Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 04 बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण
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Question 1: पूर्णतः गुणनखंडन कीजिए –
(i) \( 9x^2 + 24xy + 16y^2 \)
(ii) \( 4s^2 + 20st + 25t^2 \)
(iii) \( 49x^2 + 28xy + 4y^2 \)
(iv) \( 64p^2 + \frac{32}{3}pq + \frac{4}{9}q^2 \)
(v) \( 3a^2 + 4ab + \frac{4}{3}b^2 \)
(vi) \( \frac{9}{5}s^2 + 6sv + 5v^2 \) (संकेत - उदाहरण 7 में 2 को एक सार्व गुणनखंड के रूप में प्राप्त किया गया था। क्या इसी विधि का उपयोग ऊपर दिए गए प्रश्न (v) और (vi) में किया जा सकता है?)
Answer:
दिए गए व्यंजकों का गुणनखंड सर्वसमिका \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) का उपयोग करके निम्नलिखित प्रकार से किया जा सकता है:
(i) \( 9x^2 + 24xy + 16y^2 \)
यहाँ \( 9x^2 = (3x)^2 \), \( 16y^2 = (4y)^2 \) और मध्य पद \( 24xy = 2 \times 3x \times 4y \) है।
अतः, \( (3x)^2 + 2 \times 3x \times 4y + (4y)^2 = (3x + 4y)^2 \)
(ii) \( 4s^2 + 20st + 25t^2 \)
यहाँ \( 4s^2 = (2s)^2 \), \( 25t^2 = (5t)^2 \) और मध्य पद \( 20st = 2 \times 2s \times 5t \) है।
अतः, \( (2s)^2 + 2 \times 2s \times 5t + (5t)^2 = (2s + 5t)^2 \)
(iii) \( 49x^2 + 28xy + 4y^2 \)
यहाँ \( 49x^2 = (7x)^2 \), \( 4y^2 = (2y)^2 \) और मध्य पद \( 28xy = 2 \times 7x \times 2y \) है।
अतः, \( (7x)^2 + 2 \times 7x \times 2y + (2y)^2 = (7x + 2y)^2 \)
(iv) \( 64p^2 + \frac{32}{3}pq + \frac{4}{9}q^2 \)
यहाँ \( 64p^2 = (8p)^2 \), \( \frac{4}{9}q^2 = \left(\frac{2}{3}q\right)^2 \) और मध्य पद \( 2 \times 8p \times \left(\frac{2}{3}q\right) = \frac{32}{3}pq \) है।
अतः, \( (8p)^2 + 2 \times 8p \times \left(\frac{2}{3}q\right) + \left(\frac{2}{3}q\right)^2 = \left(8p + \frac{2}{3}q\right)^2 \)
(v) \( 3a^2 + 4ab + \frac{4}{3}b^2 \)
उभयनिष्ठ गुणनखंड \( 3 \) लेने पर:
\( = 3\left[a^2 + \frac{4}{3}ab + \frac{4}{9}b^2\right] \)
यहाँ \( a^2 = (a)^2 \), \( \frac{4}{9}b^2 = \left(\frac{2}{3}b\right)^2 \) और \( \frac{4}{3}ab = 2 \times a \times \left(\frac{2}{3}b\right) \) है।
अतः, \( 3\left[(a)^2 + 2 \times a \times \left(\frac{2}{3}b\right) + \left(\frac{2}{3}b\right)^2\right] = 3\left(a + \frac{2}{3}b\right)^2 \)
(vi) \( \frac{9}{5}s^2 + 6sv + 5v^2 \)
उभयनिष्ठ गुणनखंड \( \frac{1}{5} \) लेने पर:
\( = \frac{1}{5}\left[9s^2 + 30sv + 25v^2\right] \)
यहाँ \( 9s^2 = (3s)^2 \), \( 25v^2 = (5v)^2 \) और \( 30sv = 2 \times 3s \times 5v \) है।
अतः, \( \frac{1}{5}\left[(3s)^2 + 2 \times 3s \times 5v + (5v)^2\right] = \frac{1}{5}(3s + 5v)^2 \)
मुख्य बिंदु:
• बीजीय सर्वसमिका \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) का प्रयोग किया गया है।
• भिनात्मक पदों वाले व्यंजकों में सार्व गुणनखंड को बाहर निकालकर पूर्ण वर्ग बनाया जा सकता है।
• मध्य पद की जाँच करके यह सुनिश्चित किया जाता है कि व्यंजक पूर्ण वर्ग है या नहीं।
आम गलतियाँ:
• भिन्नों के उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते समय गलती करना।
• मध्य पद को \( 2ab \) के रूप में सही से न तोड़ना।
• सर्वसमिका में मान रखते समय कोष्ठक का सही प्रयोग न करना।
Exam Tips:
a) गुणनखंड करते समय सबसे पहले यह देखें कि क्या कोई पद उभयनिष्ठ (common) निकाला जा सकता है।
b) प्रथम और अंतिम पदों के वर्गमूल निकालकर मध्य पद से उसकी तुलना अवश्य करें।
c) अंतिम उत्तर को हमेशा सर्वसमिका के मानक रूप में ही लिखें।
Question 2: सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए –
(i) \( (79)^2 \)
(ii) \( (193)^2 \)
(iii) \( (299)^2 \)
Answer:
दी गई सर्वसमिका का उपयोग करके मान इस प्रकार ज्ञात किए जा सकते हैं:
(i) \( (79)^2 \)
\( 79 = 80 - 1 \) लिखने पर:
\( (79)^2 = (80 - 1)^2 \)
सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (80)^2 - 2 \times 80 \times 1 + (1)^2 \)
\( = 6400 - 160 + 1 \)
\( = 6241 \)
(ii) \( (193)^2 \)
\( 193 = 200 - 7 \) लिखने पर:
\( (193)^2 = (200 - 7)^2 \)
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
\( = (200)^2 - 2 \times 200 \times 7 + (7)^2 \)
\( = 40000 - 2800 + 49 \)
\( = 37249 \)
(iii) \( (299)^2 \)
\( 299 = 300 - 1 \) लिखने पर:
\( (299)^2 = (300 - 1)^2 \)
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
\( = (300)^2 - 2 \times 300 \times 1 + (1)^2 \)
\( = 90000 - 600 + 1 \)
\( = 89401 \)
मुख्य बिंदु:
• संख्याओं को निकटतम दहाई, सैकड़े या हजार के पदों में तोड़कर लिखना आसान होता है।
• यहाँ \( (a - b)^2 \) सर्वसमिका का प्रयोग किया गया है।
• गुणन और घटाव की क्रिया को चरणबद्ध तरीके से हल करना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• संख्या को तोड़ते समय गलत मान चुनना (जैसे 79 को \( 70 + 9 \) की बजाय \( 80 - 1 \) लिखना अधिक सुगम है)।
• मध्य पद \( 2ab \) में 2 से गुणा करना भूल जाना।
• ऋणात्मक और धनात्मक चिह्नों का सही प्रयोग न करना।
Exam Tips:
a) हमेशा ऐसी संख्या चुनें जिसका वर्ग करना मानसिक रूप से आसान हो (जैसे 80, 200, 300)।
b) परीक्षा में गणना करते समय रफ़ कार्य (rough work) में जोड़-घटाव की जाँच अवश्य कर लें।
c) सर्वसमिका के सूत्र को उत्तरपुस्तिका में स्पष्ट रूप से लिखें।
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Mathematics Class 9 Curriculum Solutions: Chapter 04 बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण
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