Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
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Practice Class 9 Mathematics Solutions: Chapter 02 रैखिक बहुपदों का परिचय
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Question 1: नीचे दिए गए बहुपदों की घातें ज्ञात कीजिए –
(i) \( 2x^2 - 5x + 3 \)
(ii) \( y^3 + 2y - 1 \)
(iii) \( -9 \)
(iv) \( 4z - 3 \)
Answer:
किसी बहुपद की घात उस बहुपद में सबसे बड़े घात वाले पद की घातांक होती है। इसके आधार पर हल निम्नलिखित है:
(i) दिए गए बहुपद \( 2x^2 - 5x + 3 \) में सबसे बड़े घात वाला पद \( 2x^2 \) है, जिसकी घात 2 है।
अतः बहुपद की घात = \( 2 \)
(ii) दिए गए बहुपद \( y^3 + 2y - 1 \) में सबसे बड़े घात वाला पद \( y^3 \) है, जिसकी घात 3 है।
अतः बहुपद की घात = \( 3 \)
(iii) अचर बहुपद \( -9 \) को \( -9x^0 \) के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः बहुपद की घात = \( 0 \)
(iv) दिए गए बहुपद \( 4z - 3 \) में सबसे बड़े घात वाला पद \( 4z \) (अर्थात \( 4z^1 \)) है, जिसकी घात 1 है।
अतः बहुपद की घात = \( 1 \)
मुख्य बिंदु:
• किसी भी बहुपद की घात हमेशा एक पूर्ण संख्या होती है।
• बहुपद में सबसे बड़ी घात वाले पद के घातांक को ही पूरे बहुपद की घात माना जाता है।
• किसी भी अशून्य अचर पद (Non-zero constant term) की घात शून्य होती है।
आम गलतियाँ:
• छात्र अक्सर अचर पद की घात 1 मान लेते हैं, जो गलत है।
• बहुपद को मानक रूप में बिना देखे गलत पद को सबसे बड़ी घात मान लेना।
• चर राशि की घात को भूलकर केवल गुणांक को घात समझ लेना।
Exam Tips:
a) बहुपद की घात लिखते समय हमेशा सबसे बड़े घातांक वाले पद को पहले पहचानें।
b) अचर बहुपद की घात पूछते समय हमेशा शून्य (0) लिखें।
c) बहुपदों को पहले मानक रूप (घातों के घटते क्रम) में व्यवस्थित करना एक अच्छी आदत है।
Question 2: घात 1, 2 और 3 के बहुपद लिखिए।
Answer:
विभिन्न घातों के बहुपद निम्नलिखित हैं:
घात 1 का बहुपद (रैखिक बहुपद): \( x + 5 \)
घात 2 का बहुपद (द्विघाती बहुपद): \( x^2 + 3x - 2 \)
घात 3 का बहुपद (त्रिघाती बहुपद): \( x^3 - 2x^2 + x + 1 \)
मुख्य बिंदु:
• घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
• घात 2 के बहुपद को द्विघाती बहुपद कहा जाता है।
• घात 3 के बहुपद को त्रिघाती बहुपद कहा जाता है।
आम गलतियाँ:
• चर की जगह केवल संख्या लिखकर बहुपद बनाने का प्रयास करना।
• सही घात वाला पद न लिखकर गलत घातांक लिख देना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में आप अपनी पसंद का कोई भी सरल बहुपद लिख सकते हैं बशर्ते उसकी अधिकतम घात दी गई शर्त के अनुसार हो।
b) बहुपद लिखते समय चर (variable) जैसे \( x \) या \( y \) का प्रयोग अनिवार्य रूप से करें।
c) मानक रूप में उत्तर देना हमेशा शिक्षक पर अच्छा प्रभाव डालता है।
Question 3: बहुपद \( x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 2x + 7 \) में \( x^2 \) और \( x^3 \) के गुणांक क्या हैं?
Answer:
दिए गए बहुपद में विभिन्न पदों के गुणांक निम्नलिखित हैं:
बहुपद है: \( x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 2x + 7 \)
\( x^2 \) का गुणांक = \( 6 \)
\( x^3 \) का गुणांक = \( -3 \)
मुख्य बिंदु:
• किसी चर के गुणांक (Coefficient) में उसके साथ गुणा होने वाली संख्या (चिह्न सहित) शामिल होती है।
• ऋणात्मक चिह्न को गुणांक लिखते समय कभी नहीं छोड़ना चाहिए।
• गुणांक हमेशा चर के गुणनफल के रूप में जुड़ा होता है।
आम गलतियाँ:
• \( x^3 \) के गुणांक में से ऋणात्मक चिह्न (-) छोड़ देना और केवल 3 लिखना।
• पद के स्थान पर पूरे व्यंजक को गुणांक मान लेना।
Exam Tips:
a) गुणांक लिखते समय हमेशा उसके साथ लगे हुए चिह्न (+ या -) का विशेष ध्यान रखें।
b) यदि किसी पद के साथ कोई संख्या नहीं दिखती, तो उसका गुणांक 1 माना जाता है।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से अलग-अलग पंक्तियों में लिखें।
Question 4: बहुपद \( 4z^3 + 5z^2 - 11 \) में \( z \) का गुणांक क्या है?
Answer:
दिए गए बहुपद में \( z \) का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
बहुपद है: \( 4z^3 + 5z^2 - 11 \)
इस बहुपद में \( z \) (अर्थात \( z^1 \)) वाला कोई पद उपस्थित नहीं है।
अतः \( z \) का गुणांक = \( 0 \)
मुख्य बिंदु:
• यदि किसी बहुपद में कोई विशिष्ट पद मौजूद नहीं है, तो उसका गुणांक शून्य माना जाता है।
• \( z \) और \( z^3 \) अलग-अलग घात वाले पद हैं।
आम गलतियाँ:
• छात्र अक्सर अनुपस्थित पद का गुणांक 1 लिख देते हैं या प्रश्न को गलत समझ लेते हैं।
• \( z^3 \) या \( z^2 \) के गुणांक को ही \( z \) का गुणांक समझ लेना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में जहाँ पद अनुपस्थित हो, वहाँ उत्तर हमेशा 0 (शून्य) होता है।
b) भ्रम से बचने के लिए बहुपद को \( 4z^3 + 5z^2 + 0z - 11 \) के रूप में लिखकर भी समझा जा सकता है।
c) उत्तर लिखते समय कारण अवश्य स्पष्ट करें।
Question 5: बहुपद \( 9x^3 + 5x^2 - 8x - 10 \) में अचर पद क्या है?
Answer:
अचर पद वह पद होता है जिसमें कोई चर (Variable) नहीं होता है, अर्थात उसका मान स्थिर रहता है।
दिए गए बहुपद में: \( 9x^3 + 5x^2 - 8x - 10 \)
अचर पद = \( -10 \)
मुख्य बिंदु:
• अचर पद में चर की घात शून्य होती है (जैसे \( -10x^0 \))।
• अचर पद के साथ हमेशा उसका उचित चिह्न (+ या -) लिखा जाता है।
• यह बहुपद का अंतिम पद होता है जब उसे मानक रूप में लिखा जाता है।
आम गलतियाँ:
• अचर पद का चिह्न माइनस (-) भूल जाना और केवल 10 लिखना।
• चर वाले पद की संख्या को अचर पद समझ लेना।
Exam Tips:
a) अचर पद पहचानते समय हमेशा उस पद को देखें जिसमें \( x, y, z \) आदि न हों।
b) चिह्न सहित मान लिखना अनिवार्य है।
c) परिभाषा के साथ छोटा सा कारण लिखने से परीक्षा में पूरे अंक मिलते हैं।
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