Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
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Question 1: एक अधिगम मंच (लर्निंग प्लेटफार्म) एक निश्चित मासिक शुल्क लेता है और साथ ही प्रति डिजिटल अधिगम मॉड्यूल के लिए अतिरिक्त शुल्क लेता है। एक विद्यार्थी ध्यान देती है कि जब उसने 10 मॉड्यूल्स प्राप्त किए तो उसका बिल ₹400 था और जब उसने 14 मॉड्यूल प्राप्त किए तो उसका बिल ₹500 था। यदि मासिक बिल y, प्राप्त किए गए मॉड्यूल की संख्या x पर निर्भर करता है तो संबंध y = ax + b के अनुसार a और b के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया समीकरण है: \( y = ax + b \)
स्थिति 1: जब \( x = 10 \), तब \( y = 400 \)
मान रखने पर:
\( 400 = 10a + b \) ---(1)
स्थिति 2: जब \( x = 14 \), तब \( y = 500 \)
मान रखने पर:
\( 500 = 14a + b \) ---(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( 500 - 400 = 14a - 10a \)
\( 100 = 4a \)
\( a = \frac{100}{4} \)
\( a = 25 \)
\( a = 25 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 400 = 10(25) + b \)
\( 400 = 250 + b \)
\( b = 400 - 250 \)
\( b = 150 \)
अतः, \( a = 25 \) और \( b = 150 \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को बनाना और हल करना।
• दी गई स्थितियों से समीकरण (1) और (2) प्राप्त करना।
• विलोपन विधि द्वारा a और b के मान ज्ञात करना।
आम गलतियाँ:
• समीकरण बनाते समय x और y के मानों को आपस में बदल देना।
• घटाते समय चिह्नों की गलती करना।
• a का मान समीकरण में वापस रखकर b का मान न निकालना।
Exam Tips:
a) हमेशा दी गई जानकारी को स्पष्ट रूप से लिखकर समीकरणों के नाम दें।
b) गणना के चरणों को एक के बाद एक नए लाइन में लिखें।
c) उत्तर के अंत में a और b के अंतिम मानों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 2: एक व्यायामशाला (जिम) एक निश्चित मासिक शुल्क और प्रति घंटा बैडमिंटन कोर्ट का उपयोग करने के लिए अतिरिक्त शुल्क लेती है। जिम जाने वाली एक विद्यार्थी ध्यान देती है कि जब उसने 10 घंटे के लिए बैडमिंटन कोर्ट का उपयोग किया तो उसका बिल ₹800 था और जब उसने बैडमिंटन कोर्ट का उपयोग 15 घंटे के लिए किया तो उसका बिल ₹1100 था। यदि मासिक बिल y, बैडमिंटन कोर्ट उपयोग करने के घंटों x पर निर्भर करता है तो संबंध y = ax + b के अनुसार a और b के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया समीकरण है: \( y = ax + b \)
स्थिति 1: जब \( x = 10 \), तब \( y = 800 \)
मान रखने पर:
\( 800 = 10a + b \) ---(1)
स्थिति 2: जब \( x = 15 \), तब \( y = 1100 \)
मान रखने पर:
\( 1100 = 15a + b \) ---(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( 1100 - 800 = 15a - 10a \)
\( 300 = 5a \)
\( a = \frac{300}{5} \)
\( a = 60 \)
\( a = 60 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 800 = 10(60) + b \)
\( 800 = 600 + b \)
\( b = 800 - 600 \)
\( b = 200 \)
अतः, \( a = 60 \) और \( b = 200 \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• रैखिक समीकरण के मानक रूप \( y = ax + b \) का प्रयोग करना।
• दिए गए मानों से रैखिक समीकरण युग्म का निर्माण करना।
• समीकरणों को हल करके स्थिरांकों के मान ज्ञात करना।
आम गलतियाँ:
• समीकरणों को घटाते समय गलत घटाव करना।
• a के मान को गलत समीकरण में प्रतिस्थापित करना।
• अंतिम उत्तर में इकाइयों का ध्यान न रखना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक समीकरण को समीकरण (1) और (2) के रूप में अंकित करें।
b) बीजगणितीय गणना करते समय सावधानी बरतें।
c) अपने उत्तर की जाँच समीकरण में मान रखकर अवश्य करें।
Question 3: डिग्री सेल्सियस (°C) और डिग्री फॉरेनहाइट (°F) में मापे गए तापमान के मध्य संबंध पर °C = a°F + b के अनुसार विचार कीजिए। दिया गया है कि बर्फ 0 डिग्री सेल्सियस और 32 डिग्री फॉरेनहाइट पर पिघलती है और पानी 100 डिग्री सेल्सियस और 212 डिग्री फॉरेनहाइट पर उबलता है तो a व b के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया रैखिक संबंध है: \( °C = a°F + b \)
दी गई जानकारी के अनुसार बिंदु \( (°F, °C) \) हैं: \( (32, 0) \) और \( (212, 100) \)
पहला बिंदु \( (32, 0) \) रखने पर:
\( 0 = a(32) + b \)
\( 32a + b = 0 \) ---(1)
दूसरा बिंदु \( (212, 100) \) रखने पर:
\( 100 = a(212) + b \)
\( 212a + b = 100 \) ---(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (212a + b) - (32a + b) = 100 - 0 \)
\( 180a = 100 \)
\( a = \frac{100}{180} \)
\( a = \frac{5}{9} \)
\( a = \frac{5}{9} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 32\left(\frac{5}{9}\right) + b = 0 \)
\( \frac{160}{9} + b = 0 \)
\( b = -\frac{160}{9} \)
अतः, \( a = \frac{5}{9} \) और \( b = -\frac{160}{9} \)
इसलिए रैखिक संबंध है:
\( °C = \left(\frac{5}{9}\right)°F - \frac{160}{9} \)
जिसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( °C = \left(\frac{5}{9}\right)(°F - 32) \)
मुख्य बिंदु:
• तापमान के पैमानों सेल्सियस और फॉरेनहाइट के बीच संबंध स्थापित करना।
• दिए गए तापमान बिंदुओं को निर्देशांक के रूप में मानना।
• भिन्नों को सरल करना और समीकरण हल करना।
आम गलतियाँ:
• सेल्सियस और फॉरेनहाइट के मानों को समीकरण में उल्टा रख देना।
• भिन्न के गुणा और घटाव में गणना संबंधी त्रुटि करना।
• अंतिम संबंध को मानक रूप में परिवर्तित न करना।
Exam Tips:
a) तापमान के प्रश्नों में (°F, °C) के जोड़े बनाते समय विशेष सावधानी रखें।
b) भिन्नों के मान निकालते समय उन्हें न्यूनतम रूप में बदलें।
c) अंतिम सूत्र को दोनों रूपों में लिखकर आएं ताकि पूर्ण अंक मिल सकें।
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