Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 01 स्वयं को प्रवृत्त करना निर्देशांकों का उपयोग
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Practice Class 9 Mathematics Solutions: Chapter 01 स्वयं को प्रवृत्त करना निर्देशांकों का उपयोग
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Question (i): यदि \( D_1R_1 \) रियान के कमरे के द्वार को प्रदर्शित करता है तो यह द्वार कमरे की बाईं दीवार (\( y \)-अक्ष) से कितनी दूरी पर स्थित है? द्वार \( x \)-अक्ष से कितनी दूरी पर स्थित है?
Answer:
कमरे का द्वार \( x \)-अक्ष पर स्थित है, इसलिए \( x \)-अक्ष से इसकी दूरी \( = 0 \) इकाई है।
चित्र से, बिंदु \( D_1 = (8, 0) \) और \( R_1 = (11.5, 0) \) हैं।
अतः द्वार, \( y \)-अक्ष (बाईं दीवार) से \( 8 \) इकाई दूर स्थित है।
मुख्य बिंदु:
• किसी बिंदु की \( y \)-अक्ष से दूरी उसका \( x \)-निर्देशांक होती है।
• \( x \)-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का \( y \)-निर्देशांक शून्य होता है।
• यहाँ द्वार \( x \)-अक्ष पर स्थित है इसलिए \( y \)-निर्देशांक \( 0 \) है।
आम गलतियाँ:
• \( x \) और \( y \)-अक्ष से दूरियों को आपस में मिला देना।
• \( y \)-अक्ष की दूरी को \( y \)-निर्देशांक समझ लेना।
• मूलबिंदु से दूरी और अक्ष से दूरी में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) निर्देशांक ज्यामिति में अक्षों से दूरी ज्ञात करते समय हमेशा निर्देशांकों के संकेतों को ध्यान से देखें।
b) द्वार या रेखाखंड के प्रारंभिक बिंदु के निर्देशांक से अक्ष की दूरी स्पष्ट रूप से लिखें।
c) उत्तर में इकाइयों (units) का उल्लेख अवश्य करें।
Question (ii): \( D_1 \) के निर्देशांक क्या हैं?
Answer:
दिए गए चित्र के अनुसार, बिंदु \( D_1 \) की स्थिति \( x \)-अक्ष पर \( 8 \) और \( y \)-अक्ष पर \( 0 \) है।
अतः \( D_1 \) के निर्देशांक \( (8, 0) \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• किसी भी बिंदु के निर्देशांक \( (x, y) \) के रूप में लिखे जाते हैं।
• \( x \)-अक्ष पर स्थित बिंदु का \( y \)-निर्देशांक हमेशा \( 0 \) होता है।
• चित्र देखकर सीधे मानों को पढ़ा जा सकता है।
आम गलतियाँ:
• \( (8, 0) \) के स्थान पर \( (0, 8) \) लिख देना।
• \( y \)-निर्देशांक को छोड़ देना।
• ग्राफ के पैमाने को गलत पढ़ना।
Exam Tips:
a) निर्देशांक लिखते समय पहले \( x \)-अक्ष का मान और फिर \( y \)-अक्ष का मान लिखें।
b) कोष्ठक \( ( ) \) और अल्पविराम (,) का सही प्रयोग करें।
c) ग्राफ या चित्र में दी गई संख्या को सावधानीपूर्वक देखकर ही निर्देशांक लिखें।
Question (iii): यदि \( R_1 \) बिंदु \( (11.5, 0) \) है तो द्वार की चौड़ाई क्या है? क्या आपको लगता है कि कमरे के द्वार के लिए यह चौड़ाई उपयुक्त है? यदि कोई व्यक्ति पहिएदार कुर्सी (व्हीलचेयर) पर बैठकर कमरे में प्रवेश करना चाहता है तो क्या वह सरलतापूर्वक ऐसा कर पाएगा?
Answer:
\( D_1 \) के निर्देशांक \( (8, 0) \) तथा \( R_1 \) के निर्देशांक \( (11.5, 0) \) हैं।
अतः द्वार की चौड़ाई \( = D_1 \) और \( R_1 \) के बीच की दूरी
\( = 11.5 - 8 = 3.5 \) इकाई
यदि \( 1 \) इकाई \( = 1 \) फुट माना जाए, तो \( 3.5 \) फुट \( \approx 42 \) इंच होता है, जो कमरे के द्वार के लिए काफी आरामदायक चौड़ाई है।
सामान्यतः घरों के द्वार \( 30-36 \) इंच चौड़े होते हैं, इसलिए यह उससे थोड़ा अधिक है, जो बेहतर माना जाता है।
व्हीलचेयर के लिए:
एक व्हीलचेयर को लगभग \( 32 \) इंच (\( \approx 2.7 \) फुट) चौड़ाई की आवश्यकता होती है।
चूँकि \( 3.5 \) फुट \( > 2.7 \) फुट है, इसलिए यह द्वार पर्याप्त चौड़ा है।
अतः हम कह सकते हैं कि हाँ – यह द्वार की चौड़ाई उपयुक्त है और व्हीलचेयर पर बैठा व्यक्ति बिना किसी कठिनाई के सरलतापूर्वक कमरे में प्रवेश कर सकेगा।
मुख्य बिंदु:
• दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांकों का अंतर निकालकर ज्ञात की जाती है।
• \( 3.5 \) फुट की चौड़ाई मानक दरवाजों से अधिक और सुविधाजनक है।
• व्हीलचेयर के लिए आवश्यक चौड़ाई \( 32 \) इंच से द्वार बड़ा है।
आम गलतियाँ:
• घटाव करते समय दशमलव की संख्या में गलती करना।
• फुट और इंच के रूपांतरण में भ्रमित होना।
• व्यावहारिक स्थिति का गणितीय विश्लेषण न करना।
Exam Tips:
a) दूरी के अंतर को निकालते समय बड़े मान से छोटे मान को घटाएं।
b) व्यावहारिक प्रश्नों में इकाइयों के परिवर्तन को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) निष्कर्ष को तार्किक और स्पष्ट भाषा में लिखें।
Question (iv): यदि \( B_1 (0, 1.5) \) और \( B_2 (0, 4) \) स्नानगृह के द्वार की सीमा के अंतिम बिंदुओं को प्रदर्शित करते हैं तो क्या स्नानगृह का द्वार कमरे के द्वार की तुलना में संकीर्ण है या अधिक चौड़ा है?
Answer:
\( B_1 \) के निर्देशांक \( (0, 1.5) \) तथा \( B_2 \) के निर्देशांक \( (0, 4) \) हैं।
अतः स्नानगृह के द्वार की चौड़ाई \( = B_1 \) और \( B_2 \) के बीच की दूरी
\( = 4 - 1.5 = 2.5 \) इकाई
चूँकि स्नानगृह के द्वार की चौड़ाई \( 2.5 \) इकाई है और कमरे के द्वार की चौड़ाई \( 3.5 \) इकाई है, इसलिए \( 2.5 < 3.5 \) है।
अतः स्नानगृह का द्वार कमरे के द्वार की तुलना में संकीर्ण (कम चौड़ा) है।
मुख्य बिंदु:
• \( y \)-अक्ष पर स्थित बिंदुओं के बीच की दूरी उनके \( y \)-निर्देशांकों का अंतर होती है।
• स्नानगृह के द्वार की चौड़ाई \( 2.5 \) इकाई प्राप्त होती है।
• दोनों द्वारों की चौड़ाई की तुलना करके निष्कर्ष निकाला गया है।
आम गलतियाँ:
• \( 4 - 1.5 \) को हल करने में दशमलव की गलती करना।
• संकीर्ण शब्द का अर्थ न समझ पाना।
• तुलना करते समय गलत मानों का प्रयोग करना।
Exam Tips:
a) ऊर्ध्वाधर (vertical) दूरी निकालते समय \( y \)-निर्देशांकों का प्रयोग करें।
b) तुलना वाले प्रश्नों में दोनों मानों को लिखकर स्पष्ट रूप से छोटा या बड़ा दिखाएं।
c) उत्तर में 'संकीर्ण' या 'चौड़ा' शब्दों का सटीक प्रयोग करें।
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