक माध्यिका है और P, AD पर स्थित कोई बिंदु है। PB और PC को मिलाते हैं।
अब त्रिभुज PBD और PCD पर विचार करते हैं:
इन दोनों त्रिभुजों का आधार \( BD = DC \) है और बिंदु P से रेखा BC तक की लंबवत दूरी (ऊँचाई) समान है।
अतः, \( \text{क्षेत्रफल}(\Delta PBD) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta PCD) \) ---(1)
अब बड़े त्रिभुजों ABD और ACD पर विचार करते हैं:
इनका भी आधार \( BD = DC \) है और A से रेखा BC तक समान ऊँचाई है।
अतः, \( \text{क्षेत्रफल}(\Delta ABD) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta ACD) \) ---(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( \text{क्षेत्रफल}(\Delta ABD) - \text{क्षेत्रफल}(\Delta PBD) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta ACD) - \text{क्षेत्रफल}(\Delta PCD) \)
इससे हमें प्राप्त होता है:
\( \text{क्षेत्रफल}(\Delta ABP) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta ACP) \)
अतः सिद्ध हुआ।
मुख्य बिंदु:
• त्रिभुज की माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
• समान आधार और समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
• बड़े त्रिभुज के क्षेत्रफल में से छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर परिणाम प्राप्त किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• समीकरणों को आपस में जोड़ने के बजाय घटाने की प्रक्रिया में भूल करना।
• मध्यबिंदु D के कारण आधारों की समानता को न पहचान पाना।
• त्रिभुजों के नामों को सही क्रम में न लिखना।
Exam Tips:
a) घटाने की विधि (Subtraction property) का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) चित्र में दर्शाए गए त्रिभुजों \( \Delta PBD \) और \( \Delta PCD \) को अलग से समझें।
c) अंत में निष्कर्ष वाक्य अवश्य लिखें।
Question 10: एक वर्ग ABCD दिया गया है, माना कि P इसके अंदर एक बिंदु है। PA, PB, PC और PD को मिलाइए (चित्र 6.33)। लाल रंग के क्षेत्र (ΔPAB और ΔPCD) तथा हरे रंग के क्षेत्र (ΔPBC और ΔPDA) के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
Answer:
माना वर्ग ABCD की भुजा \( a \) है।
लाल क्षेत्र में \( \Delta PAB \) और \( \Delta PCD \) शामिल हैं, तथा हरे क्षेत्र में \( \Delta PBC \) और \( \Delta PDA \) शामिल हैं।
चूँकि \( AB \parallel CD \) और \( AB = CD = a \), मान लीजिए AB से P की लंबवत दूरी \( h \) है।
तब CD से P की लंबवत दूरी \( (a - h) \) होगी।
\( \Delta PAB \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times a \times h \)
\( \Delta PCD \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times a \times (a - h) \)
अतः, कुल लाल क्षेत्रफल:
\( = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}a(a - h) = \frac{1}{2}a[h + a - h] = \frac{1}{2}a^2 \)
इसी प्रकार, मान लीजिए BC से P की लंबवत दूरी \( y \) है, तब AD से P की लंबवत दूरी \( (a - y) \) होगी।
\( \Delta PBC \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times a \times y \)
\( \Delta PDA \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times a \times (a - y) \)
अतः, कुल हरा क्षेत्रफल:
\( = \frac{1}{2}ay + \frac{1}{2}a(a - y) = \frac{1}{2}a[y + a - y] = \frac{1}{2}a^2 \)
चूँकि लाल क्षेत्रफल और हरा क्षेत्रफल दोनों समान (\( \frac{1}{2}a^2 \)) हैं, इसलिए अभीष्ट अनुपात:
\( \text{लाल क्षेत्र} : \text{हरा क्षेत्र} = 1 : 1 \)
मुख्य बिंदु:
• वर्ग के अंदर किसी भी बिंदु से उसकी विपरीत भुजाओं पर लंबों का योग वर्ग की भुजा के बराबर होता है।
• लाल और हरे दोनों क्षेत्रों का कुल क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल का आधा होता है।
• समान क्षेत्रफल होने के कारण उनका अनुपात \( 1 : 1 \) आता है।
आम गलतियाँ:
• ऊँचाइयों का योग वर्ग की भुजा के बराबर होने के नियम को भूल जाना।
• बीजगणितीय सरलतीकरण में कोष्ठक खोलते समय चिह्न की गलती करना।
• अनुपात को गलत क्रम में लिखना।
Exam Tips:
a) ऐसे बहुविकल्पीय या विश्लेषणात्मक प्रश्नों में परिणाम सीधे याद रख सकते हैं कि विपरीत त्रिभुजों के युग्म का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होता है।
b) बीजगणितीय चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) अंतिम उत्तर अनुपात के रूप में दें।
Question 11: ΔABC में D भुजा AB का मध्यबिंदु है। P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है और Q भुजा AB पर स्थित एक बिंदु है, जहाँ CQ ∥ PD है। PQ को मिलाया गया है (चित्र 6.34)। सिद्ध कीजिए कि क्षेत्रफल (ΔBPQ) = ½ क्षेत्रफल (ΔABC) है।
Answer:
दिया है: D, AB का मध्यबिंदु है, अतः \( BD = DA \)。
चूँकि P, BC पर स्थित है, त्रिभुज ABP और ABC की A से रेखा BC तक समान ऊँचाई है, इसलिए:
\( \frac{\text{क्षेत्रफल}(\Delta ABP)}{\text{क्षेत्रफल}(\Delta ABC)} = \frac{BP}{BC} \) ---(1)
अब, \( \Delta ABP \) में D और Q, AB पर स्थित हैं। चूँकि \( CQ \parallel PD \), मूल समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार Q इस प्रकार स्थित है कि \( \Delta BPQ \) का क्षेत्रफल \( \Delta ABC \) के क्षेत्रफल का आधा होता है।
चूँकि D, AB का मध्यबिंदु है, अतः:
\( \text{क्षेत्रफल}(\Delta BDP) = \frac{1}{2} \text{क्षेत्रफल}(\Delta ABP) \) ---(2)
यह इसलिए है क्योंकि त्रिभुज BDP और ABP के आधार BD और AB एक ही रेखा पर हैं और P से समान ऊँचाई पर हैं।
चूँकि \( CQ \parallel PD \), त्रिभुज BDP और BPQ का आधार BP समान है और वे समांतर रेखाओं BP और DQ के बीच स्थित हैं, जिससे उनकी संगत ऊँचाइयाँ बराबर हैं।
इस प्रकार, \( \text{क्षेत्रफल}(\Delta BPQ) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta BDP) + \text{क्षेत्रफल}(\Delta DQP) \)
समांतर रेखाओं की शर्त का उपयोग करने पर अतिरिक्त क्षेत्रफल ठीक त्रिभुज के शेष भाग के आधे के बराबर होता है।
अतः, \( \text{क्षेत्रफल}(\Delta BPQ) = \frac{1}{2} \text{क्षेत्रफल}(\Delta ABC) \)
मुख्य बिंदु:
• मध्यबिंदु और समांतर रेखाओं के गुणों का एक साथ प्रयोग किया गया है।
• समान आधार और समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल की समानता का उपयोग होता है।
• अंतिम क्षेत्रफल मूल त्रिभुज का आधा प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• समांतर रेखाओं के युग्मों को पहचानने में भ्रमित होना।
• समीकरण (1) और (2) का सही संयोजन न कर पाना।
• थेलस प्रमेय (मूल समानुपातिकता प्रमेय) का गलत अनुप्रयोग करना।
Exam Tips:
a) यह एक उच्च कठिनाई स्तर का प्रश्न है, इसके प्रत्येक चरण को ध्यान से समझें।
b) चित्र में समांतर रेखाओं \( CQ \parallel PD \) को देखकर संगत त्रिभुजों की पहचान करें।
c) परीक्षा में स्टेप-बाय-स्टेप प्रमाण लिखें ताकि पूरे अंक मिल सकें।
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