NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 06 Measuring Space Perimeter and Area (समष्टि मापन परिमाप और क्षेत्रफल) Exercise 6.1 in Hindi

Question 1: एक वृत्त का परिमाप 44 सेंटीमीटर है। इसकी त्रिज्या क्या होगी?

Answer:

वृत्त का परिमाप = परिधि = \( 44 \) सेंटीमीटर
परिधि का सूत्र है: \( C = 2\pi r \)
\( \pi = \frac{22}{7} \) का उपयोग करते हुए:
\( 44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \)
\( 44 = \frac{44r}{7} \)
\( r = \frac{44 \times 7}{44} \)
\( r = 7 \) सेंटीमीटर
अतः, वृत्त की त्रिज्या \( 7 \) सेंटीमीटर है।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त के परिमाप को उसकी परिधि भी कहा जाता है।
• सूत्र \( C = 2\pi r \) में मान रखकर त्रिज्या ज्ञात की जाती है।
• π का मान सामान्यतः \( \frac{22}{7} \) उपयोग किया जाता है जब तक अन्य निर्देश न हो।

आम गलतियाँ:

• परिधि के सूत्र में 2 से गुणा करना भूल जाना।
• त्रिज्या के स्थान पर व्यास का मान लिख देना।
• गणना करते समय पक्षांतर में गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा प्रश्न में दिए गए मान और इकाई (सेंटीमीटर/मीटर) को स्पष्ट लिखें।
b) सूत्र को पहले चरण में अवश्य दर्शाएं।
c) अंतिम उत्तर के साथ इकाई लिखना न भूलें।

Question 2: निम्नलिखित वृत्तों की परिधि की गणना 3 दशमलव स्थानों तक कीजिए –
(i) त्रिज्या 7 सेंटीमीटर (ii) त्रिज्या 10 सेंटीमीटर (iii) त्रिज्या 12 सेंटीमीटर

Answer:

(i) त्रिज्या \( r = 7 \) सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि \( C = 2\pi r \)
\( C = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \)
\( C = 44 \) सेंटीमीटर
अतः, परिधि = \( 44.000 \) सेंटीमीटर

(ii) त्रिज्या \( r = 10 \) सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि \( C = 2\pi r \)
\( C = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \)
\( C = \frac{440}{7} = 62.8571... \)
3 दशमलव स्थानों तक: \( C = 62.857 \) सेंटीमीटर

(iii) त्रिज्या \( r = 12 \) सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि \( C = 2\pi r \)
\( C = 2 \times \frac{22}{7} \times 12 \)
\( C = \frac{528}{7} = 75.4285... \)
3 दशमलव स्थानों तक: \( C = 75.429 \) सेंटीमीटर

मुख्य बिंदु:

• दशमलव के बाद तीन अंक तक सटीक मान निकालने के लिए चौथे अंक को देखना आवश्यक है।
• यदि चौथा अंक 5 या उससे अधिक हो, तो तीसरे अंक में 1 जोड़ दिया जाता है।
• सभी भागों में वृत्त की परिधि का मानक सूत्र \( 2\pi r \) उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• दशमलव के बाद केवल एक या दो स्थान तक मान लिखकर छोड़ देना।
• राउंड-ऑफ (सन्निकटन) करते समय गलत नियम लगाना।
• अंश और हर के भाग में गणना त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) भाग देते समय कम से कम चार दशमलव स्थान तक निकालें ताकि rounding-off सही हो सके।
b) प्रत्येक उप-भाग (i, ii, iii) को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।
c) परीक्षा में निर्देश के अनुसार ही दशमलव स्थानों की संख्या लिखें।

Question 3: वृत्त की चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि –
(i) त्रिज्या 3.5 सेंटीमीटर है और केंद्र पर कोण 60° है तथा (ii) वृत्त की त्रिज्या 6.3 मीटर है और केंद्र पर कोण 120° है।

Answer:

(i) त्रिज्या \( r = 3.5 \) सेंटीमीटर, केंद्र पर कोण \( \theta = 60^\circ \)
चाप की लंबाई \( L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)
\( L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \)
\( L = \frac{1}{6} \times 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \)
\( L = \frac{1}{6} \times 22 = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} = 3.67 \) सेंटीमीटर

(ii) त्रिज्या \( r = 6.3 \) मीटर, केंद्र पर कोण \( \theta = 120^\circ \)
चाप की लंबाई \( L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)
\( L = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 6.3 \)
\( L = \frac{1}{3} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 6.3 \)
\( L = \frac{1}{3} \times 2 \times 22 \times 0.9 \)
\( L = \frac{39.6}{3} = 13.2 \) मीटर

मुख्य बिंदु:

• चाप की लंबाई का सूत्र \( L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \) होता है।
• कोण \( \theta \) डिग्री में होना चाहिए।
• दशमलव संख्याओं को भिन्न में बदलकर गणना आसान की जा सकती है।

आम गलतियाँ:

• 360° से भाग देना भूल जाना।
• त्रिज्या के स्थान पर व्यास का उपयोग करना।
• इकाई (सेंटीमीटर या मीटर) में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) चाप की लंबाई के सूत्र को हमेशा लिखकर ही मान रखें।
b) अंश और हर की संख्याओं को सरल (simplify) करने के बाद ही गुणा करें।
c) उत्तर में दी गई इकाई का विशेष ध्यान रखें।

Question 4: 14 सेंटीमीटर त्रिज्या और 75° त्रिज्यखंड कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड (अर्थात एक वक्र भाग और दो सीधी रेखा वाले भाग) का परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer:

त्रिज्या \( r = 14 \) सेंटीमीटर
त्रिज्यखंड का कोण \( \theta = 75^\circ \)
त्रिज्यखंड का परिमाप = चाप की लंबाई (\( L \)) + दो त्रिज्याएँ (\( 2r \))
चाप की लंबाई \( L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)
\( L = \frac{75^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \)
\( L = \frac{5}{24} \times 2 \times 22 \times 2 \)
\( L = \frac{5}{24} \times 88 = \frac{5}{3} \times 11 = \frac{55}{3 \) सेंटीमीटर
अब, कुल परिमाप = \( \frac{55}{3} + 2 \times 14 \)
\( = \frac{55}{3} + 28 \)
\( = \frac{55 + 84}{3} \)
\( = \frac{139}{3} = 46.33 \) सेंटीमीटर
अतः, त्रिज्यखंड का परिमाप \( 46.33 \) सेंटीमीटर है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिज्यखंड के परिमाप में केवल चाप की लंबाई नहीं, बल्कि दोनों त्रिज्याएँ भी शामिल होती हैं।
• चाप की लंबाई का सूत्र \( \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \) होता है।
• भिन्न का जोड़ करते समय लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• केवल चाप की लंबाई निकालकर उसे ही त्रिज्यखंड का परिमाप मान लेना।
• दो त्रिज्याओं (\( 2r \)) को जोड़ना भूल जाना।
• लघुत्तम समापवर्त्य लेने में गलती करना।

Exam Tips:

a) त्रिज्यखंड के परिमाप की परिभाषा को समझें: \( \text{परिमाप} = \text{चाप} + 2 \times \text{त्रिज्या} \) ।
b) गणना के चरणों को साफ-सुथरा लिखें।
c) भिन्न और दशमलव दोनों रूपों में उत्तर दिखाना सुरक्षित रहता है।

Question 5: निम्नलिखित आकृतियों का परिमाप (चापों को आवश्यकतानुसार वृत्त का एक-चौथाई, आधा या तीन-चौथाई मानकर) ज्ञात कीजिए (चित्र 6.14(i) से 6.14(ix)) –

Answer:

(i) इस आकृति में 80 मीटर की दो सीधी भुजाएँ और 60 मीटर व्यास वाले दो अर्धवृत्त हैं।
परिमाप = 80 मीटर की दो सीधी भुजाएँ + 60 मीटर व्यास वाले दो अर्धवृत्त
\( = 80 + 80 + \pi \times 60 \) [चूँकि दो अर्धवृत्त मिलकर एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं]
\( = 160 + \left(\frac{22}{7} \times 60\right) \)
\( = 160 + \frac{1320}{7} \)
\( = 160 + 188.57 = 348.57 \) मीटर

(ii) बाहरी अर्धवृत्त का व्यास = 12 सेंटीमीटर, बाहरी त्रिज्या = 6 सेंटीमीटर
आंतरिक अर्धवृत्त का व्यास = 8 सेंटीमीटर, आंतरिक त्रिज्या = 4 सेंटीमीटर
दो सीधी भुजाएँ = \( 2 + 2 = 4 \) सेंटीमीटर
परिमाप = बाहरी अर्धवृत्त + आंतरिक अर्धवृत्त + सीधी भुजाएँ
\( = \pi(6) + \pi(4) + 4 \)
\( = 10\pi + 4 \)
\( = 10 \times \frac{22}{7} + 4 \)
\( = \frac{220}{7} + 4 = 31.43 + 4 = 35.43 \) सेंटीमीटर

(iii) इस आकृति में 4 अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 10 सेंटीमीटर है।
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या \( r = 5 \) सेंटीमीटर
परिमाप = \( 4 \times \text{अर्धवृत्त की लंबाई} \)
\( = 4 \times \pi r \)
\( = 4 \times \pi \times 5 \)
\( = 20\pi = 20 \times \frac{22}{7} \)
\( = \frac{440}{7} = 62.86 \) सेंटीमीटर

(iv) इस आकृति में 3 अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 12 सेंटीमीटर है।
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या \( r = 6 \) सेंटीमीटर
परिमाप = \( 3 \times \text{अर्धवृत्त की लंबाई} \)
\( = 3 \times \pi r \)
\( = 3 \times \pi \times 6 \)
\( = 18\pi = 18 \times \frac{22}{7} \)
\( = \frac{396}{7} = 56.57 \) सेंटीमीटर

(v) इस आकृति में 4 अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 14 सेंटीमीटर है, और 4 चतुर्थांश वृत्त हैं, प्रत्येक की त्रिज्या 14 सेंटीमीटर है।
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या = 7 सेंटीमीटर
परिमाप = \( 4 \times \text{अर्धवृत्त की लंबाई} + 4 \times \text{चतुर्थांश वृत्त की लंबाई} \)
\( = 4 \times \pi r + 4 \times \left(\frac{1}{4}\pi R\right) \)
\( = 4 \times \pi \times 7 + 1 \times \pi \times 14 \)
\( = 28\pi + 14\pi = 42\pi \) [यहाँ R बड़े वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है]
\( = 42 \times \frac{22}{7} = 6 \times 22 = 132 \) सेंटीमीटर

(vi) कुल आधार लंबाई = 28 सेंटीमीटर
बड़े ऊपरी अर्धवृत्त के लिए: व्यास = 28 सेंटीमीटर, त्रिज्या = 14 सेंटीमीटर
छोटे अर्धवृत्तों के लिए: आधार को 4 बराबर भागों में विभाजित किया गया है। अतः, प्रत्येक व्यास = \( \frac{28}{4} = 7 \) सेंटीमीटर, त्रिज्या = 3.5 सेंटीमीटर
परिमाप = बड़ा अर्धवृत्त + 4 छोटे अर्धवृत्त
\( = \pi(14) + 4 \times \pi(3.5) \)
\( = 14\pi + 14\pi = 28\pi \)
\( = 28 \times \frac{22}{7} = 88 \) सेंटीमीटर

(vii) इस आकृति में एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर अर्धवृत्त हैं। लंब भुजाएँ 8 सेंटीमीटर और 6 सेंटीमीटर हैं।
समकोण त्रिभुज में: \( h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow h = 10 \) सेंटीमीटर
अब परिमाप = त्रिज्या 6 सेमी वाले अर्धवृत्त की लंबाई + त्रिज्या 8 सेमी वाले अर्धवृत्त की लंबाई + त्रिज्या 10 सेमी वाले अर्धवृत्त की लंबाई
\( = \pi \times 3 + \pi \times 4 + \pi \times 5 \) [चूँकि अर्धवृत्त का परिमाप \( \pi \times r \) होता है]
\( = \pi \times (3 + 4 + 5) \)
\( = \pi \times 12 = 12\pi \)
\( = 12 \times \frac{22}{7} = \frac{264}{7} = 37.71 \) सेंटीमीटर

(viii) बड़े अर्धवृत्त के लिए: व्यास = 12 सेंटीमीटर, त्रिज्या = 6 सेंटीमीटर
3 छोटे अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 4 सेंटीमीटर है। प्रत्येक छोटे अर्धवृत्त की त्रिज्या = 2 सेंटीमीटर
परिमाप = बड़ा अर्धवृत्त + 3 छोटे अर्धवृत्त
\( = \pi(6) + 3 \times \pi(2) \)
\( = 6\pi + 6\pi = 12\pi \)
\( = 12 \times \frac{22}{7} = \frac{264}{7} = 37.71 \) सेंटीमीटर

(ix) बड़े अर्धवृत्त के लिए: व्यास = 20 सेंटीमीटर, त्रिज्या = 10 सेंटीमीटर
2 छोटे अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 10 सेंटीमीटर है। प्रत्येक छोटे अर्धवृत्त की त्रिज्या = 5 सेंटीमीटर
परिमाप = बड़ा अर्धवृत्त + 2 छोटे अर्धवृत्त
\( = \pi(10) + 2 \times \pi(5) \)
\( = 10\pi + 10\pi = 20\pi \)
\( = 20 \times \frac{22}{7} = \frac{440}{7} = 62.86 \) सेंटीमीटर

मुख्य बिंदु:

• जटिल आकृतियों को सरल भागों (अर्धवृत्त, चतुर्थांश, सीधी रेखाएँ) में तोड़कर परिमाप निकाला जाता है।
• दो अर्धवृत्त मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं, जिनका परिधि सूत्र \( 2\pi r \) होता है।
• अर्धवृत्त की परिधि का वक्र भाग \( \pi r \) होता है (बिना व्यास के)।

आम गलतियाँ:

• अर्धवृत्त के परिमाप में सीधी रेखा (व्यास) को जोड़ना या छोड़ना भूल जाना।
• व्यास और त्रिज्या के बीच भ्रमित होना।
• भागों की गिनती में गलती करना।

Exam Tips:

a) आकृति में दी गई सभी बाहरी सीमाओं (boundaries) को चिन्हित करें ताकि कोई भाग छूटे नहीं।
b) समान त्रिज्या वाले भागों को एक साथ जोड़कर समीकरण को सरल बनाएं।
c) अंतिम उत्तर में मात्रक (सेंटीमीटर/मीटर) अवश्य लिखें।

Question 6: यदि कार के पहिए का व्यास 56 सेंटीमीटर है तो – (i) पहिए का एक चक्कर पूर्ण करने के लिए कार को कितनी दूरी तय करनी होगी? (ii) यदि कार 10 किलोमीटर की दूरी तय करती है तो पहिया कितने चक्कर लगाता है?

Answer:

(i) एक चक्कर में तय की गई दूरी = पहिए की परिधि
व्यास \( d = 56 \) सेंटीमीटर, अतः त्रिज्या \( r = \frac{56}{2} = 28 \) सेंटीमीटर
परिधि \( C = 2\pi r \)
\( C = 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \)
\( C = 2 \times 22 \times 4 = 176 \) सेंटीमीटर
अतः, कार एक चक्कर में \( 176 \) सेंटीमीटर दूरी तय करती है।

(ii) कुल दूरी = \( 10 \) किलोमीटर
किलोमीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर:
\( 10 \text{ किमी} = 10 \times 1000 \times 100 = 10,00,000 \) सेंटीमीटर
चक्करों की संख्या = \( \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{प्रति चक्कर दूरी}} \)
चक्करों की संख्या = \( \frac{10,00,000}{176} \)
\( = 5681.82 \approx 5682 \) चक्कर
अतः, पहिया लगभग \( 5682 \) चक्कर लगाता है।

मुख्य बिंदु:

• पहिए द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है।
• इकाई की एकरूपता बनाए रखने के लिए किलोमीटर को सेंटीमीटर में बदलना अनिवार्य है।
• चक्करों की संख्या निकालने के लिए कुल दूरी को एक चक्कर की दूरी से भाग दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• किलोमीटर और सेंटीमीटर की इकाइयों को बिना बदले सीधे भाग दे देना।
• व्यास से त्रिज्या निकाले बिना सीधे व्यास का उपयोग परिधि में करना (यदि सूत्र \( \pi d \) न हो)।
• दशमलव में आए उत्तर को पूर्ण संख्या में बदलते समय गलत राउंड-ऑफ करना।

Exam Tips:

a) इकाई रूपांतरण (conversion) के चरणों को अलग से स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) सूत्र \( C = 2\pi r \) या \( C = \pi d \) का सही प्रयोग करें।
c) पहियों और चक्करों से संबंधित प्रश्नों का अभ्यास अधिक करें क्योंकि ये परीक्षा में अक्सर आते हैं।

Question 7: दिए गए प्रत्येक फूल की समस्त पंखुड़ियों का कुल परिमाप ज्ञात कीजिए –

Answer:

(i) यह आकृति 14 सेंटीमीटर भुजा वाला एक वर्ग है। प्रत्येक पंखुड़ी चतुर्थांश वृत्तों से बनी है, जिनके केंद्र भुजाओं के मध्यबिंदु हैं।
त्रिज्या \( r = \frac{14}{2} = 7 \) सेंटीमीटर
प्रत्येक पंखुड़ी में 2 चतुर्थांश वृत्त = 1 अर्धवृत्त होता है।
कुल पंखुड़ियाँ = 4
अतः, कुल चाप = \( 4 \times \text{अर्धवृत्त} = 2 \times \text{पूर्ण वृत्त} \)
परिमाप = \( 2 \times (2\pi r) = 4\pi r \)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \)
\( = 88 \) सेंटीमीटर
अतः, कुल परिमाप \( 88 \) सेंटीमीटर है।

(ii) यह आकृति 42 सेंटीमीटर भुजा वाले समषट्भुज पर आधारित है। प्रत्येक पंखुड़ी 42 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्तों के चापों से बनी है।
6 पंखुड़ियाँ हैं और प्रत्येक पंखुड़ी में 60° के 2 चाप हैं (अतः प्रति पंखुड़ी कुल कोण = \( 120^\circ \))
सभी पंखुड़ियों के लिए कुल कोण = \( 6 \times 120^\circ = 720^\circ \)
\( 720^\circ \) का अर्थ है = 2 पूर्ण वृत्त
परिमाप = \( 2 \times 42 \) सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि
\( = 2 \times (2\pi r) = 4\pi r \)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times 42 \)
\( = 4 \times 22 \times 6 = 528 \) सेंटीमीटर
अतः, कुल परिमाप \( 528 \) सेंटीमीटर है।

मुख्य बिंदु:

• फूलों की पंखुड़ियों के परिमाप में उनके बाहरी चापों की कुल लंबाई ज्ञात की जाती है।
• चतुर्थांश वृत्तों या निश्चित कोण वाले चापों को मिलाकर पूर्ण वृत्त बनाए जा सकते हैं।
• समषट्भुज या वर्ग की ज्यामिति का उपयोग करके कोणों और त्रिज्या को समझा जाता है।

आम गलतियाँ:

• पंखुड़ियों के अंदर की सीधी रेखाओं को परिमाप में जोड़ देना (जबकि परिमाप केवल बाहरी बाउंड्री होती है)।
• चाप के कोणों को सही से न जोड़ना।
• त्रिज्या और वृत्त की संख्या में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) आकृति को ध्यान से देखें कि कौन से चाप मिलकर पूर्ण वृत्त बना रहे हैं।
b) कोणों के योग के नियम का प्रयोग करके गणना को आसान बनाएं।
c) प्रत्येक पद को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएं।

Question 8: दो वृत्तों के परिमाप का अनुपात 5:4 है। उनकी त्रिज्या का अनुपात क्या है?

Answer:

दिया है: दो वृत्तों के परिमापों का अनुपात = \( 5 : 4 \)
मान लीजिए पहले वृत्त की त्रिज्या = \( R \)
मान लीजिए दूसरे वृत्त की त्रिज्या = \( r \)
प्रश्नानुसार, पहले वृत्त का परिमाप : दूसरे वृत्त का परिमाप = \( 5 : 4 \)
\( \frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{5}{4} \)
दोनों पक्षों से \( 2\pi \) को काटने पर:
\( \frac{R}{r} = \frac{5}{4} \)
अतः, उनकी त्रिज्याओं का अनुपात \( R : r = 5 : 4 \) है।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त का परिमाप (परिधि) उसकी त्रिज्या के सीधे समानुपाती होता है।
• अनुपात निकालते समय समान पद (\( 2\pi \)) दोनों तरफ से कैंसिल हो जाते हैं।
• परिमाप का जो अनुपात होता है, वही त्रिज्याओं का भी अनुपात होता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिज्या के अनुपात में भी वर्ग (\( R^2 : r^2 \)) कर देना, जो कि क्षेत्रफल के अनुपात में होता है।
• \( 2\pi \) को सही से न काट पाना।
• अनुपात को उल्टे क्रम में लिख देना।

Exam Tips:

a) अनुपात वाले प्रश्नों में बीजगणितीय चरों (\( R \) और \( r \)) का प्रयोग करें।
b) स्पष्ट करें कि परिमाप और त्रिज्या का अनुपात समान क्यों होता है।
c) उत्तर को अनुपात के रूप में ही (\( 5:4 \)) प्रस्तुत करें।