Download NCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 04 बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण
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Question 1(i): 117²
Answer:
संख्या को निकटतम दहाई या सैकड़े के रूप में तोड़कर सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
\( 117 = 110 + 7 \)
अतः, \( 117^2 = (110 + 7)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 110^2 + 2(110)(7) + 7^2 \)
\( = 12100 + 1540 + 49 \)
\( = 13689 \)
मुख्य बिंदु:
• संख्याओं को ऐसी दो संख्याओं के योग या अंतर में तोड़ना चाहिए जिनका वर्ग आसानी से निकाला जा सके।
• यहाँ \( (a + b)^2 \) सर्वसमिका का प्रयोग किया गया है।
• गणना को सरल बनाने के लिए 110 आधार का चयन किया गया है।
आम गलतियाँ:
• मध्य पद \( 2ab \) में 2 से गुणा करना भूल जाना।
• गलत सर्वसमिका का चयन करना।
• जोड़ने में गणना की अशुद्धि करना।
Exam Tips:
a) हमेशा ऐसी संख्या चुनें जिसके अंत में शून्य (0) हों, जिससे गुणा करना आसान हो।
b) परीक्षा में सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) प्रत्येक चरण को अलग लाइन में हल करें ताकि गलती की संभावना न रहे।
Question 1(ii): 78²
Answer:
संख्या को निकटतम दहाई के रूप में तोड़ते हैं:
\( 78 = 80 - 2 \)
अतः, \( 78^2 = (80 - 2)^2 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 80^2 - 2(80)(2) + 2^2 \)
\( = 6400 - 320 + 4 \)
\( = 6084 \)
मुख्य बिंदु:
• यहाँ घटाव वाली सर्वसमिका \( (a - b)^2 \) का प्रयोग किया गया है क्योंकि 78, 80 के समीप है।
• \( 80^2 \) का मान आसानी से निकाला जा सकता है।
• मध्य पद ऋणात्मक होता है।
आम गलतियाँ:
• \( - 2ab \) की जगह \( + 2ab \) लिख देना।
• अंतिम पद \( b^2 \) को ऋणात्मक लिख देना, जबकि यह हमेशा धनात्मक होता है।
• घटाव के चरण में गलती करना।
Exam Tips:
a) यदि दी गई संख्या 80, 90 या 100 जैसी पूर्ण दहाई से थोड़ी कम है, तो घटाव रूप का प्रयोग करें।
b) अंतिम पद \( b^2 \) का चिह्न हमेशा धन (+) ही होगा।
c) अपने उत्तर की जाँच सामान्य गुणन विधि से भी कर सकते हैं।
Question 1(iii): 198²
Answer:
संख्या को निकटतम सैकड़े के रूप में लिखते हैं:
\( 198 = 200 - 2 \)
अतः, \( 198^2 = (200 - 2)^2 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 200^2 - 2(200)(2) + 2^2 \)
\( = 40000 - 800 + 4 \)
\( = 39204 \)
मुख्य बिंदु:
• 198 को \( (200 - 2) \) के रूप में लिखना सबसे सरल है।
• \( 200^2 \) का मान 40000 होता है।
• यहाँ \( a = 200 \) और \( b = 2 \) हैं।
आम गलतियाँ:
• \( 200^2 \) निकालते समय शून्य की संख्या में गलती करना।
• मध्य पद का गुणनफल गलत निकालना।
Exam Tips:
a) बड़ी संख्याओं के वर्ग निकालते समय 100, 200, 500 या 1000 को आधार बनाएं।
b) ब्रैकेट का ध्यान रखें ताकि चिह्न की गलती न हो।
c) अंतिम परिणाम में जोड़-घटाव सावधानी से करें।
Question 1(iv): 214²
Answer:
संख्या को इस प्रकार लिखते हैं:
\( 214 = 200 + 14 \)
अतः, \( 214^2 = (200 + 14)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 200^2 + 2(200)(14) + 14^2 \)
\( = 40000 + 5600 + 196 \)
\( = 45796 \)
मुख्य बिंदु:
• 214 के लिए \( (200 + 14) \) सर्वसमिका का उपयोग किया गया है।
• \( 14^2 \) का मान 196 होता है।
• सभी पद धनात्मक हैं।
आम गलतियाँ:
• \( 14^2 \) का मान याद न होने पर गलत लिख देना।
• गुणा करते समय संख्याओं का सही क्रम न रखना।
Exam Tips:
a) कम से कम 1 से 20 तक के वर्ग याद रखें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंतिम जोड़ सही तरीके से कॉलम बनाकर करें।
Question 1(v): 1104²
Answer:
संख्या को इस प्रकार लिखते हैं:
\( 1104 = 1100 + 4 \)
अतः, \( 1104^2 = (1100 + 4)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 1100^2 + 2(1100)(4) + 4^2 \)
\( = 1210000 + 8800 + 16 \)
\( = 1218816 \)
मुख्य बिंदु:
• 1104 के लिए 1100 आधार और 4 को जोड़ा गया है।
• \( 1100^2 \) में चार शून्य आते हैं।
• \( (a + b)^2 \) सर्वसमिका का प्रयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• बड़े वर्ग में शून्य की संख्या गलत गिनना।
• मध्य पद के गुणन में भूल करना।
Exam Tips:
a) बड़ी संख्याओं के वर्ग निकालते समय विशेष सावधानी बरतें।
b) सूत्र को पहले अवश्य लिखें।
c) उत्तर की जाँच अंत में जरूर करें।
Question 1(vi): 1120²
Answer:
संख्या को इस प्रकार लिखते हैं:
\( 1120 = 1100 + 20 \)
अतः, \( 1120^2 = (1100 + 20)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = 1100^2 + 2(1100)(20) + 20^2 \)
\( = 1210000 + 44000 + 400 \)
\( = 1254400 \)
मुख्य बिंदु:
• 1120 को \( 1100 + 20 \) लिखा गया है।
• \( 20^2 = 400 \) होता है।
• \( 2 \times 1100 \times 20 = 44000 \) होता है।
आम गलतियाँ:
• \( 20^2 \) का मान गलत लिखना।
• जोड़ते समय स्थानीय मान (place value) की गड़बड़ी करना।
Exam Tips:
a) दहाई वाली संख्या का वर्ग करते समय शून्य का ध्यान रखें।
b) हर पद को अलग-अलग सरल करें।
c) परीक्षा में सुंदर और स्पष्ट लिखावट रखें।
Question 2(i): 16y² − 24y + 9
Answer:
पदों को वर्ग के रूप में व्यक्त करने पर:
\( 16y^2 = (4y)^2 \)
\( 9 = 3^2 \)
मध्य पद: \( -24y = -2(4y)(3) \)
अतः, व्यंजक बनता है:
\( (4y)^2 - 2(4y)(3) + 3^2 \)
सर्वसमिका \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (4y - 3)^2 \)
मुख्य बिंदु:
• यह व्यंजक \( a^2 - 2ab + b^2 \) के रूप में है।
• यहाँ \( a = 4y \) और \( b = 3 \) हैं।
• गुणनखंड रूप \( (a - b)^2 \) होता है।
आम गलतियाँ:
• \( 16y^2 \) का वर्गमूल लेते समय केवल 4 लिखना और y छोड़ देना।
• मध्य पद के चिह्न की उपेक्षा करना।
Exam Tips:
a) गुणनखंड करते समय सबसे पहले पहले और अंतिम पद का वर्ग रूप पहचानें।
b) मध्य पद की जाँच \( 2ab \) से अवश्य करें।
c) अंतिम उत्तर को ब्रैकेट और वर्ग के रूप में लिखें।
Question 2(ii): (9/4)s² + 6st + 4t²
Answer:
पदों को वर्ग के रूप में लिखने पर:
\( \frac{9}{4}s^2 = \left(\frac{3s}{2}\right)^2 \)
\( 4t^2 = (2t)^2 \)
मध्य पद की जाँच करने पर:
\( 6st = 2 \times \left(\frac{3s}{2}\right) \times (2t) \)
सर्वसमिका \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = \left(\frac{3s}{2} + 2t\right)^2 \)
मुख्य बिंदु:
• भिन्नात्मक गुणांक वाले पदों का वर्गमूल सावधानी से निकालें।
• यहाँ \( a = \frac{3s}{2} \) और \( b = 2t \) हैं।
• सभी पद धनात्मक हैं अतः \( (a + b)^2 \) का प्रयोग होगा।
आम गलतियाँ:
• भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्ग करना भूल जाना।
• मध्य पद में 2 से गुणा करना छोड़ देना।
Exam Tips:
a) भिन्नात्मक पदों से घबराएं नहीं, सामान्य नियमों का पालन करें।
b) ब्रैकेट के अंदर के पदों को स्पष्ट लिखें।
c) सूत्र का उल्लेख अनिवार्य रूप से करें।
Question 2(iii): m²/9 + mk/3 + k²/4 + 3nk + 2mn + 9n²
Answer:
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( \frac{m^2}{9} + \frac{k^2}{4} + 9n^2 + \frac{mk}{3} + 3nk + 2mn \)
इन्हें वर्गों के रूप में लिखने पर:
\( \frac{m^2}{9} = \left(\frac{m}{3}\right)^2 \)
\( \frac{k^2}{4} = \left(\frac{k}{2}\right)^2 \)
\( 9n^2 = (3n)^2 \)
द्विपद गुणन और सर्वसमिका \( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = \left(\frac{m}{3} + \frac{k}{2} + 3n\right)^2 \)
मुख्य बिंदु:
• यह तीन चरों \( (m, k, n) \) वाला पूर्ण वर्ग व्यंजक है।
• पदों को सही क्रम में व्यवस्थित करना आवश्यक है।
• \( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) सर्वसमिका का प्रयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• पदों का क्रम बिना व्यवस्थित किए सीधे हल करने का प्रयास करना।
• हर के वर्गमूल को छोड़ देना।
Exam Tips:
a) तीन चरों वाले प्रश्नों में पहले सभी वर्गों वाले पदों को एकसाथ लिखें।
b) मध्य पदों के गुणन की जाँच \( 2ab, 2bc, 2ca \) से करें।
c) उत्तर तीन पदों के योग का वर्ग होगा।
Question 2(iv): p²/16 − 2 + 16/p²
Answer:
पदों को वर्ग और मध्य पद के रूप में लिखने पर:
\( \frac{p^2}{16} = \left(\frac{p}{4}\right)^2 \)
\( \frac{16}{p^2} = \left(\frac{4}{p}\right)^2 \)
मध्य पद: \( -2 = -2 \times \left(\frac{p}{4}\right) \times \left(\frac{4}{p}\right) \)
सर्वसमिका \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = \left(\frac{p}{4} - \frac{4}{p}\right)^2 \)
मुख्य बिंदु:
• यहाँ चर अंश और हर दोनों में हैं।
• मध्य पद -2 प्राप्त होता है क्योंकि \( p \) और \( p \) आपस में कट जाते हैं।
• \( (a - b)^2 \) सर्वसमिका का प्रयोग हुआ है।
आम गलतियाँ:
• मध्य पद -2 को देखकर भ्रमित होना कि यह कैसे आया।
• व्युत्क्रम पदों (reciprocal terms) का सही वर्ग न पहचानना।
Exam Tips:
a) यदि मध्य पद में संख्या अकेली है, तो देखें कि क्या चर आपस में कट रहे हैं।
b) चरणों को विस्तार से लिखकर दिखाएं कि -2 कैसे आया।
c) सूत्र का नाम कोष्ठक में अवश्य लिखें।
Question 2(v): 9a² + 4b² + c² − 12ab + 6ac − 4bc
Answer:
पदों को वर्गों के रूप में लिखने पर:
\( 9a^2 = (3a)^2 \)
\( 4b^2 = (-2b)^2 \) (क्योंकि \( -12ab \) और \( -4bc \) में \( b \) उभयनिष्ठ और ऋणात्मक है)
\( c^2 = c^2 \)
सर्वसमिका \( x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (3a - 2b + c)^2 \)
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक चिह्नों से यह तय होता है कि कौन सा पद ऋणात्मक है।
• यहाँ \( b \) वाला पद ऋणात्मक \( (-2b) \) होगा क्योंकि जिन पदों में \( b \) है वे ऋणात्मक हैं।
• तीन चरों के वर्ग की सर्वसमिका का प्रयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक चिह्न का चयन गलत करना (जैसे \( a \) या \( c \) को ऋणात्मक मान लेना)।
• \( 2ab, 2bc, 2ca \) के चिह्नों की जाँच न करना।
Exam Tips:
a) ऋणात्मक गुणनफलों को देखकर पहचानें कि कौन सा चर ऋणात्मक है।
b) कोष्ठक के भीतर चिह्न लगाते समय विशेष सतर्क रहें।
c) उत्तर की जाँच गुणन करके की जा सकती है।
Question 3(i): (p + 3q + 7r)²
Answer:
यहाँ \( a = p, b = 3q, c = 7r \) हैं।
सर्वसमिका \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) का उपयोग करने पर:
\( (p + 3q + 7r)^2 = p^2 + (3q)^2 + (7r)^2 + 2(p)(3q) + 2(3q)(7r) + 2(p)(7r) \)
सरल करने पर:
\( = p^2 + 9q^2 + 49r^2 + 6pq + 42qr + 14pr \)
मुख्य बिंदु:
• यह तीन पदों के योग के वर्ग की सर्वसमिका पर आधारित है।
• प्रत्येक पद का अलग वर्ग होता है और फिर गुणनफल के दो गुने पद आते हैं।
• सभी पद धनात्मक हैं।
आम गलतियाँ:
• \( (3q)^2 \) को केवल \( 3q^2 \) लिख देना (9 छोड़ देना)।
• गुणनफल वाले पदों में 2 से गुणा करना भूल जाना।
Exam Tips:
a) सूत्र लिखकर मान सीधे प्रतिस्थापित करें।
b) गुणा करते समय गुणांकों (coefficients) का भी आपस में गुणा करें।
c) सभी छह पदों को सही रूप में लिखें।
Question 3(ii): (3x − 2y + 4z)²
Answer:
इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: \( [3x + (-2y) + 4z]^2 \)
यहाँ \( a = 3x, b = -2y, c = 4z \) हैं।
सर्वसमिका \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) का उपयोग करने पर:
\( = (3x)^2 + (-2y)^2 + (4z)^2 + 2(3x)(-2y) + 2(-2y)(4z) + 2(3x)(4z) \)
सरल करने पर:
\( = 9x^2 + 4y^2 + 16z^2 - 12xy - 16yz + 24xz \)
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक पद को कोष्ठक के अंदर चिह्न के साथ रखना चाहिए।
• \( (-2y)^2 \) धनात्मक \( 4y^2 \) हो जाएगा।
• जिन पदों में \( y \) है वे ऋणात्मक हो जाएंगे।
आम गलतियाँ:
• मध्य पदों के चिह्न तय करने में गलती करना।
• \( (-2y)^2 \) को ऋणात्मक लिख देना।
Exam Tips:
a) ऋणात्मक चिह्न वाले प्रश्नों में मान रखते समय बड़े कोष्ठक का प्रयोग करें।
b) गुणनफल के चिह्न (+ या -) का विशेष ध्यान रखें।
c) अंत में सभी पदों को मिलाकर मानक रूप में लिखें।
Question 4: क्या यह एक सर्वसमिका है? (a + b − c)² + (a − b + c)² + (a − b − c)² = 2a² + 2b² + 2c²
Answer:
बाएँ पक्ष (LHS) के प्रत्येक भाग का विस्तार करते हैं:
पहला भाग: \( (a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc \)
दूसरा भाग: \( (a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc \)
तीसरा भाग: \( (a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc \)
अब तीनों भागों को जोड़ने पर:
\( \text{LHS} = (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc) \)
समान पदों को जोड़ने और घटाने पर:
\( \text{LHS} = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \)
चूँकि \( \text{LHS} \neq \text{RHS} \) (\( 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \neq 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \))
अतः, दिया गया कथन एक सर्वसमिका नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• सर्वसमिका वह समीकरण होती है जो चरों के सभी मानों के लिए सत्य हो।
• LHS और RHS की तुलना करके जाँच की जाती है।
• यहाँ तीनों भागों का अलग-अलग विस्तार करके योग निकाला गया है।
आम गलतियाँ:
• विस्तार करते समय चिह्नों की भूल करना।
• समान पदों को जोड़ते समय गिनती में गलती करना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक ब्रैकेट का विस्तार बहुत सावधानी से करें।
b) कटने वाले पदों को स्पष्ट रूप से काटें।
c) अंत में निष्कर्ष स्पष्ट लिखें कि यह सर्वसमिका है या नहीं।
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