Official NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 04 बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 04 बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण
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Question 1 (i): \( \frac{3p^2 - 3pq - 18q^2}{p^2 + 3pq - 10q^2} \)
Answer:
दिए गए व्यंजक के अंश और हर के गुणनखंड करने पर:
अंश के लिए:
\( 3p^2 - 3pq - 18q^2 = 3(p^2 - pq - 6q^2) \)
\( = 3[p^2 - 3pq + 2pq - 6q^2] \)
\( = 3[p(p - 3q) + 2q(p - 3q)] \)
\( = 3(p - 3q)(p + 2q) \)
हर के लिए:
\( p^2 + 3pq - 10q^2 = p^2 + 5pq - 2pq - 10q^2 \)
\( = p(p + 5q) - 2q(p + 5q) \)
\( = (p + 5q)(p - 2q) \)
अतः परिमेय व्यंजक होगा:
\( \frac{3(p - 3q)(p + 2q)}{(p + 5q)(p - 2q)} \)
मुख्य बिंदु:
• मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण के गुणनखंड करना सीखें।
• उभयनिष्ठ (common) गुणनखंडों को बाहर निकालना आवश्यक है।
• अंत में अंश और हर के गुणनखंडों की तुलना करें।
आम गलतियाँ:
• मध्य पद के गुणनखंड करते समय चिह्नों की गलती करना।
• 3 को केवल पहले पद के साथ रखना और कोष्ठक भूल जाना।
• अंतिम उत्तर में बिना उभयनिष्ठ गुणनखंड के भी काटने की कोशिश करना।
Exam Tips:
a) गुणनखंड के प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से अलग-अलग लाइनों में दिखाएं।
b) सर्वसमिकाओं और मध्य पद विभाजन के नियमों को किनारे पर रफ कार्य में जांच लें।
c) हर के शून्य न होने की शर्त का हमेशा ध्यान रखें।
Question 1 (ii): \( \frac{n^3 - 3n^2m + 3nm^2 - m^3}{5m^2 - 10mn + 5n^2} \)
Answer:
सर्वसमिकाओं का उपयोग करके अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
अंश:
\( n^3 - 3n^2m + 3nm^2 - m^3 = (n - m)^3 \)
(सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) का प्रयोग करने पर)
हर:
\( 5m^2 - 10mn + 5n^2 = 5(m^2 - 2mn + n^2) \)
\( = 5(m - n)^2 \)
(सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का प्रयोग करने पर)
अब व्यंजक बनता है:
\( \frac{(n - m)^3}{5(m - n)^2} = \frac{-(m - n)^3}{5(m - n)^2} \)
\( = -\frac{m - n}{5} \)
मुख्य बिंदु:
• त्रिघात (cubic) सर्वसमिका की पहचान करना।
• \( (n - m) \) और \( (m - n) \) के बीच के ऋणात्मक संबंध को समझना।
• हर में से 5 को उभयनिष्ठ निकालना।
आम गलतियाँ:
• \( (n - m)^3 = -(m - n)^3 \) के चिह्न को बदलते समय गलती करना।
• हर में से 5 को कॉमन लेना भूल जाना।
• घातों को आपस में गलत तरीके से घटाना।
Exam Tips:
a) मानक सर्वसमिकाओं को हमेशा उत्तर पुस्तिका में कोष्ठक में लिखें।
b) ऋण चिह्न का ध्यान रखें क्योंकि \( (n - m) = -(m - n) \) होता है।
c) अंतिम सरल रूप को भिन्न के रूप में स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करें।
Question 1 (iii): \( \frac{w^3 - v^3 + x^3 + 3wvx}{w^2 + v^2 + x^2 - 2wv - 2vx + 2wx} \)
Answer:
सर्वसमिकाओं का प्रयोग करने पर:
अंश:
\( w^3 - v^3 + x^3 + 3wvx = w^3 + (-v)^3 + x^3 - 3w(-v)x \)
\( = (w - v + x)(w^2 + v^2 + x^2 + wv + vx - wx) \)
(सर्वसमिका \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \) का उपयोग करने पर)
हर:
\( w^2 + v^2 + x^2 - 2wv - 2vx + 2wx = w^2 + (-v)^2 + x^2 + 2w(-v) + 2(-v)x + 2xw \)
\( = (w - v + x)^2 \)
(सर्वसमिका \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) का उपयोग करने पर)
अतः व्यंजक:
\( = \frac{(w - v + x)(w^2 + v^2 + x^2 + wv + vx - wx)}{(w - v + x)^2} \)
\( = \frac{w^2 + v^2 + x^2 + wv + vx - wx}{w - v + x} \)
मुख्य बिंदु:
• तीन चरों वाली त्रिघात सर्वसमिका का अनुप्रयोग।
• पदों के चिह्न को समायोजित करके मानक रूप बनाना।
• उभयनिष्ठ गुणनखंड को अंश और हर से निरस्त करना।
आम गलतियाँ:
• \( -v \) के साथ सर्वसमिका लगाते समय चिह्नों में भ्रमित होना।
• हर में द्विपद या त्रिपद के वर्ग का गलत विस्तार करना।
• अंश के गुणनखंड में गलत चिह्न लगाना।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के बड़े प्रश्नों में सर्वसमिकाओं को चरणबद्ध तरीके से लागू करें।
b) ऋणात्मक पदों कोष्ठक में लिखकर सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें।
c) अंतिम उत्तर में उभयनिष्ठ पद काटने के बाद बचा हुआ व्यंजक साफ-साफ लिखें।
Question 1 (iv): \( \frac{4y^2 - 20yz + 25z^2}{25z^2 - 4y^2} \)
Answer:
अंश और हर के गुणनखंड करने पर:
अंश:
\( 4y^2 - 20yz + 25z^2 = (2y)^2 - 2(2y)(5z) + (5z)^2 \)
\( = (2y - 5z)^2 \)
(सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) से)
हर:
\( 25z^2 - 4y^2 = (5z)^2 - (2y)^2 \)
\( = (5z - 2y)(5z + 2y) \)
(सर्वसमिका \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) से)
चूँकि \( (2y - 5z)^2 = (5z - 2y)^2 \) होता है, अतः:
\( \frac{(5z - 2y)^2}{(5z - 2y)(5z + 2y)} = \frac{5z - 2y}{5z + 2y} \)
मुख्य बिंदु:
• पूर्ण वर्ग और दो वर्गों के अंतर की पहचान करना।
• \( (a - b)^2 \) और \( (b - a)^2 \) की समानता को समझना।
• हर के व्यंजक को अंतर के रूप में लिखना।
आम गलतियाँ:
• \( 25z^2 - 4y^2 \) को \( (4y^2 - 25z^2) \) समझकर गलत गुणनखंड करना।
• \( (2y - 5z) \) और \( (5z - 2y) \) को सीधे न काटकर उलझन में पड़ना।
• वर्गमूल निकालते समय गुणांकों की गलती करना।
Exam Tips:
a) पदों का क्रम बदलते समय वर्ग की संपत्ति \( (-1)^2 = 1 \) का ध्यान रखें।
b) हर और अंश के गुणनखंडों को अलग-अलग रूप में हल करें।
c) सरल करने के बाद बचा हुआ परिणाम स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 1 (v): \( \frac{(x^2 + x - 6)(x^2 - 7x + 12)}{(x^2 - 6x + 8)(x^2 - 9)} \)
Answer:
प्रत्येक द्विघात बहुपद के अलग-अलग गुणनखंड करने पर:
पहला बहुपद: \( x^2 + x - 6 = x^2 + 3x - 2x - 6 = (x + 3)(x - 2) \)
दूसरा बहुपद: \( x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x - 4x + 12 = (x - 3)(x - 4) \)
तीसरा बहुपद: \( x^2 - 6x + 8 = x^2 - 4x - 2x + 8 = (x - 4)(x - 2) \)
चौथा बहुपद: \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
अब सभी गुणनखंडों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{(x + 3)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x - 4)(x - 2)(x - 3)(x + 3)} \)
सभी समान गुणनखंड निरस्त हो जाते हैं, अतः:
\( = 1 \)
मुख्य बिंदु:
• चार अलग-अलग बहुपदों के गुणनखंड करना।
• मध्य पद विभाजन और सर्वसमिका \( a^2 - b^2 \) का उपयोग करना।
• अंश और हर के सभी पदों का एक-दूसरे से पूर्णतः कट जाना।
आम गलतियाँ:
• मध्य पद के गुणनखंड करते समय चिह्न की त्रुटि करना।
• किसी एक बहुपद के गुणनखंड में गलती से पूरा प्रश्न गलत हो जाना।
• काटने के बाद उत्तर में 0 लिखना जबकि सही उत्तर 1 है।
Exam Tips:
a) प्रत्येक द्विघात व्यंजक को पहले रफ कार्य में गुणनखंडित करके फिर मुख्य उत्तर में लिखें।
b) अंश और हर दोनों के गुणनखंडों को एक बड़ी भिन्न रेखा के अंदर आमने-सामने मिलाएं।
c) अंत में उत्तर 1 लिखना न भूलें जब सभी पद कट जाएं।
Question 1 (vi): \( \frac{p^4 - 16}{p^2 - 4p + 4} \)
Answer:
अंश और हर के गुणनखंड करने पर:
अंश:
\( p^4 - 16 = (p^2)^2 - (4)^2 \)
\( = (p^2 - 4)(p^2 + 4) \)
(सर्वसमिका \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) से)
पुनः \( p^2 - 4 \) के गुणनखंड करने पर:
\( = (p - 2)(p + 2)(p^2 + 4) \)
हर:
\( p^2 - 4p + 4 = p^2 - 2(p)(2) + (2)^2 \)
\( = (p - 2)^2 \)
(सर्वसमिका \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \) से)
अतः व्यंजक:
\( = \frac{(p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)}{(p - 2)^2} \)
\( = \frac{(p + 2)(p^2 + 4)}{p - 2} \)
मुख्य बिंदु:
• चतुर्थ घात वाले पद पर दो बार वर्ग-अंतर सर्वसमिका लगाना।
• पूर्ण वर्ग त्रिपद की पहचान करना।
• उभयनिष्ठ गुणनखंड \( (p - 2) \) को काटना।
आम गलतियाँ:
• \( p^4 - 16 \) को केवल एक बार गुणनखंड करके छोड़ देना और दूसरा चरण भूल जाना।
• हर के गुणनखंड में \( (p + 2)^2 \) लिख देना जबकि सही \( (p - 2)^2 \) है।
• घातांक नियमों का पालन न करना।
Exam Tips:
a) \( p^4 - 16 \) जैसे पदों में देखें कि क्या सर्वसमिका दोबारा लग सकती है।
b) हर के द्विघात समीकरण की तुलना पूर्ण वर्ग सर्वसमिका से सावधानीपूर्वक करें।
c) अंतिम उत्तर में अंश और हर के बचे हुए भागों को कोष्ठक में स्पष्ट लिखें।
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