Official NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 05 मैं हूँ गोल-गोल ऊपर नीचे
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 05 मैं हूँ गोल-गोल ऊपर नीचे
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Question 1: प्रदर्शित कीजिए कि किसी जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र के साथ बनने वाला त्रिभुज, एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।
Answer:
मान लीजिए AB, केंद्र \( O \) वाले एक वृत्त की एक जीवा है।
बिंदुओं \( O \) और \( A \) तथा \( O \) और \( B \) को मिलाइए।
इससे त्रिभुज \( OAB \) बनता है।
चूँकि \( OA \) और \( OB \) दोनों एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए:
\( OA = OB \)
चूँकि त्रिभुज की दो भुजाएँ आपस में बराबर हैं, अतः त्रिभुज \( OAB \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
मुख्य बिंदु:
• वृत्त की सभी त्रिज्याएँ आपस में समान लंबाई की होती हैं।
• किसी वृत्त की जीवा और केंद्र को मिलाने वाली रेखाओं से बना त्रिभुज हमेशा समद्विबाहु होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा के अनुसार, जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों वह समद्विबाहु होता है।
आम गलतियाँ:
• त्रिज्याओं को वृत्त की जीवा मान लेना।
• \( OA = OB \) लिखने का कारण न बताना।
• चित्र में सही बिंदुओं को न मिलाना।
Exam Tips:
a) उपपत्ति लिखते समय वृत्त के केंद्र और त्रिज्या के गुणों का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) ज्यामितीय प्रश्न हल करते समय हमेशा स्पष्ट चित्र बनाएँ।
c) कारण ब्रैकेट में अवश्य लिखें जैसे [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]।
Question 2: प्रदर्शित कीजिए कि यदि ऐसे दो समद्विबाहु त्रिभुजों (प्रश्न 1 के त्रिभुज) के आधार की लंबाई समान हो तो वे सर्वांगसम त्रिभुज होते हैं।
Answer:
मान लीजिए \( AB \) और \( PQ \), केंद्र \( O \) वाले एक ही वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं।
तब केंद्र के साथ बने दो त्रिभुज हैं: \( \triangle OAB \) और \( \triangle OPQ \) ।
अब, \( \triangle OAB \) और \( \triangle OPQ \) में:
\( OA = OP \) [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
\( OB = OQ \) [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
\( AB = PQ \) [दिया है कि आधार की लंबाई समान है]
अतः, SSS सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
\( \triangle OAB \cong \triangle OPQ \)
इस प्रकार, यदि ऐसे दो समद्विबाहु त्रिभुजों के आधार की लंबाई समान हो, तो वे एक-दूसरे के सर्वांगसम होते हैं।
मुख्य बिंदु:
• सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी का प्रयोग किया गया है।
• एक ही वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान होती हैं।
• दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होने पर वे सर्वांगसम होते हैं।
आम गलतियाँ:
• सर्वांगसमता की कसौटी का नाम गलत लिखना।
• तीनों भुजाओं की समानता को स्पष्ट रूप से न दर्शाना।
• प्रश्न में दी गई शर्तों को समीकरण में सही से न रखना।
Exam Tips:
a) सर्वांगसमता सिद्ध करते समय तीनों संगत भागों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
b) कसौटी का नाम (जैसे SSS) अंग्रेजी या मानक रूप में लिखें।
c) अंत में निष्कर्ष वाक्य अवश्य लिखें।
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