Download NCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 01 स्वयं को प्रवृत्त करना निर्देशांकों का उपयोग
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Question 1: रियान की आयताकार अध्ययन मेज को इस प्रकार रखिए कि उसके तीन पाये बिंदुओं (8, 9), (11, 9) और (11, 7) पर स्थित हों।
(i) मेज का चौथा पाया कहाँ होगा?
Answer:
दिए गए तीन बिंदु आयत के तीन कोने बनाते हैं:
\( A = (8, 9) \)
\( B = (11, 9) \)
\( C = (11, 7) \)
आयत को पूरा करने के लिए चौथे बिंदु का x-निर्देशांक A के समान यानी \( 8 \) तथा y-निर्देशांक C के समान यानी \( 7 \) होगा।
अतः चौथा पैर बिंदु \( (8, 7) \) पर होगा।
मुख्य बिंदु:
• आयत की आमने-सामने की भुजाएँ बराबर और समान्तर होती हैं।
• दिए गए तीन बिंदुओं से x और y के निर्देशांकों की तुलना करके चौथे बिंदु को ज्ञात किया जाता है।
• यहाँ x-निर्देशांक \( 8 \) और y-निर्देशांक \( 7 \) प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• x और y के निर्देशांकों को आपस में बदल देना।
• आयत के गुणों को समझे बिना गलत मान जोड़ देना।
• बिंदुओं को आलेख पर सही से न अंकित करना।
Exam Tips:
a) निर्देशांक ज्यामिति के प्रश्नों में हमेशा पहले x-अक्ष और फिर y-अक्ष का मान लिखें।
b) आयत के शीर्षों की पहचान करने के लिए चित्र का सावधानीपूर्वक अध्ययन करें।
c) उत्तर की पुष्टि करने के लिए भुजाओं की लंबाई की तुलना करें।
Question 1 (ii): क्या मेज के लिए यह एक सही स्थान है?
Answer:
हाँ, यह एक अच्छा स्थान है क्योंकि:
• मेज़ कमरे के अंदर व्यवस्थित रूप से रखी गई है।
• यह दरवाज़ों या रास्तों को अवरुद्ध नहीं करती है।
• यह दीवार के पास है, जो पढ़ाई के लिए सबसे सुविधाजनक होता है।
मुख्य बिंदु:
• फर्नीचर की स्थिति कमरे की व्यवस्था और उपयोगिता पर निर्भर करती है।
• अध्ययन मेज हमेशा शांत और रोशनी वाले स्थान पर होनी चाहिए।
• आवाजाही के रास्ते अवरुद्ध नहीं होने चाहिए।
आम गलतियाँ:
• केवल गणितीय गणना पर ध्यान देना और व्यावहारिक पहलुओं की उपेक्षा करना।
• कमरे के दरवाज़ों और खिड़कियों की स्थिति को नजरअंदाज करना।
Exam Tips:
a) व्यावहारिक आधारित प्रश्नों में तार्किक और स्पष्ट उत्तर दें।
b) बिंदुओं के रूप में उत्तर लिखने से मूल्यांकन आसान होता है।
c) कमरे के लेआउट को ध्यान में रखकर ही टिप्पणी करें।
Question 1 (iii): मेज की चौड़ाई क्या है? इसकी लंबाई क्या है? क्या आप मेज की ऊँचाई बता सकते हैं?
Answer:
चौड़ाई निकालने के लिए बिंदु \( (8, 9) \) और \( (11, 9) \) के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
\( \text{चौड़ाई} = 11 - 8 = 3 \) इकाई
लंबाई निकालने के लिए बिंदु \( (11, 9) \) और \( (11, 7) \) के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
\( \text{लंबाई} = 9 - 7 = 2 \) इकाई
ऊँचाई: मेज़ की ऊँचाई ज्ञात नहीं की जा सकती, क्योंकि चित्र केवल ऊपर से दृश्य (2D) दर्शाता है, इसमें ऊँचाई (3D) की जानकारी नहीं दी गई है।
मुख्य बिंदु:
• दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र उपयोग करके चौड़ाई और लंबाई निकाली गई।
• 2D आलेख में तीसरी विमा (ऊँचाई) प्रदर्शित नहीं होती है।
• दूरियाँ हमेशा धनात्मक होती हैं।
आम गलतियाँ:
• लंबाई और चौड़ाई की गणना में घटाव की गलती करना।
• 2D चित्र में ऊँचाई ज्ञात करने का प्रयास करना।
Exam Tips:
a) दूरी निकालते समय समान निर्देशांक वाले बिंदुओं का अंतर सीधे लें।
b) 2D और 3D आलेखों के अंतर को समझकर ही उत्तर दें।
c) इकाई लिखना न भूलें।
Question 2: यदि एक स्नानगृह के द्वार का कब्जा \( B_1 \) पर है और यह शयनकक्ष की ओर खुलता है तो क्या यह अलमारी से टकराएगा? यदि द्वार अपेक्षाकृत अधिक चौड़ी का बनाया जाए तो इस संदर्भ में क्या आप कुछ परिवर्तनों का सुझाव देंगे?
Answer:
चित्र के अनुसार:
\( B_1 = (0, 1.5) \)
\( B_2 = (0, 4) \)
अतः स्नानगृह के द्वार की चौड़ाई \( = 4 - 1.5 = 2.5 \) इकाई
यदि द्वार \( B_1 \) पर कब्जे के साथ शयनकक्ष की ओर खुलता है, तो यह \( B_1 \) से \( 2.5 \) इकाई त्रिज्या का एक चाप बनाएगा।
अलमारी का निकटतम भाग लगभग इन बिंदुओं से शुरू होता है:
\( W_1 = (3, 0) \)
\( W_4 = (3, 2) \)
बिंदु \( B_1(0, 1.5) \) से अलमारी की दूरी x-दिशा में लगभग \( 3 \) इकाई है, जो द्वार की चौड़ाई \( 2.5 \) इकाई से अधिक है।
अतः, द्वार अलमारी से नहीं टकराएगा।
यदि द्वार और चौड़ा किया जाए, तो सुझाव:
• द्वार बहुत चौड़ा होने पर अलमारी से टकराने की संभावना हो सकती है।
• ऐसे में द्वार को स्नानगृह की ओर (अंदर) खुलने वाला बनाया जा सकता है।
• अलमारी को थोड़ा दाईं ओर खिसकाया जा सकता है।
• द्वार की चौड़ाई सीमित रखी जा सकती है।
मुख्य बिंदु:
• द्वार की चौड़ाई \( 2.5 \) इकाई है और अलमारी की दूरी \( 3 \) इकाई है।
• द्वार द्वारा बनने वाले चाप की त्रिज्या उसकी चौड़ाई के बराबर होती है।
• स्थान प्रबंधन के लिए परिवर्तन आवश्यक हो सकते हैं।
आम गलतियाँ:
• दूरियों की सही गणना न करना।
• चाप की त्रिज्या को गलत समझ लेना।
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में राजनैतिक या ज्यामितीय दूरियों की तुलना स्पष्ट रूप से दिखाएं।
b) सुझाव देते समय व्यावहारिक और तार्किक बिंदु लिखें।
c) निर्देशांकों के मान सही से प्रतिस्थापित करें।
Question 3 (i): स्नानगृह के चार कोनों O, F, R और P के निर्देशांक क्या हैं?
Answer:
चित्र के अनुसार स्नानगृह के चारों कोनों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
\( O = (0, 0) \)
\( F = (0, 9) \)
\( R = (-6, 9) \)
\( P = (-6, 0) \)
मुख्य बिंदु:
• मूलबिंदु \( O \) के निर्देशांक \( (0, 0) \) होते हैं।
• आलेख पर प्रत्येक कोने की स्थिति x और y अक्ष के अनुसार तय होती है।
• बाएं चतुर्थांश में x का मान ऋणात्मक होता है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक चिन्ह लगाना भूल जाना।
• x और y के मानों को आपस में उलटना।
Exam Tips:
a) आलेख देखकर सीधे और सटीक निर्देशांक लिखें।
b) चिन्हों (+ और -) का विशेष ध्यान रखें।
c) क्रमबद्ध रूप से सभी बिंदुओं के नाम लिखें।
Question 3 (ii): रियान के स्नानगृह में फव्वारा क्षेत्र का आकार क्या है? इसके चारों कोनों के निर्देशांक लिखिए।
Answer:
चित्र के अनुसार फव्वारा क्षेत्र के चारों कोनों के निर्देशांक हैं:
\( S = (-6, 5) \)
\( H = (-3, 5) \)
\( W = (-2, 9) \)
\( R = (-6, 9) \)
चूँकि एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं, इसलिए SHWR एक समलंब चतुर्भुज (Trapezium) है।
मुख्य बिंदु:
• समलंब चतुर्भुज में भुजाओं का एक युग्म समानांतर होता है।
• यहाँ क्षैतिज भुजाएँ x-अक्ष के समानांतर हैं।
• सभी चारों कोनों के निर्देशांक आलेख से लिए गए हैं।
आम गलतियाँ:
• चतुर्भुज के प्रकार को पहचानने में गलती करना।
• गलत बिंदुओं के निर्देशांक लिख देना।
Exam Tips:
a) आकृतियों के गुणधर्म याद रखें जैसे समलंब, आयत या वर्ग।
b) निर्देशांकों को क्रमित युग्म \( (x, y) \) के रूप में ही लिखें।
c) आकृति का नाम स्पष्ट रूप से बताएं।
Question 3 (iii): प्रक्षालन पात्र (वॉश बेसिन) के लिए 3 फुट × 2 फुट और प्रसाधन (शौचालय) के लिए 2 फुट × 3 फुट का स्थान चिह्नित कीजिए। इन स्थानों के कोनों के निर्देशांक लिखिए।
Answer:
प्रक्षालन पात्र का स्थान (3 फुट × 2 फुट):
स्नानगृह के निचले-बाएँ कोने में आयत के कोनों के निर्देशांक:
\( (-6, 0), (-3, 0), (-3, 2), (-6, 2) \)
प्रसाधन का स्थान (2 फुट × 3 फुट):
प्रक्षालन पात्र के ऊपर एक आयत के कोनों के निर्देशांक:
\( (-6, 2), (-4, 2), (-4, 5), (-6, 5) \)
मुख्य बिंदु:
• दी गई माप के अनुसार आयताकार क्षेत्रों की लंबाई और चौड़ाई जोड़ी जाती है।
• निचले-बाएँ कोने से शुरुआत करके निर्देशांक निकाले जाते हैं।
• क्षेत्रफल की विमाओं का सही उपयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• माप जोड़ते समय गणितीय त्रुटि करना।
• सही शुरुआती बिंदु न चुनना।
Exam Tips:
a) आयताकार क्षेत्रों के निर्देशांक निकालते समय प्रारंभिक बिंदु में लंबाई और चौड़ाई जोड़ें।
b) सभी चारों शीर्षों को क्रमानुसार लिखें।
c) इकाइयों का ध्यान रखें।
Question 4 (i): रियान कमरे के प्रवेशद्वार तक भोजनकक्ष से होकर जाता है जिसकी लंबाई 18 फुट और चौड़ाई 15 फुट है। भोजनकक्ष की लंबाई बिंदु P से लेकर बिंदु A तक है। भोजनकक्ष का रेखाचित्र खींचिए और इसके कोनों के निर्देशांकों को अंकित कीजिए।
Answer:
चित्र के अनुसार:
\( P \) के निर्देशांक \( = (-6, 0) \)
\( A \) के निर्देशांक \( = (12, 0) \)
अतः PA की लंबाई \( = 12 - (-6) = 18 \) फुट, जो दी गई लंबाई के बराबर है।
यदि भोजनकक्ष की चौड़ाई 15 फुट है और वह PA के नीचे स्थित है, तो इसकी ऊपरी भुजा PA होगी और यह नीचे की ओर 15 इकाई तक फैलेगा।
इस प्रकार, भोजनकक्ष के चारों कोनों के निर्देशांक होंगे:
\( P = (-6, 0) \)
\( A = (12, 0) \)
\( Q = (12, -15) \)
\( S = (-6, -15) \)
अतः भोजनकक्ष के कोनों के निर्देशांक \( (-6, 0), (12, 0), (12, -15) \) और \( (-6, -15) \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• लंबाई x-अक्ष के अनुदिश \( 18 \) इकाई है।
• चौड़ाई y-अक्ष के अनुदिश नीचे की ओर \( 15 \) इकाई है, इसलिए y का मान ऋणात्मक होगा।
• आयत के चारों शीर्षों के निर्देशांक आसानी से निकाले गए हैं।
आम गलतियाँ:
• नीचे की ओर जाने पर y-निर्देशांक को धनात्मक लिख देना।
• लंबाई के अंतर की गणना में गलती करना।
Exam Tips:
a) नीचे की दिशा (चतुर्थ चतुर्थांश) में y-निर्देशांक हमेशा ऋणात्मक होते हैं।
b) सभी चारों बिंदुओं को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) प्रश्न में दी गई लंबाई और चौड़ाई से मिलान अवश्य करें।
Question 4 (ii): भोजनकक्ष के ठीक मध्य में एक 5 फुट × 3 फुट क्षेत्रफल की आयताकार भोजन-मेज (डाइनिंग टेबल) रखिए। मेज के पायों के निर्देशांकों को लिखिए।
Answer:
भोजनकक्ष का विस्तार: \( x = -6 \) से \( 12 \) तक तथा \( y = 0 \) से \( -15 \) तक है।
भोजनकक्ष का केंद्र:
x-निर्देशांक \( = \frac{-6 + 12}{2} = 3 \)
y-निर्देशांक \( = \frac{0 + (-15)}{2} = -7.5 \)
अब \( 5 \) फुट \( \times 3 \) फुट की भोजन-मेज को केंद्र पर रखते हैं।
लंबाई (x-अक्ष के समानांतर) \( = 5 \) इकाई \( \Rightarrow \) आधी \( = 2.5 \)
चौड़ाई (y-अक्ष के समानांतर) \( = 3 \) इकाई \( \Rightarrow \) आधी \( = 1.5 \)
अतः, भोजन-मेज के चारों पैरों (कोनों) के निर्देशांक निम्नलिखित प्रकार से होंगे:
\( (0.5, -9), (5.5, -9), (5.5, -6), (0.5, -6) \)
मुख्य बिंदु:
• केंद्र निकालने के लिए मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग किया गया है।
• केंद्र से लंबाई और चौड़ाई का आधा जोड़कर और घटाकर कोने निकाले जाते हैं।
• x का मान \( 3 - 2.5 = 0.5 \) से \( 3 + 2.5 = 5.5 \) तक होगा।
• y का मान \( -7.5 - 1.5 = -9 \) से \( -7.5 + 1.5 = -6 \) तक होगा।
आम गलतियाँ:
• मध्य-बिंदु निकालते समय चिन्हों की गलती करना।
• लंबाई और चौड़ाई का आधा करने के बजाय पूरी लंबाई जोड़ देना।
Exam Tips:
a) केंद्र से किसी आयत के कोने निकालने के लिए \( x \pm \frac{\text{लंबाई}}{2} \) और \( y \pm \frac{\text{चौड़ाई}}{2} \) का सूत्र प्रयोग करें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से हल करें ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।
c) दशमलव संख्याओं की गणना सावधानी से करें।
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