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Question 1: दीर्घ विभाजन किए बिना निम्नलिखित परिमेय संख्याओं में से यह निर्धारित कीजिए कि कौन-सी सांत दशमलव है और कौन-सी आवर्ती दशमलव है- \( \frac{7}{20} \), \( \frac{4}{15} \) और \( \frac{13}{250} \), तत्पश्चात स्पष्ट रूप से दीर्घ विभाजन करते हुए अपने उत्तरों की जाँच कीजिए और इन परिमेय संख्याओं को दशमलव में भी व्यक्त कीजिए।
Answer:
दी गई परिमेय संख्याओं की सांत और आवर्ती प्रकृति की जाँच करने के लिए उनके हर (Denominator) के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। यदि हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों, तो दशमलव प्रसार सांत होता है। अन्यथा, यह आवर्ती होता है।
(i) संख्या \( \frac{7}{20} \) के लिए:
हर का अभाज्य गुणनखंडन: \( 20 = 2^2 \times 5 \)
चूँकि हर में केवल 2 और 5 ही अभाज्य गुणनखंड हैं, अतः \( \frac{7}{20} \) एक सांत दशमलव है।
दीर्घ विभाजन द्वारा जाँच:
\( 7 \div 20 = 0.35 \)
(ii) संख्या \( \frac{4}{15} \) के लिए:
हर का अभाज्य गुणनखंडन: \( 15 = 3 \times 5 \)
चूँकि हर में 3 भी विद्यमान है जो 2 या 5 के अतिरिक्त है, अतः यह एक आवर्ती दशमलव है।
दीर्घ विभाजन द्वारा जाँच:
\( 4 \div 15 = 0.2666\dots \)
(iii) संख्या \( \frac{13}{250} \) के लिए:
हर का अभाज्य गुणनखंडन: \( 250 = 2 \times 5^3 \)
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हैं, अतः यह एक सांत दशमलव है।
दीर्घ विभाजन द्वारा जाँच:
\( 13 \div 250 = 0.052 \)
मुख्य बिंदु:
• परिमेय संख्या \( \frac{p}{q} \) का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि \( q \) के अभाज्य गुणनखंड \( 2^n \times 5^m \) रूप के हों।
• यदि हर में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य गुणनखंड (जैसे 3, 7 आदि) हो, तो प्रसार आवर्ती होता है।
• दीर्घ विभाजन विधि से भाग देकर दशमलव प्रसार की सत्यता की जाँच की जा सकती है।
आम गलतियाँ:
• बिना न्यूनतम रूप में बदले हर के गुणनखंड करना।
• सांत और आवर्ती दशमलव की पहचान में अभाज्य गुणनखंडों की उपेक्षा करना।
• भाग देते समय दशमलव के बाद शून्य लगाने में गलती करना।
Exam Tips:
a) हर का अभाज्य गुणनखंड निकालते समय हमेशा संख्या को उसके सरलतम रूप में पहले लिखें।
b) सांत दशमलव के लिए यह याद रखें कि गुणनखंड केवल 2, 5 या दोनों होने चाहिए।
c) दीर्घ विभाजन की प्रक्रिया को उत्तर पुस्तिका में स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 2: \( \frac{1}{13} \) के लिए दीर्घ विभाजन कीजिए। अंकों के आवर्ती खंड को पहचानिए। यदि आप \( \frac{2}{13} \) की गणना करते हैं तो क्या यह चक्रीय गुण को प्रदर्शित करता है? अब आप \( \frac{3}{13} \), \( \frac{4}{13} \) इत्यादि की गणना कीजिए। आपने क्या ध्यान किया?
Answer:
सर्वप्रथम \( \frac{1}{13} \) का दीर्घ विभाजन करते हैं:
\( \frac{1}{13} = 0.076923076923\dots \)
अतः अंकों का आवर्ती खंड \( 076923 \) है।
इसी प्रकार अन्य भिन्नों की गणना करने पर:
\( \frac{2}{13} = 0.153846153846\dots \) (आवर्ती खंड: \( 153846 \))
\( \frac{3}{13} = 0.230769230769\dots \) (आवर्ती खंड: \( 230769 \))
\( \frac{4}{13} = 0.307692307692\dots \) (आवर्ती खंड: \( 307692 \))
\( \frac{5}{13} = 0.384615384615\dots \) (आवर्ती खंड: \( 384615 \))
\( \frac{6}{13} = 0.461538461538\dots \) (आवर्ती खंड: \( 461538 \))
निष्कर्ष: प्रत्येक दशमलव प्रसार आवर्ती है और इनके आवर्ती खंड एक-दूसरे के चक्रीय क्रम-परिवर्तन (Cyclic permutations) हैं। अतः यह चक्रीय गुण को प्रदर्शित करता है।
मुख्य बिंदु:
• 13 जैसी अभाज्य संख्याओं के प्रतिलोम में लंबे आवर्ती खंड प्राप्त होते हैं।
• आवर्ती खंडों के अंक समान रहते हैं केवल उनका क्रम चक्र की तरह बदलता है।
• इस विशेष गुण को गणित में चक्रीय दशमलव कहा जाता है।
आम गलतियाँ:
• दीर्घ विभाजन करते समय बीच में शेषफल की पहचान में गलती करना।
• आवर्ती खंड के अंकों को सही क्रम में न लिखना।
• चक्रीय परिवर्तन को समझ न पाना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में लंबी भाग प्रक्रिया सावधानी से करें क्योंकि एक अंक की गलती पूरा उत्तर बदल सकती है।
b) आवर्ती खंड के नीचे बार (\( \bar{} \)) लगाना न भूलें।
c) पैटर्न को पहचानकर निष्कर्ष स्पष्ट शब्दों में लिखें।
Question 3: निम्नलिखित संख्याओं को परिमेय या अपरिमेय के रूप में वर्गीकृत कीजिए –
(i) \( \sqrt{81} \)
(ii) \( \sqrt{12} \)
(iii) \( 0.33333\dots \)
(iv) \( 0.123451234512345\dots \)
(v) \( 1.01001000100001\dots \)
(vi) \( 23.560185612239874790120 \)
Answer:
(i) \( \sqrt{81} = 9 \)
चूँकि 9 को \( \frac{9}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, अतः यह एक परिमेय संख्या है।
(ii) \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)
चूँकि \( \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है, अतः \( \sqrt{12} \) भी अपरिमेय संख्या है।
(iii) \( 0.33333\dots = 0.\bar{3} \)
यह एक आवर्ती दशमलव है जिसे \( \frac{1}{3} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अतः यह परिमेय संख्या है।
(iv) \( 0.123451234512345\dots \)
यह एक आवर्ती दशमलव है। मान लीजिए \( x = 0.12345\dots \)
\( 100000x = 12345.12345\dots \)
घटाने पर: \( 99999x = 12345 \)
\( x = \frac{12345}{99999} = \frac{4115}{33333} \)
अतः यह परिमेय संख्या है।
(v) \( 1.01001000100001\dots \)
यह दशमलव न तो सांत है और न ही आवर्ती है (शून्यों की संख्या निरंतर बढ़ती है), अतः यह अपरिमेय संख्या है।
(vi) \( 23.560185612239874790120 \)
यह एक सांत दशमलव है। प्रत्येक सांत दशमलव परिमेय होती है।
भिन्न रूप: \( \frac{23560185612239874790120}{1000000000000000000000} \)
अतः यह परिमेय संख्या है।
मुख्य बिंदु:
• पूर्ण वर्गमूल वाली संख्याएँ परिमेय होती हैं।
• सांत और आवर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्याएँ हमेशा परिमेय होती हैं।
• असांत और अनावर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्याएँ अपरिमेय होती हैं।
आम गलतियाँ:
• \( \sqrt{12} \) को सरलता से बिना तोड़े सीधे परिमेय मान लेना।
• असांत आवर्ती और असांत अनावर्ती दशमलव में अंतर न समझ पाना।
• भिन्न रूप में बदलते समय दशमलव के बाद के अंकों के आधार पर हर में शून्य की संख्या गलत लिखना।
Exam Tips:
a) परिमेय और अपरिमेय की परिभाषाओं (सांत, आवर्ती, अनावर्ती) को अच्छे से याद रखें।
b) वर्गमूल वाली संख्याओं को पहले सरल करें (जैसे \( \sqrt{81} \) और \( \sqrt{12} \))।
c) आवर्ती दशमलव को \( \frac{p}{q} \) रूप में बदलने के बीजगणितीय चरणों को पूरा लिखें।
Question 4: संख्या \( 0.\bar{9} \) (अर्थात \( 0.99999\dots \)) एक परिमेय संख्या है। बीजगणित (मान लीजिए \( x = 0.\bar{9} \), 10 से गुणा कीजिए और घटाइए) का उपयोग करते हुए व्याख्या कीजिए कि \( 0.9 \) ठीक 1 के समान क्यों है?
Answer:
मान लीजिए कि:
\( x = 0.99999\dots \) ---- (1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर:
\( 10x = 9.99999\dots \) ---- (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( 10x - x = 9.99999\dots - 0.99999\dots \)
\( 9x = 9 \)
\( x = \frac{9}{9} \)
\( x = 1 \)
चूँकि हमने माना था कि \( x = 0.99999\dots \), इसलिए:
\( 0.99999\dots = 1 \)
अतः \( 0.\bar{9} \) और 1 वास्तव में एक ही संख्या को निरूपित करते हैं।
मुख्य बिंदु:
• आवर्ती दशमलव प्रसार \( 0.\bar{9} \) का मान ठीक 1 के बराबर होता है।
• समीकरणों को 10 से गुणा करके घटाने की बीजगणितीय विधि का इसमें प्रयोग किया जाता है।
• यह वास्तविक संख्या प्रणाली की एक अनोखी विशेषता है।
आम गलतियाँ:
• घटाते समय दशमलव के बाद के अनंत नौ (9) को सही से समायोजित न करना।
• \( 9x = 9 \) से \( x = 1 \) निकालने में गणना की त्रुटि करना।
• यह मान लेना कि \( 0.999 \) कभी भी 1 के बराबर नहीं हो सकता।
Exam Tips:
a) बीजगणितीय विधि के चरणों को क्रमबद्ध तरीके से लिखें।
b) समीकरण 1 और समीकरण 2 को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंत में निष्कर्ष लिखना न भूलें कि \( 0.\bar{9} = 1 \) ।
Question 5: हम देख चुके हैं कि \( \frac{1}{7} \) का आवर्ती खंड एक चक्रीय संख्या है। कुछ और संख्याओं (\( n \)) को ज्ञात करने का प्रयास कीजिए, जिनके प्रतिलोम (\( \frac{1}{n} \)) आवर्ती खंड के ऐसे दशमलव उत्पन्न करते हों, जो चक्रीय हैं।
Answer:
कुछ अन्य अभाज्य संख्याएँ \( n \) जिनके प्रतिलोम \( \frac{1}{n} \) चक्रीय आवर्ती दशमलव उत्पन्न करते हैं, निम्नलिखित हैं:
\( \frac{1}{7} = 0.142857142857\dots \)
\( \frac{1}{17} = 0.05882352941176470588235294117647\dots \)
\( \frac{1}{19} = 0.052631578947368421052631578947368421\dots \)
इन प्रतिलोमों से प्राप्त आवर्ती खंड चक्रीय व्यवहार को प्रदर्शित करते हैं।
अतः ऐसी संख्याओं के उदाहरण 7, 17, 19 आदि हैं जिनके प्रतिलोम चक्रीय आवर्ती दशमलव उत्पन्न करते हैं।
मुख्य बिंदु:
• कुछ विशिष्ट अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रम चक्रीय दशमलव प्रसार देते हैं।
• ऐसे दशमलव प्रसारों में अंकों का एक निश्चित समूह बार-बार चक्रीय रूप में घूमता है।
• यह संख्या पद्धति का एक अत्यंत रोचक गुण है।
आम गलतियाँ:
• गैर-चक्रीय भिन्नों को चक्रीय समझ लेना।
• बड़ी संख्याओं के भाग में आवर्ती खंड की सही पहचान न करना।
• उदाहरण देते समय अभाज्य संख्याओं के नियम को न समझना।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के प्रश्नों में कुछ मानक उदाहरण (जैसे 7, 17, 19) याद रखें।
b) चक्रीय दशमलव की परिभाषा स्पष्ट रूप से उल्लेख करें।
c) उत्तर को संक्षिप्त और सटीक रूप में प्रस्तुत करें।
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