Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
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Question 1: एक विद्यार्थी के बचत बैंक खाते में ₹500 हैं। उसे ₹150 प्रतिमाह जेब खर्च के रूप में मिलते हैं। दूसरे महीने से लेकर प्रत्येक महीने के अंत में उसके खाते में कितनी धनराशि होगी? n वें महीने में उसके खाते में जमा धनराशि को दर्शाने के लिए रैखिक व्यंजक ज्ञात कीजिए।
Answer:
बैंक में शुरुआती धनराशि = \( \text{₹}500 \)
प्रतिमाह जेब खर्च = \( \text{₹}150 \)
प्रत्येक महीने के अंत में खाते में कुल धनराशि इस प्रकार होगी:
दूसरे महीने के अंत में = \( 500 + 2(150) = \text{₹}800 \)
तीसरे महीने के अंत में = \( 500 + 3(150) = \text{₹}950 \)
चौथे महीने के अंत में = \( 500 + 4(150) = \text{₹}1100 \)
इसी प्रकार आगे भी।
माना n वें महीने में खाते की धनराशि = \( A_n \)
तब, \( A_n = 500 + 150n \)
अतः अभीष्ट रैखिक व्यंजक है: \( A_n = 150n + 500 \)
मुख्य बिंदु:
• शुरुआती धनराशि को अचर पद के रूप में लिया जाता है।
• प्रति माह मिलने वाली राशि को चर n के गुणांक के रूप में जोड़ा जाता है।
• रैखिक व्यंजक \( An = 150n + 500 \) प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• शुरुआती राशि को प्रति माह की राशि में जोड़ना भूल जाना।
• n के साथ गुणा किए जाने वाले मान को गलत लिखना।
• व्यंजक को मानक रूप में न लिखना।
Exam Tips:
a) प्रश्न में दिए गए अचर और चर मानों को स्पष्ट रूप से पहचानें।
b) पहले कुछ महीनों के लिए मान निकालकर पैटर्न की जाँच अवश्य करें।
c) अंतिम उत्तर को रैखिक समीकरण या व्यंजक के रूप में स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
Question 2: एक रैली 120 सदस्यों के साथ प्रारंभ होती है। प्रत्येक घंटे के पश्चात 9 सदस्य समूह से बाहर हो जाते हैं। 1, 2, 3, … घंटे के पश्चात कितने सदस्य रैली में बने रहेंगे? nवें घंटे के अंत में शेष सदस्यों की संख्या ज्ञात करने के लिए रैखिक व्यंजक ज्ञात कीजिए।
Answer:
प्रारंभिक सदस्य = \( 120 \)
प्रत्येक घंटे बाहर जाने वाले सदस्य = \( 9 \)
रैखिक व्यंजक: n घंटे पश्चात शेष सदस्यों की संख्या
\( S(n) = 120 - 9n \)
विभिन्न घंटों के पश्चात सदस्यों की संख्या:
1 घंटे बाद: \( 120 - 9(1) = 111 \)
2 घंटे बाद: \( 120 - 9(2) = 102 \)
3 घंटे बाद: \( 120 - 9(3) = 93 \)
मुख्य बिंदु:
• कुल प्रारंभिक संख्या में से घटने वाली मात्रा को ऋण चिह्न के साथ दर्शाया जाता है।
• समय (घंटे) को चर n से व्यक्त किया गया है।
• व्यंजक \( S(n) = 120 - 9n \) से किसी भी घंटे के शेष सदस्यों की संख्या ज्ञात की जा सकती है।
आम गलतियाँ:
• घटाव के स्थान पर गलती से जोड़ का प्रयोग करना।
• n को प्रारंभिक सदस्यों के साथ गुणा करना।
• गणना में छोटी-मोटी घटाव की गलती करना।
Exam Tips:
a) जहाँ मान कम हो रहे हों, वहाँ ऋणात्मक चिह्न का प्रयोग करें।
b) व्यंजक निकालने के बाद 1 या 2 घंटे के मान रखकर उत्तर की सत्यता जाँच लें।
c) भाषा वाले प्रश्नों में प्रत्येक पद का अर्थ स्पष्ट लिखें।
Question 3: मान लीजिए कि एक आयत की लंबाई 13 सेंटीमीटर है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि उसकी चौड़ाई – (i) 12 सेंटीमीटर (ii) 10 सेंटीमीटर (iii) 8 सेंटीमीटर हो। आयत के क्षेत्रफल को दर्शाने वाले रैखिक प्रतिरूप को भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
लंबाई = \( 13 \) सेंटीमीटर
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई \( \times \) चौड़ाई
(i) चौड़ाई = \( 12 \) सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = \( 13 \times 12 = 156 \) वर्ग सेंटीमीटर
(ii) चौड़ाई = \( 10 \) सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = \( 13 \times 10 = 130 \) वर्ग सेंटीमीटर
(iii) चौड़ाई = \( 8 \) सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = \( 13 \times 8 = 104 \) वर्ग सेंटीमीटर
माना चौड़ाई = \( x \) सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = \( 13x \)
अतः रैखिक प्रतिरूप है: \( A = 13x \)
मुख्य बिंदु:
• आयत का क्षेत्रफल लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है।
• अचर लंबाई को चर चौड़ाई से गुणा करके रैखिक प्रतिरूप बनाया जाता है।
• क्षेत्रफल की इकाई वर्ग सेंटीमीटर होती है।
आम गलतियाँ:
• क्षेत्रफल की इकाई में 'वर्ग' लिखना भूल जाना।
• लंबाई और चौड़ाई के सूत्रों में भ्रमित होना।
• गुणा करते समय गुणनफल गलत लिखना।
Exam Tips:
a) प्रत्येक भाग के साथ मात्रक (सेंटीमीटर या वर्ग सेंटीमीटर) अवश्य लिखें।
b) रैखिक प्रतिरूप लिखते समय चर और अचर का सही संबंध स्थापित करें।
c) गणना को साफ-सुथरे चरणों में हल करें।
Question 4: मान लीजिए कि एक आयताकार बक्से की लंबाई 7 सेंटीमीटर है और उसकी चौड़ाई 11 सेंटीमीटर है। बक्से का आयतन ज्ञात कीजिए, यदि उसकी ऊँचाई – (i) 5 सेंटीमीटर (ii) 9 सेंटीमीटर (iii) 13 सेंटीमीटर हो। आयताकार बक्से के आयतन को दर्शाने वाले रैखिक प्रतिरूप को ज्ञात कीजिए।
Answer:
लंबाई = \( 7 \) सेंटीमीटर, चौड़ाई = \( 11 \) सेंटीमीटर
आयतन = लंबाई \( \times \) चौड़ाई \( \times \) ऊँचाई
\( = 7 \times 11 \times h = 77h \)
(i) ऊँचाई = \( 5 \) सेंटीमीटर
आयतन = \( 77 \times 5 = 385 \) घन सेंटीमीटर
(ii) ऊँचाई = \( 9 \) सेंटीमीटर
आयतन = \( 77 \times 9 = 693 \) घन सेंटीमीटर
(iii) ऊँचाई = \( 13 \) सेंटीमीटर
आयतन = \( 77 \times 13 = 1001 \) घन सेंटीमीटर
माना ऊँचाई = \( h \) सेंटीमीटर
आयतन = \( 77h \)
अतः रैखिक प्रतिरूप है: \( V = 77h \)
मुख्य बिंदु:
• घनाभ (आयताकार बक्से) का आयतन = लंबाई \( \times \) चौड़ाई \( \times \) ऊँचाई।
• दी गई स्थिर लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल \( 7 \times 11 = 77 \) प्राप्त होता है।
• आयतन की इकाई घन सेंटीमीटर होती है।
आम गलतियाँ:
• आयतन के मात्रक में 'घन' के स्थान पर 'वर्ग' लिख देना।
• तीनों विमाओं को आपस में गलत गुणा करना।
• रैखिक प्रतिरूप में चर को छोड़ देना।
Exam Tips:
a) आयतन के लिए हमेशा घन इकाइयों (cubic units) का प्रयोग करें।
b) पहले अचर पदों को गुणा करके गुणांक सरल कर लें।
c) सभी उप-भागों के उत्तर क्रमानुसार हल करें।
Question 5: सरिता 500 पृष्ठों वाली एक पुस्तक पढ़ रही है। वह प्रतिदिन 20 पृष्ठ पढ़ती है। 15 दिनों के पश्चात कितने पृष्ठ पढ़ने शेष रह जाएँगे। इसे एक रैखिक प्रतिरूप के माध्यम से दर्शाइए।
Answer:
कुल पृष्ठ = \( 500 \)
प्रतिदिन पढ़े जाने वाले पृष्ठ = \( 20 \)
15 दिनों में पढ़े गए पृष्ठ = \( 20 \times 15 = 300 \)
शेष पृष्ठ = \( 500 - 300 = 200 \)
माना n दिनों के पश्चात शेष पृष्ठ = \( P_n \)
तो, \( P_n = 500 - 20n \)
अतः रैखिक प्रतिरूप है: \( P_n = 500 - 20n \)
मुख्य बिंदु:
• कुल पृष्ठों की संख्या में से प्रतिदिन पढ़े गए पृष्ठों की कुल संख्या घटाई जाती है।
• दिनों की संख्या को चर n माना गया है।
• रैखिक प्रतिरूप \( P_n = 500 - 20n \) बनता है।
आम गलतियाँ:
• कुल पृष्ठों में से घटाने के बजाय उन्हें जोड़ देना।
• दिनों की संख्या से पढ़ने की गति को गुणा न करना।
• समीकरण में चिह्न की गलती करना।
Exam Tips:
a) शेष बची हुई मात्रा वाले प्रश्नों में हमेशा प्रारंभिक मान से कुल कमी को घटाएँ।
b) विशिष्ट दिन (जैसे 15 दिन) का मान निकालकर उत्तर की पुष्टि करें।
c) रैखिक व्यंजक को स्पष्ट रूप से लिखकर बॉक्स में बंद करें।
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NCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
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