NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 05 Im Up and Down and Round and Round (मैं हूँ गोल-गोल ऊपर नीचे) Exercise 5.4 in Hindi

Question 1: बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके प्रदर्शित कीजिए कि क्यों प्रमेय 6 अवश्य ही सत्य होनी चाहिए।

Answer:

प्रमेय 6 के अनुसार, समान लंबाई वाली किसी वृत्त की जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
मान लीजिए AB और CD, केंद्र \( O \) वाले एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं।
मान लीजिए \( OM \perp AB \) और \( ON \perp CD \) है।
हम जानते हैं कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः,
\( AM = MB = \frac{AB}{2} \)
और
\( CN = ND = \frac{CD}{2} \)
चूँकि \( AB = CD \) है, अतः हमें प्राप्त होता है: \( AM = CN \)
साथ ही, वृत्त की त्रिज्या होने के कारण \( OA = OC \) है।
अब समकोण त्रिभुज OMA और ONC में बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हैं:
\( \triangle OMA \) में: \( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
\( \triangle ONC \) में: \( OC^2 = ON^2 + CN^2 \)
चूँकि \( OA = OC \) और \( AM = CN \) है, अतः हमें प्राप्त होता है:
\( OM^2 + AM^2 = ON^2 + CN^2 \)
\( OM^2 = ON^2 \)
\( OM = ON \)
अतः, बराबर जीवाएँ AB और CD केंद्र से समदूरस्थ हैं। इस प्रकार, प्रमेय 6 सिद्ध हुआ।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• एक ही वृत्त की सभी त्रिज्याएँ आपस में बराबर होती हैं।
• बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दूरियों की समानता सिद्ध की जाती है।

आम गलतियाँ:

• लंब रेखा को जीवा का समद्विभाजक न मानना।
• पाइथागोरस प्रमेय लगाते समय कर्ण और आधार को आपस में मिला देना।
• त्रिज्याओं की समानता को स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) चित्र बनाकर केंद्र, लंब और जीवा को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) प्रत्येक चरण में कारण को कोष्ठक में अवश्य लिखें।
c) पाइथागोरस प्रमेय के समीकरणों को सावधानीपूर्वक हल करें।

Question 2: चित्र 5.15 पर विचार कीजिए। यदि CE, AB पर लंब है, CH, GH पर लंब है और CE = CH है तो प्रदर्शित कीजिए कि AB = GF है।

Answer:

दिया है:
\( CE \perp AB \), \( CH \perp GF \) और \( CE = CH \)
सिद्ध करना है:
\( AB = GF \)
उपपत्ति:
चूँकि \( CE \), जीवा AB पर लंब है, अतः केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः, \( AE = EB \)
इसी प्रकार, चूँकि \( CH \), जीवा GF पर लंब है, अतः \( GH = HF \)
\( \triangle CEA \) और \( \triangle CHG \) में, हमारे पास है:
\( CA = CG \) (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
\( CE = CH \) (दिया है)
\( \angle CEA = \angle CHG \) (प्रत्येक \( 90^\circ \))
अतः, RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा:
\( \triangle CEA \cong \triangle CHG \)
अतः, CPCT द्वारा:
\( AE = GH \)
\( 2AE = 2GH \)
चूँकि \( AB = 2AE \) और \( GF = 2GH \) है, इसलिए:
\( AB = GF \)

मुख्य बिंदु:

• RHS सर्वांगसमता कसौटी का सही उपयोग करना।
• केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCT)।

आम गलतियाँ:

• सर्वांगसमता का गलत नियम लागू करना।
• त्रिज्याओं और लंबाइयों के संबंधों को आधा या दोगुना करने में भूल करना।
• दिया गया और सिद्ध करना है भाग न लिखना।

Exam Tips:

a) त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करते समय तीनों शर्तों को स्पष्ट रूप से दिखाएं।
b) जीवा की लंबाई और उसके आधे भाग के संबंध को समीकरण के रूप में स्पष्ट करें।
c) ज्यामितीय प्रमाण में प्रत्येक पद के साथ कारण लिखना न भूलें।

Question 3: बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए प्रश्न 2 को हल कीजिए।

Answer:

दिया है:
\( CE \perp AB \), \( CH \perp GF \) और \( CE = CH \)
सिद्ध करना है:
\( AB = GF \)
उपपत्ति:
चूँकि \( CE \), जीवा AB पर लंब है, अतः यह AB को समद्विभाजित करता है।
अतः E, AB का मध्यबिंदु है।
\( AE = \frac{AB}{2} \)
इसी प्रकार, चूँकि \( CH \), जीवा GF पर लंब है, अतः यह GF को समद्विभाजित करता है।
अतः H, GF का मध्यबिंदु है।
\( GH = \frac{GF}{2} \)
अब समकोण त्रिभुज \( \triangle CEA \) और \( \triangle CHG \) में बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हैं:
\( \triangle CEA \) में: \( CA^2 = CE^2 + AE^2 \)
\( \triangle CHG \) में: \( CG^2 = CH^2 + GH^2 \)
परंतु, \( CA = CG \) (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) और \( CE = CH \) (दिया है)
अतः:
\( CE^2 + AE^2 = CH^2 + GH^2 \)
\( AE^2 = GH^2 \) (चूँकि \( CE = CH \))
\( AE = GH \)
\( \frac{AB}{2} = \frac{GF}{2} \)
अतः, \( AB = GF \)

मुख्य बिंदु:

• पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग समकोण त्रिभुज में भुजाओं के संबंध के लिए किया जाता है।
• एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ समान होती हैं।
• जीवा के आधे भाग की समानता से पूरी जीवा की समानता सिद्ध होती है।

आम गलतियाँ:

• त्रिज्या और लंब की दूरियों कोसमीकरण में गलत प्रतिस्थापित करना।
• वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक मानों में भ्रमित होना (यहाँ केवल धनात्मक लंबाई ली जाती है)।
• अंत में जीवा के आधे भाग को पूरा जीवा में बदलने में भूल करना।

Exam Tips:

a) पाइथागोरस प्रमेय के समीकरण लिखते समय कर्ण को बाईं ओर स्वतंत्र रखें।
b) चरणों को क्रमिक रूप से नए
के साथ लिखकर स्पष्ट दिखाएं।
c) अंत में निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें कि \( AB = GF \)