NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 03 The World of Numbers (संख्याओं का संसार) End of Chapter Exercises in Hindi

Question 1: निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को दीर्घ विभाजन की प्रक्रिया के माध्यम से सांत दशमलव या अनावर्ती और आवर्ती दशमलव (जो भी उपयुक्त हो) में रूपांतरित कीजिए –
(i) \( \frac{3}{50} \)
(ii) \( \frac{2}{9} \)

Answer:

(i) \( \frac{3}{50} \) का दीर्घ विभाजन करने पर:
\( 3 \div 50 = 0.06 \)
अतः, \( \frac{3}{50} \) एक सांत दशमलव है।

(ii) \( \frac{2}{9} \) का दीर्घ विभाजन करने पर:
\( 2 \div 9 = 0.2222\dots = 0.\overline{2} \)
अतः, \( \frac{2}{9} \) एक असांत आवर्ती दशमलव है।

मुख्य बिंदु:

• सांत दशमलव में शेषफल शून्य हो जाता है।
• असांत आवर्ती दशमलव में अंकों की पुनरावृत्ति होती है।
• अंश को हर से भाग देकर दशमलव रूप निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• भाग देते समय दशमलव बिंदु का सही स्थान पर प्रयोग न करना।
• बार (\(\overline{}\)) का चिह्न लगाना भूल जाना।
• शेषफल शून्य होने से पहले ही भाग प्रक्रिया को रोक देना।

Exam Tips:

a) भाग की प्रक्रिया को रफ कार्य में सावधानीपूर्वक हल करें।
b) आवर्ती दशमलव के उत्तर पर बार का संकेत अवश्य लगाएं।
c) अंतिम निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें कि दशमलव सांत है या असांत।

Question 2: सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।

Answer:

हम विरोधाभास विधि (Proof by Contradiction) का उपयोग करेंगे।
मान लीजिए कि \( \sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है।
तब इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( p \) और \( q \) पूर्णांक हैं, \( q \neq 0 \), और \( \frac{p}{q} \) निम्नतम रूप में है (अर्थात \( p \) और \( q \) का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)।
\( \sqrt{5} = \frac{p}{q} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( 5 = \frac{p^2}{q^2} \)
\( p^2 = 5q^2 \)
इसका अर्थ है कि \( p^2 \), 5 से विभाज्य है। अतः, \( p \) भी 5 से विभाज्य है।
मान लीजिए \( p = 5k \), जहाँ \( k \) एक पूर्णांक है।
इसे \( p^2 = 5q^2 \) में रखने पर:
\( (5k)^2 = 5q^2 \)
\( 25k^2 = 5q^2 \)
\( 5k^2 = q^2 \)
यह दर्शाता है कि \( q^2 \), 5 से विभाज्य है। अतः, \( q \) भी 5 से विभाज्य है।
अतः, \( p \) और \( q \) दोनों 5 से विभाज्य हैं।
परंतु यह हमारी इस मान्यता का विरोधाभास करता है कि \( \frac{p}{q} \) निम्नतम रूप में था और इनका 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः, हमारी मान्यता गलत है।
इसलिए, \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।

मुख्य बिंदु:

• विरोधाभास विधि में परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है।
• सह-अभाज्य (Co-prime) अवधारणा का खंडन किया जाता है।
• गणितीय तर्कों और वर्ग के गुणों का प्रयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• \( p \) और \( q \) को सह-अभाज्य लिखना भूल जाना।
• गुणनखंडन चरण में तार्किक गलती करना।
• निष्कर्ष स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रमाण के सभी चरणों को क्रमानुसार लिखें।
b) भाषा स्पष्ट और गणितीय रूप से सटीक होनी चाहिए।
c) परीक्षा में √2, √3 या √5 का प्रमाण अक्सर पूछा जाता है, अतः अभ्यास पक्का रखें।

Question 3: निम्नलिखित दशमलव संख्याओं को \( \frac{p}{q} \) के रूप में रूपांतरित कीजिए –
(i) \( 12.6 \)
(ii) \( 0.0120 \)
(iii) \( 3.05\overline{2} \)
(iv) \( 1.23\overline{5} \)
(v) \( 0.2\overline{3} \)
(vi) \( 2.0\overline{5} \)
(vii) \( 2.1\overline{25} \)
(viii) \( 3.1\overline{25} \)
(ix) \( 2.1\overline{625} \)

Answer:

(i) \( 12.6 \):
\( 12.6 = \frac{126}{10} = \frac{63}{5} \)
अतः, \( 12.6 = \frac{63}{5} \)

(ii) \( 0.0120 \):
\( 0.0120 = \frac{120}{10000} = \frac{3}{250} \)
अतः, \( 0.0120 = \frac{3}{250} \)

(iii) \( 3.05\overline{2} \):
मान लीजिए \( x = 3.0525252\dots \)
तब, \( 10x = 30.525252\dots \) और \( 1000x = 3052.525252\dots \)
घटाने पर: \( 1000x - 10x = 3052.525252\dots - 30.525252\dots \)
\( 990x = 3022 \)
\( x = \frac{3022}{990} = \frac{1511}{495} \)
अतः, \( 3.05\overline{2} = \frac{1511}{495} \)

(iv) \( 1.23\overline{5} \):
मान लीजिए \( x = 1.2353535\dots \)
तब, \( 10x = 12.353535\dots \) ...(1) और \( 1000x = 1235.353535\dots \) ...(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: \( 1000x - 10x = 1235.353535\dots - 12.353535\dots \)
\( 990x = 1223 \)
\( x = \frac{1223}{990} \)
अतः, \( 1.23\overline{5} = \frac{1223}{990} \)

(v) \( 0.2\overline{3} \):
मान लीजिए \( x = 0.232323\dots \)
तब, \( 100x = 23.232323\dots \)
घटाने पर: \( 100x - x = 23.232323\dots - 0.232323\dots \)
\( 99x = 23 \)
\( x = \frac{23}{99} \)
अतः, \( 0.2\overline{3} = \frac{23}{99} \)

(vi) \( 2.0\overline{5} \):
मान लीजिए \( x = 2.05555\dots \)
तब, \( 10x = 20.5555\dots \) और \( 100x = 205.5555\dots \)
घटाने पर: \( 100x - 10x = 205.5555\dots - 20.5555\dots \)
\( 90x = 185 \)
\( x = \frac{185}{90} = \frac{37}{18} \)
अतः, \( 2.0\overline{5} = \frac{37}{18} \)

(vii) \( 2.1\overline{25} \):
मान लीजिए \( x = 2.125555\dots \)
तब, \( 100x = 212.5555\dots \) और \( 1000x = 2125.5555\dots \)
घटाने पर: \( 1000x - 100x = 2125.5555\dots - 212.5555\dots \)
\( 900x = 1913 \)
\( x = \frac{1913}{900} \)
अतः, \( 2.1\overline{25} = \frac{1913}{900} \)

(viii) \( 3.1\overline{25} \):
मान लीजिए \( x = 3.125555\dots \)
तब, \( 100x = 312.5555\dots \) और \( 1000x = 3125.5555\dots \)
घटाने पर: \( 1000x - 100x = 3125.5555\dots - 312.5555\dots \)
\( 900x = 2813 \)
\( x = \frac{2813}{900} \)
अतः, \( 3.1\overline{25} = \frac{2813}{900} \)

(ix) \( 2.1\overline{625} \):
मान लीजिए \( x = 2.162516251625\dots \)
तब, \( 10000x = 21625.16251625\dots \)
घटाने पर: \( 10000x - x = 21625.16251625\dots - 2.16251625\dots \)
\( 9999x = 21623 \)
\( x = \frac{21623}{9999} \)
अतः, \( 2.1\overline{625} = \frac{21623}{9999} \)

मुख्य बिंदु:

• आवर्ती दशमलव को x के बराबर मानकर समीकरण बनाए जाते हैं।
• समीकरणों को 10, 100 या 1000 से गुणा करके दशमलव के बाद के अंक समान किए जाते हैं।
• अंत में भिन्न को सरलतम रूप में बदला जाता है।

आम गलतियाँ:

• दशमलव के बाद पुनरावृत्ति वाले अंकों की संख्या के आधार पर सही 10 की घात न चुनना।
• घटाव करते समय दशमलव के नीचे दशमलव न रखना।
• भिन्न को सरलतम रूप में न बदलना।

Exam Tips:

a) समीकरणों को स्पष्ट रूप से (1) और (2) नाम दें।
b) घटाव की प्रक्रिया सावधानी से करें ताकि गणना की त्रुटि न हो।
c) अंतिम उत्तर को हमेशा न्यूनतम रूप में दें।

Question 4: निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए –
(i) \( 0.532 \)
(ii) \( 1.15 \)

Answer:

(i) \( 0.532 \):
\( 0.532 \) संख्या 0 और 1 के मध्य स्थित है।
अधिक स्पष्ट रूप से: \( 0.532 = \frac{532}{1000} \)
क्रमशः आवर्धन (successive magnification) द्वारा, यह 0.53 और 0.54 के मध्य, 0.53 से थोड़ा आगे स्थित होगा।

(ii) \( 1.15 \) (जहाँ 15 पर बार है, यानी \( 1.15555\dots \)):
यह 1 और 2 के मध्य स्थित है।
अधिक स्पष्ट रूप से: \( 1.15 < 1.15555\dots < 1.16 \)
अतः, यह संख्या रेखा पर 1.15 और 1.16 के मध्य, 1.15 से थोड़ा आगे स्थित होगी।

मुख्य बिंदु:

• उत्तरोत्तर आवर्धन (Successive Magnification) विधि का प्रयोग होता है।
• संख्या के दशमलव स्थानों को देखकर अंतराल तय किया जाता है।
• संख्या रेखा पर बिंदुओं को क्रमिक रूप से ज़ूम किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• सही अंतराल (जैसे 0.53 और 0.54) न पहचान पाना।
• संख्या रेखा पर गलत दिशा में बिंदु अंकित करना।
• आवर्ती दशमलव के अनन्त प्रसार को ध्यान में न रखना।

Exam Tips:

a) संख्या रेखा का चित्र साफ-सुथरा और पेंसिल से बनाएं।
b) प्रत्येक आवर्धन चरण को तीर के निशान से स्पष्ट करें।
c) अंतिम बिंदु को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 5: 3 और 4 के मध्य 6 परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Answer:

3 और 4 को हर 7 के रूप में उभयनिष्ठ हर के साथ लिखा जा सकता है:
\( 3 = \frac{3 \times 7}{7} = \frac{21}{7} \)
\( 4 = \frac{4 \times 7}{7} = \frac{28}{7} \)
अब, \( \frac{21}{7} \) और \( \frac{28}{7} \) के मध्य छह परिमेय संख्याएँ हैं:
\( \frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}, \frac{27}{7} \)
अतः, अभीष्ट छह परिमेय संख्याएँ हैं: \( \frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}, \frac{27}{7} \)

मुख्य बिंदु:

• n परिमेय संख्याएँ निकालने के लिए \( n + 1 \) (अर्थात \( 6 + 1 = 7 \)) से गुणा व भाग किया जाता है।
• हर को समान रखना आवश्यक है।
• अंशों के बीच के पूर्णांकों को चुना जाता है।

आम गलतियाँ:

• हर को समान किए बिना संख्याएँ लिखना।
• \( n+1 \) की बजाय सीधे n से गुणा करना।
• दी गई संख्याओं को भूल जाना।

Exam Tips:

a) हमेशा \( n+1 \) विधि का उपयोग करें ताकि पर्याप्त संख्याएँ मिल सकें।
b) हर को दोनों संख्याओं के लिए एक जैसा बनाएं।
c) उत्तर को समुच्चय या सूची के रूप में स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 6: \( \frac{2}{5} \) और \( \frac{3}{5} \) के मध्य 5 परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Answer:

दोनों भिन्नों को एक बड़े उभयनिष्ठ हर के साथ लिखते हैं:
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 10}{5 \times 10} = \frac{20}{50} \)
\( \frac{3}{5} = \frac{3 \times 10}{5 \times 10} = \frac{30}{50} \)
अब, \( \frac{20}{50} \) और \( \frac{30}{50} \) के मध्य पाँच परिमेय संख्याएँ हैं:
\( \frac{21}{50}, \frac{22}{50}, \frac{23}{50}, \frac{24}{50}, \frac{25}{50} \)
अतः, अभीष्ट पाँच परिमेय संख्याएँ हैं: \( \frac{21}{50}, \frac{22}{50}, \frac{23}{50}, \frac{24}{50}, \frac{25}{50} \)

मुख्य बिंदु:

• दी गई भिन्न संख्याओं के हर पहले से समान हैं, अतः अंशों का अंतर बढ़ाने के लिए 10 से गुणा किया जाता है।
• बीच की कोई भी पाँच परिमेय संख्याएँ चुनी जा सकती हैं।
• तुल्य भिन्नों (Equivalent fractions) का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• हर को और बड़ा न करके सीधे संख्याएँ खोजने का प्रयास करना जहाँ जगह न हो।
• गुणा करते समय अंश और हर दोनों में समान संख्या से गुणा न करना।

Exam Tips:

a) हर को 10, 100 आदि से गुणा करके पर्याप्त अंतर पैदा करें।
b) आप कोई भी पाँच लगातार संख्याएँ चुन सकते हैं।
c) उत्तर को सरलतम रूप में लिखने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन मानक रूप अच्छा रहता है।

Question 7: \( \frac{1}{6} \) और \( \frac{2}{5} \) के मध्य 5 परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Answer:

पहले हरों (6 और 5) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते हैं, जो कि 30 है।
\( \frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{12}{30} \)
अब \( \frac{5}{30} \) और \( \frac{12}{30} \) के मध्य भिन्नें हैं:
\( \frac{6}{30}, \frac{7}{30}, \frac{8}{30}, \frac{9}{30}, \frac{10}{30} \)
अतः, \( \frac{1}{6} \) और \( \frac{2}{5} \) के मध्य पाँच परिमेय संख्याएँ हैं: \( \frac{6}{30}, \frac{7}{30}, \frac{8}{30}, \frac{9}{30}, \frac{10}{30} \)
इन्हें सरलतम रूप में इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( \frac{1}{5}, \frac{7}{30}, \frac{4}{15}, \frac{3}{10}, \frac{1}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• असमान हर वाली भिन्नों के लिए पहले LCM लेकर हर समान किए जाते हैं।
• हर समान होने पर अंशों के बीच के मान आसानी से मिल जाते हैं।
• भिन्नों को सरलतम रूप में बदला जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• LCM गलत निकालना।
• हर समान किए बिना अंशों की तुलना करना।
• सरल करने में गलती करना।

Exam Tips:

a) हर का LCM निकालना न भूलें।
b) यदि बीच में पर्याप्त संख्या न मिले, तो अंश व हर को किसी बड़ी संख्या से गुणा कर लें।
c) सरलतम रूप में उत्तर लिखना अच्छे अंक दिलाता है।

Question 8: यदि \( \frac{x}{3} + \frac{x}{5} = \frac{16}{15} \) है तो परिमेय संख्या \( x \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है: \( \frac{x}{3} + \frac{x}{5} = \frac{16}{15} \)
\( x \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( x \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) = \frac{16}{15} \)
अब, कोष्ठक के अंदर जोड़ने पर:
\( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 3}{15} = \frac{8}{15} \)
अतः,
\( x \times \frac{8}{15} = \frac{16}{15} \)
\( x = \frac{16}{15} \div \frac{8}{15} \)
\( x = \frac{16}{15} \times \frac{15}{8} \)
\( x = \frac{16}{8} = 2 \)
अतः, परिमेय संख्या \( x = 2 \) है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को हल करने के लिए चर (variable) को पृथक किया जाता है।
• भिन्नों का योग करते समय LCM का प्रयोग होता है।
• भाग की संक्रिया को गुणा में बदलकर व्युत्क्रम (reciprocal) लिखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( x \) को कॉमन लेते समय गलती करना।
• भिन्न के भाग को हल करते समय व्युत्क्रम न करना।
• हर को काटते समय गणितीय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) समीकरण हल करने के प्रत्येक चरण को नई पंक्ति में लिखें।
b) अंत में अपने उत्तर की जाँच समीकरण में मान रखकर अवश्य करें।
c) चिह्न और हर का विशेष ध्यान रखें।

Question 9: मान लीजिए \( a \) और \( b \) दो ऐसी शून्येतर परिमेय संख्याएँ हैं कि \( a + \frac{1}{b} = 0 \) है। कोई संख्यात्मक मान निर्दिष्ट किए बिना निर्धारित कीजिए कि \( ab \) धनात्मक है या ऋणात्मक। अपने उत्तर को सत्यापित कीजिए।

Answer:

दिया है: \( a + \frac{1}{b} = 0 \)
अतः,
\( a = -\frac{1}{b} \)
दोनों पक्षों को \( b \) से गुणा करने पर:
\( ab = \left(-\frac{1}{b}\right) \times b \)
\( ab = -1 \)
चूँकि \( ab = -1 \) है, जो कि एक ऋणात्मक संख्या है, अतः \( ab \) ऋणात्मक है।

सत्यापन:
मान लीजिए \( b = 2 \) (एक शून्येतर परिमेय संख्या), तब समीकरण से:
\( a + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow a = -\frac{1}{2} \)
अब \( ab \) ज्ञात करते हैं:
\( ab = \left(-\frac{1}{2}\right) \times 2 = -1 \)
जो कि ऋणात्मक है। अतः हमारा उत्तर सत्यापित होता है।

मुख्य बिंदु:

• बीजीय समीकरणों को पक्षांतर करके संबंध स्थापित किया जाता है।
• शून्येतर संख्याओं के गुणन के नियम लागू होते हैं।
• सत्यापन के लिए कोई भी उचित मान मानकर जांच की जा सकती है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिह्न को छोड़ देना।
• पक्षांतर करते समय नियम गलत लगाना।
• सत्यापन न करना।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं।
b) सत्यापन हमेशा एक छोटे उदाहरण से करें ताकि आपका उत्तर पुष्ट हो सके।
c) निष्कर्ष को वाक्यों में स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 10: एक परिमेय संख्या का सांत दशमलव प्रसार है व जिसका अंतिम शून्येतर अंक चौथे दशमलव स्थान पर है। प्रदर्शित कीजिए कि ऐसी संख्या को \( \frac{p}{10^4} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ \( p \) एक पूर्णांक है जो 10 से अविभाज्य है। क्या यह आवश्यक है कि इस परिमेय संख्या का हर जब अपने सरलतम रूप में लिखा जाता है तो वह \( 2^4 \) या \( 5^4 \) से विभाज्य हो? कारण बताइए।

Answer:

यदि अंतिम शून्येतर अंक चौथे दशमलव स्थान पर स्थित है, तो उस संख्या के ठीक 4 दशमलव स्थान होंगे।
अतः, इसे \( \frac{p}{10^4} \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( p \) एक पूर्णांक है।
चूँकि अंतिम शून्येतर अंक चौथे स्थान पर है, अतः \( p \), 10 से विभाज्य नहीं है (अन्यथा दशमलव इससे पहले ही समाप्त हो जाता)।
अब, \( 10^4 = 2^4 \times 5^4 \)
जब भिन्न को निम्नतम रूप में बदला जाता है, तो \( p \) और \( 10^4 \) के मध्य कुछ उभयनिष्ठ गुणनखंड निरस्त हो सकते हैं।
अतः, यह आवश्यक नहीं है कि निम्नतम रूप में हर, \( 2^4 \) या \( 5^4 \) से विभाज्य हो।

उदाहरण:
\( 0.1250 = \frac{1250}{10000} = \frac{1}{8} \)
यहाँ, निम्नतम रूप में हर \( 8 = 2^3 \) है, जो \( 2^4 \) या \( 5^4 \) से विभाज्य नहीं है।
अतः, यह आवश्यक नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• दशमलव स्थानों की संख्या हर में 10 की घात तय करती है।
• शून्येतर अंक की स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि अंश 10 से विभाजित न हो।
• सरल करने पर हर के गुणनखंड बदल सकते हैं।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि सरलतम रूप में हर हमेशा \( 10^4 \) के गुणनखंड ही रहेगा।
• प्रश्न के दूसरे भाग (क्या यह आवश्यक है) को नजरअंदाज करना।
• उचित उदाहरण न देना।

Exam Tips:

a) थ्योरी वाले प्रश्नों में एक छोटा सा संख्यात्मक उदाहरण अवश्य दें।
b) कारण स्पष्ट रूप से स्टेप-बाय-स्टेप लिखें।
c) घात और गुणनखंड के नियमों का सही उल्लेख करें।

Question 11: विभाजन किए बिना यह निर्धारित कीजिए कि \( \frac{18}{125} \) का दशमलव प्रसार सांत है या असांत। यदि यह सांत है तो दशमलव स्थानों की संख्या बताइए।

Answer:

दी गई परिमेय संख्या: \( \frac{18}{125} \)
हर का अभाज्य गुणनखंडन करने पर:
\( 125 = 5^3 = 2^0 \times 5^3 \)
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 5 हैं (अर्थात यह \( 2^m \times 5^n \) के रूप में है), इसलिए दशमलव प्रसार सांत है।

दशमलव स्थानों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हर को 10 की घात बनाते हैं:
\( \frac{18}{125} = \frac{18 \times 8}{125 \times 8} = \frac{144}{1000} = 0.144 \)
इस प्रकार, यह 3 दशमलव स्थानों पर समाप्त होता है।
अतः, \( \frac{18}{125} \) एक सांत दशमलव है जिसमें 3 दशमलव स्थान हैं।

मुख्य बिंदु:

• सांत दशमलव की शर्त: हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2, केवल 5, या दोनों होने चाहिए।
• दशमलव स्थानों की संख्या \( m \) और \( n \) में से अधिकतम घात के बराबर होती है।
• हर को 10 की घात बनाने से प्रसार आसानी से दिख जाता है।

आम गलतियाँ:

• बिना गुणनखंड किए सीधे भाग देना शुरू कर देना।
• सांत और असांत की शर्त में भ्रमित होना।
• दशमलव स्थानों की संख्या गलत बताना।

Exam Tips:

a) हर का अभाज्य गुणनखंडन सबसे पहले दिखाएं।
b) प्रमेय या नियम का उल्लेख करें कि क्यों यह सांत है।
c) अंश और हर को उपयुक्त संख्या से गुणा करके दशमलव रूप स्पष्ट करें।

Question 12: अपने सरलतम रूप में एक परिमेय संख्या का हर \( 2^3 \times 5 \) है। इसके दशमलव प्रसार में कितने दशमलव स्थान होंगे? अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।

Answer:

दिया गया हर: \( 2^3 \times 5 = 8 \times 5 = 40 \)
हम जानते हैं कि यदि किसी परिमेय संख्या का हर \( 2^m \times 5^n \) के रूप का होता है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
दशमलव स्थानों की संख्या, घातों \( m \) और \( n \) में से जो बड़ी होती है, उसके बराबर होती है।
यहाँ, \( m = 3 \) और \( n = 1 \) (चूँकि \( 5 = 5^1 \)) है।
इनमें बड़ी घात 3 है।
अतः, दशमलव स्थानों की संख्या = 3 होगी।

उदाहरण:
यदि अंश 1 हो, तो \( \frac{1}{40} = 0.025 \), जिसमें ठीक 3 दशमलव स्थान हैं।

मुख्य बिंदु:

• हर का रूप \( 2^m \times 5^n \) सांत दशमलव को दर्शाता है।
• अधिकतम घात (\( m \) या \( n \)) दशमलव स्थानों की संख्या तय करती है।
• यह नियम बिना वास्तविक भाग दिए दशमलव स्थान बताने में मदद करता है।

आम गलतियाँ:

• \( m \) और \( n \) को जोड़ने की गलती करना (जबकि अधिकतम देखना होता है)।
• 5 की घात 1 को अनदेखा करना।
• व्याख्या स्पष्ट न लिखना।

Exam Tips:

a) नियम \( 2^m \times 5^n \) को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) \( m \) और \( n \) के मान अलग से दर्शाएं।
c) एक उदाहरण देकर अपने उत्तर को प्रमाणित करें।

Question 13: मान लीजिए \( a = \frac{7}{12} \) और \( b = \frac{5}{6} \) है। \( a \) और \( b \) दोनों को \( \frac{k_1}{m} \) और \( \frac{k_2}{m} \) के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ \( k_1, k_2 \) और \( m \) पूर्णांक हैं और \( k_2 - k_1 > 6 \) है। समान हर \( m \) का उपयोग करते हुए \( a \) और \( b \) के मध्य स्थित ठीक पाँच भिन्न परिमेय संख्याएँ लिखिए, जिनके अंश पूर्णांक हों। स्पष्ट कीजिए कि इस विधि से दो परिमेय संख्याओं \( a \) और \( b \) के मध्य स्थित ऐसी \( n \) परिमेय संख्याओं को ज्ञात करने के लिए \( k_2 - k_1 > n + 1 \) प्रतिबंध क्यों आवश्यक है।

Answer:

दिया है: \( a = \frac{7}{12} \) और \( b = \frac{5}{6} \)
पहले दोनों को समान हर में व्यक्त करते हैं।
चूँकि \( \frac{5}{6} = \frac{10}{12} \), अतः \( a = \frac{7}{12} \) और \( b = \frac{10}{12} \)
यहाँ \( k_2 - k_1 = 10 - 7 = 3 \), जो 6 से बड़ा नहीं है।
अतः, हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं:
\( a = \frac{7 \times 3}{12 \times 3} = \frac{21}{36} \)
\( b = \frac{10 \times 3}{6 \times 3} = \frac{30}{36} \)
अब, \( k_1 = 21, k_2 = 30, m = 36 \) और \( k_2 - k_1 = 30 - 21 = 9 > 6 \)
अतः \( a \) और \( b \) के मध्य पाँच भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं:
\( \frac{22}{36}, \frac{23}{36}, \frac{24}{36}, \frac{25}{36}, \frac{26}{36} \)

प्रतिबंध \( k_2 - k_1 > n + 1 \) क्यों आवश्यक है?
यदि हमें \( \frac{k_1}{m} \) और \( \frac{k_2}{m} \) के मध्य \( n \) परिमेय संख्याएँ चाहिए, तो हमें \( k_1 \) और \( k_2 \) के ठीक मध्य कम से कम \( n \) पूर्णांकों की आवश्यकता है।
\( k_1 \) और \( k_2 \) के ठीक मध्य स्थित पूर्णांक हैं: \( k_1 + 1, k_1 + 2, \dots, k_2 - 1 \)
इनकी संख्या \( (k_2 - k_1 - 1) \) है।
इनके मध्य \( n \) परिमेय संख्याएँ प्राप्त करने के लिए, हमारे पास होना चाहिए:
\( k_2 - k_1 - 1 \geq n \Rightarrow k_2 - k_1 \geq n + 1 \)
सुरक्षा के लिए \( k_2 - k_1 > n + 1 \) लिया जाता है, जिससे पर्याप्त पूर्णांक अंश उपलब्ध हों।

मुख्य बिंदु:

• समान हर बनाने के बाद अंशों का अंतराल देखा जाता है।
• \( n \) परिमेय संख्याएँ निकालने के लिए अंशों के बीच पर्याप्त पूर्णांक होने चाहिए।
• सूत्र \( k_2 - k_1 > n + 1 \) तार्किक रूप से आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• बिना हर बराबर किए सीधे अंशों की तुलना करना।
• प्रतिबंध की व्याख्या गलत या अधूरी लिखना।
• गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) हर को बराबर करने के चरणों को साफ-साफ दिखाएं।
b) सिद्धांत वाले हिस्से (क्यों आवश्यक है) को गणितीय असमिका (inequality) के रूप में समझाएं।
c) अंतिम पाँचों संख्याओं को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करें।

Question 14: तीन परिमेय संख्याएँ \( x, y, z \) इस प्रकार हैं कि \( x + y + z = 0 \) और \( xy + yz + zx = 0 \) प्रतिबंध संतुष्ट होते हैं। प्रदर्शित कीजिए कि सभी परिमेय संख्याएँ \( x, y, z \) एक साथ आवश्यक रूप से शून्य ही होंगी।

Answer:

दिया है:
\( x + y + z = 0 \) ...(1)
\( xy + yz + zx = 0 \) ...(2)
हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
\( (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \)
समीकरण (1) से मान रखने पर:
\( (0)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \)
\( 0 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \)
समीकरण (2) से \( xy + yz + zx = 0 \) रखने पर:
\( 0 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(0) \)
\( x^2 + y^2 + z^2 = 0 \)
अब, \( x^2, y^2 \) और \( z^2 \) सभी अऋणात्मक (non-negative) परिमेय संख्याएँ हैं।
तीन अऋणात्मक संख्याओं का योग 0 तभी संभव है जब उनमें से प्रत्येक अलग-अलग शून्य के बराबर हो।
अतः,
\( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
\( y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 \)
\( z^2 = 0 \Rightarrow z = 0 \)
अतः, सभी परिमेय संख्याएँ \( x, y \) और \( z \) एक साथ आवश्यक रूप से शून्य ही हैं।

मुख्य बिंदु:

• सर्वसमिका \( (x+y+z)^2 \) का प्रयोग किया जाता है।
• वर्ग हमेशा धनात्मक या शून्य होते हैं (अऋणात्मक)।
• अऋणात्मक संख्याओं का योग शून्य होने का गुण उपयोग में लाया जाता है।

आम गलतियाँ:

• सर्वसमिका का विस्तार गलत लिखना।
• यह भूल जाना कि वास्तविक संख्याओं के वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकते।
• निष्कर्ष पर सीधे पहुँचना बिना तर्क दिए।

Exam Tips:

a) सर्वसमिका को स्पष्ट रूप से शुरुआत में लिखें।
b) समीकरण (1) और (2) के मान प्रतिस्थापित करने के चरण साफ दिखाएं।
c) अंत में तर्क दें कि वर्गों का योग शून्य होने पर प्रत्येक पद शून्य क्यों होता है।

Question 15: प्रदर्शित कीजिए कि परिमेय संख्या \( \frac{a+b}{2} \), परिमेय संख्याओं \( a \) और \( b \) के मध्य स्थित है।

Answer:

मान लीजिए \( a < b \) है। हमें दर्शाना है कि:
\( a < \frac{a+b}{2} < b \)

भाग 1: \( a \) और \( \frac{a+b}{2} \) की तुलना:
चूँकि \( a < b \) है, दोनों पक्षों में \( a \) जोड़ने पर:
\( a + a < a + b \)
\( 2a < a + b \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( a < \frac{a+b}{2} \) ...(1)

भाग 2: \( \frac{a+b}{2} \) और \( b \) की तुलना:
चूँकि \( a < b \) है, दोनों पक्षों में \( b \) जोड़ने पर:
\( a + b < b + b \)
\( a + b < 2b \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( \frac{a+b}{2} < b \) ...(2)

समीकरण (1) और (2) से:
\( a < \frac{a+b}{2} < b \)
अतः, परिमेय संख्या \( \frac{a+b}{2} \), \( a \) और \( b \) के मध्य स्थित है।
(नोट: यदि \( b < a \) हो, तो भी इसी विधि से यही परिणाम प्राप्त होता है)।

मुख्य बिंदु:

• मध्य की संख्या (Average) निकालने के लिए औसत सूत्र \( \frac{a+b}{2} \) का प्रयोग होता है।
• असमिकाओं (Inequalities) के गुणों का उपयोग किया जाता है।
• दोनों तरफ की सीमाओं को अलग-अलग सिद्ध किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• असमिका के नियम में जोड़ते या भाग देते समय गलती करना।
• केवल एक तरफ की तुलना करके छोड़ देना।
• निष्कर्ष को संयुक्त रूप में न लिखना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।
b) असमिका के चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) अंत में दोनों परिणामों को मिलाकर अंतिम कथन लिखें।

Question 16: चित्र 3.14 (जिसे वर्गमूल सर्पिल कहा जाता है) में प्रदर्शित सभी समकोण त्रिभुजों के कर्णों की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer:

वर्गमूल सर्पिल में, प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज इस प्रकार बनता है:
आधार = 1 इकाई (या पिछले त्रिभुज का कर्ण), और लंब = 1 इकाई।
पाइथागोरस प्रमेय (\( \text{कर्ण} = \sqrt{\text{आधार}^2 + \text{लंब}^2} \)) का उपयोग करने पर:
• पहला त्रिभुज: भुजाएँ = 1, 1
\( \text{कर्ण} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
• दूसरा त्रिभुज: भुजाएँ = \( \sqrt{2} \), 1
\( \text{कर्ण} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3} \)
• तीसरा त्रिभुज: भुजाएँ = \( \sqrt{3} \), 1
\( \text{कर्ण} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2 \)
• चौथा त्रिभुज: भुजाएँ = 2, 1
\( \text{कर्ण} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \)
इसी प्रकार आगे के त्रिभुजों के कर्ण होंगे:
\( \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8} (= 2\sqrt{2}), \sqrt{9} (= 3), \sqrt{10}, \sqrt{11} \dots \)
अतः, वर्गमूल सर्पिल में त्रिभुजों के कर्णों की लंबाइयाँ हैं: \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, 2\sqrt{2}, 3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \dots \)

मुख्य बिंदु:

• पाइथागोरस प्रमेय का लगातार प्रयोग किया जाता है।
• प्रत्येक चरण में आधार पिछले त्रिभुज का कर्ण बनता है और लंब हमेशा 1 इकाई होता है।
• वर्गमूल संख्याओं का क्रमिक पैटर्न बनता है।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल के अंदर मान जोड़ते समय गलती करना (जैसे \( \sqrt{2}^2 \) को 2 न लिखना)।
• \( \sqrt{4} \) या \( \sqrt{9} \) को उनके पूर्ण संख्या रूप (2 या 3) में न बदलना।
• श्रृंखला के क्रम को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
b) पहले दो-तीन चरणों को विस्तार से हल करके दिखाएं।
c) पूर्ण वर्ग बनने वाली संख्याओं (जैसे \( \sqrt{4} = 2 \)) को उनके सरल रूप में अवश्य लिखें।