NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 04 Exploring Algebraic Identities (बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण) Exercise 4.1 in Hindi

Question 1: सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके निम्नलिखित का विस्तार कीजिए –
(i) (7x + 4y)²
(ii) (7/5 x + 3/2 y)²
(iii) (2.5p + 1.5q)²
(iv) (3/4 s + 8t)²
(v) (x + 1/2y)²
(vi) (1/x + 1/y)²

Answer:

(i) \( (7x + 4y)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर, जहाँ \( a = 7x \) और \( b = 4y \):
\( = (7x)^2 + 2(7x)(4y) + (4y)^2 \)
\( = 49x^2 + 56xy + 16y^2 \)

(ii) \( (\frac{7}{5}x + \frac{3}{2}y)^2 \)
जहाँ \( a = \frac{7}{5}x \) और \( b = \frac{3}{2}y \):
\( = (\frac{7}{5}x)^2 + 2 \times (\frac{7}{5}x) \times (\frac{3}{2}y) + (\frac{3}{2}y)^2 \)
\( = \frac{49}{25}x^2 + \frac{21}{5}xy + \frac{9}{4}y^2 \)

(iii) \( (2.5p + 1.5q)^2 \)
जहाँ \( a = 2.5p \) और \( b = 1.5q \):
\( = (2.5p)^2 + 2(2.5p)(1.5q) + (1.5q)^2 \)
\( = 6.25p^2 + 7.5pq + 2.25q^2 \)

(iv) \( (\frac{3}{4}s + 8t)^2 \)
जहाँ \( a = \frac{3}{4}s \) और \( b = 8t \):
\( = (\frac{3}{4}s)^2 + 2 \times (\frac{3}{4}s) \times 8t + (8t)^2 \)
\( = \frac{9}{16}s^2 + 12st + 64t^2 \)

(v) \( (x + \frac{1}{2y})^2 \)
जहाँ \( a = x \) और \( b = \frac{1}{2y} \):
\( = x^2 + 2 \times x \times (\frac{1}{2y}) + (\frac{1}{2y})^2 \)
\( = x^2 + \frac{x}{y} + \frac{1}{4y^2} \)

(vi) \( (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})^2 \)
जहाँ \( a = \frac{1}{x} \) और \( b = \frac{1}{y} \):
\( = (\frac{1}{x})^2 + 2(\frac{1}{x})(\frac{1}{y}) + (\frac{1}{y})^2 \)
\( = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} \)

मुख्य बिंदु:

• बीजीय सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का सटीक अनुप्रयोग।
• भिन्नों और दशमलव संख्याओं का गुणा करते समय सावधानी।
• प्रत्येक पद का वर्ग निकालते समय गुणात्मक नियमों का पालन।

आम गलतियाँ:

• मध्य पद \( 2ab \) में 2 से गुणा करना भूल जाना।
• भिन्नों के विस्तार में अंश और हर दोनों का वर्ग न करना।
• चरों के साथ गुणांकों को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) हमेशा सर्वसमिका को उत्तर पुस्तिका में पहले लिखें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग लाइनों में दिखाएं ताकि गणना की गलती न हो।
c) अंतिम उत्तर में समान पदों को जोड़कर सरलतम रूप में लिखें।

Question 2: उपर्युक्त सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए –
(i) (64)²
(ii) (105)²
(iii) (205)²

Answer:

(i) \( (64)^2 \)
64 को \( 60 + 4 \) के रूप में लिखने पर:
\( (60 + 4)^2 = (60)^2 + 2 \times 60 \times 4 + (4)^2 \)
\( = 3600 + 480 + 16 \)
\( = 4096 \)

(ii) \( (105)^2 \)
105 को \( 100 + 5 \) के रूप में लिखने पर:
\( (100 + 5)^2 = (100)^2 + 2 \times 100 \times 5 + (5)^2 \)
\( = 10000 + 1000 + 25 \)
\( = 11025 \)

(iii) \( (205)^2 \)
205 को \( 200 + 5 \) के रूप में लिखने पर:
\( (200 + 5)^2 = (200)^2 + 2 \times 200 \times 5 + (5)^2 \)
\( = 40000 + 2000 + 25 \)
\( = 42025 \)

मुख्य बिंदु:

• संख्याओं को निकटतम दहाई या सैकड़े के योग के रूप में तोड़ना।
• सर्वसमिका \( (a + b)^2 \) का प्रयोग करके गणना को आसान बनाना।
• पूर्ण वर्गों की गणना सावधानीपूर्वक करना।

आम गलतियाँ:

• संख्या को गलत हिस्सों में विभाजित करना (जैसे 105 को 100+5 के बजाय अन्य रूप में लिखना)।
• बड़े अंकों के वर्ग निकालने में शून्य (zeros) की गिनती में भूल।
• सूत्र के मध्य पद \( 2ab \) में मानों का गलत प्रतिस्थापन।

Exam Tips:

a) संख्या को ऐसी दो संख्याओं के रूप में तोड़ें जिनका वर्ग निकालना आसान हो।
b) परीक्षा में सीधे गुना करने के बजाय सर्वसमिका विधि का ही प्रयोग करें क्योंकि प्रश्न में स्पष्ट निर्देश होता है।
c) जोड़ते समय संख्याओं को स्तंभ (column) के रूप में व्यवस्थित करें ताकि गलती न हो।