NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 05 Im Up and Down and Round and Round (मैं हूँ गोल-गोल ऊपर नीचे) End of Chapter Exercises in Hindi

Question 1: किसी वृत्त में, केंद्र से 5 सेंटीमीटर दूरी पर एक जीवा है। यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेंटीमीटर है तो जीवा की लंबाई क्या है?

Answer:

मान लीजिए AB एक जीवा है और O वृत्त का केंद्र है।
केंद्र O से जीवा AB पर लंब OM डाला गया है, जिससे \( OM = 5 \) सेंटीमीटर और त्रिज्या \( OA = 13 \) सेंटीमीटर है।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः \( AM = MB \) ।
समकोण त्रिभुज OMA में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
\( 13^2 = 5^2 + AM^2 \)
\( 169 = 25 + AM^2 \)
\( AM^2 = 169 - 25 \)
\( AM^2 = 144 \)
\( AM = 12 \) सेंटीमीटर
चूँकि जीवा की लंबाई \( AB = 2 \times AM \) होती है:
\( AB = 2 \times 12 = 24 \) सेंटीमीटर

मुख्य बिंदु:

• केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किया जाता है।
• पूरी जीवा की लंबाई आधी जीवा की दोगुनी होती है।

आम गलतियाँ:

• त्रिज्या और केंद्र से दूरी के मानों को आपस में बदल देना।
• अंतिम चरण में आधी जीवा को ही पूरी जीवा मान लेना।
• वर्गमूल निकालते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा प्रश्न के साथ एक स्पष्ट कच्चा चित्र (rough diagram) बनाएं।
b) प्रमेय का नाम स्पष्ट रूप से लिखें कि केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
c) इकाइयों (सेंटीमीटर) को उत्तर के साथ अवश्य लिखें।

Question 2: एक वृत्त का चाप केंद्र पर 70° कोण अंतरित करता है। इस चाप द्वारा वृत्त के किसी बिंदु पर अंतरित कोण की माप क्या है?

Answer:

हम जानते हैं कि वृत्त के किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
दिया गया है: केंद्र पर अंतरित कोण = \( 70^\circ \)
अतः, वृत्त के किसी बिंदु पर अंतरित कोण = \( \frac{\text{केंद्र पर कोण}}{2} \)
\( = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \)

मुख्य बिंदु:

• केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
• चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर बना कोण केंद्र के कोण का आधा होता है।
• यह प्रमेय वृत्त के कोणों से संबंधित महत्वपूर्ण प्रमेय है।

आम गलतियाँ:

• गुणा और भाग में भ्रमित होना (दो से गुना करना या भाग देना भूल जाना)।
• प्रमेय के कथन को उल्टा समझ लेना।

Exam Tips:

a) प्रमेय का कथन उत्तर की शुरुआत में जरूर लिखें।
b) डिग्री का चिह्न (\(^\circ\)) लगाना न भूलें।
c) सरल गणनाओं को साफ-साफ दिखाएं।

Question 3: किसी वृत्त का व्यास 26 सेंटीमीटर है। वृत्त में 24 सेंटीमीटर लंबी जीवा बनाई गई है। वृत्त के केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया है: वृत्त का व्यास = 26 सेंटीमीटर
अतः, त्रिज्या \( r = \frac{26}{2} = 13 \) सेंटीमीटर
जीवा AB की लंबाई = 24 सेंटीमीटर
आधी जीवा \( AM = \frac{24}{2} = 12 \) सेंटीमीटर
मान लीजिए OM, केंद्र O से जीवा AB की लंबवत दूरी है।
समकोण त्रिभुज OMA में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
\( 13^2 = OM^2 + 12^2 \)
\( 169 = OM^2 + 144 \)
\( OM^2 = 169 - 144 \)
\( OM^2 = 25 \)
\( OM = 5 \) सेंटीमीटर
अतः, केंद्र से जीवा की दूरी 5 सेंटीमीटर है।

मुख्य बिंदु:

• व्यास से त्रिज्या ज्ञात करना आवश्यक है।
• केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके लंबवत दूरी ज्ञात की जाती है।

आम गलतियाँ:

• व्यास को ही त्रिज्या मान लेना।
• पूरी जीवा की लंबाई को सीधे समीकरण में रख देना।

Exam Tips:

a) त्रिज्या निकालने का चरण स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) समकोण त्रिभुज के कर्ण, आधार और लंब को पहचान कर सूत्र में रखें।
c) इकाई लिखना न भूलें।

Question 4: किसी वृत्त की त्रिज्या 15 सेंटीमीटर है। वृत्त में एक जीवा बनाई गई है। वृत्त के केंद्र से जीवा की दूरी 9 सेंटीमीटर है। जीवा की लंबाई क्या है?

Answer:

मान लीजिए AB जीवा है और O केंद्र है।
दिया गया है: त्रिज्या \( OA = 15 \) सेंटीमीटर, केंद्र से दूरी \( OM = 9 \) सेंटीमीटर
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः \( AM = MB \)
समकोण त्रिभुज OMA में:
\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
\( 15^2 = 9^2 + AM^2 \)
\( 225 = 81 + AM^2 \)
\( AM^2 = 225 - 81 \)
\( AM^2 = 144 \)
\( AM = 12 \) सेंटीमीटर
जीवा की कुल लंबाई \( AB = 2 \times AM \)
\( AB = 2 \times 12 = 24 \) सेंटीमीटर

मुख्य बिंदु:

• त्रिज्या हमेशा समकोण त्रिभुज का कर्ण होती है।
• केंद्र से दूरी लंब (या आधार) होती है।
• आधी जीवा की लंबाई निकालकर उसे दोगुना किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• 15 को लंब और 9 को कर्ण मान लेना।
• AM निकालने के बाद AB निकालना भूल जाना।

Exam Tips:

a) त्रिभुज का नाम (जैसे \( \triangle OMA \)) लिखकर पाइथागोरस प्रमेय लगाएं।
b) हर चरण में तार्किक संकेत (\( \Rightarrow \)) का प्रयोग करें।
c) अंत में स्पष्ट वाक्य में उत्तर लिखें।

Question 5: सिद्ध कीजिए कि किसी जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

Answer:

मान लीजिए AB, केंद्र O वाले एक वृत्त की एक जीवा है और M, AB का मध्यबिंदु है।
हमें सिद्ध करना है कि OM, AB पर लंब है, अर्थात AB का लंब समद्विभाजक O से होकर जाता है।
त्रिभुज OMA और OMB में:
\( OA = OB \) [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
\( AM = MB \) [M, AB का मध्यबिंदु है]
\( OM = OM \) [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः, SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा, \( \triangle OMA \cong \triangle OMB \)
सर्واंगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं, इसलिए \( \angle OMA = \angle OMB \) (CPCT द्वारा)
परंतु ये दोनों कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं, अतः:
\( \angle OMA + \angle OMB = 180^\circ \)
चूँकि दोनों कोण बराबर हैं, अतः \( \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ \)
इसलिए, \( OM \perp AB \), जिसका अर्थ है कि O और M से होकर जाने वाली रेखा जीवा AB का लंब समद्विभाजक है। इति सिद्धम्।

मुख्य बिंदु:

• SSS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करना।
• रैखिक युग्म के गुणों का उपयोग करना।
• CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) का उपयोग करना।

आम गलतियाँ:

• रैखिक युग्म और लंबवतता के बीच के संबंध को स्पष्ट न करना।
• सर्वांगसमता का गलत नियम लागू करना।

Exam Tips:

a) उपपत्ति (Proof) लिखते समय दिया है, सिद्ध करना है और उपपत्ति के चरण अलग-अलग लिखें।
b) प्रत्येक कथन के सामने उसका कारण कोष्ठक में अवश्य लिखें।
c) अंत में 'इति सिद्धम्' लिखना न भूलें।

Question 6: किसी वृत्त का व्यास AB है। वृत्त की परिधि पर कोई बिंदु C स्थित है। \( \angle ACB \) की माप क्या है? अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।

Answer:

दिए गए प्रश्न के अनुसार, AB वृत्त का व्यास है।
हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का कोण समकोण ہوتا है (यानी वृत्त के किसी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण \( 90^\circ \) होता है)।
चूँकि AB व्यास है और C वृत्त की परिधि पर स्थित कोई बिंदु है, इसलिए चाप ACB अर्धवृत्त बनाता है।
अतः, \( \angle ACB = 90^\circ \)

मुख्य बिंदु:

• व्यास वृत्त को दो बराबर अर्धवृत्तों में विभाजित करता है।
• अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा समकोण (\( 90^\circ \)) होता है।
• यह वृत्त की एक बहुत महत्वपूर्ण प्रमेय है।

आम गलतियाँ:

• इसे किसी सामान्य त्रिभुज का कोण मान लेना।
• व्यास और जीवा में अंतर न समझना।

Exam Tips:

a) प्रमेय का नाम या कथन स्पष्ट रूप से उल्लेख करें।
b) आकृति बनाकर कोण को दर्शाएं।
c) उत्तर को संक्षिप्त और सटीक रखें।

Question 7: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जो एक वृत्त के अंतर्गत बनाया गया है। यदि \( \angle A \) की माप 75° है तो \( \angle C \) की माप कितनी होगी? यदि \( \angle B \) की माप 110° है तो \( \angle D \) की माप कितनी होगी?

Answer:

हम जानते हैं कि एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं (यानी उनका योग \( 180^\circ \) होता है)।
पहले भाग के लिए:
\( \angle A + \angle C = 180^\circ \)
\( 75^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \angle C = 180^\circ - 75^\circ \)
\( \angle C = 105^\circ \)
दूसरे भाग के लिए:
\( \angle B + \angle D = 180^\circ \)
\( 110^\circ + \angle D = 180^\circ \)
\( \angle D = 180^\circ - 110^\circ \)
\( \angle D = 70^\circ \)
अतः, \( \angle C = 105^\circ \) और \( \angle D = 70^\circ \) है।

मुख्य बिंदु:

• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
• संपूरक कोणों का अर्थ होता है जिनका योग \( 180^\circ \) हो।
• प्रत्येक युग्म को अलग-अलग हल करना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• सम्मुख कोणों के स्थान पर आसन्न कोणों को जोड़ देना।
• घटाव में छोटी-मोटी गणना की गलती करना।

Exam Tips:

a) चक्रीय चतुर्भुज के गुण का नियम पहले स्टेटमेंट के रूप में लिखें।
b) दोनों भागों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।
c) अंतिम उत्तर को हाइलाइट करें।

Question 8: चतुर्भुज PQRS एक वृत्त के अंतर्गत बनाया गया है। यदि \( \angle P = (2x + 10)^\circ \) और \( \angle R = (3x - 20)^\circ \) है तो x का मान और \( \angle P \) व \( \angle R \) की माप ज्ञात कीजिए।

Answer:

चूँकि PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए इसके सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।
अतः, \( \angle P + \angle R = 180^\circ \)
मान रखने पर:
\( (2x + 10) + (3x - 20) = 180 \)
\( 5x - 10 = 180 \)
\( 5x = 180 + 10 \)
\( 5x = 190 \)
\( x = \frac{190}{5} = 38 \)
अब कोणों के मान ज्ञात करने पर:
\( \angle P = 2x + 10 = 2(38) + 10 = 76 + 10 = 86^\circ \)
\( \angle R = 3x - 20 = 3(38) - 20 = 114 - 20 = 94^\circ \)

मुख्य बिंदु:

• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
• बीजीय समीकरण को हल करके चर का मान निकाला जाता है।
• x का मान वापस समीकरण में रखकर कोणों के वास्तविक मान ज्ञात किए जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• ब्रैकेट खोलते समय चिन्हों की गलती करना।
• x का मान निकालने के बाद कोणों के मान ज्ञात करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) समीकरण के प्रत्येक चरण को नई लाइन में दिखाएं।
b) अंत में x, \( \angle P \) और \( \angle R \) तीनों के मान स्पष्ट रूप से लिखें।
c) उत्तर की जाँच करके देखें कि दोनों कोणों का योग \( 180^\circ \) आता है या नहीं।

Question 9: 16 सेंटीमीटर लंबी जीवा की वृत्त के केंद्र से दूरी 6 सेंटीमीटर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया है: जीवा की लंबाई AB = 16 सेंटीमीटर
आधी जीवा \( AM = MB = \frac{16}{2} = 8 \) सेंटीमीटर
केंद्र से जीवा की दूरी \( OM = 6 \) सेंटीमीटर
मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या OA = r है।
समकोण त्रिभुज OAM में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
\( OA^2 = AM^2 + OM^2 \)
\( r^2 = 8^2 + 6^2 \)
\( r^2 = 64 + 36 \)
\( r^2 = 100 \)
\( r = \sqrt{100} = 10 \) सेंटीमीटर
अतः, वृत्त की त्रिज्या 10 सेंटीमीटर है।

मुख्य बिंदु:

• केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• त्रिज्या समकोण त्रिभुज का कर्ण होती है।
• पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet 6, 8, 10) का उपयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• पूरी जीवा 16 को सीधे समीकरण में रख देना।
• वर्गमूल निकालते समय ऋणात्मक मान ले लेना (त्रिज्या हमेशा धनात्मक होती है)।

Exam Tips:

a) चित्र बनाकर कर्ण, आधार और लंब को दर्शाइए।
b) सूत्र लिखकर मान प्रतिस्थापित करें।
c) इकाई (सेंटीमीटर) लिखना न भूलें।

Question 10: एक चक्रीय चतुर्भुज की भुजाएँ 5, 5, 12 और 12 इकाई हैं। चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया है कि चक्रीय चतुर्भुज की भुजाएँ \( a = 5, b = 5, c = 12, d = 12 \) हैं।
सबसे पहले इसका अर्धपरिमाप (s) ज्ञात करते हैं:
\( s = \frac{a + b + c + d}{2} \)
\( s = \frac{5 + 5 + 12 + 12}{2} = \frac{34}{2} = 17 \)
चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए ब्रह्मगुप्त सूत्र (Brahmagupta's formula) का उपयोग किया जाता है:
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)} \)
मान रखने पर:
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{(17 - 5)(17 - 5)(17 - 12)(17 - 12)} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{(12)(12)(5)(5)} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{144 \times 25} \)
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{3600} = 60 \) वर्ग इकाई

मुख्य बिंदु:

• चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए ब्रह्मगुप्त सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
• अर्धपरिमाप (s) का मान चारों भुजाओं के योग का आधा होता है।
• वर्गमूल निकालते समय गुणनखंड विधि का उपयोग आसान होता है।

आम गलतियाँ:

• अर्धपरिमाप निकालते समय 4 से भाग दे देना या 2 से भाग देना भूल जाना।
• ब्रह्मगुप्त सूत्र में मान गलत रख देना।

Exam Tips:

a) सूत्र को स्पष्ट रूप से पहले लिखें।
b) \( (s-a) \) आदि के मान अलग से निकालकर फिर वर्गमूल में रखें।
c) क्षेत्रफल के साथ 'वर्ग इकाई' लिखना अनिवार्य है।

Question 11: एक चक्रीय चतुर्भुज पर विचार कीजिए। चतुर्भुज के परिवृत्त की रचना किए बिना हम किस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि परिवृत्त का केंद्र चतुर्भुज के अंदर या बाहर स्थित होगा? इसे ज्ञात करने की सबसे उपयुक्त विधि क्या है?

Answer:

एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोण संपूरक होते हैं। यह ज्ञात करने के लिए कि परिवृत्त का केंद्र चतुर्भुज के अंदर या बाहर स्थित है, हम चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का अवलोकन कर सकते हैं:
• यदि चतुर्भुज के सभी कोण 90° से कम (न्यूनकोण) हों, तो परिकेंद्र चतुर्भुज के अंदर स्थित होता है।
• यदि कोई एक कोण 90° से अधिक (अधिककोण) हो, तो परिकेंद्र चतुर्भुज के बाहर स्थित होता है।
सबसे उपयुक्त विधि चतुर्भुज के कोणों की जाँच करना है। यह विधि अत्यंत सरल है क्योंकि इसके लिए वास्तविक परिवृत्त की रचना करने की आवश्यकता नहीं होती है। केवल कोणों के माप को देखकर परिकेंद्र की स्थिति निर्धारित की जा सकती है।

मुख्य बिंदु:

• न्यूनकोण त्रिभुज/चतुर्भुज का परिकेंद्र अंदर होता है।
• अधिककोण चतुर्भुज का परिकेंद्र बाहर होता है।
• कोणों के अवलोकन से बिना चित्र बनाए स्थिति का पता लगाया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• केंद्र की स्थिति को भुजाओं से जोड़ देना जबकि यह कोणों पर निर्भर करती है।
• न्यूनकोण और अधिककोण की परिभाषा में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) बिंदुओं को मुख्य रूप से बुलेट पॉइंट (bullet points) में लिखें।
b) न्यूनकोण और अधिककोण की शर्त को स्पष्ट रूप से उल्लेख करें।
c) सबसे उपयुक्त विधि का कारण भी बताएं।

Question 12: जब वृत्त की दो जीवाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं तो प्रत्येक जीवा दो रेखाखंडों में विभक्त हो जाती है। प्रदर्शित कीजिए कि यदि दोनों जीवाओं की लंबाई समान हो, तो पहली जीवा के रेखाखंड दूसरी जीवा के संगत रेखाखंडों के समान होंगे।

Answer:

मान लीजिए जीवाएँ AB और CD वृत्त के अंदर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं और O वृत्त का केंद्र है।
केंद्र से जीवाओं पर लंब \( ON \perp CD \) और \( OM \perp AB \) डाले गए हैं।
दिया है: \( AB = CD \) (बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं), अतः \( OM = ON \) ।
\( \triangle OPM \) और \( \triangle OPN \) में:
\( OP = OP \) [उभयनिष्ठ भुजा]
\( OM = ON \) [सिद्ध किया गया]
\( \angle OMP = \angle ONP = 90^\circ \)
RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा, \( \triangle OPM \cong \triangle OPN \)
अतः CPCT द्वारा, \( PM = PN \)... ( समीकरण 2 )
चूँकि केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है और \( AB = CD \), इसलिए \( BM = DN \)... ( समीकरण 3 )
समीकरण (2) और (3) को जोड़ने पर:
\( PM + BM = PN + DN \implies PB = PD \)
कुल जीवा में से घटाने पर \( AP = CP \) प्राप्त होता है। अतः संगत रेखाखंड समान हैं।

मुख्य बिंदु:

• बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
• RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग।
• रेखाखंडों के योग और अंतर के गुण का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• सर्वांगसमता नियम का गलत चयन करना।
• समीकरणों को जोड़ते या घटाते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) उपपत्ति को चरणों में विभाजित करके लिखें।
b) प्रत्येक त्रिभुज के सर्वांगसम होने का कारण स्पष्ट लिखें।
c) अंत में निष्कर्ष का वाक्य अवश्य लिखें।

Question 13: एक वृत्त की रचना कीजिए, जिसमें 6 सेंटीमीटर लंबी जीवा वृत्त के केंद्र से 3 सेंटीमीटर दूरी पर स्थित हो।

Answer:

दिया गया है:
जीवा की लंबाई = 6 सेंटीमीटर
केंद्र से जीवा की दूरी = 3 सेंटीमीटर
रचना के चरण:
1. एक रेखाखंड \( AB = 6 \) सेंटीमीटर खींचिए।
2. AB का मध्यबिंदु M ज्ञात कीजिए।
3. बिंदु M पर AB के लंबवत एक रेखा खींचिए।
4. इस लंब रेखा पर एक बिंदु O इस प्रकार अंकित कीजिए कि \( OM = 3 \) सेंटीमीटर हो।
5. OA या OB को मिलाइए।
6. केंद्र O और त्रिज्या OA लेकर एक वृत्त खींचिए।
चूँकि OM, AB पर लंब है और उसके मध्यबिंदु से होकर जाता है, अतः AB वृत्त की एक जीवा है।
यहाँ \( AM = 3 \) सेंटीमीटर और \( OM = 3 \) सेंटीमीटर है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से:
\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
\( OA^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \)
\( OA = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) सेंटीमीटर
अतः, अभीष्ट वृत्त का केंद्र O और त्रिज्या \( 3\sqrt{2} \) सेंटीमीटर है।

मुख्य बिंदु:

• ज्यामितीय रचना के चरणों को क्रमबद्ध लिखना।
• पाइथागोरस प्रमेय द्वारा त्रिज्या की गणना करना।
• वर्गमूल को सरल रूप में (\( 3\sqrt{2} \)) लिखना।

आम गलतियाँ:

• लंब खींचते समय 90° का कोण न बनाना।
• त्रिज्या निकालते समय वर्गमूल को अधूरा छोड़ देना।

Exam Tips:

a) रचना के चरणों को क्रमांक (1, 2, 3...) में लिखें।
b) गणना का भाग स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) चित्र पेंसिल और परकार से साफ-सुथरा बनाएं।

Question 14: दर्शाइए कि आयत ही एकमात्र ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसे वृत्त के अंतर्गत बनाया जा सकता है।

Answer:

मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जो एक वृत्त के अंतर्गत अंतर्निहित है (यानी यह एक चक्रीय चतुर्भुज है)।
चूँकि यह एक चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होगा:
\( \angle A + \angle C = 180^\circ \)
परंतु एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए \( \angle A = \angle C \) ।
मान रखने पर:
\( \angle A + \angle A = 180^\circ \)
\( 2\angle A = 180^\circ \)
\( \angle A = 90^\circ \)
इसी प्रकार, समांतर चतुर्भुज के अन्य सभी कोण भी \( 90^\circ \) के होते हैं।
हम जानते हैं कि जिस समांतर चतुर्भुज का प्रत्येक कोण समकोण हो, वह एक आयत होता है।
अतः, आयत ही एकमात्र ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसे वृत्त के अंतर्गत बनाया जा सकता है।

मुख्य बिंदु:

• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।
• समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
• जिस समांतर चतुर्भुज का प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) हो, वह आयत होता है।

आम गलतियाँ:

• चक्रीय चतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज के गुणों को मिला देना।
• केवल एक कोण को 90° दिखाकर छोड़ देना।

Exam Tips:

a) दोनों प्रमेयों के नियमों का हवाला स्पष्ट रूप से दें।
b) तार्किक चरणों को समीकरण रूप में दिखाएं।
c) उत्तर को एक निष्कर्ष के साथ समाप्त करें।

Question 15: दर्शाइए कि यदि एक आयत किसी वृत्त के अंतर्गत है तो उसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त के केंद्र पर ही स्थित होगा।

Answer:

मान लीजिए ABCD एक आयत है जो एक वृत्त के अंतर्गत अंतर्निहित है।
मान लीजिए इसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
एक आयत में, विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः, \( OA = OC \) और \( OB = OD \), तथा \( AC = BD \) ।
इनके आधे भाग आपस में बराबर होने के कारण: \( OA = OB = OC = OD \)
इसका अर्थ है कि बिंदु O, आयत के चारों शीर्षों A, B, C और D से समान दूरी (समदूरस्थ) पर स्थित है।
चूँकि वृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु केवल वृत्त का केंद्र होता है, इसलिए विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु ही वृत्त का केंद्र है।

मुख्य बिंदु:

• आयत के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
• केंद्र वृत्त के सभी बिंदुओं से समान दूरी पर होता है।
• समदूरस्थता का गुण केंद्र को परिभाषित करता है।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि कोई भी प्रतिच्छेदन बिंदु केंद्र होता है (यह केवल आयत या वर्ग के लिए सत्य है)।
• विकर्णों के समद्विभाजन के गुण का उल्लेख न करना।

Exam Tips:

a) आयत के विकर्णों के विशेष गुणों को पहले लिखें।
b) दूरी की समानता (\( OA = OB = OC = OD \)) को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) ज्यामितीय तर्क का प्रयोग करें।

Question 16: किसी वृत्त में एक निश्चित लंबाई की सभी जीवाओं पर विचार कीजिए। इन सभी जीवाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने पर कौन-सी आकृति बनती है?

Answer:

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है और प्रत्येक जीवा की निश्चित लंबाई x है।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः, प्रत्येक जीवा के लिए आधी जीवा की लंबाई \( \frac{x}{2} \) होगी।
मान लीजिए d, जीवा के मध्यबिंदु की केंद्र से दूरी है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
\( r^2 = d^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 \)
\( d^2 = r^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2 \)
चूँकि त्रिज्या r और जीवा की लंबाई x दोनों निश्चित (अचर) हैं, इसलिए d का मान भी निश्चित होगा।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक जीवा का मध्यबिंदु केंद्र से समान दूरी पर स्थित है।
अतः, इन सभी मध्यबिंदुओं को मिलाने पर मूल वृत्त के संकेंद्रित (concentric) एक नया वृत्त बनता है।

मुख्य बिंदु:

• निश्चित लंबाई की जीवाओं की केंद्र से दूरी समान होती है।
• पाइथागोरस प्रमेय से दूरी d अचर (constant) सिद्ध होती है।
• समान केंद्र और निश्चित त्रिज्या वाले पथ से वृत्त बनता है।

आम गलतियाँ:

• आकृति का नाम सीधे लिख देना बिना गणितीय तर्क के।
• संकेंद्रित वृत्त की अवधारणा को न समझ पाना।

Exam Tips:

a) त्रिज्या और दूरी के बीच संबंध का सूत्र लिखें।
b) स्पष्ट करें कि दूरी d क्यों नियत (constant) है।
c) अंतिम आकृति का नाम ('केंद्रित वृत्त') स्पष्ट रूप से बताएं।

Question 17: केंद्र O वाले एक वृत्त में जीवाएँ AB और AC सर्वांगसम हैं। स्पष्ट कीजिए कि यह कथन क्यों सत्य है- “वृत्त का केंद्र \( \angle BAC \) के कोण समद्विभाजक पर स्थित है।”

Answer:

दिया गया है: वृत्त में जीवाएँ \( AB = AC \)
केंद्र O से OA, OB और OC को मिलाइए।
त्रिभुज AOB और AOC में:
\( OB = OC \) [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
\( OA = OA \) [उभयनिष्ठ भुजा]
\( AB = AC \) [दिया है]
अतः SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा, \( \triangle AOB \cong \triangle AOC \)
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होने के कारण, \( \angle BAO = \angle OAC \) (CPCT द्वारा)
इसका अर्थ है कि रेखा AO, \( \angle BAC \) को दो बराबर भागों में बांटती है।
अतः, वृत्त का केंद्र O, \( \angle BAC \) के कोण समद्विभाजक पर स्थित है।

मुख्य बिंदु:

• बराबर जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं (या SSS नियम द्वारा त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं)।
• CPCT का उपयोग करके कोणों की समानता सिद्ध करना।
• कोण समद्विभाजक की परिभाषा का पालन करना।

आम गलतियाँ:

• सर्वांगसमता के गलत नियम का उपयोग करना।
• यह स्पष्ट न करना कि केंद्र कोण समद्विभाजक रेखा पर क्यों है।

Exam Tips:

a) त्रिभुजों के नाम सही क्रम में लिखें।
b) प्रत्येक समानता के सामने उसका कारण कोष्ठक में लिखें।
c) उत्तर को तार्किक रूप से समाप्त करें।

Question 18: 10 सेंटीमीटर और 24 सेंटीमीटर लंबाई की दो समांतर जीवाएँ वृत्त के केंद्र के एक ही ओर स्थित हैं। दोनों जीवाओं के मध्य की दूरी 7 सेंटीमीटर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer:

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है, अतः \( OA = OC = r \) ।
पहली जीवा की लंबाई = 10 सेंटीमीटर, अतः आधी जीवा = 5 सेंटीमीटर। मान लीजिए इसकी केंद्र से दूरी \( d_1 \) है।
दूसरी जीवा की लंबाई = 24 सेंटीमीटर, अतः आधी जीवा = 12 सेंटीमीटर। मान लीजिए इसकी केंद्र से दूरी \( d_2 \) है।
चूँकि लंबी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है, इसलिए: \( d_1 - d_2 = 7 \implies d_1 = d_2 + 7 \)... (1)
त्रिभुज OAM में पाइथागोरस प्रमेय से: \( r^2 = d_1^2 + 5^2 = d_1^2 + 25 \)
त्रिभुज OCN में पाइथागोरस प्रमेय से: \( r^2 = d_2^2 + 12^2 = d_2^2 + 144 \)
अतः, \( d_1^2 + 25 = d_2^2 + 144 \implies d_1^2 - d_2^2 = 119 \)
\( (d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 119 \)
\( 7(d_1 + d_2) = 119 \implies d_1 + d_2 = 17 \)... (2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर: \( 2d_1 = 24 \implies d_1 = 12 \) और \( d_2 = 5 \) ।
अब त्रिज्या ज्ञात करने पर: \( r^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \implies r = 13 \) सेंटीमीटर।

मुख्य बिंदु:

• लंबी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है।
• दो समीकरणों को युगपद् समीकरण (simultaneous equations) की तरह हल करना।
• बीजगणितीय सर्वसमिका \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) का प्रयोग करना।

आम गलतियाँ:

• केंद्र से दूरी का अंतर गलत ले लेना (उल्टा घटा देना)।
• समीकरण हल करते समय बीजगणितीय गलती करना।

Exam Tips:

a) दोनों समकोण त्रिभुजों के समीकरण अलग-अलग स्पष्ट लिखें।
b) सर्वसमिका का चरण साफ-साफ दिखाएं।
c) अंत में त्रिज्या का मान इकाई के साथ लिखें।

Question 19: त्रिज्या r के एक वृत्त के अंतर्गत एक समषट्भुज की रचना की गई है। षट्भुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए और वृत्त के केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer:

एक समषट्भुज वृत्त को 6 बराबर केंद्रीय कोणों में विभाजित करता है।
प्रत्येक केंद्रीय कोण = \( \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \)
मान लीजिए AB षट्भुज की एक भुजा है और O केंद्र है। तब \( OA = OB = r \) और \( \angle AOB = 60^\circ \) ।
चूँकि त्रिभुज AOB में दो भुजाएँ बराबर हैं और उनके बीच का कोण \( 60^\circ \) है, इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः, षट्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई \( AB = r \) है।
अब केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी ज्ञात करने के लिए, मान लीजिए OM, AB पर लंब है।
समबाहु त्रिभुज में लंब भुजा को समद्विभाजित करता है, अतः \( AM = \frac{r}{2} \) ।
समकोण त्रिभुज OMA में पाइथागोरस प्रमेय से:
\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
\( r^2 = OM^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2 \)
\( OM^2 = r^2 - \frac{r^2}{4} = \frac{3r^2}{4} \)
\( OM = \frac{\sqrt{3}}{2}r \)
अतः, षट्भुज की भुजा की लंबाई r और केंद्र से दूरी \( \frac{\sqrt{3}}{2}r \) है।

मुख्य बिंदु:

• समषट्भुज केंद्र पर \( 60^\circ \) का कोण बनाता है।
• समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं।
• पाइथागोरस प्रमेय से केंद्र से लंबवत दूरी निकाली जाती है।

आम गलतियाँ:

• केंद्रीय कोण निकालते समय 360° को 6 से न भाग देना।
• वर्गमूल लेते समय गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) समबाहु त्रिभुज के गुण का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) बीजगणितीय पदों को सही ढंग से सरल करें।
c) दोनों भागों (भुजा और दूरी) के उत्तर अलग से स्पष्ट लिखें।

Question 20: किसी वृत्त के अंतर्गत एक चतुर्भुज MNOP की रचना की गई है। यदि MN वृत्त का व्यास है तो \( \angle MOP \) और \( \angle MNP \) के विषय में आप क्या कह सकते हैं? अपने तर्क को स्पष्ट कीजिए।

Answer:

चूँकि चतुर्भुज MNOP एक वृत्त के अंतर्गत अंतर्निहित है, इसलिए यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं (अर्थात उनका योग \( 180^\circ \) होता है)।
यहाँ M, N, O, P वृत्त की परिधि पर स्थित शीर्ष हैं और MN व्यास है।
चक्रीय चतुर्भुज के गुणों के अनुसार, सम्मुख कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है।
अतः, \( \angle MOP + \angle MNP = 180^\circ \)
इसलिए, \( \angle MOP \) और \( \angle MNP \) संपूरक कोण (supplementary angles) हैं।

मुख्य बिंदु:

• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
• संपूरक कोणों की परिभाषा का प्रयोग।
• वृत्त के अंतर्गत बने चतुर्भुज की विशेषता।

आम गलतियाँ:

• सम्मुख कोणों के स्थान पर आसन्न कोणों को जोड़ देना।
• व्यास के होने पर भी चक्रीय चतुर्भुज का नियम न पहचान पाना।

Exam Tips:

a) प्रमेय का नाम स्पष्ट रूप से लिखें।
b) कोणों के समीकरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) उत्तर को संक्षिप्त और सटीक रखें।

Question 21: मान लीजिए, ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। स्पष्ट कीजिए कि किसी भी शीर्ष पर बहिष्कोण, सम्मुख अंतःकोण के समान क्यों है? (अर्थात \( \angle ADE = \angle ABC \), जहाँ E, भुजा CD को आगे बढ़ाने पर प्राप्त रेखा पर कोई बिंदु है)।

Answer:

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख कोणों के गुण से:
\( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \)... (1)
चूँकि E, रेखा CD को आगे बढ़ाने पर स्थित है, इसलिए C-D-E एक सीधी रेखा बनाते हैं।
अतः, \( \angle ADC \) और \( \angle CDE \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं:
\( \angle ADC + \angle CDE = 180^\circ \)... (2)
समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर:
\( \angle ABC + \angle ADC = \angle ADC + \angle CDE \)
दोनों पक्षों से \( \angle ADC \) घटाने पर:
\( \angle ABC = \angle CDE \) (या \( \angle ADE \))
अतः, चक्रीय चतुर्भुज के किसी शीर्ष पर बना बहिष्कोण उसके सम्मुख अंतःकोण के समान होता है।

मुख्य बिंदु:

• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
• रैखिक युग्म के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
• समान मानों की तुलना करके बहिष्कोण प्रमेय सिद्ध करना।

आम गलतियाँ:

• रैखिक युग्म और संपूरक कोणों में भ्रमित होना।
• समीकरणों से पद काटते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) दोनों समीकरणों को स्पष्ट रूप से (1) और (2) नाम दें।
b) ज्यामितीय कारणों को कोष्ठक में अवश्य लिखें।
c) अंत में मुख्य प्रमेय का कथन दोहराएं।

Question 22: “वृत्त की ऐसी कोई जीवा नहीं है जो उसके व्यास से बड़ी हो।” आप इस कथन को कैसे सिद्ध करेंगे?

Answer:

एक जीवा वृत्त की परिधि पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड होती है।
सबसे लंबी जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, और ऐसी जीवा को वृत्त का व्यास कहते हैं।
किसी अन्य जीवा के लिए, उसकी केंद्र से लंबवत दूरी d शून्य से अधिक होती है (\( d > 0 \))।
यदि त्रिज्या r हो और केंद्र से दूरी d हो, तो जीवा की लंबाई का सूत्र होता है: \( 2\sqrt{r^2 - d^2} \)
चूँकि \( d > 0 \) है, इसलिए केंद्र से न गुजरने वाली किसी भी जीवा के लिए \( r^2 - d^2 < r^2 \) होता है।
अतः, \( 2\sqrt{r^2 - d^2} < 2r \)
चूँकि व्यास \( 2r \) के बराबर होता है, इसलिए व्यास के अतिरिक्त प्रत्येक जीवा की लंबाई व्यास से छोटी होती है।
अतः, वृत्त की ऐसी कोई जीवा नहीं है जो उसके व्यास से बड़ी हो।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास होती है।
• केंद्र से दूरी बढ़ने पर जीवा की लंबाई कम होती जाती है।
• पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित लंबाई का सूत्र उपयोग करना।

आम गलतियाँ:

• केवल मौखिक उत्तर लिख देना बिना गणितीय तर्क के।
• व्यास और जीवा की परिभाषा में अंतर न स्पष्ट करना।

Exam Tips:

a) जीवा की लंबाई का सामान्य सूत्र उपयोग करें।
b) असमिका (inequality) के चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) तार्किक निष्कर्ष के साथ उत्तर पूरा करें।

Question 23: मान लीजिए, A किसी दिए गए वृत्त के अंदर स्थित कोई भी बिंदु है। वृत्त का केंद्र O है। प्रदर्शित कीजिए कि A से होकर जाने वाली वृत्त की सबसे छोटी जीवा, वह जीवा होगी जो OA के लंबवत है।

Answer:

मान लीजिए वृत्त का केंद्र O है और A उसके अंदर स्थित कोई बिंदु है।
बिंदु A से होकर जाने वाली किसी भी जीवा की केंद्र O से कोई न कोई लंबवत दूरी अवश्य होती है।
हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा जितनी अधिक दूर होती है, वह उतनी ही छोटी होती है।
बिंदु A से होकर जाने वाली सभी रेखाओं में से, केंद्र O से लंबवत दूरी तब अधिकतम होती है जब वह रेखा OA पर लंब होती है।
चूँकि इस स्थिति में केंद्र से दूरी सबसे अधिक होती है, इसलिए A से होकर जाने वाली वह जीवा जो OA पर लंब है, केंद्र से सबसे अधिक दूरी पर स्थित होती है।
अतः, A से होकर जाने वाली सबसे छोटी जीवा वही होगी जो OA के लंबवत है।

मुख्य बिंदु:

• केंद्र से जितनी अधिक दूरी होगी, जीवा उतनी ही छोटी होगी।
• किसी बिंदु से रेखा पर सबसे बड़ी लंबवत दूरी तब होती है जब वह रेखा उस बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा पर लंब हो।
• जीवा की लंबाई और केंद्र से दूरी में व्युत्क्रमानुपाती संबंध होता है।

आम गलतियाँ:

• सबसे छोटी और सबसे बड़ी जीवा के नियमों को आपस में मिला देना।
• केंद्र से दूरी के प्रभाव को स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) थ्योरी आधारित उत्तर को बिंदुओं या तार्किक चरणों में लिखें।
b) केंद्र से दूरी के नियम का उल्लेख जरूर करें।
c) स्पष्ट रूप से निष्कर्ष निकालें।

Question 24: अर्धवृत्त का कोण 90° होता है। आप दिए गए चित्र का उपयोग इस कथन को सत्यापित करने के लिए किस प्रकार करेंगे?

Answer:

मान लीजिए BC वृत्त का व्यास है और O वृत्त का केंद्र है। बिंदु A अर्धवृत्त की परिधि पर स्थित है।
OA को मिलाइए। चूँकि O केंद्र है, इसलिए \( OA = OB = OC \) (क्योंकि ये सभी एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)।
अतः, त्रिभुज AOB और AOC दोनों समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
मान लीजिए \( \angle ABO = a \) और \( \angle ACO = b \), तब \( \angle BAO = a \) और \( \angle OAC = b \) होंगे।
इसलिए, \( \angle BAC = a + b \)
अब त्रिभुज ABC में कोण-योग गुणधर्म का उपयोग करने पर:
\( \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ \)
\( a + (a + b) + b = 180^\circ \)
\( 2a + 2b = 180^\circ \)
\( 2(a + b) = 180^\circ \)
\( a + b = 90^\circ \)
चूँकि \( \angle BAC = a + b \), अतः \( \angle BAC = 90^\circ \) । इससे सिद्ध होता है कि अर्धवृत्त का कोण \( 90^\circ \) होता है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिज्याओं की समानता से समद्विबाहु त्रिभुज बनाना।
• त्रिभुज के कोण-योग गुणधर्म (\( 180^\circ \)) का प्रयोग करना।
• बीजगणितीय सरलतीकरण द्वारा 90° सिद्ध करना।

आम गलतियाँ:

• समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के कोणों को बराबर न लेना।
• समीकरण जोड़ते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) कोणों के मान (a और b) चित्र के अनुसार परिभाषित करें।
b) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग नियम स्पष्ट लिखें।
c) अंतिम चरण में निष्कर्ष को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 25: किसी वृत्त में दो जीवाएँ CC’ और DD’, व्यास AB के लंबवत बनाई गई हैं। सिद्ध कीजिए कि जीवाओं CD और C’D’ के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड MM’, AB के लंबवत है।

Answer:

मान लीजिए AB वृत्त का व्यास है। चूँकि जीवाएँ CC’ और DD’, AB पर लंब हैं, इसलिए बिंदु C और C’, व्यास AB के परितः सममित (symmetric) हैं।
इसी प्रकार, बिंदु D और D’ भी AB के परितः सममित हैं।
मान लीजिए M, जीवा CD का मध्यबिंदु है और M’, जीवा C’D’ का मध्यबिंदु है।
चूँकि C, AB में परावर्तन द्वारा C’ के संगत है और D, D’ के संगत है, इसलिए CD का मध्यबिंदु C’D’ के मध्यबिंदु के संगत होगा।
अतः, बिंदु M और M’ दोनों व्यास AB के परितः सममित हैं।
हम जानते हैं कि किसी सममित अक्ष (जैसे AB) के परितः सममित दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा, उस अक्ष पर लंब होती है।
अतः, \( MM' \perp AB \), अर्थात जीवाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड AB के लंबवत है।

मुख्य बिंदु:

• व्यास के परितः ज्यामितीय सममिति (symmetry) का उपयोग करना।
• संगत मध्यबिंदुओं की स्थिति तय करना।
• सममित रेखा और लंबवतता के संबंध को समझना।

आम गलतियाँ:

• सममिति की अवधारणा को सही से न समझ पाना।
• मध्यबिंदुओं के संरेखण को स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) सममिति के तर्क को सरल शब्दों में लिखें।
b) लंबवतता के निष्कर्ष को स्पष्ट रूप से रेखांकित करें।
c) चित्र के संदर्भ से उत्तर समझाएं।

Question 26: किसी भी चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योगफल 180° होता है। आप नीचे दिए गए चित्र का उपयोग इस कथन को सत्यापित करने में किस प्रकार करेंगे?

Answer:

मान लीजिए ABCD, केंद्र O वाला एक चक्रीय चतुर्भुज है। केंद्र O से OA, OB, OC और OD को मिलाइए।
चूँकि OA, OB, OC और OD एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए \( OA = OB = OC = OD \) ।
इससे केंद्र के साथ बने सभी त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज बन जाते हैं।
चित्र के अनुसार मान लीजिए \( \angle OAB = p \), \( \angle OBA = q \), \( \angle ODC = v \), और \( \angle OCD = u \) हैं।
त्रिभुजों में कोण-योग गुणधर्म का उपयोग करने पर और यह तथ्य कि चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण परिधि के कोण का दोगुना होता है, से हम प्राप्त करते हैं:
\( \angle A + \angle C = 180^\circ \)
इसी प्रकार, \( \angle B + \angle D = 180^\circ \)
अतः, किसी भी चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योगफल \( 180^\circ \) होता है।

मुख्य बिंदु:

• केंद्र से शीर्षों को मिलाकर समद्विबाहु त्रिभुज बनाना।
• केंद्र पर बने कोण और परिधि पर बने कोण के संबंध का उपयोग।
• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के योग का सत्यापन।

आम गलतियाँ:

• कोणों के मानों को आपस में मिला देना।
• प्रमेय के मुख्य निष्कर्ष को स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) चित्र के अनुसार चरों (p, q, u, v) को स्पष्ट परिभाषित करें।
b) प्रमेय के चरणों को क्रमबद्ध लिखें।
c) अंतिम परिणाम को स्पष्ट रूप से बॉक्स या हाइलाइट करें।