NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 05 Im Up and Down and Round and Round (मैं हूँ गोल-गोल ऊपर नीचे) Exercise 5.1 in Hindi

Question 1: \( \Delta ABC \) की रचना कीजिए, जिसमें \( AB = 5 \) सेंटीमीटर, \( \angle A = 70^\circ \) और \( \angle B = 60^\circ \) है। \( \Delta ABC \) के परिवृत्त की रचना कीजिए। क्या इस वृत्त का केंद्र त्रिभुज के अंदर या बाहर स्थित है?

Answer:

रचना के चरण:
1. रेखाखंड \( AB = 5 \) सेंटीमीटर खींचिए।
2. बिंदु A पर, \( \angle CAB = 70^\circ \) की रचना कीजिए।
3. बिंदु B पर, \( \angle CBA = 60^\circ \) की रचना कीजिए।
4. दोनों किरणों को C पर मिलने दें। इस प्रकार \( \Delta ABC \) बनता है।
5. AB का लंब समद्विभाजक खींचिए।
6. BC और AC के लंब समद्विभाजक खींचिए।
7. तीनों लंब समद्विभाजकों को O पर मिलने दें। यह बिंदु O परिकेंद्र है।
8. केंद्र O और त्रिज्या OA लेकर, एक वृत्त खींचिए जो A, B और C से होकर जाए। यह \( \Delta ABC \) का परिवृत्त है।
\( \angle C = 180^\circ - (70^\circ + 60^\circ) = 50^\circ \)
चूँकि त्रिभुज के सभी कोण \( 90^\circ \) से कम हैं, अतः यह त्रिभुज एक न्यूनकोण त्रिभुज है। एक न्यूनकोण त्रिभुज में, परिकेंद्र त्रिभुज के अंदर स्थित होता है। अतः, केंद्र त्रिभुज के अंदर स्थित है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिभुज के तीनों शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त को परिवृत्त कहते हैं।
• परिवृत्त का केंद्र त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का संगामी बिंदु होता है जिसे परिकेंद्र कहते हैं।
• न्यूनकोण त्रिभुज का परिकेंद्र हमेशा त्रिभुज के अंदर होता है।

आम गलतियाँ:

• लंब समद्विभाजक खींचते समय प्रकार की सही त्रिज्या न लेना।
• कोणों की माप गलत अंकित करना।
• केंद्र को त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु समझ लेना।

Exam Tips:

a) रचना के चरणों को हमेशा स्पष्ट और क्रमांकित रूप में लिखें।
b) प्रकार की नोंक को नुकीला रखें ताकि रचना के रेखाचित्र साफ और सटीक बनें।
c) कोणों की रचना चाप की सहायता से ही करें, डी (D) का प्रयोग केवल जाँच के लिए करें।

Question 2: \( \Delta ABC \) की रचना कीजिए, जिसमें \( AB = 5 \) सेंटीमीटर, \( \angle A = 100^\circ, AC = 4 \) सेंटीमीटर है। \( \Delta ABC \) के परिवृत्त की रचना कीजिए। इस वृत्त का केंद्र त्रिभुज के अंदर या बाहर स्थित है?

Answer:

रचना के चरण:
1. रेखाखंड \( AB = 5 \) सेंटीमीटर खींचिए।
2. बिंदु A पर, \( \angle BAC = 100^\circ \) की रचना कीजिए।
3. किरण AX पर, बिंदु C इस प्रकार अंकित कीजिए कि \( AC = 4 \) सेंटीमीटर हो।
4. C को B से मिलाइए। इस प्रकार \( \Delta ABC \) बनता है।
5. AB का लंब समद्विभाजक खींचिए।
6. AC और BC के लंब समद्विभाजक खींचिए।
7. इन समद्विभाजकों को O पर मिलने दें। यह बिंदु O परिकेंद्र है।
8. केंद्र O और त्रिज्या OA लेकर, A, B और C से होकर जाने वाला वृत्त खींचिए। यह परिवृत्त है।
चूँकि \( \angle A = 100^\circ \) है, अतः यह त्रिभुज एक अधिककोण त्रिभुज है। एक अधिककोण त्रिभुज में, परिकेंद्र त्रिभुज के बाहर स्थित होता है। अतः, केंद्र त्रिभुज के बाहर स्थित है।

मुख्य बिंदु:

• अधिककोण त्रिभुज में एक कोण \( 90^\circ \) से अधिक होता है।
• अधिककोण त्रिभुज का परिकेंद्र त्रिभुज के बाहर स्थित होता है।
• भुजाओं के लंब समद्विभाजक त्रिभुज के बाहर प्रतिच्छेद करते हैं।

आम गलतियाँ:

• अधिककोण बनाते समय कोण की दिशा गलत ले लेना।
• लंब समद्विभाजकों को ठीक से न बढ़ाना जिससे वे त्रिभुज के बाहर न मिल सकें।
• त्रिभुज के प्रकार को बिना पहचाने केंद्र की स्थिति गलत लिख देना।

Exam Tips:

a) अधिककोण त्रिभुज की स्थिति में लंब समद्विभाजकों को पर्याप्त लंबा खींचें।
b) रचना के अंत में निष्कर्ष अवश्य लिखें कि केंद्र अंदर है या बाहर।
c) माप और चाप के निशान स्पष्ट होने चाहिए।

Question 3: \( \Delta ABC \) की रचना कीजिए, जिसमें \( AB = 6 \) सेंटीमीटर, \( BC = 7 \) सेंटीमीटर, \( CA = 7 \) सेंटीमीटर है। \( \Delta ABC \) के परिवृत्त की रचना कीजिए। मान लीजिए, परिकेंद्र O है तो OA, OB और OC को मापिए।

Answer:

रचना के चरण:
1. \( AB = 6 \) सेंटीमीटर खींचिए।
2. केंद्र A और त्रिज्या 7 सेंटीमीटर लेकर, एक चाप खींचिए।
3. केंद्र B और त्रिज्या 7 सेंटीमीटर लेकर, दूसरा चाप खींचिए जो पहले चाप को C पर काटे।
4. AC और BC को मिलाइए। इस प्रकार \( \Delta ABC \) बनता है।
5. AB का लंब समद्विभाजक खींचिए।
6. AC और BC के लंब समद्विभाजक खींचिए।
7. उन्हें O पर प्रतिच्छेद करने दें। यह बिंदु O परिकेंद्र है।
8. केंद्र O और त्रिज्या OA लेकर, परिवृत्त खींचिए।
अवलोकन:
चूँकि O परिकेंद्र है, अतः यह तीनों शीर्षों से समदूरस्थ होता है।
अतः, \( OA = OB = OC \)
अनुमानित मापन: 7 सेंटीमीटर, 7 सेंटीमीटर, 6 सेंटीमीटर भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए, \( OA = OB = OC \approx 4 \) सेंटीमीटर
अतः, तीनों माप बराबर हैं, प्रत्येक लगभग 4 सेंटीमीटर।

मुख्य बिंदु:

• समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं।
• परिकेंद्र वृत्त के केंद्र से त्रिभुज के सभी शीर्षों की दूरी समान होती है।
• \( OA = OB = OC \) परिवृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

आम गलतियाँ:

• चाप काटते समय त्रिज्या की माप गलत बदलना।
• मापते समय स्केल का सही उपयोग न करना।
• परिकेंद्र के गुणों को भूल जाना।

Exam Tips:

a) माप लिखते समय लगभग (approximate) चिह्न का सही प्रयोग करें।
b) तीनों दूरियाँ समान आनी चाहिए, यदि भिन्न आएँ तो रचना की जाँच करें।
c) रेखाओं के नाम (A, B, C, O) साफ-साف अंकित करें।

Question 4: दो बिंदुओं A और B से होकर जाते हुए वृत्त की न्यूनतम संभावित त्रिज्या क्या है?

Answer:

दो स्थिर बिंदुओं A और B से होकर जाने वाले सभी वृत्तों के लिए, केंद्र AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है। सबसे छोटा वृत्त तब बनता है जब केंद्र AB का मध्य बिंदु हो। उस स्थिति में, AB वृत्त का व्यास बन जाता है। अतः, न्यूनतम संभावित त्रिज्या है:
\( \text{त्रिज्या} = \frac{AB}{2} \)
अतः, A और B से होकर जाने वाले वृत्त की न्यूनतम संभावित त्रिज्या, AB की आधी है।

मुख्य बिंदु:

• दो बिंदुओं से अनंत वृत्त खींचे जा सकते हैं।
• वृत्त का व्यास सबसे बड़ी जीवा होती है।
• न्यूनतम त्रिज्या तभी संभव है जब दोनों बिंदु व्यास के छोर हों।

आम गलतियाँ:

• न्यूनतम त्रिज्या को AB के बराबर मान लेना।
• लंब समद्विभाजक की अवधारणा को न समझना।
• व्यास और त्रिज्या के संबंध में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) इस सैद्धांतिक प्रश्न के उत्तर में कारण सहित स्पष्टीकरण दें।
b) सूत्र \( \text{त्रिज्या} = \frac{\text{व्यास}}{2} \) को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) उत्तर को संक्षिप्त और सटीक रखें।