Official NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 03 संख्याओं का संसार
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 03 संख्याओं का संसार
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Question 1: सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याएँ समतुल्य हैं –
(i) \( \frac{2}{3} \) और \( \frac{4}{6} \)
(ii) \( \frac{5}{4} \) और \( \frac{10}{8} \)
(iii) \( -\frac{3}{5} \) और \( -\frac{6}{10} \)
(iv) \( \frac{9}{3} \) और \( 3 \)
Answer:
(i) पहली भिन्न = \( \frac{2}{3} \)
दूसरी भिन्न = \( \frac{4}{6} \)
अंश और हर को \( 2 \) से भाग देने पर:
\( \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} \)
चूँकि दोनों भिन्न समान हैं, अतः \( \frac{2}{3} \) और \( \frac{4}{6} \) समतुल्य हैं।
(ii) पहली भिन्न = \( \frac{5}{4} \)
दूसरी भिन्न = \( \frac{10}{8} \)
अंश और हर को \( 2 \) से भाग देने पर:
\( \frac{10 \div 2}{8 \div 2} = \frac{5}{4} \)
चूँकि दोनों भिन्न समान हैं, अतः \( \frac{5}{4} \) और \( \frac{10}{8} \) समतुल्य हैं।
(iii) पहली भिन्न = \( -\frac{3}{5} \)
दूसरी भिन्न = \( -\frac{6}{10} \)
अंश और हर को \( 2 \) से भाग देने पर:
\( -\frac{6 \div 2}{10 \div 2} = -\frac{3}{5} \)
चूँकि दोनों संख्याएँ समान हैं, अतः \( -\frac{3}{5} \) और \( -\frac{6}{10} \) समतुल्य हैं।
(iv) पहली भिन्न = \( \frac{9}{3} \)
सरल करने पर: \( \frac{9}{3} = 3 \)
दूसरी संख्या = \( 3 \)
चूँकि दोनों मान समान हैं, अतः \( \frac{9}{3} \) और \( 3 \) समतुल्य हैं।
मुख्य बिंदु:
• दो परिमेय संख्याएँ समतुल्य होती हैं यदि उन्हें सरल करने पर समान भिन्न प्राप्त हो。
• किसी भिन्न के अंश और हर में समान संख्या से गुणा या भाग करने पर उसका मान नहीं बदलता है。
• ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समतुल्य रूप में भी ऋणात्मक चिह्न का ध्यान रखना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• अंश और हर को अलग-अलग संख्याओं से भाग देना।
• ऋणात्मक चिह्न को भूल जाना या गलत जगह लगाना।
• सरल रूप में बदलने की प्रक्रिया को न दिखाना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक भाग को अलग-अलग हल करें ताकि जाँच करने में आसानी हो।
b) सरल करने के बाद प्राप्त भिन्न को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) 'अतः' लिखकर निष्कर्ष अवश्य लिखें।
Question 2: योगफल ज्ञात कीजिए –
(i) \( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \)
(ii) \( \frac{7}{12} + \frac{5}{8} \)
(iii) \( -\frac{4}{7} + \frac{3}{14} \)
Answer:
(i) \( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \)
\( 5 \) और \( 10 \) का ल.स.प. (LCM) = \( 10 \)
पहली संख्या का हर समान करने पर: \( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} \)
अब योगफल:
\( = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} \)
\( = \frac{4 + 3}{10} \)
\( = \frac{7}{10} \)
अतः, योगफल \( \frac{7}{10} \) है।
(ii) \( \frac{7}{12} + \frac{5}{8} \)
\( 12 \) और \( 8 \) का ल.स.प. (LCM) = \( 24 \)
पहली संख्या: \( \frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24} \)
दूसरी संख्या: \( \frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24} \)
अब योगफल:
\( = \frac{14}{24} + \frac{15}{24} \)
\( = \frac{14 + 15}{24} \)
\( = \frac{29}{24} \)
अतः, योगफल \( \frac{29}{24} \) है।
(iii) \( -\frac{4}{7} + \frac{3}{14} \)
\( 7 \) और \( 14 \) का ल.स.प. (LCM) = \( 14 \)
पहली संख्या: \( -\frac{4}{7} = \frac{-4 \times 2}{7 \times 2} = -\frac{8}{14} \)
अब योगफल:
\( = -\frac{8}{14} + \frac{3}{14} \)
\( = \frac{-8 + 3}{14} \)
\( = -\frac{5}{14} \)
अतः, योगफल \( -\frac{5}{14} \) है।
मुख्य बिंदु:
• भिन्नों को जोड़ने के लिए हर का समान होना आवश्यक है।
• असमान हर वाली भिन्नों का ल.स.प. (LCM) लेकर हर समान किए जाते हैं।
• अंशों को जोड़ते समय पूर्णांकों के नियमों (धनात्मक/ऋणात्मक) का ध्यान रखें।
आम गलतियाँ:
• सीधे अंश को अंश से और हर को हर से जोड़ देना।
• ल.स.प. (LCM) गलत निकालना।
• ऋणात्मक चिह्न के साथ जोड़ते समय चिह्न की गलती करना।
Exam Tips:
a) ल.स.प. निकालने के कार्य को उत्तर पुस्तिका में स्पष्ट रूप से दिखाएँ।
b) हर समान करने के बाद ही अंशों को जोड़ें।
c) परिणाम को मानक रूप या सरलतम रूप में लिखें।
Question 3: अंतर ज्ञात कीजिए –
(i) \( \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \)
(ii) \( \frac{11}{8} - \frac{3}{4} \)
(iii) \( -\frac{7}{9} - \left(-\frac{2}{3}\right) \)
Answer:
(i) \( \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \)
\( 6 \) और \( 4 \) का ल.स.प. (LCM) = \( 12 \)
पहली संख्या: \( \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12} \)
दूसरी संख्या: \( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \)
अंतर:
\( = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} \)
\( = \frac{10 - 3}{12} \)
\( = \frac{7}{12} \)
अतः, अंतर \( \frac{7}{12} \) है।
(ii) \( \frac{11}{8} - \frac{3}{4} \)
\( 8 \) और \( 4 \) का ल.स.प. (LCM) = \( 8 \)
दूसरी संख्या: \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8} \)
अंतर:
\( = \frac{11}{8} - \frac{6}{8} \)
\( = \frac{11 - 6}{8} \)
\( = \frac{5}{8} \)
अतः, अंतर \( \frac{5}{8} \) है।
(iii) \( -\frac{7}{9} - \left(-\frac{2}{3}\right) \)
कोष्ठक खोलने पर: \( -\frac{7}{9} + \frac{2}{3} \)
\( 9 \) और \( 3 \) का ल.स.प. (LCM) = \( 9 \)
दूसरी संख्या: \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9} \)
अंतर:
\( = -\frac{7}{9} + \frac{6}{9} \)
\( = \frac{-7 + 6}{9} \)
\( = -\frac{1}{9} \)
अतः, अंतर \( -\frac{1}{9} \) है।
मुख्य बिंदु:
• घटाव करते समय भी हर का समान होना आवश्यक है।
• माइनस और माइनस का गुणा प्लस होता है \( [ -(-) = + ] \) ।
• ल.स.प. विधि से हर को समान करके ही घटाया जाता है।
आम गलतियाँ:
• \( -\left(-\frac{2}{3}\right) \) को ऋणात्मक ही रखना और चिह्न परिवर्तन न करना।
• अंशों को आपस में सीधे घटा देना बिना हर समान किए।
• चिह्न की गणना में गलती करना।
Exam Tips:
a) कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिह्न होने पर अंदर के चिह्न का विशेष ध्यान रखें।
b) हर समान करने के प्रत्येक चरण को लिखें।
c) अंतिम उत्तर को परिमेय संख्या के मानक रूप में दें।
Question 4: गुणनफल ज्ञात कीजिए –
(i) \( \frac{2}{3} \times \frac{3}{10} \)
(ii) \( \frac{7}{11} \times \frac{5}{8} \)
(iii) \( -\frac{4}{7} \times \frac{5}{14} \)
Answer:
(i) \( \frac{2}{3} \times \frac{3}{10} \)
\( = \frac{2 \times 3}{3 \times 10} \)
\( = \frac{6}{30} \)
सरलीकरण करने पर: \( \frac{6 \div 6}{30 \div 6} = \frac{1}{5} \)
अतः, गुणनफल \( \frac{1}{5} \) है।
(ii) \( \frac{7}{11} \times \frac{5}{8} \)
\( = \frac{7 \times 5}{11 \times 8} \)
\( = \frac{35}{88} \)
अतः, गुणनफल \( \frac{35}{88} \) है।
(iii) \( -\frac{4}{7} \times \frac{5}{14} \)
\( = \frac{-4 \times 5}{7 \times 14} \)
\( = \frac{-20}{98} \)
अंश और हर को \( 2 \) से भाग देने पर:
\( = -\frac{10}{49} \)
अतः, गुणनफल \( -\frac{10}{49} \) है।
मुख्य बिंदु:
• भिन्नों के गुणा में अंश का गुणा अंश से और हर का गुणा हर से होता है।
• गुणा करते समय यदि कोई संख्या अंश और हर में कटती हो, तो उसे पहले ही काट सकते हैं।
• ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं का गुणनफल ऋणात्मक होता है।
आम गलतियाँ:
• गुणा करते समय भी ल.स.प. (LCM) निकालने की कोशिश करना।
• चिह्न का ध्यान न रखना।
• परिणाम को सरलतम रूप में न बदलना।
Exam Tips:
a) गुणा में हर समान करने की आवश्यकता नहीं होती, इसे याद रखें।
b) यदि संभव हो तो अंश व हर को गुणा करने से पहले ही सरल (काट) लें।
c) गुणनफल के चिह्न का सही निर्धारण करें।
Question 5: भागफल ज्ञात कीजिए –
(i) \( \frac{2}{3} \div \frac{3}{10} \)
(ii) \( \frac{7}{11} \div \frac{5}{8} \)
(iii) \( -\frac{4}{7} \div \frac{5}{14} \)
Answer:
(i) \( \frac{2}{3} \div \frac{3}{10} \)
भाग देने के लिए भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं:
\( = \frac{2}{3} \times \frac{10}{3} \)
\( = \frac{2 \times 10}{3 \times 3} \)
\( = \frac{20}{9} \)
अतः, भागफल \( \frac{20}{9} \) है।
(ii) \( \frac{7}{11} \div \frac{5}{8} \)
\( = \frac{7}{11} \times \frac{8}{5} \)
\( = \frac{7 \times 8}{11 \ഞ്ച് 5} \)
\( = \frac{56}{55} \)
अतः, भागफल \( \frac{56}{55} \) है।
(iii) \( -\frac{4}{7} \div \frac{5}{14} \)
\( = -\frac{4}{7} \times \frac{14}{5} \)
\( = \frac{-4 \times 14}{7 \times 5} \)
\( = \frac{-56}{35} \)
अंश और हर को \( 7 \) से भाग देने पर:
\( = -\frac{8}{5} \)
अतः, भागफल \( -\frac{8}{5} \) है।
मुख्य बिंदु:
• किसी भिन्न को दूसरी भिन्न से भाग देने का अर्थ पहली भिन्न को दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम (Reciprocal) से गुणा करना है।
• व्युत्क्रम निकालते समय अंश और हर आपस में बदल जाते हैं।
• भाग प्रक्रिया के बाद गुणनफल के सभी नियम लागू होते हैं।
आम गलतियाँ:
• पहली भिन्न का व्युत्क्रम कर देना जबकि केवल दूसरी (भाजक) भिन्न का व्युत्क्रम करना होता है।
• भाग के चिह्न को वैसे ही रखकर सीधे भाग देना।
• अंत में सरलतम रूप में न बदलना।
Exam Tips:
a) 'भाग' को 'गुणा' में बदलते समय दूसरी भिन्न को उलटना न भूलें।
b) यदि संख्याएँ कटती हों तो उन्हें सरल कर लें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि गलती न हो।
Question 6: सिद्ध कीजिए कि \( \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\right) \times \frac{8}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} + \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} \)
Answer:
बायाँ पक्ष (LHS) = \( \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\right) \times \frac{8}{3} \)
कोष्ठक के अंदर हर समान करने पर (\( 2 \) और \( 4 \) का ल.स.प. = \( 4 \)):
\( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \)
\( = \left(\frac{2}{4} + \frac{3}{4}\right) \times \frac{8}{3} \)
\( = \left(\frac{5}{4}\right) \times \frac{8}{3} \)
\( = \frac{5 \times 8}{4 \times 3} \)
\( = \frac{40}{12} \)
सरल करने पर (\( 4 \) से भाग देकर):
\( = \frac{10}{3} \)
दायाँ पक्ष (RHS) = \( \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} + \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} \)
\( = \frac{1 \times 8}{2 \times 3} + \frac{3 \times 8}{4 \times 3} \)
\( = \frac{8}{6} + \frac{24}{12} \)
सरल करने पर:
\( \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) और \( \frac{24}{12} = \frac{6}{3} \)
\( = \frac{4}{3} + \frac{6}{3} \)
\( = \frac{4 + 6}{3} \)
\( = \frac{10}{3} \)
चूँकि \( \text{LHS} = \text{RHS} \), अतः \( \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\right) \times \frac{8}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} + \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} \) इति सिद्धम्।
मुख्य बिंदु:
• यह प्रश्न परिमेय संख्याओं के वितरण (बंटन) गुणधर्म को दर्शाता है।
• \( \text{LHS} \) और \( \text{RHS} \) दोनों को अलग-अलग हल करके समान सिद्ध किया जाता है।
• भिन्नों की जोड़ और गुणा के नियमों का सही संयोजन आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• कोष्ठक को हल किए बिना सीधे गुणा करना।
• \( \text{LHS} \) और \( \text{RHS} \) दोनों पक्षों को एक साथ हल करना (अलग-अलग हल करना बेहतर है)।
• लघुत्तम या सरलीकरण में गणना की त्रुटि।
Exam Tips:
a) पहले LHS को पूरी तरह हल करके एक अंतिम मान प्राप्त करें।
b) फिर RHS को हल करके दिखाएँ कि दोनों का मान बराबर है।
c) अंत में 'इति सिद्धम्' या 'प्रमाणित हुआ' लिखें।
Question 7: बंटन गुणधर्म का उपयोग करते हुए निम्नलिखित का सरलीकरण कीजिए – \( \frac{7}{9} \left(\frac{6}{7} - \frac{3}{4}\right) \)
Answer:
दिया गया व्यंजक है: \( \frac{7}{9} \left(\frac{6}{7} - \frac{3}{4}\right) \)
बंटन गुणधर्म \( [a(b - c) = ab - ac] \) का उपयोग करने पर:
\( = \frac{7}{9} \times \frac{6}{7} - \frac{7}{9} \times \frac{3}{4} \)
पदों को गुणा करने पर:
\( = \frac{42}{63} - \frac{21}{36} \)
सरल करने पर:
\( \frac{42}{63} = \frac{2}{3} \) (दोनों को \( 21 \) से भाग देने पर)
\( \frac{21}{36} = \frac{7}{12} \) (दोनों को \( 3 \) से भाग देने पर)
नया व्यंजक:
\( = \frac{2}{3} - \frac{7}{12} \)
हर समान करने के लिए \( 3 \) और \( 12 \) का ल.स.प. = \( 12 \)
\( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)
अब अंतर ज्ञात करने पर:
\( = \frac{8}{12} - \frac{7}{12} \)
\( = \frac{8 - 7}{12} \)
\( = \frac{1}{12} \)
अतः, \( \frac{7}{9} \left(\frac{6}{7} - \frac{3}{4}\right) \) का सरलीकृत मान \( \frac{1}{12} \) है।
मुख्य बिंदु:
• बंटन गुणधर्म के अनुसार बाहर की संख्या को कोष्ठक के अंदर की प्रत्येक संख्या से गुणा किया जाता है।
• गुणा के बाद यदि संख्याएँ कटती हों, तो उन्हें सरल कर लेना चाहिए।
• अंत में भिन्नों के घटाव के लिए ल.स.प. का प्रयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• केवल पहली संख्या से गुणा करना और दूसरी को छोड़ देना।
• बिना सरल किए बड़ी संख्याओं के साथ घटाव करना।
• ल.स.प. निकालने में गलती करना।
Exam Tips:
a) बंटन नियम का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) गुणा करने के तुरंत बाद भिन्नों को सरल करना गणना को आसान बनाता है।
c) अंतिम उत्तर को भिन्न के सरलतम रूप में दें।
Question 8: परिमेय संख्या \( x \) को इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि \( \frac{5}{6} \left(x + \frac{3}{5}\right) = \frac{5}{6} x + \frac{1}{2} \)
Answer:
दिया गया समीकरण है:
\( \frac{5}{6} \left(x + \frac{3}{5}\right) = \frac{5}{6} x + \frac{1}{2} \)
बंटन गुणधर्म का उपयोग करके बाएँ पक्ष का कोष्ठक खोलने पर:
\( \frac{5}{6}x + \left(\frac{5}{6} \times \frac{3}{5}\right) = \frac{5}{6} x + \frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{6}x + \frac{15}{30} = \frac{5}{6} x + \frac{1}{2} \)
सरल करने पर (\( \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \)):
\( \frac{5}{6}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} x + \frac{1}{2} \)
समीकरण के दोनों पक्षों से \( \frac{5}{6}x \) और \( \frac{1}{2} \) घटाने पर:
\( 0 = 0 \)
चूँकि यह एक सर्वसमिका (Identity) है जो हमेशा सत्य होती है, यह समीकरण \( x \) के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
अतः, \( x \) कोई भी परिमेय संख्या हो सकती है।
मुख्य बिंदु:
• जब समीकरण हल करते समय दोनों पक्ष समान हो जाएँ \( (0 = 0) \), तो वह एक सार्वत्रिक सत्य कथन होता है।
• ऐसे समीकरण का कोई एक अद्वितीय हल नहीं होता, बल्कि चर का हर मान उसे संतुष्ट करता है।
• इसे सर्वसमिका कहा जाता है।
आम गलतियाँ:
• इसे हल न कर पाना और यह सोचना कि प्रश्न गलत है।
• \( x \) का मान शून्य मानकर छोड़ देना।
• कोष्ठक खोलते समय गुणा की गलती करना।
Exam Tips:
a) पहले चरण में बंटन नियम से कोष्ठक को खोलें।
b) यदि दोनों पक्ष समान आ जाते हैं, तो स्पष्ट रूप से लिखें कि यह प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
c) निष्कर्ष में बताएँ कि \( x \) कोई भी परिमेय संख्या हो सकती है।
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Mathematics Class 9 Curriculum Solutions: Chapter 03 संख्याओं का संसार
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