NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 01 Orienting Yourself The Use of Coordinates (स्वयं को प्रवृत्त करना निर्देशांकों का उपयोग) End of Chapter Exercises in Hindi

Question 1: दोनों अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्या होंगे?

Answer:

x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को मूलबिंदु पर काटते हैं।
इसलिए मूलबिंदु के निर्देशांक निम्नलिखित हैं:
x-निर्देशांक \( = 0 \)
y-निर्देशांक \( = 0 \)
अतः, दोनों अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक \( (0, 0) \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• मूलबिंदु वह बिंदु है जहाँ दोनों अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं।
• मूलबिंदु के दोनों निर्देशांक हमेशा शून्य होते हैं।
• यह कार्तीय तल का केंद्र बिंदु कहलाता है।

आम गलतियाँ:

• मूलबिंदु के निर्देशांकों को \( (1, 1) \) लिख देना।
• x-अक्ष और y-अक्ष के अलग-अलग प्रतिच्छेद बिंदु मान लेना।
• निर्देशांकों के क्रम को उल्टा लिखना।

Exam Tips:

a) हमेशा याद रखें कि मूलबिंदु के निर्देशांक \( (0, 0) \) होते हैं।
b) उत्तर लिखते समय x-निर्देशांक पहले और y-निर्देशांक बाद में लिखें।
c) एक-नंबर के बहुविकल्पीय प्रश्नों में यह अक्सर पूछा जाता है।

Question 2: बिंदु W का x-निर्देशांक –5 है। क्या आप उस बिंदु H के निर्देशांकों को ज्ञात कर सकते हैं जो W से होकर जाती हुई y-अक्ष के सामानांतर रेखा पर स्थित हो? बिंदु H किन चतुर्थांशों में स्थित हो सकता है?

Answer:

चूँकि बिंदु W का x-निर्देशांक \( -5 \) है और बिंदु H, W से जाने वाली y-अक्ष के समानांतर रेखा पर स्थित है, इसलिए H का x-निर्देशांक भी \( -5 \) ही होगा।
अतः बिंदु H के निर्देशांक \( H = (-5, y) \) के रूप में होंगे, जहाँ \( y \) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
\( y \) के मान के आधार पर स्थिति:
यदि \( y > 0 \), तो बिंदु H द्वितीय (II) चतुर्थांश में होगा।
यदि \( y < 0 \), तो बिंदु H तृतीय (III) चतुर्थांश में होगा।
यदि \( y = 0 \), तो बिंदु H x-अक्ष पर स्थित होगा।
अतः बिंदु H द्वितीय चतुर्थांश, तृतीय चतुर्थांश या x-अक्ष पर स्थित हो सकता है।

मुख्य बिंदु:

• y-अक्ष के समानांतर रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का x-निर्देशांक समान होता है।
• द्वितीय चतुर्थांश में x ऋणात्मक और y धनात्मक होता है।
• तृतीय चतुर्थांश में x और y दोनों ऋणात्मक होते हैं।

आम गलतियाँ:

• y के मान को स्थिर मान लेना जबकि यह कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
• चतुर्थांशों के चिह्न नियमों में भ्रमित होना।
• x-अक्ष पर स्थिति को भूल जाना।

Exam Tips:

a) समानांतर रेखाओं के गुणधर्म को अच्छी तरह समझें।
b) चतुर्थांश के चिह्नों को हमेशा याद रखें (\( (+,+) \), \( (-,+) \), \( (-,-) \), \( (+,-) \) ।
c) चरणबद्ध तरीके से उत्तर लिखें ताकि पूरे अंक मिल सकें।

Question 3: बिंदु R (3, 0), A(0, –2), M (–5, –2) तथा P (–5, 2) पर विचार कीजिए। यदि वे इसी क्रम में मिलाए गए हैं तो अनुमान लगाइए –
(i) RAMP की दो भुजाएँ जो परस्पर लंबवत हैं।
(ii) RAMP की वह भुजा जो किसी एक अक्ष के समानांतर है।
(iii) दो बिंदु जो एक अक्ष में एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं। यह अक्ष कौन-सा होगा? अब बिंदुओं को अंकित कीजिए और अपने अनुमान को सत्यापित कीजिए।

Answer:

(i) भुजा AM, बिंदु A \( (0, -2) \) से M \( (-5, -2) \) को जोड़ती है जो एक क्षैतिज रेखा है।
भुजा MP, बिंदु M \( (-5, -2) \) से P \( (-5, 2) \) को जोड़ती है जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
चूँकि एक क्षैतिज रेखा और एक ऊर्ध्वाधर रेखा हमेशा परस्पर लंबवत होती हैं, इसलिए लंबवत भुजाएँ AM और MP हैं।
(ii) भुजा AM के दोनों बिंदुओं के y-निर्देशांक समान (\( -2 \)) हैं, इसलिए AM भुजा x-अक्ष के समानांतर है।
भुजा MP के दोनों बिंदुओं के x-निर्देशांक समान (\( -5 \)) हैं, इसलिए MP भुजा y-अक्ष के समानांतर है।
(iii) बिंदुओं M \( (-5, -2) \) और P \( (-5, 2) \) के x-निर्देशांक समान हैं तथा y-निर्देशांक परिमाण में समान लेकिन विपरीत चिह्न के हैं।
अतः बिंदु M और P x-अक्ष के सापेक्ष एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं।

मुख्य बिंदु:

• क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हमेशा 90° पर मिलती हैं।
• समान y-निर्देशांक वाली रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है।
• x-अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब में y का चिह्न बदल जाता है।

आम गलतियाँ:

• क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं की पहचान में गलती करना।
• समानांतर रेखाओं की शर्त भूल जाना।
• दर्पण प्रतिबिंब निकालते समय गलत अक्ष चुनना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक उप-प्रश्न का उत्तर अलग-अलग और स्पष्ट रूप से दें।
b) निर्देशांकों के मानों की तुलना सावधानीपूर्वक करें।
c) ज्यामितीय आकृतियों के गुणों का उपयोग तार्किक रूप से करें।

Question 4: कार्तीय तल पर बिंदु Z (5, –6) का अंकन कीजिए। एक समकोण त्रिभुज IZN की रचना कीजिए और तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया बिंदु \( Z(5, -6) \) है।
समकोण त्रिभुज IZN बनाने के लिए हम अन्य दो बिंदु लेते हैं: \( I(5, 0) \) (x-अक्ष पर) और \( N(0, -6) \) (y-अक्ष पर)।
यहाँ IZ ऊर्ध्वाधर रेखा है और ZN क्षैतिज रेखा है, इसलिए त्रिभुज IZN में समकोण बिंदु Z पर बनता है।
बिंदुओं के निर्देशांक हैं: \( I(5, 0), Z(5, -6), N(0, -6) \)
भुजाओं की लंबाइयाँ:
1. IZ की लंबाई = \( 0 - (-6) = 6 \) इकाई
2. ZN की लंबाई = \( 5 - 0 = 5 \) इकाई
3. IN की लंबाई दूरी सूत्र द्वारा:
\( IN = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - (-6))^2} \)
\( = \sqrt{5^2 + 6^2} \)
\( = \sqrt{25 + 36} \)
\( = \sqrt{61} \) इकाई

मुख्य बिंदु:

• दूरी सूत्र \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का प्रयोग किया जाता है।
• समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय लागू होती है।
• अक्षों पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक में एक निर्देशांक शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• दूरी निकालते समय चिह्न की गलती करना।
• वर्गमूल के अंदर की संख्या को गलत जोड़ना।
• इकाई लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) दूरी सूत्र लिखते समय कोष्ठक और वर्ग का ध्यान रखें।
b) गणना के चरणों को एक के बाद एक नीचे लिखें।
c) अंतिम उत्तर में इकाई लिखना न भूलें।

Question 5: यदि ऋणात्मक संख्याएँ नहीं होतीं तो निर्देशांक पद्धति कैसी होती? क्या इस पद्धति से द्वि-विमीय तल में सभी बिंदुओं को अंकित किया जा सकता था?

Answer:

यदि हमारे पास ऋणात्मक संख्याएँ नहीं होतीं, तो निर्देशांक केवल शून्य या धनात्मक हो सकते थे।
इसके परिणामस्वरूप:
• x-अक्ष पर केवल मूल बिंदु के दाईं ओर के बिंदु दर्शाए जा सकते थे।
• y-अक्ष पर केवल मूल बिंदु के ऊपर के बिंदु दर्शाए जा सकते थे।
इसका अर्थ यह होता कि हम केवल प्रथम चतुर्थांश, x-अक्ष के धनात्मक भाग, y-अक्ष के धनात्मक भाग और मूल बिंदु पर स्थित बिंदुओं का ही निर्धारण कर पाते।
हम द्वितीय, तृतीय और चतुर्थ चतुर्थांश तथा अक्षों के ऋणात्मक भागों के बिंदुओं का निर्धारण नहीं कर पाते।
अतः ऐसी निर्देशांक प्रणाली हमें द्वि-आयामी तल (2-D plane) के सभी बिंदुओं का स्थान निर्धारित करने की अनुमति नहीं देती।

मुख्य बिंदु:

• ऋणात्मक संख्याएँ संपूर्ण कार्तीय तल को चार चतुर्थांशों में विभाजित करती हैं।
• केवल धनात्मक संख्याओं से केवल एक चतुर्थांश ही संभव है。
• द्वि-विमीय तल के लिए दोनों दिशाओं में धनात्मक और ऋणात्मक मान आवश्यक हैं।

आम गलतियाँ:

• प्रश्न की वैचारिक गहराई को न समझना।
• केवल एक अक्ष के प्रभावों पर विचार करना।
• चतुर्थांशों की संख्या और उनकी सीमाओं को गलत बताना।

Exam Tips:

a) वैचारिक प्रश्नों के उत्तर में तार्किक बिंदुवार कारण दें।
b) स्पष्ट करें कि कौन-से क्षेत्र छूट जाते।
c) निष्कर्ष के रूप में अंतिम कथन अवश्य लिखें।

Question 6: क्या बिंदु M (–3, –4), A (0, 0) और G (6, 8) एक ही सरल रेखा पर हैं? बिंदुओं के अंकन के बिना और बिंदुओं को जोड़े बिना एक विधि बताइए, जिसके माध्यम से हम इसका परीक्षण कर सकें।

Answer:

बिंदुओं के संरेख (एक ही सरल रेखा पर) होने की जाँच के लिए हम दूरी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
दूरी MA ज्ञात करने पर:
\( MA = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - (-4))^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
दूरी AG ज्ञात करने पर:
\( AG = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} \)
\( = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
दूरी MG ज्ञात करने पर:
\( MG = \sqrt{(6 - (-3))^2 + (8 - (-4))^2} \)
\( = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \)
यहाँ: \( MA + AG = 5 + 10 = 15 = MG \)
चूँकि दो छोटी दूरियों का योग तीसरी बड़ी दूरी के बराबर है, इसलिए बिंदु M, A और G एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं।

मुख्य बिंदु:

• संरेखता की शर्त: यदि तीन बिंदुओं A, B, C के लिए \( AB + BC = AC \) हो, तो वे संरेख हैं।
• दूरी सूत्र का उपयोग करके तीनों दूरियाँ निकाली जाती हैं।
• आरेखण के बिना भी गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• दूरियों को जोड़ते समय गलत मान रखना।
• संरेखता की शर्त \( AB + BC = AC \) को भूल जाना।
• वर्गमूल निकालते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) संरेखता सिद्ध करने के लिए तीनों दूरियाँ (MA, AG, MG) स्पष्ट रूप से निकालें।
b) योग की तुलना अंतिम दूरी से करके निष्कर्ष जरूर लिखें।
c) गणना में कोष्ठک और ऋण चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।

Question 7: अपनी विधि (प्रश्न 6 से) का उपयोग करते हुए यह परीक्षण कीजिए कि क्या बिंदु R (–5, –1), B (–2, –5) और C (4, –12) एक ही सरल रेखा पर हैं। अब बिंदुओं के दोनों समूहों को अंकित कीजिए और अपने उत्तरों की जाँच कीजिए।

Answer:

दूरी सूत्र \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का उपयोग करते हुए दूरियाँ ज्ञात करते हैं:
दूरी RB:
\( RB = \sqrt{(-2 - (-5))^2 + (-5 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
दूरी BC:
\( BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-12 - (-5))^2} \)
\( = \sqrt{6^2 + (-7)^2} \)
\( = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} \)
दूरी RC:
\( RC = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (-12 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{9^2 + (-11)^2} \)
\( = \sqrt{81 + 121} = \sqrt{202} \)
यहाँ: \( RB + BC = 5 + \sqrt{85} \neq \sqrt{202} \)
चूँकि दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर नहीं है, इसलिए बिंदु R, B और C एक ही सरल रेखा पर स्थित नहीं हैं।

मुख्य बिंदु:

• संरेखता परीक्षण के लिए तीनों दूरियाँ निकालनी होती हैं।
• यदि \( RB + BC \neq RC \), तो बिंदु संरेख नहीं हैं।
• ऋण चिह्नों के साथ वर्ग करते समय परिणाम हमेशा धनात्मक होता है।

आम गलतियाँ:

• \( (-4)^2 \) को \( -16 \) लिख देना।
• वर्गमूल के योग को सीधे जोड़ देना जैसे \( 5 + \sqrt{85} = \sqrt{90} \) ।
• सूत्र में मान रखते समय x और y के निर्देशांकों की अदला-बदली करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक दूरी को अलग-अलग हल करें।
b) अंतिम तुलना को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ कि योग बराबर नहीं है।
c) उत्तर में कारण सहित स्पष्टीकरण दें।

Question 8: मूलबिंदु को एक शीर्ष के रूप में उपयोग करते हुए, निम्नलिखित के शीर्षों को अंकित कीजिए –
(i) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज।
(ii) एक ऐसा समद्विबाहु त्रिभुज जिसका एक शीर्ष तृतीय चतुर्थांश में और अन्य शीर्ष चतुर्थ चतुर्थांश में हो।

Answer:

(i) त्रिभुज OAB के शीर्षों का संभावित समूह है: \( O(0, 0), A(4, 0), B(0, 4) \)
स्पष्टीकरण: यहाँ \( OA = 4 \) इकाई और \( OB = 4 \) इकाई है, तथा भुजा OA, भुजा OB पर लंबवत है। अतः त्रिभुज OAB एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
(ii) शीर्षों का संभावित समूह है: \( O(0, 0), P(-3, -4), Q(3, -4) \)
स्पष्टीकरण: बिंदु P तृतीय चतुर्थांश में स्थित है और बिंदु Q चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है। दूरी \( OP = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5 \) इकाई तथा दूरी \( OQ = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \) इकाई है। चूँकि \( OP = OQ \), इसलिए त्रिभुज OPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

मुख्य बिंदु:

• समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं और उनके बीच का कोण 90° होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज में कोई भी दो भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं।
• मूलबिंदु \( (0, 0) \) को एक शीर्ष के रूप में प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• दूरियों की गणना में गलती करना।
• चतुर्थांशों के नियमों को भूलकर गलत निर्देशांक चुनना।
• लंबवतता की जाँच न करना।

Exam Tips:

a) शीर्षों के ऐसे मान चुनें जिनकी दूरियाँ आसानी से निकल सकें (जैसे पाइथागोरस त्रिक 3, 4, 5)।
b) अपने उत्तर की पुष्टि के लिए भुजाओं की लंबाई निकाल कर दिखाएँ।
c) चतुर्थांशों के नाम और उनकी शर्तें स्पष्ट लिखें।

Question 9: दी गई सारणी, बिंदुओं S, M और T के निर्देशांकों को प्रदर्शित करती है। प्रत्येक स्थिति में बताइए कि क्या M, रेखाखंड ST का मध्यबिंदु है। अपने उत्तर को सत्यापित कीजिए। जब M, ST का मध्यबिंदु हो तो क्या आप M, S और T के निर्देशांकों के मध्य किसी संबंध का पता लगा सकते हैं?

Answer:

दूरी सूत्र \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का उपयोग करके जाँच करते हैं:
(i) पंक्ति 1: \( S(-3, 0), M(0, 0), T(3, 0) \)
\( SM = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{9} = 3 \)
\( MT = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{9} = 3 \)
यहाँ \( SM = MT = 3 \), अतः M मध्यबिंदु है।
(ii) पंक्ति 2: \( S(2, 3), M(3, 4), T(4, 5) \)
\( SM = \sqrt{(3 - 2)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
\( MT = \sqrt{(4 - 3)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
यहाँ \( SM = MT = \sqrt{2} \), अतः M मध्यबिंदु है।
(iii) पंक्ति 3: \( S(0, 0), M(0, 5), T(0, -10) \)
\( SM = \sqrt{0 + 25} = 5 \)
\( MT = \sqrt{0 + (-10 - 5)^2} = \sqrt{225} = 15 \)
यहाँ \( SM \neq MT \) (\( 5 \neq 15 \)), अतः M मध्यबिंदु नहीं है।
(iv) पंक्ति 4: \( S(-8, 7), M(0, -2), T(6, -3) \)
\( SM = \sqrt{(0 - (-8))^2 + (-2 - 7)^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145} \)
\( MT = \sqrt{(6 - 0)^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \)
यहाँ \( SM \neq MT \), अतः M मध्यबिंदु नहीं है।
संबंध: जब M, S और T का मध्यबिंदु होता है, तो M के निर्देशांक S और T के निर्देशांकों के औसत (मध्यबिंदु सूत्र) के बराबर होते हैं, अर्थात् \( x_M = \frac{x_S + x_T}{2} \) और \( y_M = \frac{y_S + y_T}{2} \) ।

मुख्य बिंदु:

• मध्यबिंदु की स्थिति में दोनों दूरियाँ (SM और MT) आपस में बराबर होती हैं।
• मध्यबिंदु सूत्र सीधे निर्देशांकों के योग का आधा होता है।
• दूरी सूत्र से संरेखता और मध्यबिंदु दोनों की पुष्टि की जा सकती है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक तरफ की दूरी निकालकर छोड़ देना।
• मध्यबिंदु सूत्र के बजाय गलत सूत्र का प्रयोग करना।
• गणना में ऋण चिह्नों की उपेक्षा करना।

Exam Tips:

a) सारणी वाले प्रश्नों को हल करते समय प्रत्येक पंक्ति को अलग-अलग जांचें।
b) मध्यबिंदु सिद्ध करने के लिए \( SM = MT \) स्पष्ट रूप से दिखाएँ।
c) संबंध बताते समय मध्यबिंदु सूत्र का उल्लेख अवश्य करें।

Question 10: आपने जो संबंध ज्ञात किया है, उसका उपयोग करते हुए B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि M (–7, 1), A (3, –4) और B (x, y) के मध्यबिंदु के रूप में दिया गया है।

Answer:

दिया गया है कि M \( (-7, 1) \), A \( (3, -4) \) और B \( (x, y) \) का मध्यबिंदु है।
मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
\( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
यहाँ \( A(3, -4) \) तथा \( B(x, y) \) हैं और मध्यबिंदु \( M(-7, 1) \) है।
x-निर्देशांक के लिए:
\( \frac{3 + x}{2} = -7 \)
\( 3 + x = -14 \)
\( x = -14 - 3 = -17 \)
y-निर्देशांक के लिए:
\( \frac{-4 + y}{2} = 1 \)
\( -4 + y = 2 \)
\( y = 2 + 4 = 6 \)
अतः, बिंदु B के निर्देशांक \( (-17, 6) \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग अज्ञात बिंदु निकालने के लिए किया जाता है।
• x और y के निर्देशांकों को अलग-अलग हल किया जाता है।
• पक्षांतर करते समय चिह्न का विशेष ध्यान रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• 2 से गुणा करना भूल जाना।
• ऋण और धनात्मक चिह्नों की गलती करना।
• x और y के मानों को आपस में मिला देना।

Exam Tips:

a) मध्यबिंदु सूत्र को सबसे पहले प्रश्न के प्रारंभ में लिखें।
b) x और y के समीकरणों को अलग-अलग खंडों में हल करें।
c) अंतिम उत्तर को कोष्ठک में स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 11: मान लीजिए रेखाखंड AB के त्रिविभाजन बिंदु P और Q हैं, जहाँ P, A के निकट है, जबकि Q, B के निकट है। किसी रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांकों को ज्ञात करने के अपने ज्ञान का उपयोग करते हुए P और Q के निर्देशांकों को आप कैसे ज्ञात करेंगे? इस विधि को उपयोग कीजिए, जब बिंदु A (4, 7) और B (16, –2) हैं।

Answer:

दिया गया है: \( A(4, 7) \) और \( B(16, -2) \) । मान लीजिए त्रिभाजन बिंदु \( P(x_1, y_1) \) और \( Q(x_2, y_2) \) हैं।
यहाँ P, रेखाखंड AQ का मध्यबिंदु है और Q, रेखाखंड PB का मध्यबिंदु है (या AB का त्रिभाजन)।
मध्यबिंदु संबंधों के अनुसार:
\( x_1 = \frac{4 + x_2}{2} \) और \( y_1 = \frac{7 + y_2}{2} \)
\( x_2 = \frac{x_1 + 16}{2} \) और \( y_2 = \frac{y_1 - 2}{2} \)
x-निर्देशांकों के लिए हल करने पर:
\( x_1 = \frac{4 + x_2}{2} \) में \( x_2 \) का मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( x_2 = \frac{\frac{4 + x_2}{2} + 16}{2} = \frac{4 + x_2 + 32}{4} \)
\( 4x_2 = x_2 + 36 \)
\( 3x_2 = 36 \implies x_2 = 12 \)
अब \( x_1 = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
y-निर्देशांकों के लिए हल करने पर:
\( y_2 = \frac{\frac{7 + y_2}{2} - 2}{2} = \frac{7 + y_2 - 4}{4} \)
\( 4y_2 = y_2 + 3 \)
\( 3y_2 = 3 \implies y_2 = 1 \)
अब \( y_1 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
अतः, त्रिभाजन बिंदु \( P(8, 4) \) और \( Q(12, 1) \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• त्रिभाजन का अर्थ है किसी रेखाखंड को तीन बराबर भागों में बांटना।
• मध्यबिंदु सूत्र का क्रमिक उपयोग करके ऐसे प्रश्नों को हल किया जा सकता है।
• समीकरणों को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिभाजन के अनुपातों को गलत समझना।
• बीजगणितीय समीकरणों को हल करते समय गणना की त्रुटि करना।
• x और y के चरणों को आपस में उलझा देना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों को शांतचित्त होकर चरणबद्ध हल करें।
b) मध्यबिंदु संबंधों को पहले समीकरण के रूप में लिख लें।
c) अंत में दोनों बिंदुओं \( P \) और \( Q \) के निर्देशांक अलग से हाइलाइट करें।

Question 12: (i) दिए गए बिंदुओं A (1, –8), B (–4, 7) और C (–7, –4) के लिए प्रदर्शित कीजिए कि वे एक वृत्त K पर स्थित हैं जिसका केंद्र मूलबिंदु O (0, 0) है। वृत्त K की त्रिज्या क्या होगी?
(ii) दिए गए बिंदुओं D (–5, 6) और E (0, 9) के लिए जाँच कीजिए कि क्या वे वृत्त K के भीतर स्थित हैं, वृत्त पर स्थित हैं या वृत्त के बाहर स्थित हैं।

Answer:

(i) केंद्र \( O(0, 0) \) से बिंदुओं की दूरियाँ ज्ञात करते हैं:
दूरी OA: \( OA = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-8 - 0)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65} \)
दूरी OB: \( OB = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (7 - 0)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \)
दूरी OC: \( OC = \sqrt{(-7 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} \)
चूँकि \( OA = OB = OC = \sqrt{65} \), इसलिए तीनों बिंदु मूल केंद्र वाले वृत्त पर स्थित हैं। वृत्त की त्रिज्या \( r = \sqrt{65} \) है।

(ii) बिंदुओं D और E की केंद्र से दूरी:
दूरी OD: \( OD = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \)
दूरी OE: \( OE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (9 - 0)^2} = \sqrt{81} = 9 \)
त्रिज्या \( \sqrt{65} \approx 8.06 \) से तुलना करने पर:
• \( OD = \sqrt{61} \approx 7.81 < \sqrt{65} \), अतः बिंदु D वृत्त के भीतर स्थित है।
• \( OE = 9 > \sqrt{65} \), अतः बिंदु E वृत्त के बाहर स्थित है।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं की केंद्र से दूरी त्रिज्या के बराबर होती है।
• केंद्र से दूरी त्रिज्या से कम हो तो बिंदु वृत्त के अंदर होता है।
• केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो तो बिंदु वृत्त के बाहर होता है।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल के मानों की तुलना करने में भ्रमित होना।
• त्रिज्या और दूरी की परिभाषा में अंतर न समझना।
• मूलबिंदु के अलावा अन्य केंद्र मान लेना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों को (i) और (ii) डालकर अलग-अलग हल करें।
b) अनुमानित दशमलव मान निकालकर तुलना स्पष्ट करें।
c) निष्कर्ष स्पष्ट शब्दों में लिखें (भीतर, बाहर या पर)।

Question 13: त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्यबिंदु D, E और F हैं। D, E और F के निर्देशांक क्रमशः (5, 1), (6, 5) और (0, 3) दिए गए हैं, A, B और C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Answer:

मान लीजिए त्रिभुज ABC के शीर्ष \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \) और \( C(x_3, y_3) \) हैं।
दिए गए मध्यबिंदु हैं: \( D(5, 1) \) (BC का मध्यबिंदु), \( E(6, 5) \) (CA का मध्यबिंदु), और \( F(0, 3) \) (AB का मध्यबिंदु)।
मध्यबिंदु सूत्रों के अनुसार:
\( x_2 + x_3 = 10 \text{ ...(1)} \)
\( y_2 + y_3 = 2 \text{ ...(2)} \)
\( x_3 + x_1 = 12 \text{ ...(3)} \)
\( y_3 + y_1 = 10 \text{ ...(4)} \)
\( x_1 + x_2 = 0 \text{ ...(5)} \)
\( y_1 + y_2 = 6 \text{ ...(6)} \)
x-निर्देशांकों के लिए हल करने पर:
समीकरण (5) से, \( x_2 = -x_1 \)
इसे (1) में रखने पर: \(-x_1 + x_3 = 10 \implies x_3 = 10 + x_1 \text{ ...(7)}\)
इसे (3) में रखने पर: \((10 + x_1) + x_1 = 12 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1\)
तब \( x_2 = -1 \) और \( x_3 = 10 + 1 = 11 \)
y-निर्देशांकों के लिए हल करने पर:
समीकरण (6) से, \( y_2 = 6 - y_1 \)
इसे (2) में रखने पर: \((6 - y_1) + y_3 = 2 \implies y_3 = y_1 - 4 \text{ ...(8)}\)
इसे (4) में रखने पर: \((y_1 - 4) + y_1 = 10 \implies 2y_1 = 14 \implies y_1 = 7\)
तब \( y_2 = 6 - 7 = -1 \) और \( y_3 = 7 - 4 = 3 \)
अतः, शीर्षों के निर्देशांक हैं: \( A(1, 7), B(-1, -1) \) औरसी \( C(11, 3) \) ।

मुख्य बिंदु:

• त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से शीर्ष निकालने के लिए समीकरण युग्म बनाए जाते हैं।
• सभी x और y के समीकरणों को क्रमिक रूप से हल किया जाता है।
• मध्यबिंदु सूत्र \( x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \) का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• समीकरणों को हल करते समय चिह्न की गलती करना।
• किसी एक समीकरण को छोड़ देना।
• अंत में शीर्षों के मानों को आपस में मिला देना।

Exam Tips:

a) यह एक महत्वपूर्ण और बड़ा प्रश्न है, इसे समीकरण (1) से (8) तक स्पष्ट रूप से हल करें।
b) x और y के भागों को अलग-अलग हल करें ताकि भ्रम न हो।
c) अंतिम उत्तर में A, B, C के निर्देशांक अलग से दर्शाएँ।

Question 14: एक शहर की दो मुख्य सड़कें हैं जो एक-दूसरे को शहर के केंद्र पर प्रतिच्छेद करती हैं। ये दो सड़कें उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम दिशा के अनुदिश हैं। शहर की अन्य सभी गलियाँ इन्हीं सड़कों के समानांतर हैं और एक-दूसरे से 200 मी. की दूरी पर स्थित हैं। प्रत्येक दिशा में 10 गलियाँ हैं। (i) 1 से.मी. = 200 मी. पैमाने का उपयोग करते हुए, अपनी अभ्यास-पुस्तिका में शहर का एक प्रतिरूप बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं द्वारा प्रस्तुत कीजिए। (ii) प्रदर्श में गलियों के प्रतिच्छेदन हैं। प्रत्येक गली प्रतिच्छेदन दो गलियों द्वारा बना है जिसमें एक गली उत्तर-दक्षिण दिशा और दूसरी गली पूर्व-पश्चिम दिशा की ओर जा रही है। प्रत्येक गली प्रतिच्छेदन की व्याख्या निम्नलिखित रूप में की गई है – यदि उत्तर-दक्षिण दिशा में जाने वाली दूसरी गली और पूर्व-पश्चिम दिशा में जाने वाली पाँचवीं गली किसी स्थान पर प्रतिच्छेद करती हैं तो हम इस गली प्रतिच्छेदन को (2, 5) कहेंगे। इस पद्धति का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए – (a) गलियों के कितने प्रतिच्छेदनों को (4, 3) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है? (b) गलियों के कितने प्रतिच्छेदनों को (3, 4) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है?

Answer:

(i) पैमाने \( 1 \text{ सेमी} = 200 \text{ मीटर} \) का उपयोग करके 10 उत्तर-दक्षिण (N-S) और 10 पूर्व-पश्चिम (E-W) समानांतर रेखाओं का एक ग्रिड बनाया जाता है जिसमें प्रत्येक लगातार रेखा के बीच 1 सेमी का अंतर होता है।
(ii) (a) \( (4, 3) \) का अर्थ है चौथी N-S गली और तीसरी E-W गली का चौराहा। चूँकि एक N-S गली और एक E-W गली केवल एक ही बिंदु पर मिल सकती हैं, इसलिए केवल एक ही चौराहा \( (4, 3) \) बन सकता है।
(ii) (b) \( (3, 4) \) का अर्थ है तीसरी N-S गली और चौथी E-W गली का चौराहा। यह भी केवल एक ही बिंदु पर मिल सकती हैं, अतः केवल एक ही चौराहा \( (3, 4) \) बन सकता है।

मुख्य बिंदु:

• यह प्रश्न ग्रिड प्रणाली (Grid System) और निर्देशांक ज्यामिति के व्यावहारिक अनुप्रयोग पर आधारित है।
• दो सीधी रेखाएँ एक तल में केवल एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
• क्रमित युग्म \( (x, y) \) एक अद्वितीय स्थिति को दर्शाता है।

आम गलतियाँ:

• चौराहे की संख्या को एक से अधिक मान लेना।
• \( (4, 3) \) और \( (3, 4) \) को एक ही समझ लेना जबकि वे अलग-अलग चौराहे हैं।
• पैमाने के उपयोग को नजरअंदाज करना।

Exam Tips:

a) व्यावहारिक आधारित प्रश्नों को ध्यान से पढ़कर समझें।
b) (a) और (b) दोनों भागों का उत्तर अलग-अलग स्पष्ट लिखें।
c) अद्वितीयता (Uniqueness) के नियम को उत्तर में अवश्य शामिल करें।

Question 15: एक कंप्यूटर ग्राफिक्स (चित्रांकन) कार्यक्रम में एक आयताकार दृश्यपटल (स्क्रीन) पर छवियों को प्रदर्शित किया जाता है जिसकी निर्देशांक पद्धति का मूलबिंदु नीचे बाएँ कोने में है। दृश्यपटल की चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 800 पिक्सेल और 600 पिक्सेल है। 80 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक वृत्ताकार प्रतीक (आइकन), बिंदु A (100, 150) को केंद्रित करके बनाया गया है। 100 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक अन्य वृत्ताकार प्रतीक बिंदु B (250, 230) को केंद्रित करके बनाया गया है। पता लगाइए— (i) क्या किसी भी वृत्त का कोई भाग दृश्यपटल (स्क्रीन) से बाहर स्थित है? (ii) क्या दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं?

Answer:

(i) नहीं, दोनों वृत्त पूरी तरह से स्क्रीन के अंदर स्थित हैं क्योंकि वृत्त के केंद्र और त्रिज्या की सीमाएं 800×600 पिक्सेल दृश्यपटल के भीतर ही आती हैं।
(ii) हाँ, दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं क्योंकि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग से कम है।

मुख्य बिंदु:

• कंप्यूटर ग्राफिक्स में मूलबिंदु अक्सर नीचे-बाएँ कोने में होता है।
• वृत्तों का प्रतिच्छेदन उनके केंद्रों के बीच की दूरी और त्रिज्याओं पर निर्भर करता है.
• स्क्रीन की सीमाएँ दृश्यपटल के आकार से तय होती हैं।

आम गलतियाँ:

• स्क्रीन की सीमाओं की जाँच किए बिना उत्तर देना।
• वृत्तों की दूरियों का सही आकलन न करना।
• हाँ/ना के साथ कारण न लिखना।

Exam Tips:

a) दोनों उप-प्रश्नों के उत्तर स्पष्ट रूप से हाँ/ना में दें।
b) ग्राफिकल और प्रायोगिक समझ पर आधारित प्रश्नों के तार्किक उत्तर दें।
c) पिक्सेल और निर्देशांकों के संबंध को ध्यान में रखें।

Question 16: कार्तीय तल पर बिंदु A(2, 1), B(–1, 2), C(–2, –1) और D(1, –2) का अंकन कीजिए। क्या ABCD एक वर्ग है? क्या आप व्याख्या कर सकते हैं कि ऐसा क्यों है? इस वर्ग का क्षेत्रफल क्या है?

Answer:

हाँ, चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।
इसे सिद्ध करने के लिए हम सभी भुजाओं और विकर्णों की लंबाई दूरी सूत्र से ज्ञात करते हैं:
सभी भुजाओं की लंबाई:
\( AB = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
\( BC = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \)
\( CD = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
\( DA = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \)
यहाँ चारों भुजाएँ समान हैं (\( AB = BC = CD = DA = \sqrt{10} \))।
विकर्णों की लंबाई:
\( AC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \)
\( BD = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \)
विकर्ण भी समान हैं (\( AC = BD = \sqrt{20} \))।
चूँकि किसी चतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान हों और विकर्ण भी समान हों, वह एक वर्ग होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल = \( (\text{भुजा})^2 = (\sqrt{10})^2 = 10 \) वर्ग इकाई।

मुख्य बिंदु:

• वर्ग होने की शर्त: चारों भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण बराबर होने चाहिए।
• वर्ग का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र \( (\text{भुजा})^2 \) होता है।
• दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों की जाँच की जाती है।

आम गलतियाँ:

• केवल भुजा निकालकर छोड़ देना और विकर्णों की जाँच न करना।
• क्षेत्रफल निकालते समय वर्गमूल का वर्ग करना भूल जाना।
• दूरी सूत्र में मान रखते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) वर्ग सिद्ध करने के लिए चारों भुजाएँ और दोनों विकर्ण अवश्य निकालें।
b) क्षेत्रफल निकालते समय इकाई 'वर्ग इकाई' लिखना न भूलें।
c) उत्तर को सुव्यवस्थित चरणों में प्रस्तुत करें।