NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 04 Exploring Algebraic Identities (बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण) Exercise 4.4 in Hindi

Question 1: निम्न सर्वसमिकाओं को पूर्ण करने हेतु रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
(i) \( s^2 - 11s + 24 = (\_\_\_\_\_\_) (\_\_\_\_\_\_) \)
(ii) \( (\_\_\_\_\_\_) (x + 1) = (3x^2 - 4x - 7) \)
(iii) \( 10x^2 - 11x - 6 = (2x - ) ( + 2) \)
(iv) \( 6x^2 + 7x + 2 = ()() \)

Answer:

(i) \( s^2 - 11s + 24 = ()() \)
हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका योग = \( -11 \) और गुणनफल = \( 24 \) हो। ये संख्याएँ \( -3 \) और \( -8 \) हैं।
अतः,
\( s^2 - 11s + 24 = s^2 - 8s - 3s + 24 \)
\( = s(s - 8) - 3(s - 8) \)
\( = (s - 3)(s - 8) \)

(ii) \( (\_\_\_\_\_\_)(x + 1) = (3x^2 - 4x - 7) \)
RHS को गुणनखंडित करने पर:
\( 3x^2 - 4x - 7 = 3x^2 - 7x + 3x - 7 \)
\( = x(3x - 7) + 1(3x - 7) \)
\( = (3x - 7)(x + 1) \)
अतः रिक्त स्थान में \( (3x - 7) \) आएगा।

(iii) \( 10x^2 - 11x - 6 = (2x - 3)(5x + 2) \)
LHS को गुणनखंडित करने पर:
\( 10x^2 - 11x - 6 = 10x^2 - 15x + 4x - 6 \)
\( = 5x(2x - 3) + 2(2x - 3) \)
\( = (5x + 2)(2x - 3) \)

(iv) \( 6x^2 + 7x + 2 = (3x + 2)(2x + 1) \)
मध्य पद को विभक्त करने पर:
\( 6x^2 + 7x + 2 = 6x^2 + 3x + 4x + 2 \)
\( = 3x(2x + 1) + 2(2x + 1) \)
\( = (3x + 2)(2x + 1) \)

मुख्य बिंदु:

• मध्य पद विभाजन विधि (Splitting the middle term) का प्रयोग किया गया है।
• दो ऐसी संख्याएँ खोजी जाती हैं जिनका गुणनफल प्रथम और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर हो।
• उभयनिष्ठ (Common) निकालकर गुणनखंड बनाए जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• चिन्हों (+ और -) में गलती करना।
• गलत गुणनखंड चुनना जिनका योग या गुणनफल सही न हो।
• उभयनिष्ठ लेते समय कोष्ठक के अंदर के चिन्हों का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) गुणनखंड करते समय मध्य पद को ध्यान से विभाजित करें।
b) उत्तर की जाँच के लिए गुणनखंडों को आपस में गुणा करके देख सकते हैं।
c) हर चरण को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।

Question 2: ऐसी सर्वसमिका का चयन कीजिए और उसका उपयोग कीजिए, जिससे आप सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कर सकें –
(i) \( (41)^2 \) (ii) \( (27)^2 \) (iii) \( (23 \times 17) \) (iv) \( (135)^2 \) (v) \( (97)^2 \) (vi) \( (18 \times 29) \) (vii) \( (34 \times 43) \) (viii) \( (205)^2 \)

Answer:

(i) \( (41)^2 \)
\( = (40 + 1)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 40^2 + 2 \times 40 \times 1 + 1^2 \)
\( = 1600 + 80 + 1 \)
\( = 1681 \)

(ii) \( (27)^2 \)
\( = (30 - 3)^2 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 30^2 - 2 \times 30 \times 3 + 3^2 \)
\( = 900 - 180 + 9 \)
\( = 729 \)

(iii) \( (23 \times 17) \)
\( = (20 + 3)(20 - 3) \)
सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 20^2 - 3^2 \)
\( = 400 - 9 \)
\( = 391 \)

(iv) \( (135)^2 \)
\( = (100 + 35)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 100^2 + 2 \times 100 \times 35 + 35^2 \)
\( = 10000 + 7000 + 1225 \)
\( = 18225 \)

(v) \( (97)^2 \)
\( = (100 - 3)^2 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 100^2 - 2 \times 100 \times 3 + 3^2 \)
\( = 10000 - 600 + 9 \)
\( = 9409 \)

(vi) \( (18 \times 29) \)
नोट: यह प्रश्न पाठ्यपुस्तक के अनुसार \( (18 \times 29) \) का कोई सीधा गुणनखंड नहीं बनाता, परंतु मानक विधि \( (20 - 2)(20 + 9) \) या अन्य रूप में हल किया जा सकता है। यहाँ मानक हल के अनुसार:
\( 18 \times 29 = (20 - 2)(20 + 9) \)
\( = 20^2 + (-2 + 9) \times 20 + (-2) \times 9 \)
सर्वसमिका \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) का उपयोग करते हुए:
\( = 400 + 140 - 18 \)
\( = 522 \)

(vii) \( (34 \times 43) \)
\( = (38 - 4)(38 + 5) \)
सर्वसमिका \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) का उपयोग करते हुए:
\( = 38^2 + (-4 + 5) \times 38 + (-20) \)
\( = 1444 + 38 - 20 \)
\( = 1462 \)

(viii) \( (205)^2 \)
\( = (200 + 5)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करते हुए:
\( = 200^2 + 2 \times 200 \times 5 + 5^2 \)
\( = 40000 + 2000 + 25 \)
\( = 42025 \)

मुख्य बिंदु:

• संख्याओं को ऐसी निकटतम दहाई या सैकड़े की संख्या में तोड़ा जाता है जिससे गणना आसान हो जाए।
• उचित बीजीय सर्वसमिका की पहचान करना आवश्यक है।
• वर्ग और गुणन की गणना ध्यानपूर्वक की जानी चाहिए।

आम गलतियाँ:

• गलत सर्वसमिका का चयन करना।
• गुणन या जोड़-घटाव में गणना की त्रुटि करना।
• सर्वसमिका के मध्य पद \( 2ab \) में 2 से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) संख्या के सबसे पास की पूर्ण दहाई या सैकड़ा संख्या चुनें।
b) उपयोग की जाने वाली सर्वसमिका को उत्तर में स्पष्ट रूप से कोष्ठक में लिखें।
c) प्रत्येक चरण को अलग लाइन में लिखकर हल करें।

Question 3: निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए –
(i) \( 9a^2 + b^2 + 4c^2 - 6ab + 12ac - 4bc \)
(ii) \( 16s^2 + 25t^2 - 40st \)
(iii) \( r^2 - r - 42 \)
(④) \( 49g^2 + 14gh + h^2 \)
(v) \( 64u^2 + 121v^2 + 4w^2 - 176uv - 32uw + 44vw \)

Answer:

(i) \( 9a^2 + b^2 + 4c^2 - 6ab + 12ac - 4bc \)
पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( = (3a)^2 + (-b)^2 + (2c)^2 + 2(3a)(-b) + 2(-b)(2c) + 2(3a)(2c) \)
सर्वसमिका \( x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (3a - b + 2c)^2 \)

(ii) \( 16s^2 + 25t^2 - 40st \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( = 16s^2 - 40st + 25t^2 \)
\( = (4s)^2 - 2(4s)(5t) + (5t)^2 \)
सर्वसमिका \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (4s - 5t)^2 \)

(iii) \( r^2 - r - 42 \)
मध्य पद को विभक्त करने पर (ऐसी दो संख्याएँ जिनका गुणनफल \( -42 \) और योग \( -1 \) हो, वे \( -7 \) और \( 6 \) हैं):
\( = r^2 - 7r + 6r - 42 \)
\( = r(r - 7) + 6(r - 7) \)
\( = (r - 7)(r + 6) \)

(iv) \( 49g^2 + 14gh + h^2 \)
\( = (7g)^2 + 2(7g)(h) + (h)^2 \)
सर्वसमिका \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (7g + h)^2 \)

(v) \( 64u^2 + 121v^2 + 4w^2 - 176uv - 32uw + 44vw \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( = 64u^2 + 121v^2 + 4w^2 - 176uv + 44vw - 32uw \)
\( = (8u)^2 + (11v)^2 + (2w)^2 + 2(8u)(-11v) + 2(-11v)(-2w) + 2(8u)(-2w) \)
सर्वसमिका \( x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (8u - 11v - 2w)^2 \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिपद और चतुष्पद व्यंजकों के गुणनखंड के लिए मानक सर्वसमिकाओं का प्रयोग किया जाता है।
• चिन्हों (- और +) की स्थिति देखकर यह तय किया जाता है कि कौन सा चर ऋणात्मक होगा।
• त्रि-चर सर्वसमिका में द्विपद या त्रिपद वर्गों का विस्तार और संकुचन किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिन्हों के साथ वर्ग या गुणन करते समय गलती करना।
• सही सर्वसमिका की पहचान न कर पाना।
• पदों को ठीक से व्यवस्थित न करना।

Exam Tips:

a) त्रि-चर वाले प्रश्नों में चिन्हों को जांचने के लिए गुणन वाले पदों (जैसे \( -6ab \)) का विशेष ध्यान रखें।
b) उत्तर लिखते समय अंत में सर्वसमिका का नाम कोष्ठक में अवश्य लिखें।
c) हर चरण को क्रमानुसार नीचे की लाइन में हल करें।