Official NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
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Question 1: रैखिक बहुपद \( 5x - 3 \) का मान ज्ञात कीजिए, यदि –
(i) \( x = 0 \)
(ii) \( x = -1 \)
(iii) \( x = 2 \)
Answer:
मान लीजिए रैखिक बहुपद \( p(x) = 5x - 3 \) है।
(i) जब \( x = 0 \) हो:
\( p(0) = 5(0) - 3 \)
\( = 0 - 3 \)
\( = -3 \)
(ii) जब \( x = -1 \) हो:
\( p(-1) = 5(-1) - 3 \)
\( = -5 - 3 \)
\( = -8 \)
(iii) जब \( x = 2 \) हो:
\( p(2) = 5(2) - 3 \)
\( = 10 - 3 \)
\( = 7 \)
मुख्य बिंदु:
• बहुपद में चर के दिए गए मान को प्रतिस्थापित करके मान ज्ञात किया जाता है।
• \( p(x) \) संकेतन बहुपद के मान को दर्शाता है।
• धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों की गुणा करते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक मान रखते समय कोष्ठक का प्रयोग न करना।
• गुणा करते समय चिह्न की गलती करना (जैसे \( 5(-1) = 5 \) लिख देना)।
• घटाव के नियमों में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) मान प्रतिस्थापित करते समय हमेशा ब्रैकेट का उपयोग करें ताकि चिह्न की गलती न हो।
b) प्रत्येक भाग को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।
c) अंतिम उत्तर को एक अलग लाइन में साफ-साफ लिखें।
Question 2: द्विघाती बहुपद \( 7s^2 - 4s + 6 \) का मान ज्ञात कीजिए, यदि –
(i) \( s = 0 \)
(ii) \( s = -3 \)
(iii) \( s = 4 \)
Answer:
मान लीजिए द्विघाती बहुपद \( p(s) = 7s^2 - 4s + 6 \) है।
(i) जब \( s = 0 \) हो:
\( p(0) = 7(0)^2 - 4(0) + 6 \)
\( = 0 - 0 + 6 \)
\( = 6 \)
(ii) जब \( s = -3 \) हो:
\( p(-3) = 7(-3)^2 - 4(-3) + 6 \)
\( = 7(9) + 12 + 6 \)
\( = 63 + 12 + 6 \)
\( = 81 \)
(iii) जब \( s = 4 \) हो:
\( p(4) = 7(4)^2 - 4(4) + 6 \)
\( = 7(16) - 16 + 6 \)
\( = 112 - 16 + 6 \)
\( = 102 \)
मुख्य बिंदु:
• वर्ग निकालते समय ऋणात्मक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है।
• BODMAS नियम का पालन करते हुए पहले घात, फिर गुणा और अंत में जोड़-घटाव करना चाहिए।
• प्रत्येक मान को बहुपद में चरणबद्ध तरीके से रखना चाहिए।
आम गलतियाँ:
• \( (-3)^2 \) को \( -9 \) लिख देना।
• चिह्नों के गुणन में गलती करना (जैसे \( -4(-3) = -12 \) लिख देना)।
• गणना के दौरान जोड़-घटाव में गलती करना।
Exam Tips:
a) वर्ग निकालते समय चिह्न का विशेष ध्यान रखें।
b) चरणों को एक के बाद एक नीचे लिखें, एक ही पंक्ति में न जोड़ें।
c) गणना की दोबारा जाँच अवश्य करें।
Question 3: सलिल की माँ की वर्तमान आयु सलिल की वर्तमान आयु से तीन गुना है। 5 वर्ष के पश्चात दोनों की आयु का योगफल 70 वर्ष होगा। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना सलिल की वर्तमान आयु = \( x \) वर्ष
तो माँ की वर्तमान आयु = \( 3x \) वर्ष
5 वर्ष पश्चात सलिल की आयु = \( (x + 5) \) वर्ष
5 वर्ष पश्चात माँ की आयु = \( (3x + 5) \) वर्ष
प्रश्नानुसार, दोनों की आयु का योगफल 70 वर्ष है:
\( (x + 5) + (3x + 5) = 70 \)
\( 4x + 10 = 70 \)
\( 4x = 70 - 10 \)
\( 4x = 60 \)
\( x = \frac{60}{4} \)
\( x = 15 \)
अतः, सलिल की वर्तमान आयु = \( 15 \) वर्ष
माँ की वर्तमान आयु = \( 3 \times 15 = 45 \) वर्ष
मुख्य बिंदु:
• आयु वाले प्रश्नों में 'बाद' या 'पश्चात' का अर्थ वर्तमान आयु में जोड़ना होता है।
• समीकरण बनाकर अज्ञात राशि \( x \) का मान निकाला जाता है।
• दोनों चरों की आयु को अंत में स्पष्ट रूप से दर्शाना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• 5 वर्ष बाद केवल एक की आयु में 5 जोड़ना, जबकि दोनों की आयु में 5 जुड़ेगा।
• समीकरण हल करते समय पक्षांतर में चिह्न न बदलना।
• अंतिम उत्तर में केवल \( x \) का मान लिखकर छोड़ देना।
Exam Tips:
a) 'माना' लिखकर चरों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
b) समीकरण को व्यवस्थित रूप से एक के नीचे एक हल करें।
c) उत्तर की जाँच करके देखें कि क्या 5 वर्ष बाद दोनों का योग 70 होता है।
Question 4: दो धनात्मक पूर्णांकों का अंतर 63 है। दोनों पूर्णांकों का अनुपात 2:5 है। दोनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
Answer:
चूँकि दोनों पूर्णांकों का अनुपात \( 2:5 \) है,
माना पहला पूर्णांक = \( 2x \)
और दूसरा पूर्णांक = \( 5x \)
प्रश्नानुसार, दोनों पूर्णांकों का अंतर 63 है:
\( 5x - 2x = 63 \)
\( 3x = 63 \)
\( x = \frac{63}{3} \)
\( x = 21 \)
अतः, दोनों पूर्णांक हैं:
पहला पूर्णांक = \( 2 \times 21 = 42 \)
दूसरा पूर्णांक = \( 5 \times 21 = 105 \)
मुख्य बिंदु:
• अनुपात दिए होने पर चरों को \( 2x \) और \( 5x \) के रूप में माना जाता है।
• अंतर का अर्थ बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाना है।
• \( x \) का मान निकालने के बाद उसे अनुपातिक पदों से गुणा करके वास्तविक संख्याएँ ज्ञात की जाती हैं।
आम गलतियाँ:
• \( 2x - 5x = 63 \) लिखकर ऋणात्मक मान प्राप्त करना।
• \( x \) का मान निकालकर वहीं छोड़ देना और संख्याएँ न निकालना।
• अनुपात को सीधे संख्या मान लेना।
Exam Tips:
a) अनुपात वाले प्रश्नों में हमेशा चर \( x \) का प्रयोग करके संख्याएँ माननी चाहिए।
b) अंतर निकालते समय बड़ी संख्या को पहले रखें।
c) उत्तर निकालने के बाद उनका अंतर (105 - 42 = 63) जाँच लें।
Question 5: रूबी के पास दो रुपये के सिक्कों की संख्या, पाँच रुपये के सिक्कों की संख्या से तीन गुना है। यदि उसके पास कुल ₹88 हैं तो दोनों प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना पाँच रुपये के सिक्कों की संख्या = \( x \)
तो दो रुपये के सिक्कों की संख्या = \( 3x \)
पाँच रुपये के सिक्कों का कुल मूल्य = \( 5 \times x = 5x \)
दो रुपये के सिक्कों का कुल मूल्य = \( 2 \times 3x = 6x \)
प्रश्नानुसार, कुल राशि ₹88 है:
\( 5x + 6x = 88 \)
\( 11x = 88 \)
\( x = \frac{88}{11} \)
\( x = 8 \)
अतः, पाँच रुपये के सिक्कों की संख्या = \( 8 \)
दो रुपये के सिक्कों की संख्या = \( 3 \times 8 = 24 \)
मुख्य बिंदु:
• सिक्कों की संख्या और उनके मूल्य (रुपये) का गुणनफल कुल राशि बनता है।
• समीकरण बनाने के लिए सभी राशियों को रुपये में बदला जाता है।
• समान प्रकार के पदों (\( x \) वाले पद) को जोड़ा जाता है।
आम गलतियाँ:
• केवल सिक्कों की संख्या का योग (जैसे \( x + 3x = 88 \)) कर देना, मूल्य से गुणा न करना।
• दो रुपये के सिक्के को केवल \( 3 \) मान लेना जबकि वह \( 3x \) है।
• गणना में भाग की गलती करना।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के प्रश्नों में संख्या और उनके मूल्य का अंतर स्पष्ट समझें।
b) समीकरण बनाते समय कुल राशि को बराबर के दूसरी ओर रखें।
c) अंत में दोनों प्रकार के सिक्कों के कुल मूल्य की गणना करके जाँच करें कि योग 88 आता है या नहीं।
Question 6: एक किसान 300 फुट लंबी बाड़ को भिन्न-भिन्न आकार के दो टुकड़ों में काटता है। लंबा टुकड़ा छोटे टुकड़े से चार गुना लंबा है। दोनों टुकड़ों की लंबाई क्या होगी?
Answer:
माना छोटे टुकड़े की लंबाई = \( x \) फुट
तो लंबे टुकड़े की लंबाई = \( 4x \) फुट
प्रश्नानुसार, बाड़ की कुल लंबाई 300 फुट है:
\( x + 4x = 300 \)
\( 5x = 300 \)
\( x = \frac{300}{5} \)
\( x = 60 \)
अतः, छोटे टुकड़े की लंबाई = \( 60 \) फुट
लंबे टुकड़े की लंबाई = \( 4 \times 60 = 240 \) फुट
मुख्य बिंदु:
• कुल लंबाई दोनों टुकड़ों की लंबाई के योग के बराबर होती है।
• एक टुकड़े को \( x \) मानने पर दूसरा टुकड़ा उसका चार गुना यानी \( 4x \) होगा।
• समीकरण को हल करके \( x \) का मान ज्ञात किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• कुल लंबाई को \( x \) मानकर समीकरण गलत बनाना।
• योग करने में \( x + 4x \) को \( 4x^2 \) लिख देना (जो कि गलत है, यह \( 5x \) होगा)।
• केवल एक ही टुकड़े की लंबाई निकालकर उत्तर समाप्त कर देना।
Exam Tips:
a) 'कुल' शब्द देखते ही योग का समीकरण बनाएं।
b) सजातीय पदों (like terms) को ही आपस में जोड़ें।
c) दोनों टुकड़ों की लंबाई का योग (60 + 240 = 300) करके उत्तर की सत्यता जाँच लें।
Question 7: यदि एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से तीन अधिक हो और उसका परिमाप 24 सेंटीमीटर हो तो आयत की विमाएँ (लंबाई और चौड़ाई) क्या होंगी?
Answer:
माना आयत की चौड़ाई = \( x \) सेमी
प्रश्नानुसार, लंबाई चौड़ाई के दुगुने से तीन अधिक है, अतः:
लंबाई = \( (2x + 3) \) सेमी
हम जानते हैं कि आयत का परिमाप = \( 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) \)
प्रश्नानुसार, परिमाप 24 सेमी है:
\( 2[(2x + 3) + x] = 24 \)
\( 2(3x + 3) = 24 \)
\( 3x + 3 = \frac{24}{2} \)
\( 3x + 3 = 12 \)
\( 3x = 12 - 3 \)
\( 3x = 9 \)
\( x = \frac{9}{3} \)
\( x = 3 \)
अतः, चौड़ाई = \( 3 \) सेमी
लंबाई = \( 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 \) सेमी
जाँच: परिमाप = \( 2(9 + 3) = 2 \times 12 = 24 \) सेमी
मुख्य बिंदु:
• आयत के परिमाप के सूत्र \( 2(l + b) \) का प्रयोग किया जाता है।
• दी गई शर्त के अनुसार लंबाई और चौड़ाई के बीच संबंध स्थापित करते हैं।
• समीकरण हल करने के बाद प्राप्त मान से विमाएँ ज्ञात की जाती हैं।
आम गलतियाँ:
• परिमाप के सूत्र में 2 से गुणा करना भूल जाना।
• कोष्ठक खोलते समय गलती करना।
• लंबाई को केवल \( 2x \) मान लेना और 'तीन अधिक' (+3) जोड़ना भूल जाना।
Exam Tips:
a) आयत के परिमाप का सूत्र हमेशा स्पष्ट रूप से लिखें।
b) ब्रैकेट के अंदर के पदों को पहले सरल करें (जैसे \( 2x + x = 3x \))।
c) परीक्षा में उत्तर की जाँच अवश्य करें ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।
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