Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 05 मैं हूँ गोल-गोल ऊपर नीचे
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Question 1: क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि प्रमेय 4 का विलोम सत्य क्यों है— किसी वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उस जीवा को क्यों समद्विभाजित करता है। (संकेत- चित्र 5.12 का उपयोग कीजिए। आपको बताया गया है कि – ∠CMA = ∠CMB = 90° है। आपको प्रदर्शित करना है कि AM = BM है।)
Answer:
मान लीजिए AB, केंद्र O वाले एक वृत्त की जीवा है, और OM ⟂ AB है।
सिद्ध करना है: \( AM = BM \)
\( \triangle OMA \) और \( \triangle OMB \) में,
\( OA = OB \) [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
\( OM = OM \) [दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ]
\( \angle OMA = \angle OMB \) [प्रत्येक \( 90^\circ \), चूँकि \( OM \perp AB \)]
अतः, RHS सर्वांगसमता द्वारा \( \triangle OMA \cong \triangle OMB \)
अतः, \( AM = BM \) [CPCT]
अतः, M, AB का मध्यबिंदु है। इस प्रकार, किसी वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
मुख्य बिंदु:
• वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• RHS सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग त्रिभुजों को सर्वांगसम सिद्ध करने के लिए किया जाता है।
• CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा संगत भुजाएँ बराबर होती हैं।
आम गलतियाँ:
• 90° का कोण न दर्शाना।
• RHS नियम के बजाय गलत सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करना।
• त्रिभुजों के नाम गलत क्रम में लिखना।
Exam Tips:
a) उपपत्ति लिखते समय प्रत्येक कथन के सामने उसका कारण कोष्ठक में अवश्य लिखें।
b) चित्र में दिए गए मानों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) सर्वांगसमता सिद्ध करते समय तीनों प्रतिबंधों को ठीक से दिखाएँ।
Question 2: एक वृत्त के अंतर्गत समद्विबाहु त्रिभुज ABC अंतर्निहित है, जिसमें AB = AC है। प्रदर्शित कीजिए कि A से BC पर डाला गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
Answer:
दिया है: \( \triangle ABC \) एक वृत्त के अंतर्गत अंतर्निहित है और \( AB = AC \) है।
चूँकि \( AB = AC \) है, अतः त्रिभुज ABC आधार BC वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
मान लीजिए AD, A से BC पर डाला गया शीर्षलंब है।
\( \triangle ABD \) और \( \triangle ACD \) में,
\( AB = AC \) [दिया है]
\( AD = AD \) [दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ]
\( \angle ADB = \angle ADC \) [प्रत्येक \( 90^\circ \), चूँकि \( AD \perp BC \)]
अतः, RHS सर्वांगसमता द्वारा \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \)
अतः, \( BD = DC \) [CPCT]
अतः, AD, BC का समद्विभाजक है। चूँकि AD, BC पर लंब है और साथ ही BC को समद्विभाजित भी करता है, अतः AD जीवा BC का लंब समद्विभाजक है।
चूँकि हम जानते हैं कि किसी जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर जाता है, इसलिए A से BC पर डाला गया शीर्षलंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
मुख्य बिंदु:
• समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं।
• शीर्षलंब आधार को समद्विभाजित करता है।
• वृत्त के जीवा का लंब समद्विभाजक हमेशा केंद्र से गुजरता है।
आम गलतियाँ:
• यह मान लेना कि शीर्षलंब स्वयं केंद्र से गुजरता है बिना इसे लंब समद्विभाजक सिद्ध किए।
• CPCT का सही उल्लेख न करना।
• त्रिभुजों की सर्वांगसमता में गलत भुजाओं की तुलना करना।
Exam Tips:
a) प्रमेय के कथनों का हवाला देते हुए उत्तर को तार्किक रूप से आगे बढ़ाएँ।
b) रचना या लंब खींचने वाले पद को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
c) अंत में निष्कर्ष की पंक्ति अवश्य लिखें।
Question 3: किसी वृत्त की 6 सेंटीमीटर और 8 सेंटीमीटर लंबाई की दो समांतर जीवाएँ वृत्त के केंद्र के विपरीत स्थित हैं। यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेंटीमीटर हो तो जीवाओं के मध्यबिंदुओं के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: वृत्त की त्रिज्या \( OA = OC = 5 \) सेंटीमीटर
दोनों जीवाओं की लंबाइयाँ हैं: \( AB = 6 \) सेंटीमीटर और \( CD = 8 \) सेंटीमीटर
केंद्र O से जीवाओं AB और CD पर डाला गया लंब उन्हें क्रमशः M और N पर समद्विभाजित करता है।
अतः, आधी लंबाइयाँ हैं:
6 सेंटीमीटर वाली जीवा के लिए: \( AM = \frac{6}{2} = 3 \) सेंटीमीटर
8 सेंटीमीटर वाली जीवा के लिए: \( CN = \frac{8}{2} = 4 \) सेंटीमीटर
मान लीजिए जीवाओं की केंद्र से दूरियाँ \( d_1 \) और \( d_2 \) हैं।
त्रिभुज OAM में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
\( OM^2 + AM^2 = OA^2 \)
\( \Rightarrow d_1^2 + 3^2 = 5^2 \)
\( \Rightarrow d_1^2 + 9 = 25 \)
\( \Rightarrow d_1^2 = 16 \)
\( \Rightarrow d_1 = 4 \) सेंटीमीटर
इसी प्रकार, त्रिभुज OCN में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
\( ON^2 + CN^2 = OC^2 \)
\( \Rightarrow d_2^2 + 4^2 = 5^2 \)
\( \Rightarrow d_2^2 + 16 = 25 \)
\( \Rightarrow d_2^2 = 9 \)
\( \Rightarrow d_2 = 3 \) सेंटीमीटर
चूँकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर स्थित हैं और उनके केंद्र एक ही रेखा पर स्थित हैं, अतः उनके मध्यबिंदुओं के मध्य दूरी:
\( = d_1 + d_2 \)
\( = 4 + 3 = 7 \) सेंटीमीटर
अतः, दोनों जीवाओं के मध्यबिंदुओं के मध्य दूरी 7 सेंटीमीटर है।
मुख्य बिंदु:
• केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किया जाता है।
• विपरीत दिशा में स्थित जीवाओं के लिए दूरियाँ जुड़ जाती हैं।
आम गलतियाँ:
• पूरी जीवा की लंबाई को सीधे पाइथागोरस प्रमेय में रख देना (आधा न करना)।
• विपरीत दिशा में होने पर दूरियों को आपस में घटा देना।
• गणना में वर्ग (Square) की त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) पाइथागोरस प्रमेय लगाते समय कर्ण (Hypotenuse) को हमेशा समीकरण के दाईं ओर रखें।
b) प्रत्येक चरण में मात्रक (सेंटीमीटर) अवश्य लिखें।
c) गणना को आसान बनाने के लिए समीकरणों को स्टेप-बाय-स्टेप हल करें।
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