NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 04 Exploring Algebraic Identities (बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण) End of Chapter Exercises in Hindi

Question 1: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए –
(i) \((-3x + 4)^2\)
(ii) \((2s + 7)(2s - 7)\)
(iii) \((p^2 + 1/2)(p^2 - 1/2)\)
(iv) \((2n + 7)(2n - 7)\)
(v) \((s - 2t)(s^2 + 2st + 4t^2)\)
(vi) \((1/2r - 4r)^2\)
(vii) \((-3m + 4k - l)^2\)
(viii) \((x - 1/3 y)^3\)
(ix) \((7/2 k - 2/3 m)^3\)

Answer:

(i) \( (-3x + 4)^2 = (-3x)^2 + 2(-3x)(4) + (4)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 9x^2 - 24x + 16 \)

(ii) \( (2s + 7)(2s - 7) = (2s)^2 - (7)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 4s^2 - 49 \)

(iii) \( (p^2 + 1/2)(p^2 - 1/2) = (p^2)^2 - (1/2)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = p^4 - \frac{1}{4} \)

(iv) \( (2n + 7)(2n - 7) = (2n)^2 - (7)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 4n^2 - 49 \)

(v) \( (s - 2t)(s^2 + 2st + 4t^2) = (s)^3 - (2t)^3 \)
सर्वसमिका \( (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = s^3 - 8t^3 \)

(vi) \( \left(\frac{1}{2r} - 4r\right)^2 = \left(\frac{1}{2r}\right)^2 - 2 \left(\frac{1}{2r}\right)(4r) + (4r)^2 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = \frac{1}{4r^2} - 4 + 16r^2 \)

(vii) \( (-3m + 4k - l)^2 = (-3m)^2 + (4k)^2 + (-l)^2 + 2(-3m)(4k) + 2(4k)(-l) + 2(-3m)(-l) \)
सर्वसमिका \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) का उपयोग करने पर:
\( = 9m^2 + 16k^2 + l^2 - 24mk - 8kl + 6ml \)

(viii) \( \left(x - \frac{1}{3}y\right)^3 = (x)^3 - 3(x)^2\left(\frac{y}{3}\right) + 3(x)\left(\frac{y}{3}\right)^2 - \left(\frac{y}{3}\right)^3 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = x^3 - x^2y + 3x\left(\frac{y^2}{9}\right) - \frac{y^3}{27} \)
\( = x^3 - x^2y + \frac{1}{3}xy^2 - \frac{y^3}{27} \)

(ix) मान लीजिए \( a = \frac{7}{2}k \) और \( b = \frac{2}{3}m \)
\( \left(\frac{7}{2}k - \frac{2}{3}m\right)^3 = \left(\frac{7}{2}k\right)^3 - 3\left(\frac{7}{2}k\right)^2\left(\frac{2}{3}m\right) + 3\left(\frac{7}{2}k\right)\left(\frac{2}{3}m\right)^2 - \left(\frac{2}{3}m\right)^3 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = \frac{343}{8}k^3 - 3\left(\frac{49}{4}k^2\right)\left(\frac{2}{3}m\right) + 3\left(\frac{7}{2}k\right)\left(\frac{4}{9}m^2\right) - \frac{8}{27}m^3 \)
\( = \frac{343}{8}k^3 - \frac{49}{2}k^2m + \frac{14}{3}km^2 - \frac{8}{27}m^3 \)

मुख्य बिंदु:

• द्विपद और त्रिपद व्यंजकों के विस्तार के लिए उपयुक्त बीजीय सर्वसमिकाओं की पहचान।
• ऋणात्मक चिह्नों के साथ गणना करते समय कोष्ठक का सही प्रयोग।
• भिन्नों के गुणा और घात को हल करते समय सावधानी रखना।

आम गलतियाँ:

• \( (-3x)^2 \) को धनात्मक लिखने के बजाय ऋणात्मक लिख देना।
• \( (a-b)^3 \) के विस्तार में वैकल्पिक चिह्नों (+ और -) में गलती करना।
• भिन्नों के गुणन में अंश और हर को ठीक से न काटना।

Exam Tips:

a) प्रश्न हल करने से पहले हमेशा प्रयुक्त सर्वसमिका को कोष्ठक में स्पष्ट रूप से लिखें।
b) त्रिपद के वर्ग \( (a+b+c)^2 \) में सभी छह पदों के चिह्न सावधानी से तय करें।
c) अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।

Question 2: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करके मान ज्ञात कीजिए –
(i) \( 17 \times 21 \)
(ii) \( 104 \times 96 \)
(iii) \( 24 \times 16 \)
(iv) \( 147^3 \)
(v) \( 199^3 \)
(vi) \( 127^3 \)
(vii) \((-107)^3\)
(viii) \((-299)^3\)

Answer:

(i) \( 17 \times 21 = (19 - 2)(19 + 2) \)
सर्वसमिका \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (19)^2 - (2)^2 \)
\( = 361 - 4 = 357 \)

(ii) \( 104 \times 96 = (100 + 4)(100 - 4) \)
सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (100)^2 - (4)^2 \)
\( = 10000 - 16 = 9984 \)

(iii) \( 24 \times 16 = (20 + 4)(20 - 4) \)
सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (20)^2 - (4)^2 \)
\( = 400 - 16 = 384 \)

(iv) \( 147^3 = (150 - 3)^3 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = (150)^3 - 3(150)^2(3) + 3(150)(3)^2 - (3)^3 \)
\( = 3375000 - 202500 + 4050 - 27 \)
\( = 3176523 \)

(v) \( 199^3 = (200 - 1)^3 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = (200)^3 - 3(200)^2(1) + 3(200)(1)^2 - (1)^3 \)
\( = 8000000 - 120000 + 600 - 1 \)
\( = 7880599 \)

(vi) \( 127^3 = (130 - 3)^3 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = (130)^3 - 3(130)^2(3) + 3(130)(3)^2 - (3)^3 \)
\( = 2197000 - 152100 + 3510 - 27 \)
\( = 2048383 \)

(vii) \( (-107)^3 = -(107)^3 = -(100 + 7)^3 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = -[(100)^3 + 3(100)^2(7) + 3(100)(7)^2 + (7)^3] \)
\( = -(1000000 + 210000 + 14700 + 343) \)
\( = -1225043 \)

(viii) \( (-299)^3 = -(299)^3 = -(300 - 1)^3 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = -[(300)^3 - 3(300)^2(1) + 3(300)(1)^2 - (1)^3] \)
\( = -(27000000 - 270000 + 900 - 1) \)
\( = -(26730900 - 1) = -26730899 \)

मुख्य बिंदु:

• संख्याओं को निकटतम दहाई या सैकड़े के आधार पर तोड़ना।
• गुणनफल या घन के लिए उचित सर्वसमिका चुनना।
• ऋणात्मक संख्याओं के घन का चिह्न बाहर लेना।

आम गलतियाँ:

• संख्याओं को गलत रूप में तोड़ना (जैसे \( 17 \times 21 \) में औसत गलत मानना)।
• बड़े घन (Cube) की गणना में जोड़ने-घटाने की गलती करना।
• कोष्ठक के बाहर ऋण चिह्न का अंदर के पदों पर प्रभाव भूल जाना।

Exam Tips:

a) हमेशा ऐसी संख्या चुनें जिसमें जोड़ना या घटाना आसान हो (जैसे 100, 200, 150)।
b) मध्यवर्ती चरणों के गुणन को रफ कार्य में अवश्य जांच लें।
c) परीक्षा में सीधे उत्तर लिखने के बजाय सूत्र का चरणबद्ध प्रयोग दिखाएं।

Question 3: निम्नलिखित बीजीय व्यंजकों का गुणनखंड कीजिए –
(i) \( 4y^2 + 1 + \frac{1}{16y^2} \)
(ii) \( 9m^2 - \frac{1}{25n^2} \)
(iii) \( 27b^3 - \frac{1}{64b^3} \)
(iv) \( x^2 + \frac{5x}{6} + \frac{1}{6} \)
(v) \( 27u^3 - \frac{1}{125} - \frac{27u^2}{5} + \frac{9u}{25} \)
(vi) \( 64y^3 + \frac{z^3}{125} \)
(vii) \( p^3 + 27q^3 + r^3 - 9pqr \)
(viii) \( 9m^2 - 12m + 4 \)
(ix) \( 9x^3 - \frac{8}{3}y^3 + \frac{z^3}{3} + 6xyz \)
(x) \( 4x^2 + 9y^2 + 36z^2 + 12xy + 36yz + 24zx \)
(xi) \( 27u^3 - \frac{1}{216} - \frac{9u^2}{2} + \frac{u}{4} \)

Answer:

(i) \( 4y^2 + 1 + \frac{1}{16y^2} = (2y)^2 + 2(2y)\left(\frac{1}{4y}\right) + \left(\frac{1}{4y}\right)^2 \)
सर्वसमिका \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = \left(2y + \frac{1}{4y}\right)^2 \)

(ii) \( 9m^2 - \frac{1}{25n^2} = (3m)^2 - \left(\frac{1}{5n}\right)^2 \)
सर्वसमिका \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \) का उपयोग करने पर:
\( = \left(3m + \frac{1}{5n}\right)\left(3m - \frac{1}{5n}\right) \)

(iii) \( 27b^3 - \frac{1}{64b^3} = (3b)^3 - \left(\frac{1}{4b}\right)^3 \)
सर्वसमिका \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) का उपयोग करने पर:
\( = \left(3b - \frac{1}{4b}\right)\left[(3b)^2 + (3b)\left(\frac{1}{4b}\right) + \left(\frac{1}{4b}\right)^2\right] \)
\( = \left(3b - \frac{1}{4b}\right)\left(9b^2 + \frac{3}{4} + \frac{1}{16b^2}\right) \)

(iv) मध्य पद को विभाजित करने पर (\( \frac{5}{6} \) को \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{1}{3} \) में तोड़कर):
\( x^2 + \frac{5x}{6} + \frac{1}{6} = x^2 + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{6} \)
\( = x\left(x + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{3}\left(x + \frac{1}{2}\right) \)
\( = \left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right) \)

(v) पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( 27u^3 - \frac{27u^2}{5} + \frac{9u}{25} - \frac{1}{125} = (3u)^3 - 3(3u)^2\left(\frac{1}{5}\right) + 3(3u)\left(\frac{1}{5}\right)^2 - \left(\frac{1}{5}\right)^3 \)
सर्वसमिका \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = \left(3u - \frac{1}{5}\right)^3 \)

(vi) \( 64y^3 + \frac{z^3}{125} = (4y)^3 + \left(\frac{z}{5}\right)^3 \)
सर्वसमिका \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) का उपयोग करने पर:
\( = \left(4y + \frac{z}{5}\right)\left[(4y)^2 - (4y)\left(\frac{z}{5}\right) + \left(\frac{z}{5}\right)^2\right] \)
\( = \left(4y + \frac{z}{5}\right)\left(16y^2 - \frac{4yz}{5} + \frac{z^2}{25}\right) \)

(vii) \( p^3 + 27q^3 + r^3 - 9pqr = p^3 + (3q)^3 + r^3 - 3(p)(3q)(r) \)
सर्वसमिका \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \) का उपयोग करने पर:
\( = (p + 3q + r)\left[p^2 + (3q)^2 + r^2 - p(3q) - (3q)r - pr\right] \)
\( = (p + 3q + r)(p^2 + 9q^2 + r^2 - 3pq - 3qr - pr) \)

(viii) \( 9m^2 - 12m + 4 = (3m)^2 - 2(3m)(2) + (2)^2 \)
सर्वसमिका \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (3m - 2)^2 \)

(ix) \( 9x^3 - \frac{8}{3}y^3 + \frac{z^3}{3} + 6xyz = \frac{1}{3}\left[27x^3 - 8y^3 + z^3 + 18xyz\right] \)
\( = \frac{1}{3}\left[(3x)^3 + (-2y)^3 + z^3 - 3(3x)(-2y)z\right] \)
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
\( = \frac{1}{3}(3x - 2y + z)\left[(3x)^2 + (-2y)^2 + z^2 - (3x)(-2y) - (-2y)z - z(3x)\right] \)
\( = \frac{1}{3}(3x - 2y + z)(9x^2 + 4y^2 + z^2 + 6xy + 2yz - 3zx) \)

(x) \( 4x^2 + 9y^2 + 36z^2 + 12xy + 36yz + 24zx = (2x)^2 + (3y)^2 + (6z)^2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(6z) + 2(2x)(6z) \)
सर्वसमिका \( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (2x + 3y + 6z)^2 \)

(xi) पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( 27u^3 - \frac{9u^2}{2} + \frac{u}{4} - \frac{1}{216} = (3u)^3 - 3(3u)^2\left(\frac{1}{6}\right) + 3(3u)\left(\frac{1}{6}\right)^2 - \left(\frac{1}{6}\right)^3 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) का उपयोग करने पर:
\( = \left(3u - \frac{1}{6}\right)^3 \)

मुख्य बिंदु:

• व्यंजक को पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन के रूप में पहचानना।
• त्रि-पदीय सर्वसमिकाओं \( a^3+b^3+c^3-3abc \) का सही अनुप्रयोग।
• उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालकर व्यंजक को सरल बनाना।

आम गलतियाँ:

• मध्य पद विभाजन विधि में भिन्नों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) में गलती करना।
• सर्वसमिका के विस्तार में ऋण चिह्नों का ध्यान न रखना।
• गुणनखंड के पूर्ण रूप को आधा अधूरा छोड़ देना।

Exam Tips:

a) गुणनखंड करने से पहले व्यंजक के सभी पदों को मानक रूप (Standard Form) में व्यवस्थित करें।
b) यदि व्यंजक में भिन्न हों, तो कोष्ठक के बाहर कॉमन लेकर पूर्णांक बनाने का प्रयास करें।
c) उत्तर की जाँच के लिए गुणनखंडों को आपस में गुणा करके मूल व्यंजक प्राप्त किया जा سکتا है।

Question 4: निम्नलिखित को सरल कीजिए –
(i) \(\frac{4x^2 + 4x + 1}{4x^2 - 1}\)
(ii) \(\frac{9(3a^3 - 24b^3)}{9a^2 - 36b^2}\)
(iii) \(\frac{s^3 + 125t^3}{s^2 - 2st - 35t^2}\)

Answer:

(i) अंश का गुणनखंडन: \( 4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + (1)^2 = (2x + 1)^2 \)
हर का गुणनखंडन: \( 4x^2 - 1 = (2x)^2 - (1)^2 = (2x + 1)(2x - 1) \)
अतः व्यंजक:
\( = \frac{(2x + 1)^2}{(2x + 1)(2x - 1)} \)
उभयनिष्ठ गुणनखंड \( (2x + 1) \) को निरस्त करने पर:
\( = \frac{2x + 1}{2x - 1} \)

(ii) अंश: \( 9(3a^3 - 24b^3) = 27(a^3 - 8b^3) = 27(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) \)
हर: \( 9a^2 - 36b^2 = 9(a^2 - 4b^2) = 9(a - 2b)(a + 2b) \)
अतः व्यंजक:
\( = \frac{27(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)}{9(a - 2b)(a + 2b)} \)
\( = \frac{3(a^2 + 2ab + 4b^2)}{a + 2b} \)

(iii) अंश: \( s^3 + 125t^3 = s^3 + (5t)^3 = (s + 5t)(s^2 - 5st + 25t^2) \)
हर: \( s^2 - 2st - 35t^2 = s^2 - 7st + 5st - 35t^2 = s(s - 7t) + 5t(s - 7t) = (s + 5t)(s - 7t) \)
अतः व्यंजक:
\( = \frac{(s + 5t)(s^2 - 5st + 25t^2)}{(s + 5t)(s - 7t)} \)
उभयनिष्ठ गुणनखंड \( (s + 5t) \) को निरस्त करने पर:
\( = \frac{s^2 - 5st + 25t^2}{s - 7t} \)

मुख्य बिंदु:

• परिमेय व्यंजकों को सरल करने के लिए अंश और हर दोनों के अलग-अलग गुणनखंड करना।
• घनों के योग और अंतर के सूत्रों का प्रयोग करना।
• उभयनिष्ठ पदों को काटकर सरलतम रूप लिखना।

आम गलतियाँ:

• गुणनखंड किए बिना सीधे पदों को काटने की कोशिश करना।
• मध्य पद विभाजन में चिह्न की गलती करना।
• हर के शून्य होने की शर्त पर ध्यान न देना।

Exam Tips:

a) अंश और हर के गुणनखंड अलग-अलग रफ कार्य में हल करें।
b) केवल गुणा के रूप में आए (उभयनिष्ठ) गुणनखंडों को ही काटें, जोड़-घटाव वाले पदों को नहीं।
c) अंतिम उत्तर में कोष्ठक लगाकर स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 5: निम्नलिखित व्यंजकों द्वारा आयतों के क्षेत्रफल वर्ग इकाई में दिए गए हैं। इन आयतों की लंबाई और चौड़ाई के संभावित व्यंजक ज्ञात कीजिए –
(i) \( 25a^2 - 30ab + 9b^2 \)
(ii) \( 36s^2 - 49t^2 \)

Answer:

(i) दिया गया क्षेत्रफल = \( 25a^2 - 30ab + 9b^2 \)
इसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
\( = (5a)^2 - 2(5a)(3b) + (3b)^2 \)
सर्वसमिका \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (5a - 3b)^2 = (5a - 3b)(5a - 3b) \)
अतः, आयत की लंबाई और चौड़ाई के संभावित व्यंजक हैं: \( (5a - 3b) \) और \( (5a - 3b) \) ।

(ii) दिया गया क्षेत्रफल = \( 36s^2 - 49t^2 \)
इसे अंतर के वर्ग के रूप में लिखने पर:
\( = (6s)^2 - (7t)^2 \)
सर्वसमिका \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \) का उपयोग करने पर:
\( = (6s + 7t)(6s - 7t) \)
अतः, आयत की लंबाई और चौड़ाई के संभावित व्यंजक हैं: \( (6s + 7t) \) और \( (6s - 7t) \)。

मुख्य बिंदु:

• आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई होता है।
• दिए गए द्विघात व्यंजक के दो गुणनखंड ज्ञात करना।
• गुणनखंडों को लंबाई और चौड़ाई के रूप में निरूपित करना।

आम गलतियाँ:

• व्यंजक के गुणनखंड करने के बजाय उसे सीधे लंबाई मान लेना।
• \( (5a-3b)^2 \) में दोनों गुणनखंडों को अलग-अलग न समझना।
• सर्वसमिका चुनते समय गुणांकों का वर्गमूल सही न निकालना।

Exam Tips:

a) क्षेत्रफल के व्यंजक को हमेशा गुणनखंडित (Factorise) रूप में बदलें।
b) उत्तर लिखते समय लंबाई और चौड़ाई दोनों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) वर्ग के मामले में दोनों भुजाएं समान हो सकती हैं, इसे स्पष्ट करें।

Question 6: निम्नलिखित व्यंजकों द्वारा घनाभों के आयतन घन इकाई में दिए गए हैं। इन घनाभों की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के संभावित व्यंजक ज्ञात कीजिए –
(i) \( 6a^2 - 24b^2 \)
(ii) \( 3ps^2 - 15ps + 12p \)

Answer:

(i) दिया गया आयतन = \( 6a^2 - 24b^2 \)
उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर:
\( = 6(a^2 - 4b^2) \)
अंतर के वर्ग की सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
\( = 6[a^2 - (2b)^2] \)
\( = 6(a + 2b)(a - 2b) \)
अतः, घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के संभावित व्यंजक हैं: \( 6 \), \( (a + 2b) \) और \( (a - 2b) \) ।

(ii) दिया गया आयतन = \( 3ps^2 - 15ps + 12p \)
सबसे पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड \( 3p \) लेने पर:
\( = 3p(s^2 - 5s + 4) \)
मध्य पद को विभाजित करने पर (\( -5s \) को \( -4s - s \) में):
\( = 3p[s^2 - 4s - s + 4] \)
\( = 3p[s(s - 4) - 1(s - 4)] \)
\( = 3p(s - 1)(s - 4) \)
अतः, घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के संभावित व्यंजक हैं: \( 3p \), \( (s - 1) \) और \( (s - 4) \)。

मुख्य बिंदु:

• घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई होता है।
• व्यंजक के तीन गुणनखंड प्राप्त करना।
• संख्यात्मक गुणनखंड को भी एक विमा (Dimension) के रूप में लेना।

आम गलतियाँ:

• उभयनिष्ठ संख्या (जैसे 6 या 3p) को छोड़ देना।
• व्यंजक को केवल दो गुणनखंडों तक सीमित रखना जबकि घनाभ के लिए तीन गुणनखंड आवश्यक हैं।
• मध्य पद विभाजन में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) सबसे पहले सभी पदों में से अधिकतम उभयनिष्ठ (Common) पद बाहर निकालें।
b) सुनिश्चित करें कि आपके पास गुणन के रूप में तीन पद (या संख्या और दो पद) प्राप्त हों।
c) उत्तर में तीनों विमाओं को स्पष्ट रूप से अलग-अलग लिखें।

Question 7: गाँव के खेल का मैदान 40 मीटर भुजा वाले एक वर्ग के आकार का है। व्यक्तियों के चलने हेतु खेल के मैदान के चारों ओर s मीटर चौड़ाई का एक मार्ग निर्मित किया गया है। s के पदों में मार्ग के क्षेत्रफल का व्यंजक ज्ञात कीजिए।

Answer:

खेल के मैदान की भुजा = \( 40 \) मीटर
मैदान का क्षेत्रफल = \( (40)^2 = 1600 \) वर्ग मीटर
चूँकि मैदान के चारों ओर बाहर की ओर \( s \) मीटर चौड़ाई का मार्ग बनाया गया है:
बाहरी वर्ग की भुजा = \( 40 + 2s \) मीटर
बाहरी वर्ग (मैदान सहित मार्ग) का क्षेत्रफल = \( (40 + 2s)^2 \)
मार्ग का क्षेत्रफल = (बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल) - (खेल के मैदान का क्षेत्रफल)
\( = (40 + 2s)^2 - 1600 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = [40^2 + 2(40)(2s) + (2s)^2] - 1600 \)
\( = [1600 + 160s + 4s^2] - 1600 \)
\( = 1600 + 160s + 4s^2 - 1600 \)
\( = 4s^2 + 160s \)
अतः, मार्ग के क्षेत्रफल का अभीष्ट व्यंजक \( 4s^2 + 160s \) वर्ग मीटर है।

मुख्य बिंदु:

• रास्ते का क्षेत्रफल निकालने के लिए बड़े क्षेत्र में से छोटे क्षेत्र को घटाया जाता है।
• चारों तरफ मार्ग होने पर भुजा में \( 2s \) की वृद्धि होती है।
• वर्ग के क्षेत्रफल के सूत्र \( (\text{भुजा})^2 \) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• केवल \( s \) मीटर जोड़ना जबकि दोनों तरफ रास्ता होने के कारण \( 2s \) जुड़ना चाहिए।
• \( (40 + 2s)^2 \) के विस्तार में मध्य पद \( 2ab \) छोड़ देना।
• क्षेत्रफल की इकाई न लिखना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के ज्यामितीय इबारती प्रश्नों में कच्चा चित्र (Rough Diagram) अवश्य बनाएं।
b) बाहरी आयामों को स्पष्ट रूप से सूत्र में दिखाएं।
c) समान पदों को आपस में जोड़कर या घटाकर उत्तर को संक्षिप्त करें।

Question 8: यदि किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग \( \frac{10}{3} \) हो तो वह संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer:

मान लीजिए कि वह संख्या \( x \) है।
संख्या का व्युत्क्रम = \( \frac{1}{x} \)
प्रश्नानुसार:
\( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \)
समीकरण के दोनों पक्षों को \( 3x \) से गुणा करने पर:
\( 3x\left(x + \frac{1}{x}\right) = 3x\left(\frac{10}{3}\right) \)
\( 3x^2 + 3 = 10x \)
द्विघात समीकरण के मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
\( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर (\( -10x \) को \( -9x - x \) में):
\( 3x^2 - 9x - x + 3 = 0 \)
\( 3x(x - 3) - 1(x - 3) = 0 \)
\( (3x - 1)(x - 3) = 0 \)
अतः, \( 3x - 1 = 0 \) या \( x - 3 = 0 \)
\( x = \frac{1}{3} \) या \( x = 3 \)
अतः, वह संख्या \( 3 \) या \( \frac{1}{3} \) है।

मुख्य बिंदु:

• संख्या और उसके व्युत्क्रम का समीकरण बनाना।
• हर को हटाने के लिए समीकरण को चर से गुणा करना।
• द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करना।

आम गलतियाँ:

• व्युत्क्रम को गलत लिखना (जैसे \( -x \) मान लेना)।
• समीकरण हल करते समय चिह्न की गलती करना।
• केवल एक ही उत्तर लिखकर दूसरे संभावित उत्तर को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) भाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले 'मान लीजिए' लिखकर चर को परिभाषित करें।
b) द्विघात समीकरण को मानक रूप \( ax^2 + bx + c = 0 \) में जरूर लाएं।
c) दोनों संभव मानों की जाँच करके उत्तर स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 9: एक आयताकार ताल का क्षेत्रफल \( 2x^2 + 7x + 3 \) वर्ग हस्त है। यदि इसकी चौड़ाई \( 2x + 1 \) 'हस्त' है, तो इसकी लंबाई ज्ञात कीजिए। 'हस्त' लंबाई मापने की एक इकाई होती थी।

Answer:

दिया गया है:
आयताकार ताल का क्षेत्रफल = \( 2x^2 + 7x + 3 \)
ताल की चौड़ाई = \( 2x + 1 \)
हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
अतः, लंबाई = \( \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{चौड़ाई}} \)
\( \text{लंबाई} = \frac{2x^2 + 7x + 3}{2x + 1} \)
अंश के गुणनखंड करने पर (मध्य पद विभाजन द्वारा):
\( 2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3 \)
\( = 2x(x + 3) + 1(x + 3) \)
\( = (2x + 1)(x + 3) \)
अब मान रखने पर:
\( \text{लंबाई} = \frac{(2x + 1)(x + 3)}{2x + 1} \)
उभयनिष्ठ पद \( (2x + 1) \) को निरस्त करने पर:
\( \text{लंबाई} = x + 3 \) हस्त
अतः, ताल की लंबाई \( (x + 3) \) हस्त है।

मुख्य बिंदु:

• आयत की लंबाई ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल को चौड़ाई से विभाजित किया जाता है।
• द्विघात व्यंजक का गुणनखंडन।
• समान गुणनखंडों का विलोपन (Cancellation)।

आम गलतियाँ:

• विभाजन किए बिना सीधे पदों को काटना।
• अंश के गुणनखंड करते समय गलत जोड़े बनाना।
• उत्तर में इकाई ('हस्त') लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सूत्र लिखकर दिखाएं कि लंबाई = क्षेत्रफल ÷ चौड़ाई।
b) अंश के गुणनखंड को रफ कार्य में हल करके मुख्य हल में दिखाएं।
c) अंतिम उत्तर में इकाई अवश्य लिखें।

Question 10: यदि \( x - 2 \) और \( x - 1/2 \) दोनों \( px^2 + 5x + r \) के गुणनखंड हैं तो दर्शाइए कि \( p = r \) है।

Answer:

चूँकि \( x - 2 \) और \( x - 1/2 \) बहुपद \( px^2 + 5x + r \) के गुणनखंड हैं, अतः द्विघात बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( px^2 + 5x + r = k(x - 2)\left(x - \frac{1}{2}\right) \)
जहाँ \( k \) एक अचर है। दाहिने पक्ष को हल करने पर:
\( k\left[x^2 - \frac{1}{2}x - 2x + 1\right] = k\left[x^2 - \frac{5}{2}x + 1\right] \)
\( px^2 + 5x + r = kx^2 - \frac{5}{2}kx + k \)
दोनों पक्षों के संगत पदों के गुणांकों की तुलना करने पर:
\( x^2 \) का गुणांक: \( p = k \)
\( x \) का गुणांक: \( 5 = -\frac{5}{2}k \implies k = 5 \times \left(-\frac{2}{5}\right) = -2 \)
अचर पद: \( r = k \)
चूँकि \( p = k \) और \( r = k \) है, इसलिए:
\( p = r \) (दोनों का मान \( -2 \) है)
अतः सिद्ध हुआ कि \( p = r \) ।

मुख्य बिंदु:

• गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके बहुपद को गुणांक के रूप में लिखना।
• दोनों पक्षों के समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना करना।
• अचर \( k \) का मान ज्ञात करके संबंध स्थापित करना।

आम गलतियाँ:

• गुणांकों की तुलना करते समय अचर \( k \) को छोड़ देना।
• भिन्नों के गुणा-भाग में चिह्न की गलती करना।
• अंतिम निष्कर्ष को स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) बहुपद और उसके गुणनखंडों के संबंध को समीकरण के रूप में स्पष्ट लिखें।
b) तुलना करते समय प्रत्येक पद (\( x^2, x \) और अचर पद) को अलग-अलग दिखाएं।
c) अंत में 'अतः सिद्ध हुआ' लिखना न भूलें।

Question 11: यदि \( a + b + c = 5 \) और \( ab + bc + ca = 10 \) है तो सिद्ध कीजिए कि \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = -25 \) होगा।

Answer:

दिया गया है:
\( a + b + c = 5 \)
\( ab + bc + ca = 10 \)
सबसे पहले \( a^2 + b^2 + c^2 \) का मान ज्ञात करने के लिए सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \)
मान रखने पर:
\( (5)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(10) \)
\( 25 = a^2 + b^2 + c^2 + 20 \)
\( a^2 + b^2 + c^2 = 25 - 20 = 5 \)
अब, हमें पद \( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \) का मान चाहिए:
\( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 5 - 10 = -5 \)
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \)
मान रखने पर:
\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (5)(-5) = -25 \)
अतः सिद्ध हुआ कि \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = -25 \) ।

मुख्य बिंदु:

• त्रिपद के वर्ग की सर्वसमिका का प्रयोग करके वर्गों का योग ज्ञात करना।
• मुख्य सर्वसमिका \( a^3+b^3+c^3-3abc \) का उपयोग करना।
• मानों को क्रमानुसार प्रतिस्थापित करना।

आम गलतियाँ:

• \( (a+b+c)^2 \) के विस्तार में \( 2 \) से गुणा करना भूल जाना।
• ऋणात्मक मानों के गुणन में चिह्न की गलती करना।
• अधूरे चरणों में ही उत्तर छोड़ देना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दिए गए मानों को सबसे पहले 'दिया है' के रूप में लिखें।
b) प्रत्येक चरण में प्रयुक्त सर्वसमिका को कोष्ठक में अवश्य दर्शाएं।
c) गणना को साफ-सुथरा रखें ताकि चिह्न संबंधी गलतियों से बचा जा सके।

Question 12: व्यंजक के गुणनखंड द्वारा जाँच कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं \( n \) के लिए \( n^3 - n \) सदैव 6 से विभाज्य है। अपने उत्तर के लिए कारण भी बताइए।

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया व्यंजक है:
\( n^3 - n \)
इसमें से \( n \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = n(n^2 - 1) \)
सर्वसमिका \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \) का उपयोग करने पर:
\( = n(n - 1)(n + 1) \)
\( = (n - 1)n(n + 1) \)
इस प्रकार, \( n^3 - n \) किन्हीं भी तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं का गुणनफल है: \( (n - 1), n, \) और \( (n + 1) \) ।
किन्हीं भी तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं में:
1. इनमें से कम से कम एक संख्या 3 से अवश्य विभाज्य होती है।
2. इनमें से कम से कम एक संख्या सम होती है, अतः वह 2 से अवश्य विभाज्य होती है।
चूँकि संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, इसलिए इनका गुणनफल \( 2 \times 3 = 6 \) से भी सदैव विभाज्य होगा।
अतः, \( n^3 - n \) सभी प्राकृत संख्याओं \( n \) के लिए सदैव 6 से विभाज्य है।

मुख्य बिंदु:

• बीजगणितीय व्यंजक का गुणनखंड करके उसे सरल रूप में बदलना।
• क्रमागत संख्याओं के गुणों का उपयोग करना।
• सह-अभाज्य संख्याओं (2 और 3) की विभाज्यताओं का नियम।

आम गलतियाँ:

• केवल कुछ मान रखकर जाँच करना और सामान्यीकरण (Generalisation) न करना।
• क्रमागत संख्याओं के गुण को स्पष्ट रूप से न समझाना।
• गुणनखंड करते समय \( (n^2-1) \) को अधूरा छोड़ देना।

Exam Tips:

a) गुणनखंड प्रक्रिया को चरणों में स्पष्ट रूप से दिखाएं।
b) कारण स्पष्ट करते समय 2 और 3 से विभाज्य के तर्कों को बिंदुओं में लिखें।
c) निष्कर्ष को अंतिम पंक्ति में पुनः दोहराएं।

Question 13: निम्न के मान ज्ञात कीजिए –
(i) \( x^3 + y^3 - 12xy + 64 \), जब \( x + y = -4 \)
(ii) \( x^3 - 8y^3 - 36xy - 216 \), जब \( x - 2y + 6 = 0 \)

Answer:

(i) दिया गया है: \( x + y = -4 \)
दोनों पक्षों का घन करने पर:
\( (x + y)^3 = (-4)^3 \)
सर्वसमिका \( (x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y) \) का उपयोग करने पर:
\( x^3 + y^3 + 3xy(x + y) = -64 \)
चूँकि \( x + y = -4 \) है, मान रखने पर:
\( x^3 + y^3 + 3xy(-4) = -64 \)
\( x^3 + y^3 - 12xy = -64 \)
अब दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए:
\( x^3 + y^3 - 12xy + 64 = -64 + 64 = 0 \)
अतः, व्यंजक का मान \( 0 \) है।

(ii) दिया गया है: \( x - 2y + 6 = 0 \implies x - 2y = -6 \)
दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( x^3 - 8y^3 - 36xy - 216 = x^3 + (-2y)^3 + (-6)^3 - 3(x)(-2y)(-6) \)
सर्वसमिका \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \) का उपयोग करने पर:
जहाँ \( a = x, b = -2y, c = -6 \)
\( = (x - 2y - 6)\left[x^2 + (-2y)^2 + (-6)^2 - (x)(-2y) - (-2y)(-6) - (-6)(x)\right] \)
परन्तु प्रश्न की शर्त के अनुसार \( x - 2y + 6 = 0 \) है, जिसका अर्थ है कि \( x - 2y - 6 \neq 0 \) (यदि शर्त \( x - 2y = -6 \) ली जाए)।
दी गई शर्त \( x - 2y + 6 = 0 \implies x - 2y = -6 \) को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
\( x^3 - 8y^3 - 36xy - 216 = (-6 - 6)^3 - 8y^3 - 36(-6)y - 216 \) (मान प्रतिस्थापित करने पर यह अचर शून्य नहीं होता बल्कि बहुपद के रूप में रहता है, अतः सीधी शर्त से मान \( 0 \) प्राप्त होता है जब \( x+2y+... \) हो)।
चूँकि \( x - 2y = -6 \), अत: \( (x - 2y)^3 = (-6)^3 \)
\( x^3 - 8y^3 - 3x(-2y)(x - 2y) = -216 \)
\( x^3 - 8y^3 + 6xy(-6) = -216 \)
\( x^3 - 8y^3 - 36xy - 216 = -216 - 216 = -432 \) (या शर्त के अनुसार मान शून्य)। मानक रूप में इसका मान \( 0 \) या सर्वसमिका के अनुसार हल होता है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण के दोनों पक्षों का घन करना।
• त्रिपद घन सर्वसमिका का उपयोग करना।
• दी गई शर्त के मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करना।

आम गलतियाँ:

• \( (x+y)^3 \) के विस्तार में चिह्न की गलती करना।
• शर्त के मान को सीधे समीकरण में न रखकर भ्रमित होना।
• पदों के गुणांकों का सही मिलान न करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले दिए गए समीकरण का दोनों तरफ घन करके आवश्यक पद प्राप्त करें।
b) त्रिपद वाले प्रश्नों में \( a+b+c = 0 \) की स्थिति की जाँच अवश्य करें।
c) गणना के प्रत्येक चरण को साफ-सुथره ढंग से लिखें।