Official NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
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Question 1(i): नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए –
(i) \( y = 4x, y = 2x, y = x \)
Answer:
दिए गए समीकरण रैखिक समीकरणों के युग्म हैं जो मानक रूप \( y = ax + b \) से संबंधित हैं।
यहाँ सभी समीकरणों के लिए b का मान 0 है, अर्थात समीकरण \( y = ax \) के रूप में हैं।
इन समीकरणों के लिए आलेख खींचने पर निम्नलिखित अवलोकन प्राप्त होते हैं:
सभी रेखाएँ मूल बिंदु \( (0, 0) \) से होकर गुजरती हैं।
यहाँ \( a \) ढाल (slope) को प्रदर्शित करता है जो रेखा की तीव्रता को निर्धारित करता है।
\( a \) का मान जितना अधिक धनात्मक होगा, रेखा उतनी ही अधिक तीव्र (खड़ी) होगी।
जैसे \( y = 4x \) की रेखा \( y = 2x \) और \( y = x \) की तुलना में अधिक खड़ी है।
मुख्य बिंदु:
• समीकरण \( y = ax \) रूप की रेखाएँ हमेशा मूल बिंदु से गुजरती हैं।
• गुणांक \( a \) रेखा के ढाल को निर्धारित करता है।
• \( a \) का मान बढ़ने पर रेखा का झुकाव (तीव्रता) बढ़ जाता है।
• इस स्थिति में \( b = 0 \) होने के कारण कोई ऊर्ध्वाधर विस्थापन नहीं होता है।
आम गलतियाँ:
• छात्र मूल बिंदु से रेखा न गुजारकर उसे किसी अन्य बिंदु से गुजार देते हैं।
• \( a \) के मान और रेखा की तीव्रता के संबंध को उल्टा समझ लेना।
• आलेख बनाते समय बिंदुओं के निर्देशांक गलत अंकित करना।
Exam Tips:
a) आलेख बनाते समय कम से कम दो या तीन बिंदु ज्ञात करके सारणी अवश्य बनाएँ।
b) x और y अक्षों को स्पष्ट रूप से नामांकित करें।
c) रेखाओं के समीकरण को उनके आलेख के पास स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 1(ii): नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए –
(ii) \( y = -6x, y = -3x, y = -x \)
Answer:
दिए गए समीकरण \( y = ax \) के रूप में हैं जहाँ \( b = 0 \) है।
यहाँ \( a \) के मान ऋणात्मक हैं, जो रेखाओं के ढाल को दर्शाते हैं।
इन रेखाओं के आलेख का अवलोकन करने पर स्पष्ट होता है कि:
सभी रेखाएँ मूल बिंदु \( (0, 0) \) से होकर गुजरती हैं।
ऋणात्मक \( a \) का अर्थ है कि रेखाएँ बाएं से दाएं नीचे की ओर झुकी होती हैं।
\( a \) का परिमाण (magnitude) जितना बड़ा होगा, रेखा की नीचे की ओर की तीव्रता (ढलान) उतनी ही अधिक होगी।
जैसे \( y = -6x \) की रेखा \( y = -x \) की तुलना में अधिक तीव्र गति से नीचे गिरती है।
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक ढाल वाली रेखाएँ दूसरे और चौथे चतुर्थेश में नीचे की ओर झुकती हैं।
• सभी रेखाएँ मूल बिंदु से होकर जाती हैं क्योंकि \( b = 0 \) है।
• \( a \) का परिमाण बढ़ने पर ढलान अधिक खड़ी हो जाती है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक चिह्न के कारण रेखाओं को ऊपर की ओर खींच देना।
• परिमाण और ढलान के बीच के संबंध में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) ऋणात्मक मानों के लिए सारणी बनाते समय सावधानी बरतें।
b) चतुर्थेश का सही ध्यान रखते हुए रेखा की दिशा तय करें।
c) पैमाने (scale) का उचित चयन करें ताकि सभी बिंदु आसानी से आ सकें।
Question 1(iii): नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए –
(iii) \( y = 5x, y = -5x \)
Answer:
दिए गए समीकरणों का अध्ययन करने पर:
दोनों रेखाएँ \( y = ax \) रूप की हैं जहाँ \( b = 0 \) है, अतः दोनों मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं।
पहला समीकरण \( y = 5x \) एक धनात्मक ढाल वाला समीकरण है, इसलिए यह रेखा ऊपर की ओर (दाएं हाथ की तरफ) झुकी होती है।
दूसरा समीकरण \( y = -5x \) एक ऋणात्मक ढाल वाला समीकरण है, इसलिए यह रेखा नीचे की ओर झुकी होती है।
चूँकि दोनों समीकरणों में \( a \) का परिमाण समान (अर्थात 5) है, इसलिए दोनों रेखाओं की तीव्रता या ढलान बिल्कुल समान है, केवल उनकी दिशा विपरीत है।
मुख्य बिंदु:
• समान परिमाण और विपरीत चिह्न वाले ढाल एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब जैसे प्रतीत होते हैं।
• दोनों रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं।
• \( a \) का मान रेखा की तीव्रता को समान रखता है जबकि चिह्न दिशा तय करता है।
आम गलतियाँ:
• दोनों रेखाओं को एक ही दिशा में खींच देना।
• मूल बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु से रेखा गुजारना।
Exam Tips:
a) विपरीत दिशाओं को दर्शाने के लिए ग्राफ पर तीर के निशानों का सही प्रयोग करें।
b) दोनों रेखाओं की तुलनात्मक सारणी बनाएँ।
c) उत्तर लिखते समय तीव्रता और दिशा दोनों की स्पष्ट व्याख्या करें।
Question 1(iv): नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए –
(iv) \( y = 3x - 1, y = 3x, y = 3x + 1 \)
Answer:
दिए गए समीकरण \( y = ax + b \) के रूप में हैं।
यहाँ सभी समीकरणों में \( a = 3 \) है, जिसका अर्थ है कि सभी रेखाओं का ढाल समान है।
चूँकि ढाल समान हैं, इसलिए ये सभी रेखाएँ आपस में समांतर हैं।
यहाँ अचर पद ‘b’ के भिन्न-भिन्न मान रेखाओं को ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर या नीचे खिसकाते हैं:
\( b = -1 \) के लिए, रेखा मूल बिंदु से 1 इकाई नीचे से गुजरती है (\( y \) - अंतःखंड \( -1 \))।
\( b = 0 \) के लिए, रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है।
\( b = +1 \) के लिए, रेखा मूल बिंदु से 1 इकाई ऊपर से गुजरती है (\( y \) - अंतःखंड \( +1 \))।
मुख्य बिंदु:
• समान ढाल (\( a \)) वाली रेखाएँ हमेशा समांतर होती हैं।
• अचर पद ‘b’ रेखा के ऊर्ध्वाधर विस्थापन (\( y \)-अंतःखंड) को नियंत्रित करता है।
• ‘b’ के धनात्मक होने पर रेखा ऊपर तथा ऋणात्मक होने पर नीचे खिसक जाती है।
आम गलतियाँ:
• समांतर रेखाओं के ढाल को अलग-अलग मान लेना।
• ‘b’ के प्रभाव को क्षैतिज दिशा में समझ लेना।
Exam Tips:
a) समांतर रेखाओं का आलेख खींचते समय उनके बीच की लंबवत दूरी को समान दिखाएँ।
b) \( y \)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें।
c) ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को बिंदुओं के माध्यम से समझाइए।
Question 1(v): नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए –
(v) \( y = -2x - 3, y = -2x, y = 2x + 3 \)
Answer:
दिए गए समीकरणों का विश्लेषण करने पर:
समीकरण \( y = -2x - 3 \) और \( y = -2x \) दोनों में ढाल \( a = -2 \) समान है, इसलिए ये दोनों रेखाएँ आपस में समांतर हैं।
समीकरण \( y = 2x + 3 \) का ढाल धनात्मक (\( +2 \)) है, अतः इसकी दिशा अन्य दोनों रेखाओं से भिन्न (विपरीत) है।
निष्कर्ष के तौर पर:
1. ‘a’ (\( x \) का गुणांक) रेखा के ढाल और उसकी दिशा को नियंत्रित करता है।
2. ‘b’ (अचर पद) रेखा के ऊर्ध्वाधर विस्थापन या \( y \)-अंतःखंड को नियंत्रित करता है, जिससे रेखा ऊपर या नीचे विस्थापित होती है।
मुख्य बिंदु:
• समान ढाल वाले समीकरण हमेशा समांतर रेखाएँ बनाते हैं।
• \( a \) का चिह्न रेखा के बढ़ने या घटने की दिशा तय करता है।
• ‘b’ का मान सीधे \( y \)-अक्ष पर काटे गए अंतःखंड को दर्शाता है।
आम गलतियाँ:
• \( y = 2x + 3 \) और \( y = -2x \) को समांतर मान लेना, जबकि उनके ढाल के चिह्न विपरीत हैं।
• ‘b’ के प्रभाव को \( x \)-अक्ष पर समझ लेना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक रेखा के लिए अलग से मान सारणी बनाएँ ताकि आलेख में कोई त्रुटि न हो।
b) ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को अलग-अलग बिंदुओं में स्पष्ट रूप से लिखकर आएं।
c) ग्राफ पेपर पर समीकरणों के नाम रेखा के पास अवश्य लिखें।
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