NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 05 Im Up and Down and Round and Round (मैं हूँ गोल-गोल ऊपर नीचे) Exercise 5.5 in Hindi

Question 1: वृत्त की जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए, जिसकी त्रिज्या 7 सेंटीमीटर है और केंद्र से लंबवत दूरी 6 सेंटीमीटर है।

Answer:

मान लीजिए जीवा \( AB \) है और \( O \) वृत्त का केंद्र है। मान लीजिए \( OM \), \( O \) से जीवा \( AB \) पर डाला गया लंब है।
दिया है:
त्रिज्या, \( OA = OB = 7 \) सेंटीमीटर
लंबवत दूरी, \( OM = 6 \) सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः, \( AM = MB \)
समकोण त्रिभुज \( OMA \) में, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर:
\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
\( 7^2 = 6^2 + AM^2 \)
\( 49 = 36 + AM^2 \)
\( AM^2 = 49 - 36 \)
\( AM^2 = 13 \)
\( AM = \sqrt{13} \) सेंटीमीटर
अतः, जीवा \( AB = 2 \times AM \)
\( AB = 2\sqrt{13} \) सेंटीमीटर

मुख्य बिंदु:

• वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात भुजा ज्ञात की जा सकती है।
• जीवा की कुल लंबाई समद्विभाजित भाग की दोगुनी होती है।

आम गलतियाँ:

• केंद्र से दूरी को त्रिज्या मान लेना।
• लंब द्वारा जीवा को समद्विभाजित करने के गुण को भूल जाना।
• अंतिम उत्तर में 2 से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) चित्र बनाकर हल करें ताकि लंब, त्रिज्या और जीवा की स्थिति स्पष्ट हो सके।
b) पाइथागोरस प्रमेय लिखते समय कर्ण को स्पष्ट रूप से पहचानें।
c) इकाई (सेंटीमीटर) लिखना न भूलें।

Question 2: स्पष्ट कीजिए कि दिया गया कथन सत्य क्यों है— यदि केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी d है और त्रिज्या r है तो जीवा की लंबाई \( 2\sqrt{r^2 - d^2} \) होगी।

Answer:

मान लीजिए \( AB \), केंद्र \( O \) वाले एक वृत्त की जीवा है। मान लीजिए \( OM \), \( O \) से \( AB \) पर डाला गया लंब है।
दिया है:
त्रिज्या = \( r \)
केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी = \( d \)
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः \( M \), \( AB \) का मध्यबिंदु है।
अतः, \( AM = MB = \) जीवा की लंबाई का आधा भाग
समकोण त्रिभुज \( OMA \) में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
\( r^2 = d^2 + AM^2 \)
\( AM^2 = r^2 - d^2 \)
\( AM = \sqrt{r^2 - d^2} \)
परंतु जीवा की लंबाई \( AB = 2 \times AM \)
अतः, \( AB = 2\sqrt{r^2 - d^2} \)

मुख्य बिंदु:

• यह सूत्र किसी भी वृत्त की जीवा की लंबाई ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र है।
• इसमें त्रिज्या \( r \) और लंबवत दूरी \( d \) का उपयोग होता है।
• प्रमेय के तार्किक चरणों को क्रमानुसार लिखना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल के अंदर के पदों को आपस में घटाने में त्रुटि करना।
• अंतिम परिणाम में 2 का गुणा छोड़ देना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के व्युत्पत्ति प्रश्नों में प्रत्येक पद का कारण ब्रैकेट में लिखें।
b) बीजगणितीय प्रतीकों का सही ढंग से प्रयोग करें।
c) अंतिम कथन लिखकर उत्तर की पुष्टि करें।

Question 3: किसी वृत्त में, यदि किसी जीवा AB की केंद्र से दूरी अन्य जीवा CD की केंद्र से दूरी की दोगुनी है तो क्या हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि CD = 2AB है? कारण सहित उत्तर दीजिए।

Answer:

नहीं, हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते कि \( CD = 2AB \) है।
कारण: किसी जीवा की लंबाई इस सूत्र पर निर्भर करती है:
जीवा की लंबाई = \( 2\sqrt{r^2 - d^2} \)
यह संबंध केंद्र से दूरी के सीधे समानुपाती नहीं है।
मान लीजिए जीवा \( CD \) की केंद्र से दूरी \( d \) है। तब जीवा \( AB \) की केंद्र से दूरी \( 2d \) है।
अतः, \( AB = 2\sqrt{r^2 - (2d)^2} = 2\sqrt{r^2 - 4d^2} \)
और \( CD = 2\sqrt{r^2 - d^2} \)
स्पष्ट रूप से, \( CD \) सामान्यतः \( 2AB \) के बराबर नहीं है।
उदाहरण के लिए: मान लीजिए त्रिज्या \( r = 5 \) सेंटीमीटर और \( d = 2 \) सेंटीमीटर।
तब \( AB \) की केंद्र से दूरी = \( 4 \) सेंटीमीटर
अब, \( CD = 2\sqrt{5^2 - 2^2} \)
\( CD = 2\sqrt{25 - 4} \)
\( CD = 2\sqrt{21} \)
तथा \( AB = 2\sqrt{5^2 - 4^2} \)
\( AB = 2\sqrt{25 - 16} \)
\( AB = 2\sqrt{9} = 6 \)
अब, \( 2AB = 2 \times 6 = 12 \)<परंतु \( CD = 2\sqrt{21} \), जो 12 के बराबर नहीं है।
अतः, दिया गया कथन असत्य है।

मुख्य बिंदु:

• जीवा की लंबाई केंद्र से दूरी के व्युत्क्रमानुपाती वर्गमूल पर आधारित होती है, सरल अनुपात पर नहीं।
• गणितीय कथनों को असत्य सिद्ध करने के लिए संख्यात्मक उदाहरण देना सबसे प्रभावी तरीका है।
• सूत्र में मान रखकर स्पष्ट गणना दिखानी चाहिए।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि दूरी दोगुनी होने पर जीवा की लंबाई आधी हो जाएगी।
• उदाहरण लेते समय ऐसी संख्याएँ चुनना जिससे गणना असत्यापन योग्य हो जाए।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में प्रति-उदाहरण (Counter-example) का प्रयोग अवश्य करें।
b) गणना के चरणों को साफ-सुथरा दिखाएं।
c) निष्कर्ष स्पष्ट शब्दों में दें कि कथन सत्य है या असत्य।