NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 02 Introduction to Linear Polynomials (रैखिक बहुपदों का परिचय) End of Chapter Exercises in Hindi

Question 1: एक बहुपद लिखिए जिसमें चर x हो, घात 3 हो और \( x^2 \) पद का गुणांक \( -7 \) हो।

Answer:

घात 3 के बहुपद का सामान्य रूप होता है: \( ax^3 + bx^2 + cx + d \)
प्रश्न के अनुसार \( x^2 \) का गुणांक \( -7 \) दिया गया है, अतः \( b = -7 \)
अतः एक ऐसा बहुपद निम्नलिखित होगा:
\( x^3 - 7x^2 + 2x + 1 \)
(नोट: \( x^2 \) का गुणांक \( -7 \) रखते हुए घात 3 का कोई भी बहुपद सही उत्तर हो सकता है।)

मुख्य बिंदु:

• बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की अधिकतम घात होती है जो यहाँ 3 है।
• किसी पद का गुणांक वह संख्या होती है जो उस चर या चर के घातांक के साथ गुणनफल में होती है।
• मानक रूप में बहुपद को घटती हुई घातों के क्रम में लिखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• छात्र अक्सर केवल गुणांक लिख देते हैं पूरा बहुपद नहीं बनाते।
• \( -7 \) के स्थान पर धनात्मक 7 लिख देना।
• बहुपद की घात 3 के बजाय चर की कुल संख्या 3 समझ लेना।

Exam Tips:

a) हमेशा बहुपद का मानक रूप \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) अपने दिमाग में रखें।
b) प्रश्न में दी गई सभी शर्तों (चर, घात, गुणांक) को अलग-अलग लिखकर जाँच करें।
c) अपनी पसंद के कोई भी अन्य गुणांक \( c \) और \( d \) चुन सकते हैं जब तक मुख्य शर्त पूरी हो।

Question 2: चरों के दिए गए मानों से नीचे दिए गए बहुपदों के मान ज्ञात कीजिए –
(i) \( 5x^2 - 3x + 7 \) यदि \( x = 1 \) हो।
(ii) \( 4t^3 - t^2 + 6 \) यदि \( t = a \) हो।

Answer:

(i) दिया गया बहुपद है: \( p(x) = 5x^2 - 3x + 7 \)
\( x = 1 \) रखने पर:
\( p(1) = 5(1)^2 - 3(1) + 7 \)
\( = 5(1) - 3 + 7 \)
\( = 5 - 3 + 7 \)
\( = 9 \)

(ii) दिया गया बहुपद है: \( p(t) = 4t^3 - t^2 + 6 \)
\( t = a \) रखने पर:
\( p(a) = 4(a)^3 - (a)^2 + 6 \)
\( = 4a^3 - a^2 + 6 \)

मुख्य बिंदु:

• बहुपद में चर का मान प्रतिस्थापित (substitute) करने पर उस व्यंजक का संख्यात्मक मान प्राप्त होता है।
• कोष्ठک का सही उपयोग करके ही मानों को रखना चाहिए ताकि चिन्हों की गलती न हो।
• किसी चर के स्थान पर दूसरा चर या अचर रखने पर बीजगणितीय व्यंजक प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• वर्ग या घन निकालते समय चिन्हों की गलती कर देना।
• गुणा करने से पहले जोड़ या घटाव की क्रिया कर देना।
• \( t = a \) रखने पर पद को केवल \( a \) लिखकर छोड़ देना और गुणांक भूल जाना।

Exam Tips:

a) मान प्रतिस्थापित करते समय हमेशा ब्रैकेट का प्रयोग करें।
b) बोडमास (BODMAS) नियम का पालन करते हुए पहले घात हल करें, फिर गुणा और अंत में जोड़-घटाव करें।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से अलग-अलग पंक्तियों में लिखें।

Question 3: यदि हम किसी संख्या को \( \frac{5}{2} \) से गुणा करते हैं और उसके गुणनफल में \( \frac{2}{3} \) का योग करते हैं तो हमें \( -\frac{7}{12} \) प्राप्त होता है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना अज्ञात संख्या \( x \) है।
प्रश्नानुसार:
\( \frac{5}{2}x + \frac{2}{3} = -\frac{7}{12} \)
दोनों पक्षों में से \( \frac{2}{3} \) घटाने पर:
\( \frac{5}{2}x = -\frac{7}{12} - \frac{2}{3} \)
हर समान करने के लिए \( \frac{2}{3} \) को \( \frac{4}{4} \) से गुणा करने पर:
\( \frac{5}{2}x = -\frac{7}{12} - \frac{8}{12} \)
\( \frac{5}{2}x = -\frac{15}{12} \)
सरल करने पर:
\( \frac{5}{2}x = -\frac{5}{4} \)
अब दोनों पक्षों को \( \frac{2}{5} \) से गुणा करने पर:
\( x = \left(-\frac{5}{4}\right) \times \left(\frac{2}{5}\right) \)
\( x = -\frac{1}{2} \)
अतः वह संख्या \( -\frac{1}{2} \) है।

मुख्य बिंदु:

• इबारती प्रश्नों को रैखिक समीकरण में बदलना महत्वपूर्ण कौशल है।
• भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए हर (denominator) समान होना आवश्यक है।
• समीकरण के पक्षांतर (transposition) करते समय चिन्ह बदल जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{2}{3} \) को पक्षांतर करते समय उसका चिन्ह बदलना भूल जाना।
• भिन्न का एलसीएम (LCM) लेने में गलती करना।
• अंतिम चरण में व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करते समय चिन्ह छोड़ देना।

Exam Tips:

a) समीकरण बनाने से पहले प्रत्येक वाक्य को ध्यान से पढ़ें।
b) भिन्नों के जोड़-घटाव में एलसीएम की प्रक्रिया को रफ कार्य में या स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) उत्तर निकालने के बाद उसे मूल समीकरण में रखकर अपने उत्तर की जाँच अवश्य करें।

Question 4: कोई धनात्मक संख्या किसी अन्य संख्या की 5 गुना है। यदि दोनों संख्याओं में 21 जोड़ दिया जाए तो प्राप्त दोनों संख्याओं में से एक संख्या दूसरी संख्या की दोगुनी है। दोनों मूल संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना छोटी संख्या \( x \) है।
तो बड़ी संख्या \( 5x \) होगी।
दोनों संख्याओं में 21 जोड़ने पर नई संख्याएँ निम्नलिखित होंगी:
छोटी संख्या = \( x + 21 \)
बड़ी संख्या = \( 5x + 21 \)
प्रश्नानुसार, जोड़ने के बाद बड़ी संख्या छोटी संख्या की दोगुनी हो जाती है:
\( 5x + 21 = 2(x + 21) \)
कोष्टक खोलने पर:
\( 5x + 21 = 2x + 42 \)
चर पदों को एक तरफ और अचर पदों को दूसरी तरफ ले जाने पर:
\( 5x - 2x = 42 - 21 \)
\( 3x = 21 \)
\( x = \frac{21}{3} \)
\( x = 7 \)
अतः छोटी संख्या = \( 7 \)
और बड़ी संख्या = \( 5 \times 7 = 35 \)
अतः दोनों मूल संख्याएँ 7 और 35 हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो चरों के बजाय एक चर \( x \) मानकर प्रश्न को आसानी से हल किया जा सकता है।
• बड़ी संख्या हमेशा दोगुनी होगी इसलिए समीकरण में छोटी संख्या को 2 से गुणा किया जाता है।
• समीकरण हल करते समय पक्षांतर नियम का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• यह समझ लेना कि 2 का गुणा बड़ी संख्या में होगा, जबकि समीकरण संतुलित करने के लिए छोटी संख्या में 2 का गुणा करना होता है।
• केवल छोटी संख्या निकालकर छोड़ देना, बड़ी संख्या निकालना भूल जाना।
• कोष्टक खोलते समय अंदर के दोनों पदों से गुणा न करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दिए गए प्रतिबंध के अनुसार ही समीकरण में 2 या अन्य संख्या का गुणा करें।
b) दोनों मूल संख्याएँ स्पष्ट शब्दों में अंत में अलग से लिखें।
c) उत्तर की जाँच के लिए दोनों में 21 जोड़कर देखें कि बड़ी संख्या छोटी की दोगुनी होती है या नहीं।

Question 5: यदि आपके पास ₹800 हैं और आप प्रतिमाह ₹250 की बचत करते हैं तो वह धनराशि ज्ञात कीजिए, जो आपके पास होगी — (i) 6 महीनों के पश्चात (ii) 2 वर्षों के पश्चात। इसे रैखिक प्रतिरूप के रूप में व्यक्त कीजिए।

Answer:

प्रारंभिक धनराशि = ₹800
प्रतिमाह बचत = ₹250
माना महीनों की संख्या \( n \) है।
\( n \) महीनों के पश्चात कुल धनराशि का रैखिक प्रतिरूप (समीकरण):
\( A = 800 + 250n \)

(i) 6 महीनों के पश्चात धनराशि:
\( n = 6 \) रखने पर:
\( A = 800 + 250(6) \)
\( A = 800 + 1500 \)
\( A = ₹2300 \)

(ii) 2 वर्षों के पश्चात धनराशि:
चूँकि 1 वर्ष = 12 महीने, अतः 2 वर्ष = \( 2 \times 12 = 24 \) महीने।
\( n = 24 \) रखने पर:
\( A = 800 + 250(24) \)
\( A = 800 + 6000 \)
\( A = ₹6800 \)

मुख्य बिंदु:

• प्रारंभिक नियत राशि को समीकरण में अचर पद के रूप में जोड़ा जाता है।
• प्रति माह की दर को समय (महीनों की संख्या) से गुणा किया जाता है।
• वर्ष को महीनों में बदलना आवश्यक है क्योंकि बचत प्रतिमाह दी गई है।

आम गलतियाँ:

• 2 वर्षों को सीधे \( n = 2 \) मान लेना, महीनों में परिवर्तित न करना।
• प्रारंभिक ₹800 को कुल राशि में जोड़ना भूल जाना।
• गुणा और जोड़ के क्रम में गलती करना।

Exam Tips:

a) समय की इकाई (महीना/वर्ष) हमेशा एक समान होनी चाहिए।
b) रैखिक प्रतिरूप को पहले सूत्र के रूप में स्पष्ट लिखें।
c) अंतिम उत्तर में रुपए (₹) का चिन्ह अवश्य लगाएं।

Question 6: एक दो-अंकीय संख्या के अंकों के मध्य का अंतर 3 है। यदि संख्या के दोनों अंकों को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाए और प्राप्त संख्या को मूल संख्या में जोड़ दिया जाए तो हमें योगफल 143 प्राप्त होता है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना दहाई का अंक \( x \) है और इकाई का अंक \( y \) है।
मूल संख्या = \( 10x + y \)
अंकों को परस्पर परिवर्तित करने पर प्राप्त संख्या = \( 10y + x \)
प्रश्नानुसार, अंकों के मध्य अंतर 3 है:
\( x - y = 3 \) ...(1)
और मूल संख्या तथा परिवर्तित संख्या का योग 143 है:
\( (10x + y) + (10y + x) = 143 \)
\( 11x + 11y = 143 \)
11 कॉमन लेकर हल करने पर:
\( 11(x + y) = 143 \)
\( x + y = \frac{143}{11} \)
\( x + y = 13 \) ...(2)
अब समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( (x - y) + (x + y) = 3 + 13 \)
\( 2x = 16 \)
\( x = 8 \)
\( x = 8 \) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( 8 + y = 13 \)
\( y = 13 - 8 \)
\( y = 5 \)
अतः मूल संख्या = \( 10(8) + 5 = 80 + 5 = 85 \)
परिवर्तित संख्या = \( 58 \)
अतः दोनों संख्याएँ 85 और 58 हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो अंकों की संख्या को स्थानीय मान के आधार पर \( 10x + y \) लिखा जाता है।
• विलोपन विधि (elimination method) से दो चरों के रैखिक समीकरण युग्म को आसानी से हल किया जा सकता है।
• अंकों के पलटने पर इकाई और दहाई के स्थान आपस में बदल जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• दो अंकों की संख्या को केवल \( x + y \) लिख देना जो कि गलत है।
• योग वाले समीकरण को सरल करते समय 11 से भाग देना भूल जाना।
• मूल संख्या और परिवर्तित संख्या दोनों को उत्तर के रूप में लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) संख्या का प्रारूप हमेशा \( 10 \times \text{दहाई} + \text{इकाई} \) के रूप में ही लिखें।
b) समीकरणों को नाम दें ((1), (2)) ताकि हल करते समय भ्रम न हो।
c) दोनों संख्याएँ निकालने के बाद जाँच करें कि उनका योग 143 और अंतर के नियम का पालन होता है या नहीं।

Question 7: नीचे दिए गए समीकरणों के आलेख बनाइए और उनके ढलानों व y-अंतःखंडों की पहचान कीजिए। साथ ही उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ ये रेखाएँ y-अक्ष को प्रतिच्छेद करती हैं।
(i) \( y = -3x + 4 \)
(ii) \( 2y = 4x + 7 \)
(iii) \( 5y = 6x - 10 \)
(iv) \( 3y = 6x - 11 \)
क्या इनमें से कोई भी रेखा परस्पर समानांतर है?

Answer:

रैखिक समीकरण के मानक रूप \( y = ax + b \) से तुलना करने पर, जहाँ \( a \) ढाल (slope) है और \( b \) y-अंतःखंड (y-intercept) है:

(i) समीकरण: \( y = -3x + 4 \)
• ढाल (\( a \)) = \( -3 \)
• y-अंतःखंड (\( b \)) = \( 4 \)
• y-अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाला बिंदु: \( (0, 4) \)

(ii) समीकरण: \( 2y = 4x + 7 \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर: \( y = 2x + \frac{7}{2} \)
• ढाल (\( a \)) = \( 2 \)
• y-अंतःखंड (\( b \)) = \( \frac{7}{2} \)
• y-अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाला बिंदु: \( \left(0, \frac{7}{2}\right) \)

(iii) समीकरण: \( 5y = 6x - 10 \)
दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर: \( y = \frac{6}{5}x - 2 \)
• ढाल (\( a \)) = \( \frac{6}{5} \)
• y-अंतःखंड (\( b \)) = \( -2 \)
• y-अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाला बिंदु: \( (0, -2) \)

(iv) समीकरण: \( 3y = 6x - 11 \)
दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर: \( y = 2x - \frac{11}{3} \)
• ढाल (\( a \)) = \( 2 \)
• y-अंतःखंड (\( b \)) = \( -\frac{11}{3} \)
• y-अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाला बिंदु: \( \left(0, -\frac{11}{3}\right) \)

समानांतर रेखाओं की जाँच:
दो रेखाएँ परस्पर समानांतर होती हैं यदि उनके ढाल (slopes) समान हों।
यहाँ समीकरण (ii) का ढाल = 2 और समीकरण (iv) का ढाल = 2 है।
अतः रेखाएँ (ii) और (iv) परस्पर समानांतर हैं।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को हमेशा \( y = ax + b \) के रूप में बदलकर ही ढाल और अंतःखंड देखना चाहिए।
• y-अक्ष पर x का मान हमेशा शून्य होता है, इसलिए y-अंतःखंड ही y-अक्ष का प्रतिच्छेद बिंदु बनता है।
• समान ढाल वाली रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं और वे समानांतर होती हैं।

आम गलतियाँ:

• समीकरण को \( y \) के पदों में बिना बदले सीधे गुणांकों को ढाल मान लेना।
• y-अंतःखंड को केवल संख्या समझ लेना जबकि उसके साथ चिन्ह भी महत्वपूर्ण है।
• समानांतर रेखाओं की पहचान करते समय अंतःखंड को देख लेना न कि ढाल को।

Exam Tips:

a) पहले सभी समीकरणों को \( y = ax + b \) के मानक रूप में व्यवस्थित करें।
b) ढाल और अंतःखंड को स्पष्ट रूप से अलग-अलग बिंदुओं में दर्शाएं।
c) समानांतर रेखाओं के लिए केवल 'ढाल की समानता' का तर्क दें।

Question 8: यदि किसी द्रव के तापमान को केल्विन इकाई में \( x \) K के रूप में और फॉरेनहाइट इकाई में \( y \) °F के रूप में मापा जाता है तो तापमान मापन की दोनों प्रणालियों के मध्य संबंध, रैखिक समीकरण \( y = \frac{9}{5}(x - 273) + 32 \) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
(i) यदि द्रव का तापमान 313 K हो तो फॉरेनहाइट इकाई में द्रव का तापमान ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि द्रव का तापमान 158 °F हो तो केल्विन इकाई में द्रव का तापमान ज्ञात कीजिए।

Answer:

(i) दिया गया है: \( x = 313 \) K, हमें \( y \) ज्ञात करना है।
समीकरण में मान रखने पर:
\( y = \frac{9}{5}(313 - 273) + 32 \)
\( y = \frac{9}{5}(40) + 32 \)
\( y = 9 \times 8 + 32 \)
\( y = 72 + 32 \)
\( y = 104 \)
अतः फॉरेनहाइट में तापमान 104 °F है।

(ii) दिया गया है: \( y = 158 \) °F, हमें \( x \) ज्ञात करना है।
समीकरण में मान रखने पर:
\( 158 = \frac{9}{5}(x - 273) + 32 \)
दोनों पक्षों में से 32 घटाने पर:
\( 158 - 32 = \frac{9}{5}(x - 273) \)
\( 126 = \frac{9}{5}(x - 273) \)
दोनों पक्षों को \( \frac{5}{9} \) से गुणा करने पर:
\( 126 \times \frac{5}{9} = x - 273 \)
\( 14 \times 5 = x - 273 \)
\( 70 = x - 273 \)
\( x = 70 + 273 \)
\( x = 343 \)
अतः केल्विन में तापमान 343 K है।

मुख्य बिंदु:

• तापमान रूपांतरण के लिए दिए गए रैखिक समीकरण में सीधे मान प्रतिस्थापित किए जाते हैं।
• समीकरण हल करते समय बोडमास (BODMAS) नियम का पालन करें।
• पक्षांतर करते समय चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• ब्रैकेट के अंदर की घटाव की क्रिया पहले न करके बाहर गुणा करना।
• \( \frac{9}{5} \) को हटाने के लिए उसके व्युत्क्रम से गुणा करना भूल जाना।
• अंतिम उत्तर में मात्रक (°F या K) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) पहले भाग में सीधे मान रखकर सरलता से हल करें।
b) दूसरे भाग में समीकरण को हल करते समय स्टेप-बाय-स्टेप पक्षांतर करें।
c) गणना को आसान बनाने के लिए अंश और हर को आपस में काटना (simplify) सीखें।

Question 9: किसी वस्तु पर नियत बल लगाने पर वस्तु द्वारा किया जाने वाला कार्य, नियत बल व बल की दिशा में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी के गुणनफल के समान होता है। इसे दो चरों (कार्य w और दूरी d) में एक रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए। नियत बल को 3 इकाई लेते हुए आलेख बनाइए। यदि वस्तु द्वारा तय की गई दूरी 2 इकाई हो तो वस्तु द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए। किए गए कार्य के मान और संगत दूरी को आलेख में दर्शाते हुए इस मान की जाँच भी कीजिए।

Answer:

हम जानते हैं कि भौतिकी के नियमअनुसार:
कार्य = बल × दूरी
प्रश्नानुसार:
किया गया कार्य = \( w \)
तय की गई दूरी = \( d \)
नियत बल = 3 इकाई
अतः रैखिक समीकरण होगा:
\( w = 3d \)
यदि तय की गई दूरी \( d = 2 \) इकाई हो, तो किया गया कार्य:
\( w = 3 \times 2 = 6 \) इकाई
आलेखीय सत्यापन:
\( w \) को y-अक्ष पर तथा \( d \) को x-अक्ष पर निरूपित करने पर समीकरण \( w = 3d \) एक सरल रेखा प्रदर्शित करता है। जब \( d = 2 \) है, तो संगत आलेखीय बिंदु \( (2, 6) \) प्राप्त होता है जो यह सत्यापित करता है कि 2 इकाई दूरी पर किया गया कार्य 6 इकाई है।

मुख्य बिंदु:

• विज्ञान के सूत्रों को गणितीय समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• \( w = 3d \) एक सीधी रेखा का समीकरण है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है।
• आलेख पर किसी बिंदु के निर्देशांक \( (d, w) \) के रूप में दर्शाए जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• चरों को गलत अक्ष पर मान लेना (जैसे d को y पर और w को x पर ले लेना)।
• समीकरण में बल का मान रखना भूल जाना।
• आलेख में बिंदु के निर्देशांक उल्टे लिख देना।

Exam Tips:

a) समीकरण लिखते समय दोनों चरों के नाम स्पष्ट रखें।
b) आलेख बनाते समय पैमाना (scale) स्पष्ट रूप से अंकित करें।
c) गणना और आलेखीय मान दोनों को अंत में एक साथ सत्यापित करें।

Question 10: एक रैखिक बहुपद \( p(x) \) का आलेख बिंदुओं (1, 5) और (3, 11) से होकर जाता है।
(i) बहुपद \( p(x) \) ज्ञात कीजिए।
(ii) उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिन पर \( p(x) \) का आलेख दोनों अक्षों को प्रतिच्छेद करता है।
(iii) \( p(x) \) का आलेख बनाइए और अपने उत्तरों की जाँच कीजिए।

Answer:

(i) माना रैखिक बहुपद \( p(x) = ax + b \) है।
चूँकि आलेख बिंदु (1, 5) से होकर जाता है:
\( a(1) + b = 5 \)
\( a + b = 5 \) ...(1)
चूँकि आलेख बिंदु (3, 11) से होकर जाता है:
\( a(3) + b = 11 \)
\( 3a + b = 11 \) ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) घटाने पर:
\( (3a + b) - (a + b) = 11 - 5 \)
\( 2a = 6 \)
\( a = 3 \)
\( a = 3 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 3 + b = 5 \)
\( b = 2 \)
अतः अभीष्ट बहुपद \( p(x) = 3x + 2 \) है।

(ii) अक्षों को प्रतिच्छेद करने वाले बिंदु:
• y-अक्ष का अंतःखंड ज्ञात करने के लिए \( x = 0 \) रखने पर:
\( y = p(0) = 3(0) + 2 = 2 \)
अतः रेखा y-अक्ष को \( (0, 2) \) पर काटती है।
• x-अक्ष का अंतःखंड ज्ञात करने के लिए \( y = 0 \) (\( p(x) = 0 \)) रखने पर:
\( 3x + 2 = 0 \)
\( 3x = -2 \)
\( x = -\frac{2}{3} \)
अतः रेखा x-अक्ष को \( \left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) पर काटती है।

(iii) आलेखीय सत्यापन:
\( p(x) = 3x + 2 \) का आलेख खींचने पर यह दिए गए बिंदुओं (1, 5) और (3, 11) से गुजरता है तथा अक्षों को \( (0, 2) \) और \( \left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) पर प्रतिच्छेद करता है।

मुख्य बिंदु:

• रैखिक बहुपद का व्यापक रूप \( ax + b \) होता है।
• किसी बिंदु से गुजरने का अर्थ है कि वह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है।
• x-अक्ष पर y का मान शून्य तथा y-अक्ष पर x का मान शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• बिंदुओं के मानों को समीकरण में गलत तरीके से प्रतिस्थापित करना।
• विलोपन विधि में घटाते समय चिन्हों की गलती करना।
• अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु निकालते समय x और y के मान उल्टे मान लेना।

Exam Tips:

a) दोनों बिंदुओं से दो रैखिक समीकरण बनाएं और उन्हें विलोपन विधि से हल करें।
b) अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु निकालते समय एक चर को शून्य रखना हमेशा याद रखें।
c) अंत में बहुपद प्राप्त होने पर दिए गए बिंदुओं को रखकर उसकी सत्यता की जाँच करें।

Question 11: मान लीजिए, दो रैखिक बहुपद \( p(x) = ax + b \) और \( q(x) = cx + d \) इस प्रकार हैं कि –
(i) \( p(0) = 5 \) है।
(ii) बहुपद \( p(x) - q(x) \), x-अक्ष को बिंदु (3, 0) पर प्रतिच्छेद करता है।
(iii) योगफल \( p(x) + q(x) \), x के सभी वास्तविक मानों के लिए \( 6x + 4 \) के समान है।
बहुपद \( p(x) \) और \( q(x) \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिए गए बहुपद हैं: \( p(x) = ax + b \) और \( q(x) = cx + d \)
शर्त (i) का उपयोग करने पर: \( p(0) = 5 \)
\( a(0) + b = 5 \implies b = 5 \)
अतः \( p(x) = ax + 5 \)

शर्त (iii) का उपयोग करने पर: \( p(x) + q(x) = 6x + 4 \)
\( (ax + 5) + (cx + d) = 6x + 4 \)
\( (a + c)x + (5 + d) = 6x + 4 \)
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
\( a + c = 6 \) ...(1)
\( 5 + d = 4 \implies d = -1 \)
अतः \( q(x) = cx - 1 \)

शर्त (ii) का उपयोग करने पर: \( p(x) - q(x) \), x-अक्ष को (3, 0) पर काटता है, जिसका अर्थ है कि \( x = 3 \) पर \( p(x) - q(x) = 0 \):
\( p(3) - q(3) = 0 \)
यहाँ \( p(3) = 3a + 5 \) और \( q(3) = 3c - 1 \)
अतः \( (3a + 5) - (3c - 1) = 0 \)
\( 3a + 5 - 3c + 1 = 0 \)
\( 3a - 3c + 6 = 0 \)
3 से भाग देने पर: \( a - c + 2 = 0 \implies a - c = -2 \) ...(2)

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर:
\( a + c = 6 \)
\( a - c = -2 \)
दोनों को जोड़ने पर: \( 2a = 4 \implies a = 2 \)
\( a = 2 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर: \( 2 + c = 6 \implies c = 4 \)
अतः अभीष्ट बहुपद हैं:
\( p(x) = 2x + 5 \)
\( q(x) = 4x - 1 \)

मुख्य बिंदु:

• दो बहुपदों के योग या अंतर में समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना की जाती है।
• x-अक्ष पर किसी फलन का मान शून्य होना उस बिंदु पर समीकरण के शून्य होने को दर्शाता है।
• गुणांकों की तुलना विधि (comparison of coefficients) बीजगणित में बहुत उपयोगी है।

आम गलतियाँ:

• \( p(0) \) का मान रखते समय \( a \) का मान शून्य मान लेना जबकि वह \( b \) का मान देता है।
• \( p(x) - q(x) \) घटाते समय कोष्टक न लगाने के कारण चिन्ह की गलती करना।
• समीकरणों को हल करते समय जोड़ते या घटाते वक्त गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक शर्त को चरण-दर-चरण लागू करें और नए समीकरण बनाते जाएं।
b) गुणांकों की तुलना करते समय x के गुणांक को x के साथ तथा अचर पद को अचर के साथ तुलना करें।
c) अंत में दोनों बहुपदों \( p(x) \) और \( q(x) \) के पूर्ण मान स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 12: माचिस की तीलियों से निर्मित षट्भुजों के बढ़ते हुए प्रतिरूप के प्रथम तीन चरणों को देखिए। प्रत्येक स्तर पर एक नया षट्भुज जोड़ा जाता है जो इससे पूर्व के चरण में बनी आकृति के अंतिम षट्भुज की एक भुजा से जुड़ा होता है।
(i) इस प्रतिरूप के अग्रिम दो चरण बनाइए। इन चरणों में कितनी माचिस की तीलियों की आवश्यकता होगी?
(ii) नीचे दी गई तालिका को पूर्ण कीजिए –
(iii) n वें चरण के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या का पता लगाने के लिए सूत्र ज्ञात कीजिए।
(iv) प्रतिरूप के 15वें चरण के लिए माचिस की कितनी तीलियों की आवश्यकता होगी?
(v) क्या माचिस की 200 तीलियों से इस प्रतिरूप में कोई चरण निर्मित हो सकता है? अपने उत्तर को प्रमाणित कीजिए।

Answer:

एक अकेले षट्भुज के लिए 6 माचिस की तीलियों की आवश्यकता होती है। चूँकि प्रत्येक नया षट्भुज पिछले षट्भुज के साथ एक भुजा साझा करता है, इसलिए प्रत्येक नए चरण में केवल 5 नई माचिस की तीलियाँ जोड़ी जाती हैं।
अतः प्रतिरूप इस प्रकार बनता है:
चरण 1 = 6
चरण 2 = \( 6 + 5 = 11 \)
चरण 3 = \( 11 + 5 = 16 \)

(i) अगले दो चरण:
चरण 4: माचिस की तीलियों की संख्या = \( 16 + 5 = 21 \)
चरण 5: माचिस की तीलियों की संख्या = \( 21 + 5 = 26 \)
अतः चरण 4 के लिए 21 तथा चरण 5 के लिए 26 तीलियों की आवश्यकता होगी।

(ii) तालिका पूर्ण करना:
चरण संख्या (\( n \)): 1, 2, 3, 4, 5, ... , \( n \)
माचिस की तीलियों की संख्या: 6, 11, 16, 21, 26, ... , \( 5n + 1 \)

(iii) \( n \) वें चरण के लिए सूत्र:
माचिस की तीलियों की संख्या एक समांतर श्रेणी (AP) बनाती है: \( 6, 11, 16, 21, 26, \dots \)
प्रथम पद (\( a \)) = 6, सार्व अंतर (\( d \)) = 5
समांतर श्रेणी के n वें पद का सूत्र: \( M_n = a + (n - 1)d \)
\( M_n = 6 + (n - 1) \times 5 \)
\( M_n = 6 + 5n - 5 \)
\( M_n = 5n + 1 \)

(iv) 15वें चरण के लिए आवश्यक माचिस की तीलियाँ:
\( M_{15} = 5(15) + 1 \)
\( M_{15} = 75 + 1 = 76 \)
अतः 15वें चरण के लिए 76 माचिस की तीलियों की आवश्यकता होगी।

(v) क्या 200 तीलियों से कोई चरण निर्मित हो सकता है?
मान लीजिए किसी चरण \( n \) के लिए तीलियों की संख्या 200 है:
\( 5n + 1 = 200 \)
\( 5n = 199 \)
\( n = \frac{199}{5} = 39.8 \)
चूँकि चरणों की संख्या (\( n \)) एक पूर्ण संख्या होनी चाहिए और 39.8 एक पूर्ण संख्या नहीं है, अतः 200 माचिस की तीलियों से इस प्रतिरूप में कोई भी चरण निर्मित नहीं हो सकता है।

मुख्य बिंदु:

• पैटर्न या प्रतिरूप आधारित प्रश्नों में समांतर श्रेणी के सूत्रों का प्रयोग किया जाता है।
• साझा भुजा होने के कारण प्रत्येक चरण में जुड़ने वाली तीलियों की संख्या स्थिर होती है।
• चरणों की संख्या हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होती है।

आम गलतियाँ:

• प्रत्येक नए षट्भुज के लिए पूरी 6 तीलियाँ जोड़ देना, जबकि एक भुजा साझा होती है।
• अंतिम भाग में n का मान दशमलव में आने के बावजूद उसे संभव मान लेना।
• सूत्र बनाते समय प्रथम पद और सार्व अंतर की पहचान गलत करना।

Exam Tips:

a) पैटर्न के शुरुआती कुछ पदों को लिखकर नियम (सार्व अंतर) की पहचान करें।
b) समांतर श्रेणी का मानक सूत्र \( a + (n-1)d \) याद रखें।
c) पूर्णांक की शर्त का उल्लेख अवश्य करें जब यह पूछा जाए कि क्या कोई विशेष संख्या संभव है।

Question 13: मान लीजिए \( p(x) = ax + b \) और \( q(x) = cx + d \) दो रैखिक बहुपद इस प्रकार हैं कि –
(i) बहुपद \( p(x) \) का आलेख, बिंदुओं (2, 3) और (6, 11) से होकर जाता है।
(ii) बहुपद \( q(x) \) का आलेख, बिंदु (4, -1) से होकर जाता है।
(iii) बहुपद \( q(x) \) का आलेख, बहुपद \( p(x) \) के आलेख के समानांतर है।
बहुपदों \( p(x) \) और \( q(x) \) को ज्ञात कीजिए। इसके अतिरिक्त, उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर ये रेखाएँ x-अक्ष से मिलती हैं।

Answer:

दिए गए बहुपद हैं: \( p(x) = ax + b \) और \( q(x) = cx + d \)
सबसे पहले \( p(x) \) ज्ञात करते हैं। चूँकि \( p(x) \) बिंदुओं (2, 3) और (6, 11) से होकर जाता है, इसका ढाल (slope, \( a \)) होगा:
\( a = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2 \)
अतः \( p(x) = 2x + b \)
बिंदु (2, 3) का उपयोग करते हुए \( b \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( 3 = 2(2) + b \)
\( 3 = 4 + b \)
\( b = 3 - 4 = -1 \)
अतः बहुपद \( p(x) = 2x - 1 \)

अब \( q(x) \) ज्ञात करते हैं। चूँकि \( q(x) \), \( p(x) \) के समानांतर है, इसलिए दोनों का ढाल समान होगा:
अतः \( q(x) \) का ढाल \( c = 2 \)
इस प्रकार \( q(x) = 2x + d \)
चूँकि \( q(x) \) बिंदु (4, -1) से होकर जाता है, मान रखने पर:
\( -1 = 2(4) + d \)
\( -1 = 8 + d \)
\( d = -1 - 8 = -9 \)
अतः बहुपद \( q(x) = 2x - 9 \)

अब इन रेखाओं के x-अक्ष से मिलने के बिंदु ज्ञात करते हैं (जहाँ \( y = 0 \) होता है):
• \( p(x) = 2x - 1 \) के लिए:
\( 0 = 2x - 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \)
अतः \( p(x) \) x-अक्ष से \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) पर मिलती है।

• \( q(x) = 2x - 9 \) के लिए:
\( 0 = 2x - 9 \implies 2x = 9 \implies x = \frac{9}{2} \)
अतः \( q(x) \) x-अक्ष से \( \left(\frac{9}{2}, 0\right) \) पर मिलती है।

मुख्य बिंदु:

• दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का ढाल \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 \) सूत्र से निकाला जाता है।
• समानांतर रेखाओं के ढाल हमेशा आपस में बराबर होते हैं।
• x-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु के लिए फलन या y का मान शून्य रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• ढाल निकालते समय y के निर्देशांकों और x के निर्देशांकों का क्रम बदल देना।
• समानांतर रेखा का ढाल अलग मान लेना।
• x-अक्ष के निर्देशांक लिखते समय x और y के मान को उल्टा लिख देना।

Exam Tips:

a) पहले एक बहुपद के दोनों अचर (\( a \) और \( b \)) पूरी तरह ज्ञात करें।
b) समानांतरता की शर्त का उपयोग करके दूसरे बहुपद का ढाल तुरंत प्राप्त करें।
c) अंत में x-अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदुओं को भिन्न के रूप में स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 14: \( f(x) = ax + a \), जहाँ \( a > 0 \) है, के रूप के सभी रैखिक फलनों में कौन-सा गुण सामान्य है?

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = ax + a \), जहाँ \( a > 0 \)
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( f(x) = a(x + 1) \)
इस प्रकार के सभी रैखिक फलनों के निम्नलिखित गुण सामान्य हैं:
1. ढाल (Slope): इस रेखा का ढाल \( a \) है, और चूँकि \( a > 0 \) दिया गया है, अतः सभी रेखाओं का ढाल धनात्मक है। इसका अर्थ है कि ये सभी रेखाएँ बाएं से दाएं ऊपर की ओर उठती हैं।
2. y-अंतःखंड (y-Intercept): जब \( x = 0 \) रखा जाता है, तो \( f(0) = a(0) + a = a \) प्राप्त होता है। चूँकि \( a > 0 \) है, अतः सभी रेखाएँ मूल बिंदु से ऊपर y-अक्ष को काटती हैं।
3. x-अंतःखंड (x-Intercept): रेखा x-अक्ष को कहाँ काटती है, यह ज्ञात करने के लिए \( f(x) = 0 \) रखते हैं:
\( ax + a = 0 \)
\( a(x + 1) = 0 \)
चूँकि \( a > 0 \) है, अतः \( a \neq 0 \), इसलिए:
\( x + 1 = 0 \implies x = -1 \)
अतः प्रत्येक रेखा x-अक्ष को ठीक एक ही निश्चित बिंदु \( (-1, 0) \) पर काटती है।
निष्कर्ष: \( f(x) = ax + a \) (जहाँ \( a > 0 \)) के रूप के सभी रैखिक फलनों का ढाल धनात्मक होता है, वे मूल बिंदु से ऊपर y-अक्ष को काटती हैं और वे सभी सदैव एक निश्चित बिंदु \( (-1, 0) \) से होकर गुजरती हैं।

मुख्य बिंदु:

• बीजगणितीय व्यंजक को गुणनखंडित करके उसके गुणों को आसानी से समझा जा सकता है।
• ढाल का धनात्मक होना रेखा के ऊपर की ओर बढ़ने को प्रदर्शित करता है।
• स्थिर बिंदु वह बिंदु होता है जो a के प्रत्येक मान के लिए समीकरण को संतुष्ट करता है।

आम गलतियाँ:

• \( a > 0 \) की शर्त को नजरअंदाज कर देना।
• x-अक्ष का अंत निकालते समय a को शून्य मान लेना।
• यह न समझ पाना कि सभी रेखाएं एक ही सामान्य बिंदु से गुजरती हैं।

Exam Tips:

a) उत्तर को बिंदुओं (ढाल, y-अंतःखंड, x-अंतःखंड) के रूप में विभाजित करके लिखें ताकि जांचने वाले को स्पष्टता दिखे।
b) सामान्य गुण बताते समय 'निश्चित बिंदु' का उल्लेख अवश्य करें।
c) गणितीय तर्कों के साथ कारण भी स्पष्ट करें कि ऐसा क्यों होता है।