NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 05 Im Up and Down and Round and Round (मैं हूँ गोल-गोल ऊपर नीचे) Exercise 5.6 in Hindi

Question 1: किसी वृत्त में जिसका केंद्र O है, केंद्रीय कोण AOB की माप 60° है। यदि वृत्त की त्रिज्या 12 सेंटीमीटर है तो जीवा AB की लंबाई क्या है?

Answer:

दिया गया है:
त्रिज्या \( OA = OB = 12 \) सेंटीमीटर
केंद्रीय कोण \( \angle AOB = 60^\circ \)
त्रिभुज \( OAB \) में, \( OA = OB \) है, इसलिए:
\( \angle OAB = \angle OBA \) (त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
मान लीजिए \( \angle OAB = \angle OBA = x \)
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से:
\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ \)
\( 60^\circ + x + x = 180^\circ \)
\( 2x = 180^\circ - 60^\circ \)
\( 2x = 120^\circ \)
\( x = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \)
अतः \( \angle OAB = \angle OBA = 60^\circ \)
चूँकि त्रिभुज \( OAB \) के सभी कोण \( 60^\circ \) हैं, यह एक समबाहु त्रिभुज है।
इसलिए, \( AB = OA = 12 \) सेंटीमीटर।
अतः, जीवा AB की लंबाई 12 सेंटीमीटर है।

मुख्य बिंदु:

• समद्विबाहु त्रिभुज के बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
• त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
• यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण \( 60^\circ \) हों, तो वह समबाहु त्रिभुज होता है।
• समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

आम गलतियाँ:

• कोण योग गुणधर्म लगाते समय मानों को गलत जोड़ना।
• समबाहु त्रिभुज के गुणों को न पहचान पाना।
• त्रिज्या और जीवा के बीच के संबंध को भ्रमित करना।

Exam Tips:

a) प्रमेय और गुणधर्मों के नाम जैसे 'त्रिभुज का कोण योग गुणधर्म' स्पष्ट लिखें।
b) प्रत्येक चरण में इकाई (सेंटीमीटर, डिग्री) अवश्य लिखें।
c) चित्र बनाकर हल करने से उत्तर अधिक स्पष्ट होता है।

Question 2: मान लीजिए, एक वृत्त का केंद्र O है और वृत्त पर स्थित दो बिंदु A और B हैं।
(i) क्या AB के एक ही ओर वृत्त पर स्थित दो बिंदु X, Y इस प्रकार हो सकते हैं कि \( \angle AXB \), \( \angle AYB \) से भिन्न हो?
(ii) क्या यह सत्य है कि यदि \( \angle AXB = \angle AYB \) हो तो बिंदु X व Y वृत्त पर एक ही ओर स्थित हैं?
(iii) यदि \( \angle AXB = \angle AYB \) हो और X व Y वृत्त पर स्थित नहीं हैं तो क्या A, B और X से होकर जाने वाला वृत्त बिंदु Y से होकर जाएगा?

Answer:

(i) नहीं।
कारण: यदि X और Y, जीवा AB के एक ही ओर स्थित हों, तो वे AB के एक ही चाप पर स्थित होते हैं। किसी वृत्त के एक ही वृत्तखंड में एक ही जीवा द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं। अतः, \( \angle AXB = \angle AYB \) होते हैं। इसलिए, AB के एक ही ओर ऐसे कोई बिंदु X और Y नहीं हैं, जिनके लिए कोण भिन्न हों।

(ii) नहीं, यह सदैव सत्य नहीं है।
कारण: बराबर कोण, जीवा AB द्वारा विपरीत चापों पर स्थित बिंदुओं पर भी अंतरित किए जा सकते हैं। अतः, यदि \( \angle AXB = \angle AYB \) भी हो, तो यह आवश्यक नहीं है कि X और Y, AB के एक ही ओर स्थित हों। अतः, दिया गया कथन असत्य है।

(iii) हाँ।
कारण: यदि \( \angle AXB = \angle AYB \) है, तो रेखाखंड AB, X और Y पर बराबर कोण अंतरित करता है। चक्रीयता के विलोम प्रमेय के अनुसार: यदि कोई रेखाखंड, एक ही ओर स्थित दो बिंदुओं पर बराबर कोण अंतरित करता है, तो चारों बिंदु चक्रीय होते हैं। अतः, A, B, X और Y एक ही वृत्त पर स्थित हैं। इसलिए, A, B और X से होकर जाने वाला वृत्त, Y से होकर भी जाएगा।

मुख्य बिंदु:

• एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
• विपरीत चापों पर बने कोण भी बराबर हो सकते हैं।
• चक्रीयता का विलोम प्रमेय बिंदुओं के एक ही वृत्त पर होने की पुष्टि करता है।

आम गलतियाँ:

• वृत्तखंड और चाप की अवधारणा में भ्रमित होना।
• विलोम प्रमेय का गलत कथन लिखना।
• सभी स्थितियों को एक ही मान लेना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक उप-भाग (i, ii, iii) का उत्तर अलग से कारण सहित दें।
b) 'चक्रीयता के विलोम' जैसे महत्वपूर्ण गणितीय वाक्यों का सटीक उल्लेख करें।
c) हाँ/नहीं के साथ कारण लिखना अनिवार्य है।

Question 3: चित्र 5.26 में x ज्ञात कीजिए।

Answer:

चित्र में, A, D, C और B एक ही वृत्त पर स्थित बिंदु हैं।
अतः, चतुर्भुज ADCB एक चक्रीय चतुर्भुज है।
दिया गया है:
\( \angle ADC = 100^\circ \)
हम जानते हैं कि एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं (उनका योग \( 180^\circ \) होता है)।
अतः, \( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \)
\( x + 100^\circ = 180^\circ \)
\( x = 180^\circ - 100^\circ \)
\( x = 80^\circ \)
अतः, \( x = 80^\circ \)

मुख्य बिंदु:

• चक्रीय चतुर्भुज के चारों शीर्ष वृत्त पर होते हैं।
• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
• यहाँ \( \angle ABC \) को \( x \) माना गया है।

आम गलतियाँ:

• सम्मुख कोणों को बराबर मान लेना (योग \( 180^\circ \) के बजाय)।
• चक्रीय चतुर्भुज की पहचान न कर पाना।
• साधारण घटाव में गलती करना।

Exam Tips:

a) चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म को कोष्ठक में कारण के रूप में अवश्य लिखें।
b) समीकरण को व्यवस्थित रूप से एक के बाद एक चरण में हल करें।
c) अंतिम उत्तर में डिग्री चिन्ह (\( ^\circ \)) लगाना न भूलें।