Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 03 संख्याओं का संसार
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Question 1: एक ही संख्या रेखा पर \( \frac{2}{3} \), \( -\frac{5}{4} \) और \( 1\frac{1}{2} \) को निरूपित कीजिए।
Answer:
सबसे पहले दी गई मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलते हैं:
\( 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
अब सभी संख्याओं की तुलना करने के लिए उन्हें दशमलव रूप में बदलते हैं:
\( -\frac{5}{4} = -1.25 \)
\( \frac{2}{3} \approx 0.67 \)
\( \frac{3}{2} = 1.5 \)
संख्या रेखा पर इनकी स्थिति इस प्रकार होगी:
\( -\frac{5}{4} \), \( -2 \) और \( -1 \) के मध्य स्थित है।
\( \frac{2}{3} \), \( 0 \) और \( 1 \) के मध्य स्थित है।
\( \frac{3}{2} \), \( 1 \) और \( 2 \) के मध्य स्थित है।
अतः इनका क्रम है: \( -\frac{5}{4} < \frac{2}{3} < \frac{3}{2} \)
इस प्रकार हम इन सभी बिंदुओं को संख्या रेखा पर आसानी से अंकित कर सकते हैं।
मुख्य बिंदु:
• मिश्रित भिन्न को पहले साधारण या अनुचित भिन्न में बदलना आवश्यक है।
• दशमलव रूप में बदलने से संख्या रेखा पर सही स्थिति का अनुमान आसानी से लग जाता है।
• ऋणात्मक संख्याएँ शून्य के बाईं ओर और धनात्मक संख्याएँ दाईं ओर दर्शायी जाती हैं।
आम गलतियाँ:
• मिश्रित भिन्न \( 1\frac{1}{2} \) को गलत तरीके से हल करना।
• ऋणात्मक संख्या \( -\frac{5}{4} \) को शून्य के दाईं ओर अंकित कर देना।
• हर के मान को बिना समझे गलत खंडों में संख्या रेखा को विभाजित करना।
Exam Tips:
a) संख्या रेखा बनाते समय समान दूरी पर अंकित चिह्न (scale) का प्रयोग करें।
b) दशमलव मान निकालने से परीक्षा में गलती की संभावना कम हो जाती है।
c) अंत में सभी संख्याओं को उनके मूल रूप में ही संख्या रेखा पर दर्शाएँ।
Question 2: अनिवार्य रूप से \( -\frac{1}{2} \) और \( \frac{1}{4} \) के मध्य विद्यमान तीन भिन्न परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई संख्याएँ हैं: \( -\frac{1}{2} \) और \( \frac{1}{4} \)
यहाँहरों \( 2 \) और \( 4 \) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = \( 4 \)
\( -\frac{1}{2} \) को उभयनिष्ठ हर में बदलने पर:
\( -\frac{1}{2} = \frac{-1 \times 2}{2 \times 2} = -\frac{2}{4} \)
अब संख्याएँ हैं: \( -\frac{2}{4} \) और \( \frac{1}{4} \)
इनके मध्य स्थित संख्याएँ हैं: \( -\frac{1}{4}, 0, \frac{1}{8} \)
अतः तीन अभीष्ट परिमेय संख्याएँ \( -\frac{1}{4}, 0, \text{ और } \frac{1}{8} \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
• हर को समान बनाकर उनके अंशों के बीच की संख्याएँ आसानी से निकाली जा सकती हैं।
• LCM विधि का प्रयोग करके हर को बराबर किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• हर को समान किए बिना सीधे अंशों की तुलना करना।
• ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा करना।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) गलत निकालना।
Exam Tips:
a) हर को समान करने के बाद अंशों की संख्या रेखा या क्रम का ध्यान रखें।
b) उत्तर में कोई भी तीन मान्य परिमेय संख्याएँ लिखी जा सकती हैं, जरूरी नहीं कि वे पाठ्यपुस्तक से मेल खाएँ।
c) गणना के चरणों को स्पष्ट रूप से कॉपी में दर्शाएँ।
Question 3: व्यंजक \( \left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{5}{12}\right) \) का सरलीकरण कीजिए।
Answer:
दिया गया व्यंजक है: \( \left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{5}{12}\right) \)
हरों \( 4 \) और \( 12 \) का लघुत्तम समापवर्त्य = \( 12 \)
\( -\frac{1}{4} \) को उभयनिष्ठ हर में बदलने पर:
\( -\frac{1}{4} = \frac{-1 \times 3}{4 \times 3} = -\frac{3}{12} \)
अब व्यंजक होगा:
\( = -\frac{3}{12} + \frac{5}{12} \)
\( = \frac{-3 + 5}{12} \)
\( = \frac{2}{12} \)
सरल रूप में लिखने पर:
\( = \frac{1}{6} \)
अतः दिए गए व्यंजक का परिणाम \( \frac{1}{6} \) है।
मुख्य बिंदु:
• भिन्नों के योग के लिए हर का समान होना आवश्यक है।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर हर को बराबर किया जाता है।
• अंत में भिन्न को उसके सरलतम रूप (lowest term) में बदलना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• \( -\frac{1}{4} \) को \( 3 \) से गुणा करते समय अंश और हर दोनों में गुणा न करना।
• भिन्नों को सीधे जोड़ देना बिना हर बराबर किए (\( \frac{-1+5}{4+12} \) लिखना जो कि गलत है)।
• अंतिम उत्तर को सरल न करना।
Exam Tips:
a) अंशों को जोड़ते/घटाते समय चिन्हों (+ और -) का विशेष ध्यान रखें।
b) हर चरण को अलग-अलग लाइन में हल करें ताकि गलती न हो।
c) उत्तर को हमेशा न्यूनतम रूप में ही छोड़ें।
Question 4: एक दर्जी के पास \( 15\frac{3}{4} \) मीटर परिष्कृत रेशमी कपड़ा है। यदि एक कुर्ता बनाने के लिए \( 2\frac{1}{4} \) मीटर रेशमी कपड़े की आवश्यकता होती है तो दर्जी कुल कितने कुर्ते बना सकता है?
Answer:
मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलने पर:
रेशमी कपड़े की कुल मात्रा = \( 15\frac{3}{4} = \frac{63}{4} \) मीटर
एक कुर्ते के लिए आवश्यक कपड़ा = \( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \) मीटर
कुर्तो की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए कुल कपड़े को एक कुर्ते के कपड़े से भाग देना होगा:
कुर्तो की संख्या = \( \frac{63}{4} \div \frac{9}{4} \)
\( = \frac{63}{4} \times \frac{4}{9} \)
\( = \frac{63 \times 4}{4 \times 9} \)
\( = \frac{63}{9} \)
\( = 7 \)
अतः दर्जी कुल \( 7 \) कुर्ते बना सकता है।
मुख्य बिंदु:
• ऐसे इबारती प्रश्नों में कुल मात्रा को एक इकाई की मात्रा से भाग दिया जाता है।
• भाग की प्रक्रिया को गुणा में बदलने के लिए भाजक का व्युत्क्रम (reciprocal) लिखा जाता है।
• मिश्रित भिन्न को पहले साधारण भिन्न में बदलना अनिवार्य है।
आम गलतियाँ:
• भाग के स्थान पर गलती से गुणा कर देना।
• मिश्रित भिन्न को हल करते समय जोड़ या गुणा में गलती करना।
• इकाई (मीटर) का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) भाषा वाले प्रश्नों में दिया गया है और ज्ञात करना है स्पष्ट रूप से लिखें।
b) भिन्न के भाग को गुणा में बदलते समय व्युत्क्रम करना न भूलें।
c) अंतिम उत्तर के साथ उचित इकाई अवश्य लिखें।
Question 5: \( 3.1415 \) और \( 3.1416 \) के मध्य तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई संख्याओं के दशमलव स्थानों को बढ़ाकर उनके बीच की संख्याएँ ज्ञात की जा सकती हैं:
\( 3.1415 < 3.14151 < 3.14152 < 3.14153 < 3.1416 \)
अतः कोई भी तीन परिमेय संख्याएँ निम्नलिखित हैं:
\( 3.14151, 3.14152, 3.14153 \)
नोट: किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के मध्य अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
मुख्य बिंदु:
• दशमलव संख्याओं के अंत में शून्य बढ़ाकर या उनके आगे अंक बढ़ाकर उनके बीच संख्याएँ निकाली जाती हैं।
• दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं।
• दशमलव प्रसार शांत या अशांत आवर्ती होने पर संख्या परिमेय होती है।
आम गलतियाँ:
• यह सोचना कि दो दशमलव संख्याओं के बीच कोई और संख्या नहीं होती।
• दशमलव के बाद अंकों की तुलना करने में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) दशमलव के बाद समान अंक बनाकर तुलना करना सबसे आसान तरीका है।
b) आप अपनी इच्छानुसार कोई भी तीन सही संख्याएँ लिख सकते हैं।
c) उत्तर लिखते समय असमानता के चिह्नों का सही प्रयोग करें।
Question 6: क्या आप किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के मध्य एक परिमेय संख्या ज्ञात करने की किसी अन्य विधि सोच सकते हैं?
Answer:
हाँ, दो परिमेय संख्याओं के मध्य परिमेय संख्या ज्ञात करने की अन्य विधियाँ निम्नलिखित हैं:
1. औसत विधि: यदि \( a \) और \( b \) दो परिमेय संख्याएँ हैं, तो उनके ठीक मध्य स्थित संख्या \( \frac{a + b}{2} \) होती है।
2. हर को समान बनाकर: दोनों संख्याओं के हर को समान (LCM लेकर) बनाकर उनके अंशों के बीच की संख्या चुनी जा सकती है।
3. दशमलव प्रसार विधि: दोनों संख्याओं को दशमलव रूप में बदलकर उनके बीच की कोई भी संख्या प्राप्त की जा सकती है।
मुख्य बिंदु:
• परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए एक से अधिक विधियाँ उपलब्ध हैं।
• औसत विधि हमेशा दो संख्याओं के ठीक बीच की संख्या देती है।
• हर समान करने की विधि सबसे लोकप्रिय और सरल है।
आम गलतियाँ:
• औसत निकालते समय दोनों संख्याओं को जोड़कर \( 2 \) से भाग देना भूल जाना।
• केवल एक ही विधि को अंतिम सत्य मानना।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के वैचारिक प्रश्नों में विधियों को बिंदुओं के रूप में साफ-सुथरा लिखें।
b) औसत सूत्र \( \frac{a+b}{2} \) को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) उत्तर को संक्षिप्त और सटीक रखें।
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NCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 03 संख्याओं का संसार
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